Kauppakorkean pääsykoe 2012 / Ratkaisut

Transkriptio

1 Kauppakorkean pääsykoe 01 / Ratkaisut Hallinto: 1. Osio / Tosi; Kirjassa todetaan, että syntymästään lähtien ihmiselle on tarjolla erilaisia diskursseissa ja käytännöissä rakentuvia toimijuuksia ja identiteettejä (sivu 101). Muut osiot / Epätosia; Näin ei todeta kirjassa.. Osio 1 / Tosi (sivu 158 / Kaavio). Osio / Tosi; Näin todetaan sivulla 163. Osio 3 / Epätosi; Ei, vaan suhteissa rakentuvan muutoksen näkökulmasta oppiminen edellyttää aina myös vuorovaikutusta ympäristön kanssa (sivu 159). Osio 4 / Tosi (sivu 158 / Kaavio). 3. Osiot 1, ja 4 / Tosia; Näin todetaan sivulla 55 (toinen kappale). Osio 3 / Epätosi; Tätä ei mainita kirjassa. 4. Osio 1 / Tosi; Näin annetaan ymmärtää sivulla 148 (Holgersson). Osiot ja 3 / Tosia; Näin esitetään sivun 147 toisessa ja kolmannessa kappaleessa. Osio 4 / Epätosi; Tätä ei todeta kirjassa varsinkaan pätevyyden arvioimisen osalta. 5. Osio 1 / Tosi; Näin todetaan sivulla 59 (toinen kappale). Osio / Tosi; Asia ilmenee sivulta 58. Osio 3 / Epätosi; Tätä ei mainita kirjassa. Osio 4 / Tosi; Näin esitetään sivulla 58 (toinen kappale).

2 6. Osio 1 / Epätosi; Termi sensemaking liittyy tolkun tekemiseen (sivu 88). Osio / Epätosi; Ei, vaan palveluyhteiskunnassa ihmisen persoonasta on tullut keskeinen työväline (sivu 87). Osio 3 / Tosi; Näin on Mary Parker Follettin mukaan (sivu 86). Osio 4 / Epätosi; Tämä näkemys liittyy uusinstitutionaaliseen organisaatioteoriaan (sivu 81). 7. Osio 1 / Epätosi; Näin ei todeta kirjassa, vertaa sivut Osio / Tosi (sivu 65 / kolmas kappale). Osio 3 / Tosi; Näin esitetään sivulla 64 (neljäs kappale). Osio 4 / Tosi, sillä Pauli Juutin (001) mukaan ikä jäsentyy kulttuurisesti (sivu 65 / neljäs kappale). 8. Osio 1 / Tätä ei mainita kyseisten edellytysten joukkoon kuuluvana kirjan sivulla 139. Osiot, 3 ja 4 / Nämä mainitaan sivulla 139.

3 Laskentatoimi: Kauppakorkean pääsykoe 01 / Ratkaisut 9. / Ratk: Nyt tiedetään, että myyntihinta on 15 euroa / kpl, muuttuvat kustannukset 10 euroa / kpl ja myyntimäärä.000 kpl. Yksikkökate on siis 5 euroa / kpl. Myyntituotot ovat tällöin.000 x 15 = ja muuttuvat kustannukset.000 x 10 = Yritys saavuttaisi siis nollatuloksen, mikäli kiinteät kustannukset olisivat euroa. Tätä pienemmillä kiinteillä kustannuksilla tulos on positiivinen, ja tätä suuremmilla kiinteillä kustannuksilla tulos on negatiivinen. Osio 1 / Epätosi, sillä yli euron kiinteillä kustannuksilla tulos on negatiivinen. Osio / Epätosi; Mikäli kiinteät kustannukset ovat euroa ja yksikkökate 5 euroa, niin kriittinen piste on euroa / 5 euroa = 1.00 kpl. Osio 3 / Tosi; Tavoitetulos euroa ja kiinteät kustannukset euroa saadaan katetuiksi, mikäli myynti on ( ) / 5 = kpl. Osio 4 / Epätosi; Jos myyntihinta on 14 euroa, niin yksikkökate on 4 euroa. Tällöin euron kiinteät kustannukset ja.000 euron voitto voidaan kattaa ( ) / 4 = kappaleen myynnillä. Toisaalta.000 kpl:n myynti aiheuttaa euron myyntitulot sekä euron muuttuvat kustannukset eli siis euron katetuoton. Kiinteiden kustannusten vähentäminen tästä tasolle euroa jättää voitoksi tällöin euroa. 10. Osio 1 / Epätosi, sillä taseen vastaavat esitetään käänteisessä likviditeettijärjestyksessä. Siis vaikeimmin realisoitavat erät esitetään ensin ja helpoimmin realisoitavat lopuksi (sivu 7). Osio / Epätosi; Ei, vaan tuloslaskelma voidaan esittää joko kululajikohtaisena tai toimintokohtaisena (sivu 4). Osio 3 / Epätosi; Ei, vaan tulot kirjataan tulotilin kredit-puolelle. Huomaa, että myyntitili on tulotili (sivu 17). Osio 4 / Tosi, koska poistot kirjataan poistotilin debet-puolelle kuluksi (sivu 19).

4 11. Osio 1 / Tosi; Näin todetaan sivulla 151. Osio / Epätosi; Ei, vaan rahoitusmarkkinoilla alle vuoden pituiset rahoitusvaateet kuuluvat rahamarkkinoille (sivut ). Osio 3 / Tosi; Näin esitetään sivulla 157. Osio 4 / Tosi; Asia ilmenee sivulta Osio 1 / Epätosi; Ei, vaan rahoituslaskelman osat ovat: liiketoiminnan rahavirta, investointien rahavirta sekä rahoituksen rahavirta (sivut 34 35). Osio / Tosi; Näin todetaan sivulla 38. Osio 3 / Epätosi; Ei, vaan nämä ovat tehokkuutta kuvaavia tunnuslukuja (sivut 68 71). Osio 4/ Epätosi; Ei, vaan jakamalla nettotulos liikevaihdolla ja kertomalla saatu osamäärä sadalla (sivu 64). 13. / Ratk: Osio 1 / Laitteiston X nettotulojen summa on 5. vuonna ja 6. vuonna Laitteiston Y nettotulojen summa on jo 5. vuonna Siis laitteiston Y takaisinmaksuaika on lyhyempi kuin laitteiston X, joten osio 1 on epätosi. Osio / Jos laskentakorkokanta on 5 %, niin sitä vastaava nettonykyarvo on laitteiston X osalta = 0,954 x ,9070 x ,8638 x ,87 x ,7835 x ,746 x = ,40 < 0. Siis laitteiston X hankkiminen ei ole tällöin kannattavaa. Osio on näin ollen epätosi. Osio 3 / Jos laskentakorkokanta on 10 %, niin laitteiston Y nettonykyarvo on = 0,9091 x (0, , , ,609) x ,5645 x = ,40 < 0. Jotta nettonykyarvo olisi = 0, niin laitteiston Y sisäisen korkokannan pitäisi olla pienempi kuin kymmenen prosenttia. Siis osio 3 on epätosi. Osio 4 / Kuten osiossa osoitettiin, laitteiston X nettonykyarvo on < 0, jos laskentakorkokanta on 5 %. Jotta nettonykyarvo saisi arvon = 0, niin laskentakorkokannan pitäisi olla pienempi kuin viisi prosenttia. Siis osio 4 on tosi.

5 14. Osio 1 / Pääoman keskimääräinen painotettu kustannus WACC = 9,8 % x 0,45 + 6,7 % x 0,55 = 8,095 % 8,1 %. Siis osio 1 on epätosi. Osio / Epätosi; Ei, sillä kovenantit eivät tarkoita samaa kuin reaalivakuudet (vertaa sivun 156 viimeinen kappale). Osio 3 / Epätosi; Näin ei voi olla, sillä Quick ration osoittajassa on vain yrityksen rahoitusomaisuus, kun taas Current ration osoittajassa ovat kaikki yrityksen lyhytaikaiset varat (sivut 74 75). Osio 4 / Tosi; Näin todetaan sivulla Osio 1 / Tosi; Asia ilmenee sivuilta Osio / Tosi, kuten nähdään sivuilta Osio 3 / Tosi; Näin todetaan sivulla 109. Osio 4 / Epätosi; Ei, vaan kyseinen kriittinen tekijä määritetään jo budjetointiprosessin toisessa vaiheessa (sivu 108). 16. Osio 1 / Tehtävässä annettujen tietojen perusteella saadaan asetelma: Tuotteen minimiomakustannusarvo (MOKA) 100 euroa + Tavoitteeksi asetettu katetuotto 30 euroa Nettomyyntihinta 130 euroa Osio 1 on siis epätosi (sivu 1). Osio / Tosi; Vertaa edelliseen laskelmaan. Osio 3 / Epätosi; Myyntimäärän muutos ei nyt vaikuta tuotteen nettomyyntihintaan. Osio 4 / Epätosi; Ei, vaan katetuottohinnoittelussa nettomyyntihinnan määrittämiseksi tuotteen minimiomakustannusarvoon lisätään tavoitteeksi asetettu voittolisä.

6 Markkinointi: Kauppakorkean pääsykoe 01 / Ratkaisut 17. Osiot 1, 3 ja 4 / Nämä kuuluvat StratMark-manifestiin (sivut 11-1/Otsikot). Osio / Tämä ei kuulu kyseiseen manifestiin. Sen sijaan manifestissa todetaan, että markkinointi ei ole voiton maksimoijien etuoikeus (sivu 11). 18. Osiot 1, ja 4 / Tosia (sivu 14, sivu 13 ja sivu 136). Osio 3 / Epätosi; Ei prosesseihin, vaan hinnanasetantaan (sivu 133). 19. Osio 1 / Epätosi; Ei, vaan kyseiset järjestelmät ovat esimerkki tuoteorientoituneesta lähestymistavasta (sivu 35). Osio / Epätosi; Väite koskee tuotanto-orientoitunutta lähestymistapaa (s.34). Osio 3 / Epätosi; Ei, vaan liiallisen tuoteorientaation syyksi (sivu 35). Osio 4 / Tosi; Näin annetaan ymmärtää sivulla 34 (toinen kappale). 0. Osio 1 / Epätosi; Ei, vaan markkinaorientaatio koostuu asiakasorientaatiosta, kilpailijaorientaatiosta ja toimintojen välisestä koordinaatiosta (sivu 4). Osio / Tosi; Näin todetaan sivulla 48. Osio 3 / Epätosi; Ei, vaan tällöin on kyseessä prosessikeskeinen näkökulma (sivu 4). Osio 4/ Epätosi; Ei, vaan tämä koskee markkinoita ajavaa orientaatiota (sivu 44). 1. Osio 1 / Epätosi; Ei, vaan tällaiset yritykset ovat suomalaisessa yrityskannassa hyvin suuri joukko (sivu 9). Osio / Tosi; Näin todetaan sivulla 19. Osio 3 / Epätosi; Ei, vaan globaalin kapitalismin aikakausi seurasi finanssikapitalismin aikakautta (sivu 17). Osio 4 / Epätosi; Ei, vaan globaali taantuma näkyi Suomen viennissä vahvemmin (sivu 7).

7 . Osio 1 / Epätosi; Ei, vaan kyseiset liiketoiminnan ydinprosessit ovat tuotekehityksen johtaminen, tilaus- ja toimitusketjun johtaminen sekä asiakassuhdejohtaminen (sivu 49). Osio / Tosi; Näin esitetään sivulla 48 (toinen kappale). Osio 3 / Epätosi; Ei, vaan myös tuotekehityksen johtaminen ja jakeluketjun johtaminen otetaan huomioon (vertaa sivut 55 57). Osio 4 / Epätosi; Ei, vaan näin oli erityisesti laskukaudella (sivu 56). 3. Osio 1 / Epätosi; Ei, vaan markkinoinnin budjetti määritetään tavoitteiden mukaan (sivu 77). Osio / Epätosi; Ei, vaan liiketoiminnan jäännösarvon kasvattaminen (sivut 73 75). Osio 3 / Epätosi; Näin ei yleensä tehdä, vertaa kuvio 1 sivulla 78. Osio 4 / Tosi; Kyseisiä piirteitä esitellään sivuilla Osio 1 / Epätosi; Ei, vaan markkinoinnin vaikuttavuutta voidaan tarkastella 1) tuloksellisuuden (tai tarkoituksenmukaisuuden) ) tehokkuuden sekä 3) mukautuvuuden näkökulmasta (sivu 8). Osio / Tosi, sillä markkinoinnin tuloksellisuutta ilmoitti vuonna 010 seuraavansa 61 prosenttia yrityksistä (kuvio 15 / sivu 90). Osio 3 / Tosi (sivut 96 97). Osio 4 / Tosi (sivut 96 97).

8 Kansantalous: Teht. 5 / Ratk: Kauppakorkean pääsykoe 01 / Ratkaisut Kirjan sivun 143 mukaisesti "Asukasta kohden laskettua, yhteiseksi valuutaksi muutettua bruttokansantuotetta käytetään... usein eri maiden elintason vertaamiseksi". Kirjassa on sivulla 144 vastaanlainen, ostovoimapariteettiin liittyvä, jossa on käytetty hampurilaisten hintoja markkinoiden valuuttakurssin sijasta. Hampurilaisista laskettu "valuuttakurssi": Mikäli yksi euro olisi ollut 4,07 / 3,44 = 1,183 dollaria, olisivat hampurilaiset olleet samanhintaisia sekä Yhdysvalloissa että euroalueella. Aineiston taulukon 1 mukaan bruttokansantuote asukasta kohden oli vuonna 011 Yhdysvalloissa dollaria ja euroalueella euroa. Käyttämällä mainittua, hampurilaisista laskettua valuuttakurssia olisi euroalueen BKT / asukas x 1,183 = dollaria, mikä on / = 0,69 eli noin 69 % Yhdysvaltojen elintasosta.

9 Teht. 6 / Ratk: Elintasoa voidaan aineiston tiedoilla parhaiten mitata bruttokansantuotteella per asukas. Suomen, euroalueen ja Yhdysvaltojen BKT:n määrän muutoksia ja väestönkasvua on arvioitu aineiston taulukossa ja 3, ja ne ovat vuosille 01 ja 013 seuraavat: BKT:n määrän muutos (%) Suomi 0,8 1,5 Euroalue 0,0 0,8 Yhdysvallat,,8 Väestönkasvu (%) Suomi 0,5 0,5 Euroalue 0, 0, Yhdysvallat 1,0 1,0 Väestö (milj. henkilöä) 011 Suomi 5,4 Euroalue 33,0 Yhdysvallat 31,9 BKT per asukas vuonna 011 (dollaria): Suomi Euroalue Yhdysvallat Kun lasketaan, miten elintaso muuttuu, lasketaan asukasta kohti lasketun BKT:n muutokset. Nämä saadaan ottamalla huomioon sekä BKT:n määrän muutokset että väestön määrän muutokset. Laskelma voidaan tehdä esim. kertoimilla (1 + b), missä b on BKT:n määrän muutosprosentti, ja (1 + v), missä v on väestön määrän muutosprosentti. Kun edellisen vuoden BKT per asukas kerrotaan kertoimella (1 + b ) / ( 1 + v), saadaan seuraavan vuoden BKT per asukas.

10 Esimerkiksi Suomen BKT:n muutosprosentti per asukas on tällöin vuonna 011 = 1,008 / 1,005 1 = 0,00985 = 0,99 (prosenttia). BKT per asukas muuttuu vuosittain seuraavasti: BKT per asukas muutos (%) Suomi 0,99 0,995 Euroalue -0,00 0,599 Yhdysvallat 1,188 1,78 Havaitaan, että BKT per asukas kasvaa eniten Yhdysvalloissa kumpanakin vuotena ja vähiten euroalueella kumpanakin vuotena. Kun lähtötilannekin on, että Yhdysvalloissa BKT per asukas on suurin ja euroalueella pienin näistä kolmesta, havaitaan että elintasoerot kasvavat kaikkien näiden kolmen välillä. Osio 1 / Epätosi; Yhdysvaltojen ja euroalueen elintasoero kasvaa. Osio / Epätosi; Yhdysvaltojen ja Suomen elintasoero kasvaa. Osio 3 / Epätosi; Elintaso kasvaa Suomessa nopeammin kuin euroalueella. Osio 4 / Tosi.

11 Teht. 7 / Ratk: Aineiston mukaan bruttokansantuote markkinahintaan käyvin hinnoin oli 19 mrd. euroa vuonna 011. Kirjan s.136 mukaan bruttokansantulo markkinahintaan = bruttokansantuote markkinahintaan + ulkomailta saatu ensitulo - ulkomaille maksettu ensitulo. Nämä jälkimmäiset erät olivat nettomääräisesti tehtävänannossa mrd. euroa, joten bruttokansantulo oli 19 + = 194 mrd. euroa. Edelleen kirjan mukaan kansantulo eli nettokansantulo = bruttokansantulo - kiinteän pääoman kuluminen eli poistot. Nettokansantulo oli siis = 164 mrd. euroa. Osio 3 on siis tosi.

12 Teht. 8 / Ratk: Aineistossa kerrotaan taulukossa Suomen potentiaalisen BKT:n olleen vuonna 011 vuoden 000 hinnoilla 168 mrd. euroa. Samaan aikaan toteutunut BKT oli vuoden 000 hinnoilla 16 mrd. euroa. Toteutunut BKT oli siis potentiaalista BKT:ta pienempi. Kirjan sivujen mukaisesti "taantumasta puhutaan silloin, kun kokonaistuotannon määrä alenee". Aineiston taulukon mukaan Suomen BKT:n määrä kasvoi,9 prosenttia vuonna 011. Siten kyse ei ollut ainakaan taantumasta. Edelleen pitkän aikavälin tasapainoisella kasvuurallaan ollessaan toteutunut BKT ja potentiaalinen BKT olisivat yhtä suuret. Korkeasuhdannekaan ei ole sopiva vastaus, koska toteutunut BKT oli pienempi kuin potentiaalinen BKT. Oikea vastaus on siis osio 3.

13 Teht. 9 / Ratk: Osio 1 / Tosi; Taulukossa on mm. ennustettu Suomen potentiaalisen ja toteutuvan BKT:n määrien muutosprosentteja vuosille Luvuista havaitaan, että kunakin vuotena toteutuvan BKT:n uskotaan kasvavan nopeammin kuin mitä potentiaalinen BKT kasvaa. Osio / Epätosi; Näin ei aineistossa todeta eikä tätä väitettä voida aineiston perusteella tukea. Sen sijaan aineiston tekstissä todetaan mm. että "viennin oletetaan elpyvän hieman alle kolmen prosentin kasvuun vetäen investoinnit nousuun". Tuore talouskriisi vähensi Suomen pääomakantaa, mutta aineistossa ei ennusteta että kansantalouden pääomaintensiteetti alenisi edelleen Osio 3 / Tosi; Aineistossa todetaan mm. väestön ikääntymisen aiheuttavan talouden kasvuedellytyksille haasteita. Vastakkaisia näkökulmia ei esitetä, joten väite on selvästi enemmän tosi kuin epätosi. Osio 4 / Tosi; Näin yleensäkin on asian laita. Esim. vuodelle 01 ennustetaan työn tuottavuuden (BKT/työpanos) kasvua ja samaan aikaan investointien vähenemistä. Tuottavuuden kasvu on ilmeisesti siis peräisin teknologian kehityksestä eikä esim. pääomakannan lisäämisestä.

14 Teht. 30 / Ratk: Osio 1 / Tosi; Aineiston taulukon numero mukaan Suomen BKT:n määrän muutokset ovat 0,8, 1,5 ja,1 prosenttia vuosina 01, 013 ja 014. Kirjassa sivulla 154 kerrotaan Suomen BKT:n kasvaneen keskimäärin,4 prosenttia vuodessa aikavälillä Tätä voidaan pitää pitkän aikavälin keskiarvona, ellei muuta lukua aineistossa anneta. Osio / Epätosi; Aineistossa todetaan selvästi, että rakennemuutoksessa "korkeamman tuottavuuden teollisuustuotannon osuus kokonaistuotannosta supistuu". Siten yhteiskunnassa työn tuottavuus keskimäärin pikemmin laskee kuin nousee. Osio 3 / Tosi; Vaihtotase kääntyy positiiviseksi vuonna 014 aineiston taulukon mukaan. Osio 4 / Tosi; Euroalueen BKT:n määrän suhteellisiksi muutoksiksi ennustetaan vuodelle 01 nollaa prosenttia ja seuraavina vuosina positiivisia muutosprosentteja. Kirjan s.190 mukaan "taantumasta puhutaan silloin, kun kokonaistuotannon määrä alenee".

15 Teht. 31 / Ratk: A) Tosi; Kirjan s.33 mukaisesti vakaus- ja kasvusopimuksen vaatimuksena on, että julkisen talouden alijäämä on alle kolme prosenttia bruttokansantuotteesta ja julkinen velka alle 60 prosenttia bruttokansantuotteesta. Aineiston taulukossa on annettu julkisyhteisöjen rahoitusjäämä (% BKT:sta) ja julkisyhteisöjen bruttovelka (% BKT:sta). Nämä luvut pysyvät selvästi vakaus- ja kasvusopimuksen määrittämissä rajoissa vuosina B) Tosi; Aineiston taulukon mukaan julkisyhteisöjen rahoitusjäämä on negatiivinen mm C) Epätosi; Aineiston taulukon mukaan julkisyhteisöjen rahoitusjäämä tulisi olemaan 0,4 prosenttia BKT:sta vuonna 016. Aineiston mukaan julkisen talouden pitkän aikavälin kestävyyden turvaavaksi ylijäämäksi arvioidaan kuitenkin noin 4 % BKT:sta. D) Epätosi; "Hallituksen asettamaa tavoitetta valtiontaloudelle" ei aineistosta käy ilmi. Osio 1 on siis tosi.

16 Teht. 3 / Ratk: Osio 1 / Epätosi; Nykyinen suhdannetilanne ei ole korkeasuhdanne, eikä kokonaiskysynnän kasvua ole nyt tarvetta hillitä. Osio / Epätosi; Nykyisessä suhdannetilanteessa inflaatiokaan ei ole kovin suuri ongelma. Osio 3 / Epätosi; Julkisen sektorin tehostaminen ei nouse juurikaan aineistosta esiin. Osio 4 / Tosi; Tätä teemaa käsitellään aineistossa useassa kohden. Aineistossa todetaan mm. että "Julkisen talouden vakauttamisen suotuisat vaikutukset perustuvat siihen, miten toimien nähdään kohentavan luottamusta julkisen vallan kykyyn pitää julkisen talouden rahoitus kestävällä pohjalla" ja "... uskottavat, rahoitusaseman vakauttamiseen ja velkaantumisen taittamiseen tähtäävät sopeutustoimet voivat kohentaa luottamusta julkisen talouden rahoitusaseman kestämiseen ja siten tukea talouden kasvua pitkällä aikavälillä".

17 Matematiikka: 33. / Ratk: Kauppakorkean pääsykoe 01 / Ratkaisut Yhtälö ln (x 1) = 0 on määritelty, kun x 1 > 0 eli kun x > ½. Tällöin saadaan x 1 = e 0 eli x 1 = 1, josta x = 1. Vast: Osio 3. Huom: Yhtälö voidaan ratkaista myös kokeilemalla annettuja arvoja. 34. / Ratk: Sijoitetaan x 1 = 10, x = 0, x 3 = 30 sekä n = 3 annettuun lausekkeeseen ja saadaan: 1 x + x ( x1 + x + x3) + x = ( ) 3 = = = = 100 = 10. Vast: Osio / Ratk: Hintafunktio p = q, missä 0 q Tällöin 4q = 4000 p : 4 eli q = 1000 p/4 = q(p), missä 0 p Tämä on ratkaisussa tarvittava kysyntäfunktio. x f ( x) Koska yleisesti ε ( x) = f ( x), niin ε ( p) = q ( p). 1 4 f p q( p) q Nyt q ( p) =. Koska q = 500, niin p = = Kysytty hintajousto saa siis arvon ε ( p) = ( ) = 1. Vast: Osio. q 1 4

18 36. / Ratk: Nyt siis kysyntä d = 10e -p ja yksikkökustannus c = 5 (euroa). Nettotuotto dp cd = 10e -p p e -p = 10pe -p 50e -p = f(p), missä p 0. Tällöin f (p) = 10e -p + e -p (-1) 10p - 50e -p (-1) = 10e -p 10pe -p + 50e -p = 60e -p -10pe -p = 10e -p (6 p). Koska 10e -p > 0 aina, niin 6 p määrää derivaatan merkin. Nyt 6 p = 0, kun p = 6. Suora y = 6 p on laskeva, joten lausekkeen 6 p merkki vaihtuu kohtaa p = 6 ohitettaessa plussasta miinukseksi (piirrä kuvio). Tämä merkitsee, että funktio f(p) kasvaa välillä 0 p 6 ja vähenee välillä 6 p < (piirrä kulkukaavio). Nettotuotto f(p) saa siis suurimman arvonsa, kun hinta p = 6 euroa. Vast: Osio. 37. / Ratk: Kaavalla Vast: Osio / Ratk: z x x s = saadaan z = = = 1,5. Olkoon P(vastaus oikein) = p, jolloin P(vastaus väärin) = 1 p. Olkoon x = yhdestä kysymyksestä saatu pistemäärä. Pistemäärän odotusarvo on tällöin Ex = p x i i = p 1 + (1 p) (-0,75) = p 0,75 + 0,75p = 1,75p 0,75. Nyt on oltava 1,75p 0,75 > 0, josta saadaan p > 0,75/1,75 eli p > 75/175 ja siis p > 3/7. Vast: Osio 3.

19 39. / Ratk: Ensimmäisestä rajoitusehdosta x 1 + x saadaan x - x 1 +. Tämä pätee suoralla x = - x 1 + ja sen alapuolella. Jos x 1 = 0, niin x =. Jos x = 0, niin x 1 = 1. Toisesta rajoitusehdosta x 1 + x 3 saadaan Tämä pätee suoralla 1 = x x ja sen alapuolella. Jos x 1 = 0, niin x = 3/. Jos x = 0, niin x 1 = x x Suorien leikkauspiste saadaan yhtälöparista x = -x 1 +, 1 1 x = x Esimerkiksi yhteenlaskukeinolla leikkauspisteeksi saadaan P = (1/3, 4/3). Piirrä sitten kuvio x 1 x koordinaatistoon. Käyväksi alueeksi saadaan tällöin nelikulmio, jonka kärkipisteet ovat O = (0,0), A = (1,0), P = (1/3, 4/3) sekä B = (0, 3/). Jos merkitään z = 10x 1 + 5x, niin tästä saadaan x = -x 1 + z/5. Nämä suorat ovat z:n vaihdellessa suoran x = -x 1 suuntaisia. Tämä suora kulkee origon sekä muun muassa pisteen (-1, ) kautta. Nostetaan tätä suoraa nyt suuntansa säilyttäen käyvän alueen ylitse. Tällöin havaitaan, että z/5 (ja samalla z) saa käyvällä alueella suurimman arvonsa, kun suora kulkee pisteiden A = (1,0) ja P = (1/3, 4/3) kautta. Tämä merkitsee, että optimiratkaisut muodostavat janan AP, joten optimiratkaisuja on tällä kertaa äärettömästi. Vast: Osio 4.

20 40. / Ratk: Käytetään nyt varianssin laskemiseksi kaavaa annetut aineistot ovat kokonaisaineistoja. s fi( xi x = n ) Aineisto A / Keskiarvo fixi x = = =. n 100 Varianssi s 0 (0 ) = + 0 (1 ) + 0 ( ) (3 ) + 0 (4 ), sillä =, Aineisto B / Keskiarvo x = = 3. Varianssi s 10 (1 3) = + 0 ( 3) + 40 (3 3) (4 3) + 10 (5 3) = 1, Aineisto C / Keskiarvo x = =,5. 40 (1,5) + 10 (,5) + 10 (3,5) + 40 (4,5) ( 3) + 1 ( ) + 15 ( 1) x = = Varianssi s = = 1, 85. Aineisto D / Keskiarvo s 8 ( 3 0) = + 1 ( 0) + 15 ( 1 0) Siis aineiston B varianssi on pienin. Vast: Osio (0 0) (1 0) + 1 ( 0) + 8 (3 0) Varianssi =,70.