3. Approsimointi 3.. Padén approsimaatio. Cauchyn approsimaatio: [7, I, 5.8]; Padén approsimaatio: [7, I, 5.9]; [, 9.5-8] Lagrangen interpolaatiopolynomi antaa ysinertaisen rataisun sileän funtion arvojen interpolointiin (ja jossain määrin funtion approsimointiin. Jos tarasteltavalla funtiolla on joninlaista singulaarista äyttäytymistä (uten nimittäjän nollaohdat tangentilla, voidaan interpoloinnissa/approsimoinnissa yrittää päästää parempaan tuloseen rationaalifuntioiden avulla. Cauchyn interpoloinnissa annetuille pisteille (x j, y j, j n, ja annetulle luvulle {,,..., n + } etsitään rationaalifuntiota R = P/Q (missä P ja Q ovat esenään jaottomia polynomeja siten, että R(x j = y j, j n, deg P < ja deg Q n +. Tapausessa = n + rataisu on aina olemassa: deg Q taroittaa, että Q on vaio, ja P siis voi olla miä tahansa polynomi, jona aste on enintään n. Rataisusi äy siis R = P = Lagrangen inerpolaatiopolynomi. Yleisessä tapausessa rataisua ei välttämättä löydy. Esimeri 3.. Oloot pisteet (x j, y j, j 3, ( ( ( (,,, 3,, 4 5, 3,. Oletetaan, että on olemassa rationaalifuntio R, jona osoittajan aste on enintään asi ja nimittäjän enintään ysi, ja jolle R(x j = y j, j 3. Kun R esitetään muodossa R(x = a + a x + a x, b + b x saadaan ehtojen R(x j = y j, j 3, avulla joten a = 4 b, a = 3 b, a = b, b = b, R(x = 4 b + 3 b x b x b + b x = b (x 4 (x b (x = 4 x Pisteessä x = tämä rationaalifuntio ei uitenaan saa vaadittua arvoa 4 5. Näille pisteille (x j, y j Cauchyn interpolaatio-ongelmalla ei siis ole rataisua, jolle = 3. Cauchyn interpolaatio-ongelmalle jossain mielessä lähisuuinen approsimointiongelma on Padén approsimointi. Oloon f välillä I määritelty C -funtio ja x I. Palautetaan mieleen Taylorin polynomit. Funtion f n. Taylorin polynomi P voidaan määritellä vaatimalla, että polynomi P on enintään astetta n, ja että se approsimoi funtiota f pisteen x lähellä ertaluuun n asti, t.s. f(x P (x = O( x x n+, un x x, Viimesi muutettu... 3
tai yhtäpitävästi polynomilla P ja funtiotalla f on ertaluvun n ontati pisteessä x, t.s. P (j (x = f (j (x, j n. Vrt. [A3] Padén approsimoinnissa, taremmin funtion f (, m-padén approsimaatiossa 3 etsitään rationaalifuntiota R = P/Q (P ja Q esenään jaottomia siten, että Q(x ja R (j (x = f (j (x, j < + m, deg P < ja deg Q m. Approsimaatio-omaisuuden nojalla tämä taroittaa, että f(x R(x = O( x x +m, un x x. Siis on olemassa M ja δ > siten, että f(x R(x M x x +m, un x x δ. Kertomalla puolittain nimittäjällä Q(x (ja olettamalla δ niin pienesi, että Q(x, x x δ, saadaan yhtäpitävästi Q(x f(x P (x Q(x M x x +m, un x x δ. Kosa Q(x pisteen x ympäristössä, saadaan yhtäpitävä ehto Q(x f(x P (x M x x +m, un x x δ, 4 eli Q(x f(x P (x = O( x x +m, un x x. Siis rationaalifuntio R = P/Q (P ja Q esenään jaottomia on funtion f Padén approsimaatio pisteessä x, jos ja vain jos Q(x ja (, m- D j (Q f(x = P (j (x, j < + m, deg P < ja deg Q m. Tästä ehdosta saadaan polynomien P ja Q ertoimille lineaarinen yhtälöryhmä. Huomaa, että polynomissa on errointa, polynomissa Q m + errointa ja yhtälöitä on + m. Osamäärässä polynomien P ja Q johtavien ertoimien suhteella ei ole meritystä, joten nimittäjän voidaan olettaa olevan pääpolynomi (t.s. polynomin Q johtava erroin voidaan olettaa yösesi. Kuten Cauchyn interpolaatio-ongelman ohdalla, Padén approsimaatio-ongelmalla ei välttämättä ole rataisua. (HT Kirjassa [7, 5.7 5.8] äsitellään Cauchyn interpolointia ja Padén approsimointia algebrallisesta näöulmasta: interpolaatio- ja approsimaatio-ongelmien rateavuus ja rataisun määrääminen selvitetään polynomien laajennetun Euleideen algoritmin avulla. 3 Maximan omennossa pade(t,l,m on x =, t funtion f Taylorin polynomi ja l =.
3.. Pienimmän neliösumman menetelmä I. [, luu 7] Interpoloinnille läheistä suua ovat erilaiset approsimointimenetelmät. Seuraavassa tarastellaam ns. pienimmän neliösumman menetelmää. Oloot I R väli ja f, p : I R, m, annettuja funtioita. Oletetaan, että funtiot p, m, ovat lineaarisesti riippumattomat. Oloot x, x..., x n I esenään erisuuria. Pienimmän neliösumman menetelmässä määrätään ertoimet a R, m, siten, että neliösumma ( m (3. f(x j a p (x j j= saa pienimmän mahdollisen arvonsa. Jos meritään p(x, a,..., a m := m a p (x j, niin etsitään ertoimia a R, m, siten, että funtio ( R: (a,..., a m f(xj p(x j, a,..., a m saa pienimmän mahdollisen arvonsa. j= Esimeri 3.. Niin sanotun penimmän neliösumman suoran määräämisessä äytetään funtioita p (x := ja p (x := x, t.s. p(x, a, b := a + b x. Vrt. [DL, HT 6]. Kun summassa (3. esiintyvät neliöön orotuset suoritetaan, saadaan m m R(a,..., a m = f(x j p (x j f(x j + a a l p (x j p l (x j. j= a j=,l= Ääriarvopisteessä on R a r (a,..., a m =, r m, joten m p r (x j f(x j + p r (x j p l (x j =, r m. j= l= a l j= Vaia saatu yhtälöryhmä voi näyttää toivottomalta, ei sellaisen äsittely tietooneen avulla ole laiaan vaieaa. Esimerisi Maximassa (un m = 3 matriisiin xy_pisteet talletettuun dataan liittyvän pienimmän summan funtion p(x, a, b, c vaiot a, b ja c saadaan seuraavalla omennolla; lsquares_estimates(xy_pisteet, [x,y], y=p(x,a,b,c, [a,b,c]; Pienimmän neliösumman menetelmän virhearviointi (eli summan (3. arvioiminen on melo työlästä; s. esimerisi [, 7.4]. Esimeri 3.3. Oloot f : [, ] R, f(x := cos(π x ja 4 {x, x,..., x 4 } = {.8769995797,.69637644445,.3589596768,.89988568477,.4955466938} j= 5 4 Jouo {x, x,..., x 4 } on muodostettu äyttäen Maximan satunnaisluugeraattoria; muutin lasut on tehty Maximalla.
Kun pienimmän neliösumman menetelmää sovelletaan pisteisiin (x j, f(x j, j 4, ja muotoa p(x = a x 4 + b x + c (a, b, c R parametreja oleviin funtioihin, saadaan p(x =.88567859959 x 4 4.675465877884 x +.9933486647487 Seuraaviin uviin on piirretty funtioiden f ja p uvaajat, pisteet (x j, f(x j, j 4, ja virheen f p uvaaja: 6.5 -.5 - - -.5.5 x s(%pi*x-.88567859959*x 4 +4.675465877884*x -.9933486647.5 -.5 -. -.5 -. -.5 - -.5.5 x Edellä olleen polynomin p määrääminen Maximalla onnistuu seuraavasti (viimeisen omennon tulos lsf on etsitty p; omennolla transpose(apply(matrix,... muutetaan x- ja y-pisteistä muodostuva lista [ptsx, ptsy] matriisisi, jollaisen lsquares_estimates aipaa argumentiseen: load(lsquares$ f(x:=cos(%pi*x; ptsx:maelist(random(.-, j,,5; ptsy:float(f(ptsx; m:transpose(apply(matrix, [ptsx, ptsy]; lsquares_estimates(m, [x,y], y=a*x^4+b*x^+c, [a,b,c]; lsf:float(ev(a*x^4+b*x^+c, %; Kaavan (3. muainen neliöllinen virhe voidaan Maximalla lasea seuraavasti (muuttuja virhe on virhevetori (f(x p(x,..., f(x n p(x n : virhe:ptsy-ev(lsf,x=ptsx; virhe.virhe; Esimerin tilanteessa neliöllinen virhe on.989557377683 4. 3.3. Bernsteinin polynomit. Weierstrassin approsimointilause on analyysissä varsin täreä tulos. Ysi aleellinen ja samalla onstrutiivinen todistustapa perustuu ns. Bernsteinin polynomien äyttöön. Lause 3.4 (Weierstrassin approsimointilause. Oloot f : [a, b] R jatuva funtio. Tällöin on olemassa jono polynomeja (p n n=, joa suppenee välillä [a, b] tasaisesti ohti funtiota f, t.s. sup x [a,b] f(x p n (x, un n. Todistetaan väite tapausessa a =, b = ; yleinen tapaus seuraa tästä helposti.
Todistus. Oloon f : [, ] R jatuva funtio. Joaiselle n Z + asetetaan ( ( n B n (x := f x ( x n. n Polynomi B n on funtion f n. Bernsteinin polynomi. Seuraavassa on eräitä binomiehitelmää täydentäviä identiteettejä. Alusi ( n (3. x ( x n = (x + ( x n = aiille x R. Kun edellissä yhtälössä luu n orvataan luvulla n, yhtälö errotaan puolittain x:llä ja vaihdetaan indesin paialle j, saadaan n ( n ( n x = x x ( x n = x j ( x n j. j Tässä ( ( n j = j n n j, joten saadaan (3.3 ( n j n j= ( n x ( x n = x aiille x R. Vastaavalaisella päättelyllä uin edellä: Korvataan n luvulla n, errotaan yhtälö (3. puolittain x :llä, vaihdetaan indesin paialle j ja äytetään identiteettiä = j j n n. Lopputulosena saadaan (3.4 Siis (3.5 ( n j ( ( n x ( x n = (n n x aiille x R. Lasetaan seuraavasi aavojen (3., (3.3 ja (3.4 avulla ( n x ( n x n ( x n x ( x = n ( n x + ( n x + ( n = n ( n = x x ( x n + n x n n + ( n ( x ( x n n = x + n x n x + n (n n x = ( n x ( n x n ( x n = x ( x n x ( x. n x ( x n ( n x ( x n aiille x R. 7
Arvioidaan erotusta f(x B n (x seuraavasti (apuna yhtälö (3. ( ( n f(x B n (x f(x f x n ( x n =: Σ + Σ, missä Σ on summa niiden indesien suhteen, jota toteuttavat ehdon x n < n /4, ja Σ summa muiden indesien suhteen. Oloon ε >. Kosa f on tasaisesti jatuva välillä [, ], on δ > siten, että n /4 f(t f(s < ε, un t, s [, ] ja t s < δ. Kun n δ 4, on δ, joten summassa Σ n /4 oleville indeseille on x < n δ. Tasaisen jatuvuuden ehdon nojalla f(x f( < ε, joten n Σ ( ε n x ( x n ε ( n x ( x n = ε. Summassa Σ oleville indeseille on x, joten (x n n /4 n. Siis n / n / (x n. Toisaalta, jos M := sup t [,] f(t, on f(x f( M n M n / (x n. Kosa x ( x /4, un x [, ], saadaan ( M n / x ( n x n ( x n Σ M n / ( x ( n x n ( x n / x ( x = M n n M n /. Kun nyt n (M/ε, on Σ M ε. n / Siis, un n max{δ 4, (M/ε }, on f(x B n (x Σ + Σ ε. Tämä taroittaa, että polynomijono (B n n= suppenee tasaisesti ohti funtiota f. Huomautus 3.5. Jos todistusen viimeistelyssä oltaisiin hieman tarempia, saataisiin vantitatiivisempi virhearvio. Määritellään alusi funtion f δ-heilahtelu välillä [a, b] asettamalla ω(f; δ := sup{ f(x f(x x, x [a, b] ja x x δ}. Kosa ompatilla välillä jatuva funtio on tasaisesti jatuva, on lim δ + ω(f; δ =. Jos f toteuttaa Lipschitz-ehdon f(x f(x L x x aiille x, x [a, b], missä L on vaio, niin ω(f; δ L δ (todistus: HT. Välillä [, ] määritellylle jatuvalle funtio f on voimassa Todistusen osalta atso [3, luu 5, ]. f(x B n (x 9 4 ω(f; n /. Esimeri 3.6. Oloon f : [, ] R, f(x := x. Tällöin funtion f astetta oleva Bernsteinin polynomi on B (x = 974 x + 974 x 9 4347 x 8 + 44 x 7 939938 x 6 + 77 x 5 7544 x 4 + 857 x 3 594 x + 3359 x x + 8
Kuvasta näyy se, mitä voi odottaain: funtion f derivoitumattomuuspisteen x = lähellä approsimaatio on heio, muualla hyvä: 9 fun abs(*x-.8.6.4...4.6.8 3.4. Weierstrassin approsimointilause II. [,.8.3], [7, luu XII, 3] Edellä osoitettiin, että joaista jatuvaa funtiota f : [a, b] R voidaan approsimoida tasaisesti polynomeilla. Jos f on jasollinen, toivottavaa olisi, että approsimoivat funtiotin olisivat jasollisia. Tavallisilla polynomeilla tätä ei uitenaan saavuteta. Trigonometrinen polynomi on muotoa ( s(x = α + α cos x + β sin x oleva funtio, missä n Z +, α,..., α n R, β,..., β n R. Tämän ohdan taroitusena on todistaa Lause 3.7 (Fejér. Oloon f : R R jatuva π-jasoinen funtio. Tällöin on olemassa trigonometristen polynomien jono (σ n n=, joa suppenee tasaisesti ohti funtiota f, un n. 3.4.. Aluvalmisteluja. Esponenttifuntio määritellään omplesitasoon asettamalla (s. [C] e ix+y := (cos x + i sin x e y, x, y R. Tällöin esponenttifuntio toteuttaa tutun yhteenlasuominaisuuden e z+z = e z e z aiille z, z C. Erityisesti siis e ix = (e ix aiille Z. Geometrisen sarjan osasummien aavalla saadaan aiille x πz e ix ix einx = e e = einx/ e inx/ e i(n+x/ = sin(nx/ ix e ix/ e ix/ sin(x/ ei(n+x/ Ottamalla tästä aavasta puolittain reaaliosat saadaan cos(x = sin(nx/ sin(x/ cos((n + x/ = sin((n + x/ + sin(x/ x
ja vastaavasti imaginaariosille sin(x = sin(nx/ sin((n + x/ sin(x/ Kun x πz, saadaan e i( x = e ix e i(x = sin nx sin x einx seä reaali- ja imaginaariosille sin nx cos( x = sin x, sin( x = sin nx sin x Oloon f : R R jatuva π-jasoinen funtio. Funtion f Fourier n ertoimisi utsutaan luujonoja a = f(t cos(t dt, b = f(t sin(t dt. π π Summa s n (x := a + n (a cos x + b sin x (s (x = a on funtion f Fourier n sarjan n. osasumma. Funtion f Fourier n sarjan osasummat voidaan esittää integraalimuodossa ns. Dirichlet n ytimen avulla: D n (t := + cos t = { sin((n+t/ sin(t/, t πz, n +, t πz. Sijoittamalla funtion f Fourier n ertoimet integraalien avulla esitettyjä osasummaan s n, saadaan s n (x = ( π + (cos t cos x + sin t sin x f(t dt = π ( = π ( + cos (t x f(t dt = π D n (τ f(x + τ dτ ( = π D n (t x f(t dt D n (τ (f(x + τ + f(x τ dτ, missä ohdassa ( on äytetty muuttujanvaihtoa t x = τ seä funtioiden f ja D n π-jasoisuutta ( x =, ja ohdassa ( jaoa = + seä välillä x [, ] muuttujanvaihtoa τ τ. Muodostetaan seuraavasi osasummista s aritmeettisten esiarvojen jono σ n (x := s (x. n + Edellä osasummille s n saadun integraaliesitysen avulla näille esiarvoille, ns. Cesàron summille, saadaan vastaava integraaliesitys ns. Fejér n ytimen avulla: Kun K n (t := ( sin( (n + t, D (t = un < t < π, n + (n + sin t 3
niin σ n (x = π (f(x + t + f(x t K n (t dt. Fejér n ytimillä K n on seuraavat ominaisuudet, jota seuraavat helposti edellä esitetystä (huomaa: D n(t dt = π: ( K n on jatuva, parillinen ja K n ; ( π K π n(t dt = π K π n(t dt = ; (3 K n (t π, un < t < π. (n+ t 3.4.. Fejérin lauseen todistus. Oloon ε >. Kosa f on tasaisesti jatuva, on olemassa δ > siten, että δ < π ja f(x + t + f(x t f(x ε, un t δ, ja x [, π]. Kosa π K π n(t dt =, on π f(x K n (t dt = f(x. π 3 Siis σ n (x f(x = π π = π δ (f(x + t + f(x t K n (t dt π f(x + t + f(x t f(x K n (t dt + π δ =: I + I. f(x K n (t dt Integraalille I on I π δ ε K n (t dt π ε K n (t dt = ε. Kosa f on rajoittu välillä [, π], f(t M, saadaan integraalille I yläraja I π δ 4M K n (t dt 4M π Kun nyt n valitaan riittävän suuresi, saadaan I ε. Siis δ π 4M ( dt = (n + t n + δ. π σ n (x f(x I + I ε aiille x [, π], joten σ n f tasaisesti, un n.
3 D[](x K[](x 8 6 y 4 - -4-4 6 8 Kirjassa [7, luu XII, 3; luu XI, ] funtiojonoa, jolla on samanaltaiset ominaisuudet uin Fejér n ytimillä, utsutaan Diracin jonosi. Jonojen (s n n= ja (σ n n= integraaliesitys on erioistapaus funtioiden f ja g onvoluutiosta (f g(x := f(t g(x t dt: s n = π f D n, σ n = π f K n. x 3.5. Pienimmän neliösumman menetelmä II. [, luu 7] (ortogonaaliset polynomit; Fourier n sarjat; [5, luu IX, 8 9] Määritelmä 3.8. Oloot f, g : [, π] R jatuvia funtioita. Asetetaan (f g := f(xg(x dx, funtioiden f ja g sisätulo. Lisäsi asetetaan f := (f f = f(x dx, funtion f L -normi. Määritelmä 3.9. Funtiot f ja g ovat ortogonaaliset (tai ohtisuorassa toisiaan vastaan, jos (f g =. Jouo {g j j J} jatuvia funtioita g j : [, π] R on ortogonaalinen, jos aiille j, i J, missä j i, funtiot g j ja g i ovat ortogonaaliset. Jouo {g j j J} on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja g j = aiille j J. Lause 3.. Sisätulolla ja normilla on seuraavat ominaisuudet: Kun f, g, h: [, π] R ovat jatuvia funtioita ja a, b R, on (i (g f = (f g (symmetrisyys; (ii (af +bh g = a (f g+b (h g (lineaarisuus ensimmäisen muuttujan suhteen; (iii (f g f g (Cauchyn, Bunjaovsin ja Schwarzin epäyhtälö; (iv af = a f (positiivihomogeenisuus; (v f + g f + g (olmioepäyhtälö; (vi f ja f = vain, un f = (definiittisyys.
Lause 3.. Oloot f (x :=, f (x := cos x, f (x := sin x, un Z +. Tällöin jouo {f n N} on ortogonaalinen. Todistus. Väite saadaan suoraan integroimalla seuraavien trigonometristen identiteettien avulla: cos a cos b = ( cos(a + b + cos(a b, sin a sin b = ( cos(a b cos(a + b, sin a cos b = ( sin(a + b + sin(a b. Kun Z,, on cos(x dx = π sin(x =, ja sin(x dx = Oloon n > m >. Tällöin ( (f n f m = cos(nx + mx + cos(nx mx dx = (f n f m = (f n f m = (f n f n = (f n f n = (f f m = (f f m = (f f = ( cos(nx mx cos(nx + mx dx = ( sin(nx mx + sin(nx + mx dx = ( π cos(nx + nx + cos(nx nx dx = ( cos(nx nx cos(nx + nx dx = cos(nx dx = sin(nx dx = 33 π ( cos(x =. dx = π dx = π dx = π Erityisesti, funtiot e (x := π, e n (x := π cos nx, e n (x := π sin nx, un n Z +, muodostavat ortonormeeratun jouon. Määritelmä 3.. Trigonometrinen polynomi on muotoa ( s(x = α + α cos x + β sin x, oleva funtio, missä n Z +, α,..., α n R, β,..., β n R.
Määritelmä 3.3. Oloon f : [, π] R jatuva funtio. Luuja a, N, ja b, Z +, a := π f(x cos(x dx, b := π f(x sin(x dx, utsutaan funtion f Fourier n ertoimisi. Kun luvut a ja b ovat funtion f Fourier n ertoimet, meritään f(x a + ( a cos x + b sin x. Oiealla esiintyvää sarjaa utsutaan funtion f Fourier n sarjasi. Sinin parittomuudesta seuraa, että parittoman funtion f (t.s. f( x = f(x Fourier n ertoimet a =, joten parittoman funtion f Fourier n sarja on sinisarja f(x b sin x. Vastaavasti osinin parillisuudesta seuraa, että parillisen funtion f (t.s. f( x = f(x Fourier n ertoimet b =, joten parillisen funtion f Fourier n sarja on osinisarja f(x a + a cos x. Merinnällä f(x... halutaan orostaa, että oiean puolen sarja on muodostettu funtion f avulla; sarjan suppenevuudesta tai siitä, että sarjan summa olisi f(x, ei sanota mitään. 5 Huomautus 3.4. Trigonometristen funtioiden muodostama ortogonaalinen funtiojouo ei ole ainoa sovellusten annalta täreä tapaus. Usein funtioisi e valitaan ysinertaisia funtioita. Toisinaan funtioiden f ja g sisätulo aipaa paino- /tiheysfuntion p, b f(xg(x p(x dx (integraali mahdollisesti epäoleellinen. Esimerisi Tsebysevin a polynomeille T n (x = n cos(n arccos x, a =, b =, p(x = ja Laguerren polynomeille L n (x = e x D n (x n e x, a =, b = +, p(x = e x. x, Ks. [3, osa I, luu II, 9, 8]. Monet ortogonaaliset funtiojouot syntyvät toisen ertaluvun differentiaaliyhtälöiden reuna-arvotehtävien rataisuina. Rataisujen ortogonaalisuus on monesti helpointa selvittää a.o. differentiaaliyhtälön avulla. Kirjallisuudesta aihetta äsitellään usein Sturmin ja Liouvillen (ominaisarvo-ongelman nimellä; s. [3, osa I, luuv, 3; luu VII], [, luu 6], [6, luu XI]. 5 Olemassa jatuvia, π-jasoisia funtioita f, joiden Fourier n sarja hajaantuu ylinumeroituvassa pistejouossa; s. [4, luu II, 3]. 34
Lemma 3.5. Oloot f : [, π] R jatuva funtio seä e, e, e,... edellä määritelty ortonormaali funtiojono. Tällöin f (f e e = f (f e. Lisäsi aiille λ,..., λ n R on voimasssa f λ e = f (f e e + Todistus. Suoraan lasemalla: ( f (f e e = f ((f e λ. (f e e f (f e j e j = (f f + j= (f e j (f e j j= (f e (f e j (e e j j, = f (f e. (f e (e f Jälimmäistä väitettä varten meritään c = (f e. Tällöin f λ e = f λ (f e λ (e f + Toisaalta, Siis (c λ = f = f λ c c λ c + c λ λ e = f + λ c + (c λ joten väite seuraa ensisi todistetusta aavasta. λ c, Huomautus 3.6. Funtion f Fourier n sarjan avulla funtiolle f saadaan paras mahdollinen approsimaatio L -normin mielessä; aiien, enintään astetta n olevien trigonometristen polynomien n λ e jouossa polynomi n (f e e minimoi normin f n λ e : f λ e = f (f e e + ((f e λ f (f e e. λ λ 35
Seuraus 3.7 (Besselin epäyhtälö. Oloot a, b jatuvan funtion f : [, π] R Fourier n ertoimet. Tällöin π ( a + π a + b = (f e f. joten Todistus. Edellisen lemman nojalla aiille n Z + on voimassa f (f e = f (f e e, (f e f. Epäyhtälö seuraa, un n. Yhtäsuuruus saadaan, un muistetaan, että a = π (f e, b = π (f e, un >, ja a = π (f e. Lemma 3.8. Oloon f : R R jatuvasti derivoituva, π-jasoinen funtio. Tällöin derivaatan f Fourier n ertoimet a ja b ovat a =, a = b, b = a. Todistus. Kun >, saadaan osittaisintegroinnilla πa = f (x cos(x dx = π π cos(x + f(x sin(x dx = πb. f(x Jälimmäinen väite seuraa vastaavasti. Lause 3.9. Oloon f : R R jatuvasti derivoituva, π-jasoinen funtio. Tällöin funtion f Fourier n sarja suppenee tasaisesti ja sen summa on f(x. Todistus. Oloon s n funtion f Fourier n sarjan n. osasumma, t.s. s n (x := a + ( a cos x + b sin x. Edellisestä lemmasta seuraa, että derivaatan f Fourier n sarja on ( f (x a sin x + b cos x, joten derivaatan f Fourier n sarjan n. osasumma on s n. Funtioiden e ortogonaalisuusominaisuudesta saadaan ( s n = (s n s n = π a + b. 36
Besselin epäyhtälön nojalla on s n f, joten ( π a + b f. Siis positiiviterminen sarja ( a + b suppenee. Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön nojalla ( a + b = ( a + b ( /( ( a + b / Kosa yliharmoninen sarja suppenee, seuraa edellisestä, että positiiviterminen sarja ( a + b suppenee. Weierstrassin M-testin perusteella Fourier n sarja g(x := a + ( a cos x + b sin x suppenee tasaisesti. Sen summa g on tällöin jatuva funtio. Kosa funtion g Fourier n sarja suppenee tasaisesti, voidaan funtion g Fourier n ertoimet lasea integroimalla sarja termeittäin. Ortogonaalisuusominaisuusien nojalla ertoimet ovat juuri a ja b. Siis funtioiden f ja g Fourier n ertoimet ovat esenään yhtäsuuret. Väite seuraa, josta tästä ehdosta voidaan osoittaa seuraavan f = g. Tämä seuraa Weierstrassin approsimointilauseesta jasollisille funtioille (eli Fejérin lauseesta 3.7. Siirtymällä tarastelemaan erotusta f g nähdään, että riittää osoittaa: jos f on jatuva, π-jasoinen funtio, jolle (f e n = aiille n N, niin f =. Ehdosta (f e n = aiille n N seuraa, että (f s = aiille trigonometrisille polynomeille s. Fejérin lauseen 3.7 nojalla on olemassa jono trigonometrisia polynomeja (s j j= siten, että s j f tasaisesti, un j (valitse ε = /j ja s j = vastaava σ. Tällöin (f s j = aiille j Z +. Toisaalta, tasaisen suppenemisen nojalla on (f s j = f(xs j(x dx f(xf(x dx = (f f, un j. Siis (f f = eli f(xf(x dx =. Kosa f on jatuva, on f =. Lause 3. (Parseval. Ainain jatuvasti derivoituvien, π-jasoisten funtioiden f ja f : R R Fourier n ertoimille a, b ja ã, b on voimassa π a ( ã + π a ã + b b = (f e ( f e = (f f. Huomautus 3.. Luujonojen äyttäytymistä uvataan usein ns. Landaun O- symbolin avulla. Oloot (c ja (d annettuja luujonoja. Meritään c = O(d, un, jos on olemassa vaiot M R ja K Z + siten, että c M d, un K. Jatuvan funtion Fourier n ertoimien jonot (a ja (b ovat rajoitettuja, a = O( ja b = O( (esimerisi a π f(x cos(x dx f(x dx. π π 37
Käyttämällä lausetta 3.8 toistuvasti, saadaan: Jos f on l ertaa jatuvasti derivoituva, niin a = O( l ja b = O( l. Käyttämällä samanaltaista menettelyä uin lauseen 3.9 todistusessa, saadaan osittain äänteinen tulos: Jos funtion f Fourier n ertoimille on voimassa a = O( s ja b = O( s, missä s >, niin f on l ertaa jatuvasti derivoituva, missä l = s, jos s on oonaisluu, ja l = s, jos s ei ole oonaisluu. Erityisen aunis yhteys saadaan C -funtioiden ja nopeasti vähenevien jonojen välille: π-jasoisen funtion f : R R, jolla on aiien ertaluujen derivaatat, Fourier n ertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä eli toteuttavat aiille s Z + on a = O( s ja b = O( s. Kääntäen, jos π-jasoisen funtion f : R R Fourier n ertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä, niin f on C -funtio. 38