Meetelmiä formuloii prtmisee Mikko Korpel Dimitris Bertsims & Robert Weismtel, 2005, Optimiztio over Itegers, ch 2.-2.5 S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 /
Aliluvut 2. Käypie epäyhtälöide geeroitimeetelmiä 2.2 Meetelmiä kuore määrittävie epäyhtälöide geeroimiseksi 2.3 Käyvät epäyhtälöt itseäisissä systeemeissä 2.4 Käypie epäyhtälöide voimkkuudest 2.5 Epälierisi formuloite S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 2
2. Käypie epäyhtälöide geeroitimeetelmiä Pyöristämie Ylisummutuvuus Modulriritmetiikk Disuktiot Kokoislukue pyöristys summutuvuus S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 3
Pyöristys F A b Käypie kokoislukue oukko Meetelmä:. Vlitse vektori u (>= 0) kerro roite sillä 2. Pyöristä lspäi roittee vsemm puole kertoimet (edellee käypä epäyhtälö) 3. Pyöristä lspäi roittee oike puoli (edellee käypä epäyhtälö, kosk voi sd vi kokoislukurvo) S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu u ' A u' b Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 4
S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 5 Ylisummutuvuus Fuktio o ylisummutuv os Fuktio o ei-väheevä os D D D F F F, ) (, ), ( ) ( ) ( 2 2 2 2 D F F 2 2 2, ), ( ) (
Ylisummutuvuus Jos fuktio o ylisummutuv ei-väheevä site että F(0) = 0, ii epäyhtälö F( A pätee cov(f):ss, missä F = Tästä seur yleispätevä tekiikk, oll voi geeroid käypiä epäyhtälöitä. ) F( b) A b S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 6
S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 7 Modulriritmetiikk F 0 d d 0
Disuktio Jos epäyhtälö epäyhtälö Nii epäyhtälö c b d o tosi oukolle o tosi oukolle F F 2 R R mi(, c ) m( b, d) o tosi oukolle F F 2 S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 8
Disuktio 2 Jos epäyhtölö dk b o käypä ollkki d 0, epäyhtälö ck b o käypä oukolle F ollki c 0 ii epäyhtälö b o käypä oukolle F S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 9
S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 0 Kokoislukue pyöristys summutuvuus Määritellää fuktio Joukolle F= pätee v v v f ) ( ) 0, v m( v b A b u b u f b u f A u f A u ' ) ' ( ) ' ( ) ' ( '
2.2 Meetelmiä kuore määrittävie epäyhtälöide geeroimiseksi Määritelmä käyttämie Käypä epäyhtälö korottmie S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 /
Määritelmä käyttämie kuore S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu määrittävä epäyhtälö löytämiseksi Tutkit oko epäyhtälö määrittävä ' kuore Lske koveksi kuore dimesioide määrä d = dim( cov( F)) Etsi d kpplett riippumttomi vektoreit käypästä oukost, otk toteuttvt epäyhtälö yhtäsuuruudell Riittävää osoitt d- = dim( F ' b) b Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 2
Käypä epäyhtälö korottmie Oletet että epäyhtälö S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu F 0,, F F {0,} i, i 0 2 o käypä oukolle. Jos F ii 0 koko oukoss F i 2. Jos ii epäyhtälö 2 pätee koko oukolle F millä ths missä Z o fuktio, F mksimi 3. Jos 0 Z epäyhtälö määrittää os kuorest oukoss F 0 ii kohdss 2 stu epäyhtälö määrittää os kuorest F:ssä 0 F 0 0 2 F 0 Z Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 3
2.3 Käyvät epäyhtälöt itseäisissä systeemeissä Itseäise systeemi määritelmä: Olkoo N äärellie oukko I oukko N: osoukko. Pri (N,I) kutsut itseäiseksi systeemiksi os seurvt kksi omiisuutt ovt sille tosi. Tyhä oukko kuuluu I:hi 2. Jos A o B: osoukko B kuuluu I:hi ii myöski A kuuluu I:hi S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 4
2.4 Käypie epäyhtälöide voimkkuudest Olkoo P P2 epätyhiä polyhedrle. P: voimkkuus suhteess P2: t(p,p2) o piei rvo > 0 site että P 3 P2 P 3 P2 oss kikille c R 0 pätee Z2 Z missä Z i, i,2 o optimlie rvo fuktio c miimoiille ku 2 Pi (i =,2) t( P, P2 ) sup c0 Z Z 2 S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 5
P.. Käypie epäyhtälöide voimkkuudest ' R b, i... m, 0, b 0 2 i i i i t( P, P2 ) m i... m Missä di o optimlie rvo fuktio miimoiille ku 2P b d i i ' i S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 6
.. Käypie epäyhtälöide voimkkuudest Epäyhtälö f Rg,f>0,g>0 voimkkuus polyhedroi P R A b tpuksess o g/d, missä d mi P f ' S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 7
2.5 Epälierisi formuloite Perustuvt khtee si:. Biäärisille muuttuille pätee 2 2. Moesti o helpompi ilmist oko optimoitv fuktio ti roite epälierise S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 8
S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Semidefiiitti relkstio Void käyttää ku kyseessä biäärimuuttuie optimoititehtävä Kerrot okie roite okisell muuttull site että okist muuttu kohde sd uusi roite (roitteide määrä kertutuu muuttuie määrällä) Merkitää khde biäärimuuttu tulo uudell muuttull (sd lkuperäiste muuttuie määrä korotettu toisee kpl muuttui) Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 9
Yhteeveto Luvuss 2 käsiteltii meetelmiä, oill pret relkstio ltu tuottmll uusi käypiä epäyhtälöitä, korottmll epäyhtälöitä epälierisill tvoill Lisäksi esiteltii itseäiset systeemit S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri- Kevät 2008 / 20