HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Ylemmän puoliavaruuden analyyttiset funktiot ja Hardyn avaruus

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekuta/Osasto Fakultet/Sektio Faculty Matemaattis-luootieteellie Laitos Istitutio Departmet Matematiika ja tilastotietee laitos Tekijä Författare Author Aleksi Harkko Työ imi Arbetets titel Title Ylemmä puoliavaruude aalyyttiset fuktiot ja Hardy avaruus Oppiaie Läroäme Subject Matematiikka Työ laji Arbetets art Level Aika Datum Moth ad year Sivumäärä - Sidoatal - Number of pages Pro gradu -tutkielma Syyskuu 204 66 sivua Tiivistelmä Referat Abstract Fuktioteoriassa eräs keskeisimpiä kiiostukse kohteita o aalyyttiset fuktiot, jotka voidaa määritellä s. Cauchy-Riemai operaattori avulla. Tämä tutkielma tavoitteea o yleistää kompleksitaso fuktioteoria, aalyyttiset fuktiot ja iihi liittyvä Hardy avaruuksie teoria korkeampii ulottuvuuksii. Tämä oistuu määrittelemällä Diraci operaattori, joka o Cauchy-Riemai operaattori korkeampiulotteie yleistys ja joka operoi Cliffordi algebra -arvoisii fuktioihi. Cliffordi algebra alkiot voidaa taas ajatella kompleksilukuje korkeampiulotteisea yleistykseä. Diraci operaattori avulla määritellää Clifford-aalyyttiset fuktiot, joide kompoettifuktiot ovat aia myös harmoisia. Kute kompleksitasossa, myös korkeampiulotteisessa tapauksessa aalyyttisillä fuktioilla o hyödyllisiä omiaisuuksia, joita ei välttämättä ole sellaisilla fuktioilla, jotka ovat pelkästää harmoisia. Tästä syystä aalyyttiste fuktioide teoria tutkimie ja kehittämie o merkityksellistä. Eräs tällaie omiaisuus o se, että aalyyttisillä fuktioilla o voimassa Cauchy itegraalikaava, joka saa Clifford-aalyyttiste fuktioide tapauksessa yllättävä samakaltaise muodo kui taso tapauksessa. Cauchy itegraalikaava o tärkeässä roolissa tutkittaessa Hardy avaruuksia. Clifford-aalyyttie fuktio kuuluu Hardy avaruutee H p, mikäli se eräälaie H p -ormi o äärellie. Tämä tutkielma lopullie tavoite o tarkastella ylemmässä puoliavaruudessa aalyyttiste fuktioide muodostamaa Hardy avaruutta. Osoittautuu, että Hardy avaruude fuktio F voidaa esittää Cauchy-itegraalia fuktiosta f, joka o ei-tagetiaalie raja-arvo fuktio F lähestyessä avaruutta R. Tämä o tutkielma päätulos. Esitiedoiksi lukijalle riittää varsi maltilliset perusteet reaali- ja kompleksiaalyysista. Suuri osa käsitteistä ja tuloksista pyritää aia vähitääki kertaamaa ee iide käyttämistä. Avaisaat Nyckelord Keywords Hardy avaruus, Clifford-aalyysi, Poisso-itegraali, Cauchy itegraalikaava Säilytyspaikka Förvarigsställe Where deposited Kumpula tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additioal iformatio

Ylemmä puoliavaruude aalyyttiset fuktiot ja Hardy avaruus Aleksi Harkko Pro Gradu -tutkielma Ohjaaja: Petri Ola Toie tarkastaja: Has-Olav Tylli Matematiika ja tilastotietee laitos Matemaattis-luootieteellie tiedekuta HELSINGIN YLIOPISTO

Sisältö Johdato Cliffordi algebrat 3 2 Diraci operaattorit ja aalyyttiset fuktiot 7 3 Cauchy itegraalikaava 4 4 Harmoiset ja subharmoiset fuktiot 22 5 Poisso-ydi ja -itegraali 28 6 Hardy avaruudet 5 Viitteet 66

Johdato Fuktioteoriassa eräs keskeisimpiä kiiostukse kohteita o aalyyttiset fuktiot, jotka voidaa määritellä esimerkiksi Cauchy-Riemai operaattori (määritelmä 2.) avulla. Tämä tutkielma tavoitteea o yleistää kompleksitaso fuktioteoria, aalyyttiset fuktiot ja iihi liittyvä Hardy avaruuksie teoria korkeampii ulottuvuuksii. Tämä oistuu määrittelemällä Diraci operaattori (2.5), joka o Cauchy-Riemai operaattori korkeampiulotteie yleistys ja joka operoi Cliffordi algebra -arvoisii fuktioihi. Cliffordi algebra alkiot voidaa taas ajatella kompleksilukuje korkeampiulotteisea yleistykseä. Diraci operaattori avulla määritellää Clifford-aalyyttiset fuktiot, joide kompoettifuktiot ovat aia myös harmoisia. Kute kompleksitasossa, myös korkeampiulotteisessa tapauksessa aalyyttisillä fuktioilla o hyödyllisiä omiaisuuksia, joita ei välttämättä ole sellaisilla fuktioilla, jotka ovat pelkästää harmoisia. Tästä syystä aalyyttiste fuktioide teoria tutkimie ja kehittämie o merkityksellistä. Eräs tällaie omiaisuus o se, että aalyyttisillä fuktioilla o voimassa Cauchy itegraalikaava, joka saa Clifford-aalyyttiste fuktioide tapauksessa yllättävä samakaltaise muodo kui taso tapauksessa. Cauchy itegraalikaava o tärkeässä roolissa tutkittaessa Hardy avaruuksia. Clifford-aalyyttie fuktio kuuluu Hardy avaruutee H p, mikäli se eräälaie H p -ormi o äärellie (määritelmä 6.4). Tämä tutkielma lopullie tavoite o tarkastella ylemmässä puoliavaruudessa R + = {(x, t) R : x R, t > 0} aalyyttiste fuktioide muodostamaa Hardy avaruutta. Osoittautuu (lause 6.0), että Hardy avaruude fuktio F voidaa esittää Cauchyitegraalia fuktiosta f, joka o ei-tagetiaalie raja-arvo fuktio F lähestyessä avaruutta R. Tämä o tutkielma päätulos. Esimmäisessä kappaleessa määritellää Cliffordi algebrat ja esitetää iihi liittyviä perustuloksia. Kappalee ei ole tarkoitus olla tyhjetävä esitys aiheesta, vaa paiotus o iissä asioissa, joita tarvitaa jatkossa. Lähteiä tähä kappaleesee o käytetty sekä Gilberti ja Murray kirjaa [GM9] että Louesto kirjaa [Lou97]. Gilberti ja Murray kirjaa voidaa oikeastaa pitää tämä tutkielma päälähteeä: se kattaa koko tutkielma aihealuee ja sitä o hyödyetty jokaisessa kappalees-

sa. Toie paljo hyödyetty, mota asiaa kattava lähde o Evasi kirja [Eva98], ja erityisesti se Appedix. Toisessa kappaleessa kerrataa aalyyttisyyde määritelmä kompleksitaso tapauksessa. Tämä jälkee määritellää Diraci operaattori, joka avulla taas määritellää Clifford-aalyyttiset fuktiot. Kolmaessa kappaleessa esitetää Cauchy itegraalikaava kompleksitasossa, mikä jälkee se johdetaa -ulotteisessa tapauksessa. Kompleksitaso tuloste lähteeä o käytetty Greee ja Kratzi kirjaa [GK06]. Lisäksi kolmae kappalee viimeise lausee todistuksessa tärkeä lähde o Walter Rudii Fuctioal Aalysis -kirja [Rud9]. Neljäessä kappaleessa syveetää harmoiste ja subharmoiste fuktioide tietoja. Jos esimerkiksi F o aalyyttie fuktio, ii fuktio F p osoittautuu subharmoiseksi tietyillä p. Aikaisemmi maiittuje lähteide lisäksi subharmoisista fuktioista löytää tietoa Rudii Real ad Complex Aalysis -kirjasta [Rud66]. Viides kappale o tutkielma laaji ja siiä määritellää Poisso-ydi ja -itegraali. Näille todistetaa moia kovergessi- ja muita tuloksia, jotka ovat tärkeässä roolissa viimeisessä kappaleessa. Kappalee tärkei lähde o Elias Steii ja Guido Weissi kirja [SW7], jota täydetävät Steii muut kirjat [Ste70] ja [Ste93]. Lisäksi o käytetty kirjaa Axler, Bourde & Ramey [ABR0], sekä Frak Joesi reaaliaalyysi kirjaa [Jo0]. Kuudee eli viimeise kappalee alussa käydää läpi, mistä Hardy avaruuksie tutkimie kompleksitasossa alkoi, ja esitetää muutamia perustuloksia. Tämä jälkee siirrytää ylempää puoliavaruutee ja kohti aiemmi maiittua päätulosta. Kappalee aioa uusi asia o Fourier-muuokse ja muutama siihe liittyvä perustulokse kertaus (lisätietoja esimerkiksi Steii ja Shakarchi kirjassa [SS03]), ämäki oikeastaa vai laskuja helpottavia työkaluia. Loppu seuraa soveltamalla edelliste kappaleide tuloksia ja tekemällä sopivat johtopäätökset. Esitiedoiksi tämä tutkielma lukijalle riittää varsi maltilliset perustiedot reaali- ja kompleksiaalyysista. Suuri osa käsitteistä ja tuloksista pyritää aia vähitääki kertaamaa ee iide käyttämistä. Kiitä ohjaajaai Petri Olaa mielekiitoisesta aiheesta sekä raketavista kommeteista erityisesti koskie sitä, mikä o aihee kaalta oleaista ja mikä ei. Lisäksi kiitä työi toista tarkastajaa Has-Olav Tylliä tarkoista parausehdotuksista. Viimeiseä kiitokset Joille ja Vesalle matematiikkaa sivuavista louaskeskusteluista. 2

Cliffordi algebrat Määritelmä.. Avaruude R ortoormaalia kataa {e,..., e } vastaava Cliffordi algebra Cl toteuttaa ehdot (i) e j e k + e k e j = 2δ jk, ku j, k, ja (ii) redusoidut tulot e α = e α e α2 e αk, missä α < < α k, ja alkio e = muodostavat kaa Cl :lle. Tässä tulolla tarkoitetaa s. geometrista tuloa, ja laskutoimitukse tuloksea saadaa multivektori. Esimerkiksi kahde vektori tulo o bivektori. Tulo täsmällisee määritelmää tai multivektoreide tulkitaa ei tässä kuitekaa syveytä vaa viitataa lähteesee [Lou97], jossa aihe käsitellää tarkasti ja tyhjetävästi. Määritelmä esimmäisessä kohdassa δ jk o Kroeckeri delta, joka saa arvo mikäli j = k ja arvo 0 ku j = k. Ehto voidaa kirjoittaa myös eksplisiittisesti muodossa { ej e k = e k e j, ku j = k, e 2 j = kaikilla j. Cliffordi algebra ei siis ole vaihdaaie, ja määritelmä toie ehto takaa se, ettei kataa kuulu yhtäkää kaa jäsee vasta-alkiota. Site esimerkiksi alkio e 2 e = e e 2 ei kuulu tähä kataa mutta e e 2 kuuluu. Toie ehto kertoo myös Cliffordi algebra Cl dimesio: avaruude R jokaise katavektori e j kohdalla voidaa valita, otetaako se tuloo mukaa vaiko ei, mistä seuraa dim Cl = 2. Tarkastellaa Cliffordi algebra rakeetta vielä tarkemmi. Olkoo Cl (k) = spa R {e α = e α e α2 e αk : α <... < α k } joukko, joka virittää kaikki k: katavektori tulot. Tällöi o voimassa Cl = Cl (0) Cl () Cl (), eli Cl o suora summa joukoista Cl (k). Näillä merkiöillä o voimassa erityisesti Cl (0) = R, Cl () = R ja Cl (0) Cl () = R +. Edellä maiittu suora summa määritellää ii, että jokaisella alkiolla a Cl o yksikäsitteie esitys a = a 0 + a + + a, missä jokaie a k Cl (k). 3

Lause.2. Cliffordi algebra o yksikäsitteie riippumatta kaa valiasta. Todistus. Olkoot {e,..., e } ja {ε,..., ε } avaruude R ortoormaaleja katoja. Lieaarialgebrasta o tuttua, että o olemassa sellaie kaavaihtomatriisi A = [a ij ] R, että pätee ε j = Ae j kaikilla j =,...,. Lasketaa ε j ε k = ( a jr e j )( a ks e k ) = a jr a ks e j e k r= s= r,s= = a jr a ks e r e s a jr a js r =s j= = a jr a ks e r e s. r =s Viimeie yhtäsuuruus seuraa siitä, että kaavaihtomatriisi o ortogoaalie eli se sarakkeet ovat ortogoaaliset pistetulo suhtee. Tällöi erityisesti summa j a jr a js eli sarakkeide r ja s pistetulo o olla. Havaitaa, että kahde vektori tulo kaassa {ε j } o bivektori myös toisessa kaassa, eikä tuloksea saada esimerkiksi skalaareja. Useamma kui kahde vektori tulo todistetaa samoi. Esimmäie tuttu esimerkki Cliffordi algebrasta o kompleksiluvut C. Reaaliluvuille R määritelty Cliffordi algebra o edeltävä esitykse mukaa suora summa Cl = Cl (0) Cl (), missä Cl(0) = R ja avaruude Cl () virittää e, jolle pätee e 2 =. Tavallisesti merkitää e = i, jolloi jokaie z Cl = C voidaa esittää muodossa z = x + y i = x + iy, missä x, y R. Toie tuettu Cliffordi algebra o kvateriot eli Hamiltoi kuta H, ja se o oikeastaa kompleksilukuje jälkee seuraava Cliffordi algebra Cl 2. Jos {e, e 2 } o avaruude R 2 kata, ii Cl 2 : kata o määritelmä mukaa {, e, e 2, e e 2 }. Yleesä o tapaa merkitä e = i, e 2 = j ja e e 2 = k, jolloi Cl 2 : alkio o kvaterio muotoa x = a 0 + a i + a 2 j + a 3 k, ja a 0,..., a 3 ovat reaalilukuja. Kompleksiluvuille määritelty keskeie käsite o kompleksikojugaatti. Jos z o kompleksiluku muotoa z = x + iy, ii se kompleksikojugaatti o z = x iy. Kompleksikojugaatilla o tärkeitä ja keskeisiä omiaisuuksia, kute z z = z 2, z = z ja z = z = z z 2. (.3) 4

Määritelmä.4. Olkoo a Cliffordi algebra Cl alkio, jolloi a voidaa esittää muodossa a = a 0 + a + + a, missä a k Cl (k) o k-vektori. Tällöi kuki kompoeti a k kojugaatti o ā k = ( ) k(k+)/2 a k, ja a: kojugaatti saadaa summaa ā = ā 0 + ā + + ā. Jos tarvitsee kojugoida esimerkiksi pitempiä kaavoja, käytetää merkitää ā = (a). Todetaa heti, että kaikilla k pätee ē k = e k. Lisäksi määritelmä yhtyy aiemmi tuttuu, kompleksiluvuille määriteltyy kojugaattii. Jos imittäi z C, z = x + iy, ii x Cl (0) ja iy Cl (). Siis x = ( )0 x = x ja iy = ( ) ( 2)/2 iy = iy eli z = x iy ii kui pitääki. Seuraavaksi herää kysymys, toteuttaako yleisempi kojugaatti mitää kohda.3 omiaisuuksista. Olkoo k 0 kokoaisluku ja u k Cl (k). Määritelmä mukaa pätee ū k = ( ) 2 k(k+) ū k = ( ) 2 k(k+) ( ) 2 k(k+) u k = ( ) k(k+) u k = u k, koska k(k + ) o aia parillie. Siis kaikilla u Cl pätee aiaki keskimmäie omiaisuus ū = u. Todettakoo lisäksi, että jos u, v Cl, ii pätee uv = vū. Avaruude R sisätulo yleistyy Cliffordi algebraa luoollisella tavalla. Alkioille x, y Cl voidaa määritellä sisätulo tutulla kaavalla (x, y) = ( α x α e α, β y β e β ) = x α y α. (.5) α Tällöi Cliffordi algebra Cl o Hilberti avaruus, ja sisätulo idusoima ormi saa myös tutu muodo x Cl = α x α e α Cl = (x, x) /2 = ( x α 2 ) /2. (.6) α Korostetaa vielä, että kaikki ormi ehdot ovat siis voimassa, eli pätee (i) x Cl 0 kaikilla x Cl, (ii) x Cl = 0 jos ja vai jos x = 0, (iii) ax Cl = a x Cl kaikilla x Cl, a R ja (iv) x + y Cl x Cl + y Cl. 5

Jatkossa merkitää lyhyesti x Cl = x. Normi avulla voidaa äyttää, että yleie kojugaatti ei toteuta muita kohda.3 omiaisuuksista. Olkoo z = + e e 2 e 3 Cl 3, jolloi siis e e 2 e 3 Cl (3) 3. Määritelmä.4 mukaa pätee e e 2 e 3 = ( ) 3 (3+)/2 e e 2 e 3 = e e 2 e 3, jote kojugaatti o z = + e e 2 e 3. Sisätulo atama ormi alkiolle z o z = 2. Toisaalta pätee z z = 2 + 2e e 2 e 3 = 2 = z 2, jote kumpikaa jäljellä olevista kaavoista kohdassa.3 ei voi olla voimassa yleisesti Cliffordi algebroissa, vaikka e toimivatki kompleksiluvuilla ja kvaterioilla. 6

2 Diraci operaattorit ja aalyyttiset fuktiot Kompleksitasossa C voidaa määritellä Cauchy-Riemai operaattorit asettamalla = 2 ( x i y ) ja = 2 ( x + i y ). Näide operaattoreide avulla voidaa taas määritellä aalyyttiset fuktiot vaatimalla ehdo f = 0 toteutumista. Joskus käytetää myös merkitöjä = / z ja = / z. Määritelmä 2.. Olkoo Ω C avoi joukko ja fuktio f : Ω C jatkuvasti derivoituva eli f C (Ω). Tällöi fuktio f o aalyyttie (tai holomorfie) joukossa Ω mikäli pätee f = 0 kaikissa jouko Ω pisteissä. Joukossa Ω aalyyttiste fuktioide luokkaa voidaa merkitä H(Ω). Kompleksiarvoie fuktio f voidaa kirjoittaa reaali- ja imagiaariosasa avulla f = u + iv, missä u = Re f ja v = Im f ovat reaaliarvoisia fuktioita Ω R. Aalyyttisilla fuktioilla reaali- ja imagiaariosat toteuttavat Cauchy-Riemai yhtälöt u x = v y ja u y + v x = 0. (2.2) Kirjoittamalla auki f : lauseke saadaa 2 f = f x + i f y = u x + i v x + i u y v y = ( u x v y ) + i( v x + u y ), mistä ähdää, että fuktiolla f = u + iv pätee f = 0 täsmällee silloi, ku se toteuttaa Cauchy-Riemai yhtälöt. Jokaie aalyyttie fuktio voidaa esittää (aiaki lokaalisti) suppeevaa potessisarjaa. Tästä seuraus o se, että aalyyttiset fuktiot ovat mielivaltaise mota kertaa derivoituvia (tai sileitä) eli kuuluvat luokkaa C. Osoittautuu, että aalyyttise fuktio reaali- ja imagiaariosat ovat harmoisia fuktioita. Aetaa seuraava määritelmä jo yleisesti avaruudessa R. 7

Määritelmä 2.3. Olkoo Ω R avoi joukko ja u C 2 (Ω). Tällöi fuktio u o harmoie joukossa Ω, mikäli pätee u = j= 2 x 2 j u = 0 kaikissa jouko Ω pisteissä. Operaattoria kutsutaa Laplace-operaattoriksi. Yhtälöä u = 0 kutsutaa Laplace yhtälöksi, ja se toteuttavat siis täsmällee harmoiset fuktiot. Olkoo f = u + iv aalyyttie fuktio avoimessa joukossa Ω C. Edelliste havaitoje ojalla pätee u, v C 2 (Ω) jote derivoitijärjestystä voidaa vaihtaa. Soveltamalla lisäksi Cauchy-Riemai yhtälöitä saadaa 2 u x 2 = x ( u x ) = x ( v y ) = y ( v x ) = y ( u y ) = u 2 y 2 eli u = 0 ja samalaisella laskulla myös v = 0. Siis aalyyttise fuktio reaali- ja imagiaariosat ovat harmoisia. Laplace-operaattori voidaa kirjoittaa myös Cauchy-Riemai operaattoreide avulla: jos u C 2, ii pätee 4 u = ( x i y )( x + i )u = u (2.4) y ja vastaavasti 4 u = u. Tästä voidaa päätellä, että jos u : Ω C o harmoie fuktio eli pätee u = 0, ii u o aalyyttie, koska tällöi o u = u/4 = 0. Siirrytää tarkasteluissa kohti avaruudessa R määriteltyjä aalyyttisiä fuktioita. Taso tapauksessa aalyyttiset fuktiot voidaa määritellä moella tapaa (kompleksie derivoituvuus, Cauchy-Riemai yhtälöt, suppeevat potessisarjat) ja jokaisessa tapauksessa päädytää samaa fuktioluokkaa. Avaruudessa R ei äi ole, ja oki valittava tarkasti, mikälaie määritelmä aalyyttisyydelle otetaa. Osoittautuu, että kaattaa määritellä aalyyttiset fuktiot kute edellä määritelmässä 2.. 8

Määritelmä 2.5. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie joukko ja olkoo f : Ω Cl fuktio, joka kuuluu luokkaa C (Ω). Määritellää Diraci operaattori D ja se adjugaatti D asettamalla D = j= e j ja D = x j j= ē j. x j Fuktio f o Clifford-aalyyttie joukossa Ω, mikäli pätee D f = 0 kaikissa jouko Ω pisteissä. Diraci operaattoreide määritelmä o asetettu ii, että yhtälö 2.4 yleistyy kompleksitaso tapauksesta avaruutee R. Siis myös Cliffordaalyyttiset fuktiot liittyvät läheisesti harmoisii fuktioihi. Lause 2.6. Diraci operaattoreille D ja D pätee DD =. Todistus. Käytetää osittaisderivaatalle lyheysmerkitää / x j = j. Diraci operaattorit määriteltii sileille fuktioille, jote derivoitijärjestystä voidaa vaihtaa. Lisäksi muistetaa, että pätee e j e k = ē k ē j. Voidaa siis laskea DD = ( j= = j=k = e j j )( k= ē k k ) e j ē k j k + e j ē k j k + e j ē k j k j<k k<j j 2 + e j ē k j k + e j ē k j k j= j<k k<j = + e j ē k j k e k ē j k j j<k k<j =. Tarkastellaa Cliffordi algebra -arvoista (tai lyhyesti Clifford-arvoista) fuktiota f. Merkitää Cliffordi algebra Cl kataa {e α }, missä alkiot e α ovat redusoituja tuloja avaruude R katavektoreista kute määritelmä. kohdassa (ii). Tällöi merkitää f = α f α e α missä jokaie f α o reaaliarvoie. Lausee 2.6 ojalla Clifford-aalyyttise fuktio kompoetit f α ovat harmoisia. Toisaalta jos u o reaaliarvoie harmoie fuktio joukossa Ω R, ii Du o Clifford-aalyyttie. 9

Jos f o sileä fuktio, ii samoi o myös jokaie kompoetti f α. Operoitaessa Clifford-arvoista fuktiota Diraci operaattorilla, saadaa summa D f = α,j f α (x) x j e j e α. (2.7) Jokaisessa tulossa e j e α o joko α + tai α tekijää riippue siitä, kuuluuko j joukkoo α vaiko ei. Esitys 2.7 voidaa kirjoittaa myös muodossa missä jokaie F β o muotoa D f = β F β = F β e β, ± f α, (2.8) x j= j ja merkit ± valitaa riippue tapauksesta. Jokaisella β o valittu α ii, että pätee α {j} = β jos o j β, ja toisaalta jos o j / β, ii pätee α = β {j}. Siis pätee D f = 0 jos ja vai jos 2 kappaletta differetiaaliyhtälöitä F β = 0 o voimassa. Tämä ehdo voi ajatella oleva Cauchy-Riemai yhtälöide 2.2 yleistys. Kompleksitaso aalyyttiste fuktioide tulo o aia aalyyttie. Clifford-aalyyttiste fuktioide tulo taas ei välttämättä ole aia Cliffordaalyyttie. Näytetää tästä helppo esimerkki. Tarkastellaa avaruutta R 3 vastaavaa Cliffordi algebraa Cl 3. Määritellää fuktiot f (x) = x e x 2 e 2 ja g(x) = x e x 3 e 3 kaikilla pisteillä x = (x, x 2, x 3 ) R 3. Tällöi pätee D f (x) = (e + e 2 2 + e 3 3 )(x e x 2 e 2 ) = e 2 e2 2 = 0 ja vastaavasti Dg(x) = 0. Siis f ja g ovat Clifford-aalyyttisia koko avaruudessa ja iide tulo o f (x)g(x) = x 2 x x 3 e e 3 + x x 2 e e 2 + x 2 x 3 e 2 e 3. Kuiteki saadaa D( f (x)g(x)) = 2x e, jote pätee D( f (x)g(x)) = 0 aioastaa tapauksessa x = 0. Siis Clifford-aalyyttiste fuktioide f ja g tulo ei ole Clifford-aalyyttie koko avaruudessa. Seuraavaksi tutustutaa Laplace-operaattori perusratkaisuu. Yleisesti mikä tahasa vakiokertoimise lieaarise differetiaalioperaattori P( ) = k a k k perusratkaisu u voidaa johtaa ratkaisemalla yhtälö 0

P( )u = δ 0, missä δ 0 o Diraci delta-distribuutio pisteessä olla. Tällöi u o myös mahdollisesti distribuutio. Laplace-operaattori tapauksessa otetaa perusratkaisu Γ tuettua ja todetaa laskemalla, että se todella toteuttaa Laplace-yhtälö. Lause 2.9. Olkoo Γ : R \ {0} R fuktio, jolle pätee ja Γ (x) = Γ 2 (x) = log x 2π ω (2 ) x ( 2), > 2, missä ω o -ulotteise yksikköpallo pita-ala. Tällöi Γ toteuttaa Laplaceyhtälö eli pätee Γ = 0 ku 2. Todistus. Lasketaa esi tapaus = 2. Olkoo x = x e + x 2 e 2 R 2 jolloi saadaa Siispä pätee Γ 2 (x) = log x = 2π 2π log (x2 + x2 2 )/2 = 4π log (x2 + x2 2 ). Γ 2 = log (x 2 x 4π x + x2 2 ) = x 2π x 2 + x2 2 (2.0) ja edellee 2 Γ 2 x 2 = x 2π x x 2 + x2 2 = 2π x 2 2 x2 (x 2 + x2 2 )2. Derivoiti o idettie myös toise muuttuja suhtee eli saadaa 2 Γ 2 x 2 2 = 2π x 2 x2 2 (x 2 + = (x2 2 x2 ) x2 2 )2 2π (x 2 + x2 2 )2 = 2 Γ 2 x 2, mistä seuraa Γ 2 = 0. Ku > 2, merkitää x = j= x je j jolloi ormi saadaa tutulla kaavalla x = ( j= x je j ) /2. Pätee j x = x j / x ja j x = x j x 2. Lasketaa Γ(x) x j = Γ(x) x x x j = ω (2 ) ( x x ( 2) ) x j x = ω x j x (2.)

ja edellee 2 Γ(x) x 2 j = x x 2 j x 2 ω x 2 = ( ω x 2 x2 j ). x +2 Saadaa Γ(x) = 2 Γ(x) j= x 2 j = j= ( ω x 2 = ( ω x x 2 ) = 0, x +2 mikä todistaa väittee. x2 j x +2 ) = ω ( x j x 2 j x +2 ) Lausee 2.9 todistuksessa olevie yhtälöide 2.0 ja 2. perusteella o voimassa DΓ (x) = j= ē j Γ (x) = x j ē j ω j= x j x = ω x x kaikilla 2 koska ω 2 = 2π. Tämä o tärkeä fuktio jatko kaalta, merkitää φ(x) = x ω x. (2.2) Kute jo esimmäisessä kappaleessa todettii, Cliffordi algebra ei ole vaihdaaie. Tähä liittye voidaa määritellä oikeapuoleie Diraci operaattori kaavalla D R = j= x j e j. Yhtälö D R f = 0 ratkaisevat fuktiot ovat oikealta Clifford-aalyyttisia. Jos f = α f α e α o Clifford-arvoie fuktio, ii operoitaessa sitä oikeapuoleisella Diraci operaattorilla saadaa summa D R f = α,j f α (x) x j e α e j. Tämä eroaa kohda 2.7 vastaavasta summasta vai tulo e α e j järjestykse osalta. Määritelmä 2.5 operaattoreita o syytä merkitä D L ja kutsua yhtälö D L f = 0 ratkaisuja vastaavasti vasemmalta Clifford-aalyyttisiksi 2

fuktioiksi. Soveltamalla kojugaatiosäätöä uv = vū vasemmapuoleisee Diraci operaattorii saadaa (D L f ) = j,α f α f α f α e x j e α = j ē α ē x j = α,j j ē α e x j = D R f, α,j j missä fuktio kojugaatti o määritelty pisteittäi eli pätee f (x) = f (x). Siis fuktio f o vasemmalta Clifford-aalyyttie täsmällee silloi ku kojugoitu fuktio f o oikealta Clifford-aalyyttie. Esimerkiksi kohdassa 2.2 esitelty fuktio φ o sekä vasemmalta että oikealta Cliffordaalyyttie, koska pätee φ = φ. Jatkossa käytetää pääsäätöisesti vasemmalta Clifford-aalyyttisyyttä ja jätetää etuliite vasemmalta pois ellei ole syytä toimia toisi. 3

3 Cauchy itegraalikaava Tavoitteea o yleistää Cauchy itegraalikaava avaruutee R. Palautetaa aluksi mielee taso tapauksessa tutuimpia tuloksia. Lause 3.. Olkoo Ω C avoi ja yhteäie joukko ja f : Ω C aalyyttie fuktio. Olkoo lisäksi γ : [a, b] C positiivisesti suuistettu ja paloittai jatkuvasti derivoituva polku, jolle pätee γ(a) = γ(b) ja γ Ω. Tällöi pätee esiäki (Cauchy itegraalilause) γ f (z)dz = 0, ja lisäksi, jos z o polu sisällä, ii (Cauchy itegraalikaava) f (z) = f (ξ) dξ. (3.2) 2πi γ ξ z Cauchy itegraalilausee ja -kaava todistukset sivuutetaa, ja e löytyvät varmasti mistä tahasa fuktioteoria perusteita käsittelevästä oppikirjasta kute esimerkiksi [GK06] tai [Rud66]. Cauchy itegraalikaava helppo seuraus o Gaussi keskiarvolause. Lause 3.3. Olkoo z 0 C, r > 0 ja oletetaa, että fuktio f o aalyyttie suljetu kieko D(z 0, r) ympäristössä. Tällöi pätee f (z 0 ) = π 2π π f (z 0 + re iθ )dθ. Todistus. Merkitää γ(θ) = z 0 + re iθ, θ [ π, π]. Tällöi Cauchy itegraalikaava ojalla pätee f (z 0 ) = 2πi γ f (z) dz = z z 0 2πi = 2π π π π π f (z 0 + re iθ )ire iθ z 0 + re iθ z 0 f (z 0 + re iθ ) dθ. dθ Siirrytää tarkastelemaa avaruude R tapausta. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie osajoukko, ja oletetaa, että jouko reua Ω o tarpeeksi siisti, esimerkiksi vähitää jatkuvasti derivoituva. Tällöi jokaisessa reua pisteessä x Ω o määritelty yksikköulkoormaali, joka o 4

kohtisuorassa reua tagettia vastaa ja joka suuta o pois joukosta Ω. Merkitää yksikköulkoormaalia ν(x) = j ν j (x)e j. Muotoillaa seuraavaksi divergessiteoreema, jossa tarvitaa yksikköulkoormaalia. Merkitä dσ(x) tarkoittaa pitaitegraalia, jossa itegroitimuuttujaa o x. Lause 3.4. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie osajoukko, joka reua o sileä eli Ω C. Fuktiolle f : Ω Cl, joka kuuluu luokkaa C (Ω) C(Ω), o voimassa f dx = ν f dσ(x). Ω Reaaliarvoisella fuktiolla g : Ω R kaava saa muodo Ω Ω g(x) dx = ν x j (x)g(x)dσ(x). (3.5) j Ω Olkoot φ, f : Ω Cl fuktioita, jotka kuuluvat luokkaa C (Ω). Merkitää f = α f α e α ja φ = β φ β e β. Tällöi iide kompoettifuktiot f α ja φ β ovat reaaliarvoisia ja myös sileitä. Tulo derivoitisääö (φ x β (x) f α (x)) = φ β (x)( f α (x)) + ( φ j x j x β (x)) f α (x) j ja edellise kaava 3.5 mukaa pätee Ω (φ β (x) f α(x) x j + φ β(x) x j f α (x))dx = = Ω Ω x j (φ β (x) f α (x))dx φ β (x)ν j (x) f α (x)dσ(x). Ku yt summataa fuktioide f ja φ kaikki kompoetit yhtee saa- 5

daa Cauchy itegraalikaavaa varte hyödyllie tulos. Lasketaa φ(x)ν(x) f (x)dσ(x) eli pätee = Ω = ( Ω β ( β, j, α Ω ( = β, j, α = = = β, j, α Ω Ω = ( Ω φ β (x)e β )( Ω ( j= ν j (x)e j )( α f α (x)e α )dσ(x) ) φ β (x)ν j (x) f α (x)dσ(x) e β e j e α ( φ(x)( φ β (x) f α(x) x j φ β (x)e β f α (x) x j j= f e j ) + ( x j + φ β(x) x j f α (x) ) dx ) e β e j e α e j e α + φ β(x) e x β e j f α (x)e α j ) j= φ(x) e x j ) f (x) j (φ(x)d L f (x) + (D R φ(x)) f (x)) dx, Ω Ω ( φ(x)( j= f e j ) + ( x j φ(x)ν(x) f (x)dσ(x). j= dx ) φ(x) e x j ) f (x) dx j ) dx (3.6) Tässä huomioarvoista o fuktioide oikea järjestys itegraali alla, koska, kute aiemmiki maiittii, Cliffordi algebra ei ole vaihdaaie. Lauseessa 2.9 o maiittu, että -ulotteise yksikköpallo pita-alaa merkitää ω. Ee seuraavaa lausetta o syytä maiita, että jos pallo säde oki mielivaltaie r > 0, ii pita-ala o tällöi ω r. Lisäksi myöhemmi o tarpee tietää r-säteise pallo tilavuus ω r /. Lause 3.7. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie joukko, joka reua Ω o sileä eli kuuluu luokkaa C (R ). Tällöi kaikilla fuktioilla f : Ω Cl, f C (Ω) pätee: (i) jos z R \ Ω, ii Ω x z x z ν(x) f (x)dσ(x) = Ω 6 x z x z D f (x)dx,

(ii) jos z Ω, ii f (z) = ω Ω x z x z ν(x) f (x)dσ(x) x z ω Ω x z D f (x)dx. Todistus. (i) Olkoo z R \ Ω, jolloi kaikilla x Ω o x z > 0. Kohdassa 2.2 esitelty fuktio x φ(x z) = DΓ (x z) = ω x z x z o siis (sekä vasemmalta että oikealta) Clifford-aalyyttie joukossa Ω eli pätee erityisesti D R φ = 0. Nyt väite seuraa suoraa yhtälöstä 3.6 laskemalla φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x) Ω = (φ(x z)d L f (x) + (D R φ(x z)) f (x))dx Ω = φ(x z)d L f (x)dx. Ω (ii) Olkoo sitte z Ω ja olkoo ε > 0 sellaie, että B = B(z, ε) Ω. Merkitää joukko Ω ε = Ω \ B(z, ε). Tällöi fuktio φ(x z) o Cliffordaalyyttie joukossa Ω ε. Käytetää yhtälöä 3.6 joukkoo Ω ε ja valittuihi fuktioihi f ja φ, jolloi saadaa φ(x z)d L f (x)dx = φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x) Ω ε Ω ε = φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x) Ω φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x). B(z,ε) Nyt jos x B(z, ε), ii ν(x) = (x z)/ x z, jote pätee x z ω φ(x z)ν(x) = ( x z )( x z x z 2 ) = x z x z + = x z, ja site B(z,ε) φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x) = ω = ω = B(z,ε) B(z,ε) ω ε 7 x z ν(x) f (x)dσ(x) x z f (x)dσ(x) x z B(z,ε) f (x)dσ(x). ( )

Nyt väite o, että ( ) meee kohti arvoa f (z) ku ε 0. Todetaa esi, että pätee ω ε dσ(x) =, B(z,ε) jote saadaa ω ε f (x)dσ(x) f (z) = B(z,ε) ω ε ( f (x) f (z))dσ(x). B(z,ε) Merkitää f = α f α e α jolloi jokaie kompoettifuktio f α C (Ω) o reaaliarvoie. Käyttämällä väliarvolausetta alueessa B(z, ε) jokaiselle kompoettifuktiolle saadaa arvio f α (x) f α (z) C α ε. Voidaa valita C = max α C α < koska vakioita C α o eitää 2 kappaletta. Siis pätee ω ε = ω ε = ω ε ω ε α ω ε α 2 Cε 0, B(z,ε) B(z,ε) B(z,ε) α B(z,ε) C α ε ku ε 0, mikä todistaa väittee. f (x)dσ(x) f (z) ( f (x) f (z))dσ(x) ( f α (x) f α (z))e α dσ(x) f α (x) f α (z) dσ(x) B(z,ε) dσ(x) Seuraus 3.8 (Cauchy itegraalikaava). Olkoo Ω R kute edellä ja olkoo fuktio f : Ω Cl Clifford-aalyyttie joukossa Ω. Tällöi kaikilla z Ω pätee f (z) = x z ν(x) f (x)dσ(x). ω x z Ω Todistus. Väite seuraa suoraa lauseesta 3.7, koska Clifford-aalyyttiselle fuktiolle pätee määritelmä mukaa D f = 0. 8

Seuraavat tulokset saavat sama muodo kui yhde kompleksimuuttuja fuktioteoriassa, ja o siksi mielekiitoista käydä e tässä läpi. Esimmäie tulos o helppo seuraus Cauchy itegraalikaavasta. Lause 3.9. Olkoo Ω R sellaie avoi ja yhteäie osajoukko, että reua Ω o kompakti ja kuuluu luokkaa C. Tällöi kaikilla Clifford-aalyyttisilla fuktioilla f : Ω Cl pätee Ω ν(x) f (x)dσ(x) = 0. Todistus. Fuktio f o Clifford-aalyyttie jote D f = 0. Samoi, jos valitaa tulokse 3.6 hyödytämistä ajatelle fuktio φ =, ii pätee Tällöi saadaa ν(x) f (x)dσ(x) = Ω Ω Dφ = e j = 0. x j= j φ(x)ν(x) f (x)dσ(x) = Ω (φd f + f Dφ)dx = 0. Lause 3.0 (Keskiarvolause). Olkoo Ω R avoi joukko, z 0 jouko Ω piste ja r > 0 sellaie, että B(z 0, r) Ω. Oletetaa lisäksi, että fuktio f : Ω Cl o Clifford-aalyyttie joukossa Ω. Tällöi pätee missä B(z 0, r) = ω r Todistus. Lasketaa f (z 0 ) () = ω (2) = (3) = (4) = f (z 0 ) = r ω r ω r ω f (x)dx, B(z 0, r) B(z 0,r) o -ulotteise r-säteise pallo tilavuus. B(z 0,r) B(z 0,r) B(z 0,r) B(z 0,r) x z 0 x z 0 f (x)ν(x)dσ(x) ( x z 0 ) f (x)ν(x)dσ(x) (( x z 0 )D f (x) + (D( x z 0 )) f (x))dx f (x)dx. 9

Yhtälössä () käytetää Cauchy itegraalikaavaa, yhtälössä (2) pallo pialla oleva piste x o etäisyydellä r pisteestä z 0, yhtälössä (3) käytetää tulosta 3.6, yhtälössä (4) o D f = 0 koska f o Clifford-aalyyttie ja lisäksi D( x z 0 ) = D x = j= e j x j x x k ē k = k e x j ē k =. k= j, k= j Seuraavassa lauseessa osoitetaa, että Clifford-aalyyttiste fuktioide muodostama avaruus o täydellie, ku se varustetaa kompakteissa joukoissa tasaise suppeemise topologialla. Tämä omiaisuus takaa myöhemmi se, että myös Hardy H p -avaruudet ovat täydellisiä, koska e koostuvat tietyt ehdot täyttävistä Clifford-aalyyttisistä fuktioista. Lause 3.. Olkoo Ω R avoi joukko. Fuktiot f : Ω Cl, jotka ovat Clifford-aalyyttisia, muodostavat avaruude A(Ω). Varustetaa A(Ω) topologialla, joka määrittelee tasaie suppeemie kompakteissa joukoissa. Tällöi A(Ω) o täydellie. Todistus. Valitaa sellaie perhe {K k } kompakteja osajoukkoja K k Ω, että (i) jokaie K k o yhteäie ja sileäreuaie, ja lisäksi (ii) k K k = Ω. Heie-Boreli lausee ojalla jokaie joukko K k R o myös suljettu ja rajoitettu. Olkoo ( f m ) m= avaruude A(Ω) fuktioide muodostama joo, joka suppeee jokaisessa joukossa K k. Siis kaikilla x K k pätee lim f m(x) = f (x), m kaikilla joukoilla K k. Toisaalta edellise ehdo (i) ojalla Cauchy itegraalikaava o käytössä, jote pätee f m (z) = ω K k x z x z ν(x) f m(x)dσ(x) kaikilla jouko K k sisäpisteillä z, kaikilla m ja kaikilla k. Itegraali lasketaa reua yli, jolloi siis x K k ja erityisesti pätee x z > 0, koska 20

joukko K k o suljettu. Käytetää Cauchy itegraalikaava ytimelle kohda 2.2 merkitää φ(x) = x/(ω x ). Tällöi jos x K k, ii fuktio φ(x z) o sileä kaikilla jouko K k sisäpisteillä z. Site kaikki derivaatat (muuttuja z suhtee) β φ(x z) ovat rajoitettuja. Voidaa siis derivoida itegraali alla ja käyttää domioidu kovergessi lausetta koordiaateittai (fuktioide f m arvojoukko o Cl ), jolloi saadaa lim m β f m (z) = lim β m K k φ(x z)ν(x) f m (x)dσ(x) = lim ( β φ(x z))ν(x) f m (x)dσ(x) m K k = ( β φ(x z))ν(x) f (x)dσ(x) = β f (z). K k Siis joo ( β f m ) m= suppeee kaikilla multi-idekseillä β, β 0, kaikissa jouko Ω kompakteissa osajoukoissa K k. Tästä voidaa päätellä, että joo ( f m ) m= suppeee myös avaruudessa C (Ω). Avaruus C (Ω) o täydellie (todistettu esim. Rudii kirjassa [Rud9] sivulla 35) eli löytyy sellaie fuktio F C (Ω), että pätee lim m β f m (x) = β F(x) (3.2) kaikilla x Ω ja multi-idekseillä β. Tällöi fuktio F o aalyyttie, mikä ähdää esimerkiksi valitsemalla kaavassa 3.2 derivaataksi Diraci operaattori: koska jokaie f m o aalyyttie eli pätee D f m (x) = 0 kaikilla m ja x Ω, ii pätee myös DF(x) = 0. Lisäksi o oltava F = f, ja site f C (Ω) ja D f (x) = 0 kaikilla x Ω. Siis f o Cliffordaalyyttie joukossa Ω, mikä päättää todistukse. 2

4 Harmoiset ja subharmoiset fuktiot Kappaleessa 2 määriteltii (määritelmä 2.3), että fuktio u o harmoie, mikäli se toteuttaa Laplace yhtälö u = 0. Harmoisille fuktioille pätee keskiarvolause samalla tavalla, kui todettii pätevä aalyyttisille fuktioille (lauseet 3.3 ja 3.0). Olkoo Ω R avoi ja yhteäie osajoukko ja u : Ω R harmoie fuktio. Jos z 0 o jouko Ω piste ja r > 0 o sellaie, että pätee B(z 0, r) Ω, ii keskiarvolause pätee sekä tilavuus- että pitaitegraali muodossa, eli ja toisaalta u(z 0 ) = u(z 0 ) = ω r u(x)dσ(x) B(z 0,r) ω r u(x)dx. B(z 0,r) Myös kääteie pätee, eli mikäli edellä olevat kaavat pätevät jolleki kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvalle fuktiolle, o tämä fuktio tällöi harmoie. Nämä tulokset todistetaa esimerkiksi lähteessä [Eva98]. Eräs tärkeä harmoiste fuktioide omiaisuus o maksimiperiaate. Hyvä todistus tälle löytyy lähteestä [ABR0]. Lause 4. (Maksimiperiaate). Olkoo Ω yhteäie joukko ja u siiä määritelty reaaliarvoie harmoie fuktio. Jos fuktiolla u o maksimi tai miimi joukossa Ω, ii u o vakiofuktio. Subharmoiset fuktiot määritellää yleesä keskiarvolausee kaltaisella epäyhtälöllä. Määritelmä 4.2. Joukossa Ω R määritelty ja jatkuva reaaliarvoie fuktio s o subharmoie, mikäli pätee s(z 0 ) ω r s(x)dσ(x) B(z 0,r) aia ku kuula B(z 0, r) sisältyy joukkoo Ω. Subharmoisuus tarkoittaa siis, että fuktio arvo jossai pisteessä o eitää tämä pistee kuulaympäristö pia itegraalikeskiarvo. Selvästi jokaie harmoie fuktio o myös subharmoie. 22

Lause 4.3. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie osajoukko ja s siiä määritelty reaaliarvoie fuktio. Merkitää Ω = {x Ω : s(x) > 0} ja oletetaa, että s C 2 (Ω ). Mikäli pätee s 0 joukossa Ω, o fuktio s tällöi subharmoie joukossa Ω. Lausee 4.3 todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [SW7], ja itseasiassa lähteessä [GM9] se otetaa subharmoisuude määritelmäksi. Lauseessa fuktio reaaliarvoisuus ei ole rajoitus jatkoa ajatelle, vaikka lopullie tavoite oki tutkia Clifford-arvoisia fuktioita. H p -avaruuksie tapauksessa ollaa kiiostueita fuktio ormi (määritelty kohdassa.6) p:e potessi itegroimisesta. Osoittautuu, että jos f o aalyyttie fuktio, ii fuktio f p o tietyissä tapauksissa subharmoie. Se, millä p: arvoilla f p o subharmoie, riippuu määrittelyjouko dimesiosta. Seuraava lause kertoo, että jos dimesio o 2, ii kaikki positiiviset p: arvot kelpaavat. Lause 4.4. Olkoo Ω kompleksitaso C avoi ja yhteäie osajoukko. Jos f o aalyyttie fuktio joukossa Ω, ii f p o subharmoie kaikilla p > 0. Todistus. Muistutetaa mielee Cauchy-Riemai operaattorit = z = 2 ( x i y ) ja = z = 2 ( x + i y ) ja se, että pätee = =. Nyt f o aalyyttie eli pätee f = 0, mistä seuraa myös f = 0. Merkitää φ = f, jolloi selvästi pätee myös φ = f = f = 0 ja f = φ. Oletetaa f = 0, jolloi pätee ( f 2 p f 2 p ) = ( f 2 p ) f 2 p + f 2 p ( f 2 p ) Tällöi saadaa = ( f 2 p )( f f z ) f 2 p + f 2 p ( f f 2 p )( f z ) = 2 p f 2 p ( f )( f 2 p ) + f 2 p ( 2 p f 2 p )( f ) = 2 p f 2 (p 2) φ f 2 p. f p = ( f 2 p f 2 p ) = 2 p ( f 2 (p 2) φ f 2 p ) = ) (( 2 p f 2 (p 2) )φ f 2 p + f 2 (p 2) ( φ) f 2 p + f 2 (p 2) φ( f 2 p ) = 2 p(d + D 2 + D 3 ). 23

Nyt f 2 (p 2) = f 2 (p 2) z = ( f 2 (p 2) )( f f z ) = 0, koska f = 0, ja site o D = 0. Lisäksi aiemmi todettii, että φ = 0, jote pätee myös D 2 = 0. Lasketaa vielä jolloi saadaa f 2 p = ( f 2 p Siis f p o subharmoie. f )( f z ) = 2 p f 2 (p 2) φ, f p = 2 pd 3 = 2 p f 2 (p 2) φ( f 2 p ) = 2 p f 2 (p 2) φ( 2 p f 2 (p 2) φ) = 4 p2 f p 2 φ 2 0. Ee kui esitetää, mite Clifford-aalyyttiste fuktioide f tapauksessa fuktioide f p subharmoisuus riippuu dimesiosta, muotoillaa subharmoisuudelle kätevä karakterisaatio, s. Kato-tyypi epäyhtälö. Lause 4.5. Olkoo p < ja f : Ω Cl Clifford-aalyyttie fuktio joukossa Ω. Tällöi kuvaus x f (x) p o subharmoie joukossa Ω mikäli arvio f 2 ν j (x) f 2 x j 2 p (x) (4.6) x j j= o voimassa kaikilla pisteillä x Ω Tämä lausee todistus, jossa käytetää lausetta 4.3, sivuutetaa tässä. Se löytyy laskettua Gilberti ja Murray kirjasta [GM9]. Lausee arviota käytetää seuraava lausee todistamisessa. Lause 4.7. Olkoo 2 ja Ω R avoi osajoukko. Tällöi (i) jos p ( 2)/( ) ja f : Ω Cl o Clifford-aalyyttie fuktio, ii kuvaus x f (x) p o subharmoie joukossa Ω, ja j= 24

(ii) jos o ( 2)/( ) > p > 0, ii löydetää sellaie Cliffordaalyyttie fuktio f : Ω Cl, että kuvaus x f (x) p ei ole subharmoie kaikkialla määrittelyjoukossaa. Todistus. Osoitetaa esi kohta (i). Kuvaus p /(2 p) o kasvava, ja lisäksi pätee 2 2 =. Siispä käytettäessä subharmoisuudelle ehtoa 4.6 riittää todistaa arvio j= ν j f (x) x j 2 ( ) j= f (x) x j 2, (4.8) ku x B(0, r) ja ν o mikä tahasa piste yksikköpallo pialla. Riittää olettaa, että f o Clifford-aalyyttie origokeskisessä r-säteisessä kuulassa B(0, r), koska tällöi yllä oleva arvio pätee koko avoimessa joukossa Ω. Kiiitetää pallo pialta piste ν ja määritellää se avulla uusi kata {ε,..., ε } valitsemalla ε = ν e + + ν e. Tällöi Diracoperaattorit saavat muodo δ = k= ν k, δ x j = k k= a jk (j > ), x k missä ν ja jokaie a j ovat keskeää ortogoaalisia yksikköpallo pialla B(0, ). Näide avulla arvio 4.8 saa muodo ( ) δ f (x) δ j f (x) 2, x B(0, r). j= Kaoista riippumatta yleistetyt Cauchy-Riemai yhtälöt 2.8 ovat edellee sellaisiaa voimassa. Jos yt kirjoitetaa Clifford-arvoie ja aalyyttie fuktio f muodossa f = α f α e α, ii pätee ± f α(x) = 0. (4.9) x j= j Voidaa kiiittää esimerkiksi ν = (, 0,..., 0), ja itse asiassa riittää todistaa väite tällä valialla. Epäyhtälö 4.8 saa tällöi muodo f (x) 2 ( f (x) 2 x. (4.0) x j 25 ) j=

Tarkastellaa yleisesti summaa c + + c = 0, missä jokaie c j o joko reaali- tai kompleksiluku. Tällöi o c = (c 2 + + c ), jote Cauchy-Schwarzi epäyhtälö (cs) ataa c 2 = c j 2 = j=2 j=2 ( c j ) 2 (cs) ( ) c j 2. j=2 Summataa molemmille puolille termi ( ) c 2, jolloi saadaa c 2 ( ) ( ) c j 2 eli c 2 c j 2. j= j= Käytetää saatua arviota yhtälöö 4.9 valitsemalla aia c j = j f α, jolloi saadaa f α 2 ( f 2 α x. x j ) j= Lopulta summaamalla yli kaikkie ideksie α tästä seuraa arvio 4.0 ja edellee kohda (i) väite. Kohtaa (ii) varte merkitää f (x) = x/ x kaikilla x = 0. Tällöi siis pätee f (x) = x ( ). Lasketaa j f (x) p = j x ( )p = ( )p x ( )p j x = ( )px j x ( )p 2 2 j f (x) p = ( )p j (x j x ( )p 2 ) ( = ( )p = ( )p Tällöi saadaa f (x) p = 2 j f (x) p j= = ( )p j= x ( )p 2 + x j ( ( )p 2) x ( )p 3 x j x ( x ( )p 2 + x 2 j ( ( )p 2) x ( )p 4). ( x ( )p 2 + x 2 j ( ( )p 2) x ( )p 4) = ( )p ( x ( )p 2 + x 2 ( ( )p 2) x ( )p 4) = ( )p (( )p + 2) 26 x ( )p+2. )

Oletus o 2 ja p > 0, jote ( )p > 0 ja x ( )p 2 > 0 o voimassa kaikilla x, ja p. Voidaa siis päätellä, että f p o egatiivie mikäli pätee (( )p + 2) < 0 eli p < ( 2)/( ). 27

5 Poisso-ydi ja -itegraali Tästä eteepäi ollaa kiiostueita fuktioista, jotka määritellää ylemmässä puoliavaruudessa R + = {z = (x, t) : x R, t > 0}. Samaistetaa avaruudet R ja R {0} R, jolloi voidaa ajatella, että avaruus R o ylemmä puoliavaruude reua eli R + = R. Määritelmä 5.. Poisso-ydi määritellää kaavalla P t (x) = 2 ω t (t 2 + x 2 ) /2 ja se o harmoie ylemmässä puoliavaruudessa R +. Joskus edellä määritellystä käytetää myös imitystä ylemmä puoliavaruude Poisso-ydi, jos halutaa tehdä ero jossai muussa avaruudessa määriteltyy Poisso-ytimee. Harmoisuus voidaa äyttää Lausee 2.9 todistukse kaltaisella suoralla laskulla. Poisso-ytime itegraali o, siis pätee R P t(x)dx = 2 ω R t (t 2 + x 2 dx = (5.2) ) /2 kaikilla t > 0. Tämä o laskettu esimerkiksi lähteessä [SW7]. Lisäksi todettakoo, että Poisso-ydi o positiivie kaikilla t > 0, jote myös se L -ormi o eli erityisesti rajoitettu. Edellee, jos kiiitetää δ > 0, ii pätee raja-arvo δ x P t (x)dx = ω t δ x ω δ x t (t 2 + x 2 dx ) /2 (5.3) x dx 0, ku t 0 (huom. x R ). Edellä lueteltuje omiaisuuksie ojalla voidaa saoa, että Poisso-ytimet {P t } t>0 ovat hyviä ytimiä (eglaiksi approximatio to the idetity). 28

Poisso-ytime avulla määritellää siihe liittyvä Poisso-itegraali kovoluutioa. Ee määritelmää kerrataa muutama asia kovoluutiosta. Esiäki itegroituvie fuktioide f ja g kovoluutio pisteessä x määritellää kaavalla ( f g)(x) = f (y)g(x y)dx = f (x y)g(y)dy. Selvästi siis pätee f g = g f, kuha f ja g ovat reaaliarvoisia. Lisäksi jos myös h o itegroituva, ii pätee f (g h) = ( f g) h ja ( f g)(x) + ( f h)(x) = f (x y)g(y)dy + f (x y)h(y)dy = f (x y)(g(y) + h(y))dy = ( f (g + h))(x), missä fuktioide yhteelasku o määritelty pisteittäi. Määritelmä 5.4. Fuktio f L p (R ) Poisso-itegraali o u(x, t) = ( f P t )(x) = f (y)p t(x y)dy. R Poisso-itegraali o harmoie, mikä seuraa Poisso-ytime harmoisuudesta. Seuraava lausee todistuksessa käytetää apakoordiaattiesitystä yleisessä tapauksessa (löytyy esimerkiksi lähteestä [SS03]). Mikä tahasa avaruude R \ {0} piste voidaa esittää muodossa x = ry, missä r > 0 ja y o piste yksikköpallo B(0, ) pialla eli y =. Tämä saadaa valitsemalla r = x ja y = x/ x. Nyt voidaa itegroida esimerkiksi fuktiota f avaruude R yli kaavalla R f (x)dx = f (ry)r dr dσ(y). B(0,) Kerrataa lisäksi muutamia reaaliaalyysi tietoja. Olkoo f L loc (R ), jolloi määritelmä mukaa pätee f (x) dx < K kaikilla kompakteilla joukoilla K R. Tällöi Lebesgue differetioituvuuslause saoo, että raja-arvo lim r 0 ω r f (y) f (x) dy = 0 (5.5) B(x,r) 0 29

pätee melkei kaikilla x R. Edellee voidaa määritellä fuktio Lebesgue joukko seuraavasti: piste x R kuuluu fuktio f Lebesgue joukkoo, mikäli o olemassa luku A = A(x) R, jolla pätee lim r 0 ω r f (y) A dy = 0. B(x,r) Osoittautuu, että luku A o oikeastaa f (x) melkei kaikilla x. Voidaa siis muuttaa fuktio arvoja ollamittaisessa joukossa ii, että raja-arvo 5.5 o voimassa kaikilla fuktio f Lebesgue jouko pisteillä. Lause 5.6. Olkoo f L p (R ), p ja u = f P t fuktio f Poisso-itegraali. Tällöi raja-arvo lim t 0 u(x, t) = f (x) o voimassa melkei kaikilla x R. Todistus. Valitaa δ > 0 ja olkoo x R piste, joka kuuluu fuktio f Lebesgue joukkoo. Raja-arvo 5.5 ojalla voidaa kiiittää ρ > 0, jolla kaikilla r ρ pätee r y <r f (x y) f (x) dy < δ. (5.7) Koska Poisso-ytime itegraali o kaikilla t > 0, saadaa u(x, t) f (x) = f (x y)p t(y)dy f (x) R = f (x y)p t(y)dy f (x) P t(y)dy R R = R ( f (x y) f (x))p t(y)dy ( f (x y) f (x))p t (y)dy y <ρ + ( f (x y) f (x))p t (y)dy = I + I 2. y ρ Arvioidaa esi itegraalia I. Poisso-ydi P t o radiaalie eli riippuu aioastaa argumeti etäisyydestä origoo. Määritellää uusi fuktio (P t ) 0 kaavalla (P t ) 0 (r) = P t (x), ku x = r. Tällöi (P t ) 0 o väheevä muuttuja r suhtee. Avaruude R r-säteise pallo tilavuus o ai- 30

emmi todettu oleva ω r /( ), jote pätee ω (r ( r 2 ) )(P t ) 0 (r) = ω (2 ) ( )2 r (P t ) 0 (r) P t (x)dx 0, r/2 x r ku r lähestyy joko ollaa tai kasvaa rajatta, koska molemmissa rajakäyeissä itegroitiväli häviää. Siis pätee myös lim r 0 r (P t ) 0 (r) = lim r (P t ) 0 (r) = 0. (5.8) r Tästä ja Poisso-ytime jatkuvuudesta seuraa, että löytyy vakio A > 0, jolla pätee r (P t ) 0 (r) A kaikilla 0 < r <. Merkitää avaruude R yksikköpallo pitaa B(0, ) = {x R : x = }, ja määritellää fuktio g kaavalla g(r) = B(0,) Nyt arvio 5.7 voidaa esittää muodossa f (x ry) f (x) dσ(y). G(r) = = r s 2 0 r 0 B(0,) s 2 g(s)ds δr f (x sy) f (x) dσ(y)ds 3

kaikilla r ρ. Näide merkitöje avulla voidaa arvioida I = = () = (2) (3) = y <ρ y ρ ρ 0 / ρ 0 / ρ 0 / tρ 0 ( f (x y) f (x))p t (y)dy f (x y) f (x) t P (y/t)dy r 2 g(r)t (P ) 0 (r/t)dr G(r)t (P ) 0 (r/t) δr t (P ) 0 (r/t) ρ 0 ρ δ(tr) t (P ) 0 (r) δ(tρ) (P ) 0 (tρ) δa ρ/t 0 ρ/t 0 0 G(r)t d dr ((P ) 0 (r/t))dr G(r)t d((p ) 0 (r/t)) ρ/t 0 G(tr)t d((p ) 0 (r)) δ(tr) t d((p ) 0 (r)) δr d((p ) 0 (r)) δa δ 0 r d((p ) 0 (r))). Yhtälössä () itegroidaa osittai, arvio (2) o sama kui 5.7 ja kohdassa (3) tehdää muuttujavaihto r tr. Viimeistä itegraalia varte tehdää merkitä B = ( )/ω. Tällöi pätee B = ω (4) = (5) = (6) = ω 0 / 0 = R P (y)dy r 2 (P ) 0 (r)dr r (P ) 0 (r) 0 0 r d((p ) 0 (r)), r d((p ) 0 (r)) 32

koska kohdassa (4) jokaise Poisso-ytime itegraali o, kohdassa (5) siirrytää apakoordiaatteihi ja kohdassa (6) itegroidaa osittai. Siis pätee I δ(a + B). Tutkitaa sitte itegraalia I 2. Olkoo χ ρ karakteristie fuktio joukolle {x R : x ρ}. Olkoot lisäksi p ja q sellaisia reaalilukuja, että pätee /p + /q =. Kolmioepäyhtälö ja Hölderi epäyhtälö ojalla pätee I 2 = ( f (x y) f (x))p t (y)dy y ρ f (x y)p t (y) dy + f (x) P t (y)dy y ρ y ρ f L p χ ρ P t L q + f (x) P (y)dy. y ρ t Jälkimmäise termi itegroitialuee mitta meee ollaa, ku t 0. Esimmäistä termiä varte huomataa, että pätee q = + q/p, jolloi saadaa ( /q ( ) /q χ ρ P t L q = P t (y) dy) q = P t (y)p t (y) q/p dy ( y ρ sup P t (y) y ρ y ρ y ρ Aiemmi todetu tulokse 5.8 perusteella saadaa ) /q P t (y) q/p dy = χ ρ P t /q L P p t L q. χ ρ P t L = sup P t (y) = ρ ( ρ y ρ t ) (P ) 0 ( ρ t ) 0, ku t 0. Voidaa siis löytää vakio C > 0, jolla pätee arvio I 2 Cδ, kuha t o kylli piei. Tämä päättää todistukse, koska δ > 0 oli mielivaltaie. Seuraavia lauseita varte todetaa, että jos fuktio f kuuluu avaruutee L p (R ), ii pätee raja-arvo lim f (x + h) f h 0 (x) p dx = 0. (5.9) R Lisäksi tarvitaa Mikowski epäyhtälöä itegraaleille, joka todistetaa esimerkiksi lähteessä [HLP52]: ( f (x, y)dy p dx) /p ( f (x, y) p dx) /p dy. (5.0) 33

Lause 5.. Olkoo f L p (R ), p <, ja u = f P t fuktio f Poisso-itegraali. Tällöi pätee raja-arvo ku t 0. u f L p = ( u(x, t) f (x) p dx) /p 0, R Todistus. Oletetaa siis, että p < ja f L p (R ). Kute aiemmiki o todettu, kaikilla t > 0 pätee P t (y) = t P (y/t) ja P t =. Edellisessä lauseessa laskettii ( f P t )(x) f (x) = R ( f (x y) f (x))p t(y)dy jote käyttämällä Mikowski epäyhtälöä itegraaleille 5.0 ja muuttujavaihtoa saadaa f P t f L p = = ( R R R ) /p R ( f (x y) f (x))p t(y)dy p dx ( ) /p f (x y) f (x) p dx P t (y)dy R ( ) /p f (x ty) f (x) p dx P (y)dy. R Itegradi o ylhäältä rajoitettu ( ) /p f (x ty) f (x) p dx P (y) 2 f L p P = 2 f L p <, R jote raja-arvo 5.9 ja Lebesgue domioidu kovergessi lausee ojalla saadaa ( ) /p lim f P t f L p lim f (x ty) f (x) p dx P (y)dy t 0 t 0 R R ( ) /p = lim f (x ty) f R t 0 (x) p dx P (y)dy R = 0 P (y)dy = 0. R 34

Lause 5.2. Olkoo f L p (R ), p, ja u = f P t fuktio f Poisso-itegraali. Tällöi pätee arvio ( ) /p u L p = ( f P t)(x) p dx f L p R kaikilla t > 0. Lisäksi jos p <, ii pätee yhtälö sup u L p = f L p. (5.3) t>0 Todistus. Käyttämällä Mikowski epäyhtälöä itegraaleille 5.0 ja Poissoytime omiaisuuksia saadaa esimmäie väite u L p = ( ( f P t)(x) p dx) /p R R = ( f (x y)p t(y)dy p dx) /p R ( R f (x y)p t(y) p dx) /p dy R ( R = f (x y) p dx) /p P t (y)dy R f L p P t(y)dy = f L p. R Tästä seuraa myös sup u L p f L p. t>0 Lauseessa 5.6 o todistettu raja-arvo lim( f P t )(x) = f (x), t 0 joka pätee melkei kaikilla x R. Tämä ja Fatou lemma avulla saadaa f (x) p dx = lim if ( f P t )(x) p dx R R t 0 lim if t 0 ( f P t)(x) p dx R u(x, t) p dx, R sup t>0 mistä seuraa f L p sup u L p. t>0 Epäyhtälö molempii suutii ataa yhtälö 5.3. 35

Lause 5.4. Olkoo f C 0 L (R ) fuktio, joka o siis rajoitettu, jatkuva ja kompaktikatajaie. Tällöi fuktio f Poisso-itegraali u = f P t suppeee tasaisesti, eli pätee raja-arvo ku t 0. u f = sup u(x, t) f (x) 0, x R Todistus. Fuktio f o jatkuva ja määritelty kompaktissa joukossa, jote se o tasaisesti jatkuva. Siis kaikilla ε > 0 o olemassa sellaie δ > 0, että pätee f (x y) f (x) < ε kaikilla x R, kuha y < δ. Lasketaa u(x, t) f (x) = f (x y)p t(y)dy f (x) R = R ( f (x y) f (x))p t(y)dy f (x y) f (x) P t (y)dy y <δ + f (x y) f (x) P t (y)dy y >δ ε P t (y)dy + 2 f P t (y)dy y <δ y >δ t ε + 2 f ω ( ) t ω = ε + 2 f ω δ y >δ, y dy ja viimeie yhtälö ( ) saadaa laskemalla apakoordiaattie avulla y >δ y B(0,) dy = dr δ r r 2 dr dσ = ω δ r 2 = ω. δ Merkitää C = (2 f ω )/(ω δ), jolloi C o siis vakio. Ottamalla supremum kaikkie pisteide x R yli saadaa sup u(x, t) f (x) ε + Ct ε, x R ku t 0. Luku ε > 0 oli mielivaltaie, jote väite seuraa. 36

Lause 5.5. Jos u o harmoie fuktio avaruudessa R + ja o olemassa vakio C > 0 ja luku p (, ), joilla pätee u L p = ( u(x, t) p dx) /p C < R kaikilla t > 0, ii o olemassa sellaie vakio A = A(, p) > 0, että pätee arvio u = sup u(x, t) ACt ( )/p. x R Todistus. Olkoo z 0 = (x 0, t 0 ) R +. Merkitää B = B(z 0, t 0 /2) = {z R + : z z 0 t 0 /2}, jolloi siis B o avaruude R + osajoukko. Lisäksi, kute aiemmiki o todettu, pallo B tilavuus o m(b) = ω (t 0 /2) /. Koska u o harmoie, pätee keskiarvolause u(x 0, t 0 ) p = 2 ω t 0 B u p dz. (5.6) Jos lisäksi merkitää Ω = {(x, t) R + : t 0/2 < t < 3t 0 /2}, ii voidaa arvioida 3t0 u p dz u p /2 dz = u(x, t) p dxdt t 0 C p. (5.7) B Ω t 0 /2 R Pätee siis u(x 0, t 0 ) p 2 C p t ω 0, mistä korottamalla potessii /p ja ottamalla supremum yli kaikkie x 0 R saadaa väite vakio arvolla A(, p) = (2 /ω ) /p. Edellise todistukse arviosta 5.7 voidaa päätellä, että fuktio, joka toteuttaa edellise lausee oletukset, o rajoitettu kaikissa ylemmä puoliavaruude osa-avaruuksissa R +[t 0 ] = {(x, t) R + : t t 0 > 0}. Lause 5.8. Avaruudessa R + harmoiselle rajoitetulle fuktiolle u pätee u(x, t + s) = u(y, t)p s(x y)dy = (u(, t) P s )(x) R kaikilla t, s > 0. 37

Tälle lauseelle löytyy lähteestä [Ste70] kattava ja yksityiskohtaie todistus, jote tässä se sivuutetaa. Edelliste lauseide avulla voidaa todistaa jatko kaalta tärkeä tulos: jokaie harmoie fuktio voidaa esittää Poisso-itegraalia. Lause 5.9. Jos u o harmoie fuktio avaruudessa R + ja löytyy sellaiset C > 0 ja p (, ), että kaikilla t > 0 pätee u(x, t) p L p = u(x, t) p dx C p <, R ii tällöi u o joki fuktio f L p (R ) Poisso-itegraali u = f P t. Todistus. Koska kaikilla t > 0 pätee u(x, t) L p C <, o olemassa sellaie joo positiivisia reaalilukuja t k, joilla o raja-arvo lim k t k = 0, ja sellaie fuktio f L p (R ), että u(x, t k ) suppeee heikosti kohti fuktiota f ku k. Tämä taas tarkoittaa, että kaikilla fuktioilla g L q (R ), /p + /q =, pätee raja-arvo lim u(y, t k)g(y)dy = f (y)g(y)dy. k R R Poisso-ydi P t kuuluu L q -avaruutee kaikilla q [, ] ja t > 0, jote saadaa lim u(y, t k)p t (x y)dy = f (y)p t(x y)dy = v(x, t), k R R eli v = f P t. Nyt lausee 5.8 avulla saadaa v(x, t) = lim u(y, t k)p t (x y)dy = lim u(x, t + t k ) = u(x, t), k R k mistä seuraa u = f P t. Lauseide 5.8 ja 5.9 seurauksea saadaa Poisso-ydite tärkeä omiaisuus: jos f o joki L p -fuktio ja s, t > 0, ii pätee ( f P t ) P s = f P t+s. (5.20) Seuraavassa määritelmässä ja sitä seuraavassa lauseessa käytetää edellisestä esityksestä poikete avaruude L p (R ) fuktioita (siis dimesio o eikä kute edellä) merkitöje yksikertaistamiseksi. 38

Määritelmä 5.2. Fuktio f L p (R ) Hardy-Littlewoodi maksimaalifuktio m f pisteessä x R o m f (x) = sup r>0 = sup r>0 ω r x r m(b(x, r)) f (y)dy B(x,r) f (y)dy. Jos f o oleellisesti rajoitettu fuktio, ii pätee arvio m f f L. Hardy-Littlewoodi maksimaalifuktio o aalyysissä hyödyllie fuktio, koska se majoroi moia tärkeitä operaattoreita. Esimerkiksi seuraavassa lauseessa todistetaa, että Poisso-itegraalia voidaa arvioida ylöspäi maksimaalifuktio avulla. Ee lausetta tarkastellaa kuiteki fuktiota ϕ, joka o yksikköpallo B = {x R : x } karakteristie fuktio jaettua pallo tilavuudella ω /. Tällöi siis pätee ϕ(x)dx =. R Olkoo ε > 0 ja merkitää Nyt karakteristie fuktio saa muodo ϕ ε (x) = ε ϕ(x/ε). (5.22) χ B (x/ε) = = {, x/ε 0, muutoi {, x ε 0, muutoi. Tällöi, jos f L p (R ), p ja f 0, ii pätee ( f ϕ ε )(x) = f (x y)ϕ ε(y)dy R = ω ε f (x y)dy y ε ja site pätee m f (x) = sup ε>0 ( f ϕ ε )(x). Herää tieteki kysymys, voidaako samaa päästä yleisemmillä fuktioilla ϕ. Lause 5.23. Jos u o fuktio f L p (R ), p, Poisso-itegraali, ii pätee u(x, y) m f (x). 39