7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017
2
Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort, yhdensuuntisuus j kohtisuoruus... 18 6. Smnkohtiset kulmt... 20 7. Kertus 1... 23 8. Vstuksi... 24 3
1. Koordintisto Koordintistoss jokiselle pisteelle on trkk pikk, jok kerrotn khden numeron vull. Ensimmäinen numero kertoo vksuuntisen koordintin x. Toinen numero pystysuuntisen koordintin y. Numerot merkitään sulkeiden sisää j erotetn pilkull (ti puolipisteellä, jos jompikumpi on desimliluku). Viereiseen koordintistoon on merkitty kolme pistettä: A(4, 2) B(1, 2) C( 1,5; 2) Koht joss koordinttikselit leikkvt on nimeltään origo j sen koordintit ovt (0, 0) origo (0,0) y-kseli x-kseli Koordintiston minimivtimukset (käsin piirrettäessä): Koordinttikselit Akselien nimet (x j y) Positiivisen suunnn osoittvt nuolet Yhden ruudun suuruuden rvo o Kikki numeroit ei siis trvitse kirjoitt. Koordintiston neljännekset: Koordinttikselit jkvt koordintiston neljään osn, joiden nimet on lisätty viereisen kuvn koordintistoon. Nimillä sinällään ei ole yläkoulun mtemtiikss merkitystä. Olennist on kuitenkin huomt se, miten koordinttien merkit menevät eri lueill. II neljännes I neljännes 1. neljänneksessä x j y ovt in positiivisi. 2. neljänneksessä x on in negtiivinen j y positiivinen. 3. neljänneksessä x j y ovt in negtiivisi. 4. neljänneksessä x on in positiivinen j y negtiivinen. III neljännes IV neljännes 4
Tehtäviä Merkitse pisteiden koordintit Merkitse pisteiden koordintit A(, ) B C D E F G H Merkitse pisteiden koordintit A B C D E F G H Merkitse pisteiden koordintit A B A C E B D F C E G D F H G H 5
Merkitse koordintistoon seurvt pisteet A(3, 4) B( 2, 5) C( 3, 3) D( 4, 5) E(3, 4) F(2, 5) G( 3, 0) H(0, 5) Merkitse koordintistoon seurvt pisteet A(1, 1) B(1,5; 1) C(2, 1) D(2; 1,5) E(2, 2) F(2,5; 2) G(3, 2) H(3,5; 2) Merkitse koordintistoon seurvt pisteet A(1, 2) B(0, 0) C(0, 2) D( 4, 0) E(1, 1) F(0, 5) G(1, 0) H(2, 3) Merkitse koordintistoon seurvt pisteet A(0; 2,5) B( 1,5; 2) C(3,5; 2) D( 1 2, 3) E( 1,5; 1,5) F(2,5; 1,5) G(0; 0,5) H(2 1 3, 1) 6
Tee seurvt tehtävät vihkoosi. Piirrä koordintisto j merkitse siihen pisteet A( 3, 2) B( 1, 4) C(1, 2) D( 2, 1) E(0, 1) Yhdistä viivoittimell pisteet ABC j DE. Mikä kuvio syntyi? Piirrä koordintisto j merkitse siihen pisteet A( 1, 2) B( 2, 4) C( 4, 4) D( 5, 2) E( 1, 3) F(3, 2) G(2, 4) H(0, 4) Yhdistä viivoittimell pisteet ABCDEFGHA. Mikä kuvio syntyi? Piirrä koordintisto j merkitse siihen pisteet A(3, 3) B( 3, 3) C( 3, 1) D(3, 1) E(4, 0) F(0, 4) G( 4, 0) H(1, 3) I(1, 1) J(2, 1) K(2, 3) Yhdistä viivoittimell pisteet ABCDA, EFG JA HIJK. Mikä kuvio syntyi? Piirrä koordintisto j merkitse siihen pisteet A(0, 2) B( 3, 4) C( 2; 0,5) D( 5, 2) E( 1,5; 2) F(0, 5) G(1,5; 2) H(5, 2) I(2; 0,5) J(3, 4) Yhdistä viivoittimell pisteet ABCDEFGHIJA. Mikä kuvio syntyi? Piirrä koordintisto j merkitse siihen pisteet A(0, 1) B(0, 5) C(1, 1) D(2, 5) E(2, 1) F(4, 2) G( 2, 2) H(1,5; 2) I(2, 4) J(0, 4) K(0,5; 2) Yhdistä viivoittimell pisteet ABCDEFGA j HIJK. Mikä kuvio syntyi? 7
2. Kulmien nimeäminen j luokittelu Nimeäminen Kulm voidn nimetä kolmell eri tvll Kolmen pisteen vull. Pisteet merkitään järjestyksessä: oike kylki, kärkipiste, vsen kylki ABC Kärkipisteen perusteell B Kreikklisill kkosill Näistä viimeisin on se eniten lskuiss käytetty j sillä kuvtn nimenomn kulmn suuruutt, joten sitä vrten pitää opetell tunnistmn j kirjoittmn inkin muutmt ensimmäiset kreikkliset (pienet) kirjimet: Tietokone γ δ ε Käsin (kopioi tulult) Kirjimen nimi lf beet gmm delt epsilon Luokittelu Kulmt luokitelln niiden suuruuden mukn. Tärkeimmät luokittelut terävä kulm < 90 suorkulm = 90 tylppä kulm 90 < < 180 Hrvemmin käytettyjä nollkulm = 0 oikokulm = 180 täysi kulm = 360 kover kulm 0 < < 180 kuper kulm 180 < < 360 8
Tehtäviä Nimeä kulmt kolmen pisteen vull Merkitse kulmien pisteiden kirjimet, kun = ABC = DEF γ = GHI δ = JKL = = γ = δ = Nimeä kulmt kolmen pisteen vull Mitkä ll olevist kulmist ovt ) teräviä b) tylppiä c) suorkulmi d) koveri e) kuperi e) oikokulmi = = γ = δ = Merkitse kulmien pisteiden kirjimet, kun = ABC = DEF γ = GHI δ = JKL Piirrä vihkoosi j merkitse ) terävä kulm b) tylppä kulm c) suorkulm δ d) kuper kulm γ 9
3. Kulmien mittminen j piirtäminen Esimerkki 1. Piirretään kulm, jonk suuruus on 70. 4. 5. 2. 3. 1. Piirrä ensimmäinen kylki. 2. Aset piirtokolmion nollkoht kulmn kärkeen. 5. Piirrä toinen kylki. 3. Aset viivimen reun kiinni kulmn kylkeen. 6. Merkitse kulmn 4. Merkki stemitn oiken kohtn. merkki (kri). 70 Esimerkki 2. Mittn kulmn suuruus. ) b) 1. Nollkoht kulmn kärkeen. 2. Viivin kiinni kulmn kylkeen. 3. Vlitse steikko. Se kumpi lähtee pienistä luvuist kulmn kyljestä. 4. Lue kulmn suuruus. = 63 = 127 Esimerkki 3. Mittn yli kupern kulmn (yli 180 ) suuruus. (Täyden ympyrän stemäärä on in 360.) Mittmll sdn kover kulm = 68 Sitten lsketn kuper kulm = 360 = 360 68 = 292 Jokinen voi itse miettiä, miten piirtäisi esimerkiksi 285 kulmn. J kyllä niitä pitää vielä piirtääkin. :) 10
Tehtäviä Arvioi ensin kulmien suuruudet. Trkist rviosi mittmll. Arvio = Mittus = Arvio = Mittus = Arvio δ = γ Arvio γ = Mittus γ = Mittus δ = δ Arvio ε = Mittus ε = ε Mitt kulmien suuruudet. γ δ 11
Piirrä kulmt. Vstuksen voit trkist summittisesti siitä, mihin ruutuun kulmn kylki osuu. A1 B1 C1 D1 E1 F1 G1 H1 I1 J1 K1 L1 M1 N1 O1 ) = 30 b) = 120 A2 B2 C2 D2 E2 F2 G2 H2 I2 J2 K2 L2 M2 N2 O2 c) γ = 56 d) δ = 157 Piirrä kulmt. Vstuksen voit trkist summittisesti siitä, mihin ruutuun kulmn kylki osuu. A3 B3 C3 D3 E3 F3 G3 H3 I3 J3 K3 L3 M3 N3 O3 ) = 230 b) = 127 A4 B4 C4 D4 E4 F4 G4 H4 I4 J4 K4 L4 M4 N4 O4 c) γ = 16 d) δ = 197 A5 B5 C5 D5 E5 F5 G5 H5 I5 J5 K5 L5 M5 N5 O5 12
Tee seurvt tehtävät vihkoosi Piirrä koordintistoon seurvt pisteet: A( 2, 5), B(10,7) j C(7, 1) Piirrä j mitt seurvt kulmt steen trkkuudell = ABC = CAB Piirrä koordintistoon seurvt pisteet: A( 3, 3), B(7,7), C(7, 2) j D(1, 5) Piirrä j mitt seurvt kulmt steen trkkuudell = ABC = CDA Piirrä koordintistoon seurvt pisteet: A(1, 3), B(7,9), C(7, 1), D( 5, 7) j E( 6, 3) Piirrä j mitt seurvt kulmt steen trkkuudell = ABC = CED γ = EDB δ = ACE 13
4. Ristikulmt j vieruskulmt Ristikulmt Kun kksi suor leikkvt toisens, snotn vstpäisiä kulmi toistens ristikulmiksi. Ristikulmt ovt in yhtä suuri. δ γ Viereisessä kuvss = γ j = δ. Vieruskulmt Kun suor jetn khteen kulmn, snotn näitä kulmi vieruskulmiksi. Vieruskulmien summ on in 180. Esimerkki 1. ) Rtkise kuviost. 65 = 65 ristikulm Viereisessä vstuksess ei ole mitään liik. Jos ei minitse, että kyseessä on ristikulmt, ei vstust ole perusteltu. b) Rtkise kuviost. 126 = 180 126 = 54 c) Rtkise kuviost γ, δ j ε. 112 γ = 112 ristikulm = γ = 180 112 = 68 14
Tehtäviä Rtkise kulmt,, γ j δ. Rtkise kulmt,, γ j δ 45 86 50 83 γ 58 122 γ δ 132 δ 141 Rtkise kulmt,, γ j δ. 36 Rtkise kulmt,, γ j δ 48 45 128 γ γ 139 129 δ 107 78 δ 15
Rtkise kulmt j. Rtkise kulmt,, γ j δ. 41 39 43 31 108 Rtkise kulmt j. γ δ 50 30 50 Rtkise kulmt j 85 60 47 43 139 Rtkise kulmt,, γ j δ. 25 60 84 39 γ 100 δ 16
Rtkise j yhtälön vull. + 84 + 108 Rtkise j yhtälön vull 2 32 + 14 + 110 3 10 17
5. Suort, yhdensuuntisuus j kohtisuoruus Yhdensuuntisuus Kksi suor ovt keskenään yhdensuuntisi, kun ne eivät leikk toisin. Yhdensuuntiset suort ovt jok kohdst yhtä kukn toisistn. (Jos jompikumpi edellä olevist ehdoist pätee, pätee toinenkin.) Merkintä: t trkoitt, että suort s j t ovt yhdensuuntisi. Kohtisuoruus j normli Kksi suor ovt kohtisuorss, jos niiden välinen kulm on 90. Suor s kohtisuorss olev suor kutsutn suorn s normliksi. Merkintä: t trkoitt, että suort s j t ovt kohtisuorss toisiins nähden. Suorien j vähän muidenkin nimeäminen: Suor Puolisuor Jn Kksi tp nimetä: Khden pisteen vull suor AB ti suor BA Pienellä kirjimell suor Nimetään khden pisteen vull. Ensin lkupiste j sitten kuttkulkupiste. puolisuor AB Kksi tp nimetä: Khden pisteen vull jn AB ti jn BA Pienellä kirjimell jn 18
Tehtäviä Mitkä suorist ovt yhdensuuntisi suorn s knss? Piirrä kksi suorn s knss yhdensuuntist suor siten, että toinen kulkee pisteen O j toinen pisteen P kutt. b s s c d e f Vrmist mittmll, onko uudet suort oikesti yhdensuuntisi s:n knss. Mitkä suorist ovt yhdensuuntisi suorn m knss? m c d e f Mitkä suorist ovt kohtisuorss suorn s knss? b c d e f g b s Mitt suorn etäisyys suorist b j c. Piirrä suorlle s kksi normli. Toinen kulkee pisteen O j toinen pisteen P kutt. b c s 19
6. Smnkohtiset kulmt Smnkohtisten kulmien määrittäminen Olkoon kksi suor m j n sekä niitä molempi leikkv suor s. Suorn s molemmiss leikkuskohdiss on neljä kulm. Kulmt, jotk ovt eri rykelmissä smss kohdss eli osoittvt smn suuntn, ovt smnkohtisi kulmi. Kuvn tilnteess keskenään smnkohtisi kulmi ovt: j j γ j γ δ j δ. n m γ s δ' γ δ Smnkohtisille kulmille on olemss myös toinen perinteinen määritelmä, joss kulmlle on kksi smnkohtist kulm j γ. Tämä ei kuitenkn sovi yhteen smnkohtiset -snn knss j knsinvälisessä kirjllisuudess se ei ole käytössä. Tulevien tehtävien tekemisen knnlt molemmt määritelmät toimivt yhtä hyvin. Smnkohtisille kulmille on olemss yksi olenninen käyttötrkoitus, jok esitellään seurvksi. Suorien yhdensuuntisuus j smnkohtiset kulmt Olkoon kksi suor m j n sekä niitä molempi leikkv suor s. Jos smnkohtiset kulmt ovt yhtä suuri ovt suort m j n yhdensuuntiset. (sm toimii toisinkin päin) Jos suort m j n ovt yhdensuuntiset, ovt smnkohtiset kulmt yhtä suuri Esimerkki 1. ) Ovtko kuvn suort j b yhdensuutiset? 74 b) Kuink suuri on, kun suort j b ovt yhdensuuntiset. b 74 Smnkohtiset kulmt ovt yhtä suuri, joten 103 b ǁ b. ǁ b j smnkohtiset kulmt, joten = 103 (Huom, miten vstus ilmoitettiin symbolisesti.) (Mllivstus on tässä lyhyt, jott siitä voi ott mlli omnkin vstvn vstukseen.) 20
Merkitse kuvn kulmn knss smnkohtinen kulm. Suort n j m ovt yhdensuuntisi. Määritä. n s m 47 Merkitse kuvn kulmn knss smnkohtinen kulm. Suort n j m ovt yhdensuuntisi. Määritä n 55 m Suort n j m ovt yhdensuuntisi. Määritä. n m 54 s 41 Suort n j m ovt yhdensuuntisi. Määritä n 89 Suort n j m ovt yhdensuuntisi. Määritä. s n m m 114 46 Suort n j m ovt yhdensuuntisi. Määritä Suort n j m ovt yhdensuuntisi. Määritä. s n n 53 62 m 119 m 21
Ovtko suort j b yhdensuuntiset? Ovtko suort j b yhdensuuntiset 123 52 b 123 61 b 65 Ovtko suort j b yhdensuuntiset? 120 Ovtko suort j b yhdensuuntiset b 123 127 59 b Ovtko suort j b yhdensuuntiset? 68 b 64 114 Suort n j m ovt yhdensuuntisi. Määritä käyttäen yhtälöä. n s Ovtko suort j b yhdensuuntiset? 65 115 b m + 56 22
7. Kertus 1 23
8. Vstuksi Vstuksi kpl1 A(1, 3) B(3, 2) C(2, 3) D( 3, 2) E( 3, 3) F( 4, 4) G(0, 4) H(3, 2) A( 5, 1) B(0, 3) C(3, 0) D( 2, 2) E(0, 4) F(0, 0) G(0, 4) H( 4, 0) A(4,5; 2) B(0, 1) C(5, 3) D(0, 1) E( 3,5; 1) F( 3, 1) G( 1,5; 0) H(2, 2) A(0, 2) B( 1, 5) C(0, 0) D( 2,5; 1) E( 1,5; 0) F(4, 3) G(1, 4) H( 5, 4) 24
Vstuksi kpl 2 = ABC γ = GHI = PTR γ = JOX = FED δ = JKL = MSN δ = KAL 25
) A j C b) B j F c) E d) A, B, C, E j F e) D j G e) I Kulm H = 360 ei ole mitään näistä. Vstuksi kpl 3 = 40 = 135 γ = 250 δ = 110 ε = 30 = 330 = 32 γ = 180 δ = 8 ) H1 b) I1 c) E2 d) C2 ) A4 b) I3 c) K4 d) D5 = 60 = 43 = 68 = 90 = 45 = 80 γ = 105 δ = 44 c j e etäisyys b:hen 1,2 cm j c:hen 3,5 cm. Etäisyyksien pitäisi oll jok kohdss 2,1 cm j 3,6 cm c j e = 133 = 96 = 135 = 75 Kyllä Ei Ei Kyllä Ei Kyllä = 62 Vstuksi kpl 4 = 45 = 83 γ = 58 δ = 132 = 144 = 135 γ = 41 δ = 51 = 50 = 94 γ = 58 δ = 39 = 132 = 52 γ = 107 δ = 78 = 100 = 41 = 100 = 90 = 34 = 34 γ = 100 δ = 41 = 43 = 37 γ = 50 δ = 40 = 35 = 16 = 48 = 36 = 46 = 50 Vstuksi kpl 4 j c 26