Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa
|
|
|
- Viljo Jokinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) tämä on ihan helppoa a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117
2 esimerkiksi (3, 6), (1, 0), (1, 6), (2, 9), (3, 12). 9. a) 6 yksikköä b) 5 yksikköä c) 4 yksikköä d) 8 yksikköä 10. a) (2, 0) b) (0, 2) 11. a) neljännessä b) ensimmäisessä c) kolmannessa d) toisessa 118
3 12. a) (7, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6) b) (3, 6), (3, 4), (3, 5) c) (6, 5), (5, 5) d) (1, 7) a) (5,0), (0,0), (100,0) b) (0,0), (0,3), (0,4) 15. (1,3) 16. A, E 17. r tai AE, t tai BF, s tai CD 18. a) jana CD b) puolisuora FE c) suora s tai suora GH d) puolisuora IJ e) piste A 19. Puolisuoralla on alkupiste. 20. a) ei b) kyllä c) ei 21. a) t, u b) u
4 suorat eivät ole yhdensuuntaisia 23. a) ääretömän monta b) yksi c) yksi tai ei yhtään 24. eräs ratkaisu
5 a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi 30. eräs ratkaisu 31. ei ( 3, )
6 (,4 ) a) on b) ei c) on 36. a) kyllä b) ei c) ei 37. (7,6) 38. (1,2) 39. kyllä 40. ei 41. nollakulma 0, suora kulma 90, oikokulma 180, täysi kulma a) 65 b) a) 59 b) 90 c) a) 151 b)
7 45. a) 180 b) 90 c) 270 d) BAC, CAB, A 47. a) kovera kulma b) kupera kulma 48. terävät kulmat a) b, c, d, g b) a, f 51. a) kärki b) oikea kylki c) vasen kylki 0qD 90q, tylpät kulmat 90qD 180q 52. a) kovera kulma, b) terävä kulma c) kupera kulma d) täysi kulma e) kovera kulma, tylppä kulma 53. a) a, d ja g b) b ja e
8 q 58. a) 90 o b) 135 o c) 45 o d) 90 o eräs ratkaisu 61. eräs ratkaisu a) 120 o b) 70 o ja 140 o 65. a) 6 o b) 90 o c) 120 o d) 210 o 124
9 66. a) 30 o b) 150 o c) 105 o d) 135 o q 68. a) 1,852 km b) 11,1 km/h 69. a) G, E b) J 70. a) ei b) ei c) kyllä 71. Eivät, koska niiden erinimiset kyljet eivät yhdy. 72. $ D 159, E $ o, 27 o ja 153 o 74. a) 31 o f) 149 o 75. a) 90q b) 90q 76. $ E 130, J D 50q q 78. a) 40q b) 150q 125
10 c) 98q d) 139q o 80. D 81. D 82. D 46q, E 71q, J 32, 5q 69q, E 90q, J 21q 28q 83. mahdoton tapaus 84. a) 36q b) 18q c) 40q d) 45q q ja 135q 86. a) 133q45' b) 141q49'10'' q o q 90. a) C ja E b) B c) A d) E e) D 91. a) x ja z 126
11 b) y 92. Ei, koska leikkaava suora ei ole niillä samannimisenä kylkenä. 93. D 94. D 59q, E 107q 105q, E 102q 95. a) kyllä, samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret b) kyllä, samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret c) ei 96. Ei, samankohtaiset kulmat ovat keskenään yhtä suuret ainoastaan silloin, kun leikatut suorat ovat yhdensuuntaisia q 98. Eivät ole, koska samankohtaiset kulmat eivät ole yhtä suuret. 99. D 125q, E 125q 100. x 56q, y 118q 101. D 48q, E 55q, J 125q 102. D 85q, E 117q, J 115q, G 54q 103. x 30q, y 80q, z 30q 104. x 27q, y 51q
12 106. a) AD, BE b) BC, CE c) BE 107. a) tangentti b) keskipiste c) säde d) kaari säde [m] halkaisija [m] 3,0 6,0 4,1 8,2 2,45 4,9 20,4 40,8 66,95 133, a) 270q b) 234q c) 318q q ja 230q 113. a) 286q b) 255q c) 328q 128
13 114. a) 135q b) 51q c) 123q 115. a) segmenttti b) jänne c) kehä d) sektori a) 3,4 cm 2 b) 8,4 cm 2 c) 5,0 cm a) 1 cm 4 b) 12 5 cm c) 7 2 cm a) ympyrän sisäpuolella b) ympyrän ulkopuolella c) ympyrän kehällä 121. eräs ratkaisu
14 a) tosi b) epätosi, ympyrän säde on puolet halkaisijan pituudesta c) tosi, ympyrässä ei voi olla halkaisijaa pidempää jännettä d) epätosi a, b, e, f 128. n, m, l
15 Keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä
16
17 Piirretään suoralle normaali. Muodostunut suorakulma puolitetaan geometrisesti (2, 1) b ja e 150. a) kolmio ABC b) kuusikulmio HIJKLM c) 8kulmio OPQRSTUV d) nelikulmio TUVX 151. a) A b) AB c) EAB d) AD 152. a) kuusikulmio ABCDEF b) 720q
18 a) 214q b) 37q c) 58q d) 47q e) 37q 154. a) 2, 4, 5, 6 b) 2, 4 c) 2, 4 d) 2, 4, a) ABC, BCD, ABF, BCF, CDF b) ABDE, ACDE c) ABCDE d) ei ole 156. a) kolmioita 8, suunnikkaita 6 b) kolmiota 4, suunnikkaita 1 c) kolmioita 10, suunnikkaita a) T b) ET c) T d) ET e) T 161. eräs ratkaisu 134
19 a) 53 o b) 25 o c) 26 o 135
20 a) 75 o b) 60 o c) 50 o d) 60 o e) 45 o f) 90 o g) 58 o 172. suorakulmainen kolmio 173. Tylppäkulmainen kolmio 174. kaikki on 60q 175. a) 76 o b) 31 o c) 108 o 176. a) 140q b) 24q c) 80q 177. a) 64q b) 115q c) 122q d) 102q 136
21 q 110q q 180. a) 66,4 o b) 47,2 o q 182. A B C Kolmion tyyppi 50q 30q 100q tylppäkulmainen 50q 40q 90q suorakulmainen 60q 60q 60q tasasivuinen 100q 40q 40q tasakulkinen 50q 70q 60q teräväkulmainen 20q 50q 110q tylppäkulmainen 183. x 80q, y 118q 184. D 25q, E 113q 185. D 27q, J 27q, E 20q 186. Tontti ei voi olla kolmionmuotoinen, koska lyhimmät sivut ovat yhteensä 700 m. Tontti on itse asiassa vain suora, jolla ei ole pintaalaa q ja 123q 188. y = z = 130q x = 78q q 190. x = 20 o, 40 o, 60 o ja 80 o 191. d 137
22 192. a) 900 o b) 1080 o c) 1440 o d) 1620 o e) 1800 o 193. Suora muodostaa sivujen jatkeiden kanssa kulman, joiden suuruudet ovat (kulman B kanssa samankohtainen kulma) (kulman C ristikulma). (kulman A kanssa samankohtainen kulma) <KGHVVlNXOPDWPXRGRVWDYDWRLNRNXOPDQ6LLV. Û a) tasasivuinen kolmio b) neliö 196. Säännöllisessä viisikulmiossa kaikki kulmat ova yhtäs suuria ja sivut yhtä pitkiä a) 60q b) 90q 198. a) 180q b) 360q 199. a) 5 b) 9 c) 14 d) sivulla D
23 203. a) 60q b) 720q c) 120q 204. a) 45q b) 1080q c) 135q 205. Kuvio Yhden kulman suuruus Kulmien summa Tasasivuinen kolmio 60q 180q Neliö 90q 360q Säännöllinen 5kulmio 108q 540q Säännöllinen 6kulmio 120q 720q Säännöllinen 7kulmio 128,6q 900q Säännöllinen 8kulmio 135q 1080q Säännöllinen 9kulmio 140q 1260q 206. Sivua vastaavan keskuskulman suuruus on 60q ja säännöllisen kuusikulmion kulman suuruus on 120q. Keskuskolmio on tasakylkinen, jolloin myös kantakulmat ovat 60q ja siten keskuskolmio on tasasivuinen a) 9,0 cm b) 14,0 cm c) 12,5 cm d) 12,0 cm a) 18 yksikköä b) 24 yksikköä c) 28 yksikköä 211. a) 5, cm = cm b) 23,9 cm c) 340 cm d) 32 cm e) cm = cm f) 1223 cm 139
24 g) 257,8 cm h) 0,03 cm m dam hm km ,5 1,85 0, , ,3 0, ,6 mm cm dm m , ,4 0, ,4 5, a) 24,0 m b) 14,4 m c) 24 m m 216. Tkirjain: 20,0 cm Lkirjan: 17,0 cm 217. Yksi tapa on asettaa peräkkäin 13 cm ja 15 cm pituiset porkkanat. Ja laittaa sitten 10 cm porkkana näistä toisen viereen. Näiden erotuksena 28 cm 10 cm saadaan mitattua 18 cm matka W / 76 L cm ,6 m = 56 dm 221. a) 16 m b) 25,6 m 222. a) 38 cm b) 48 cm 140
25 223. a) 103 mi b) 280 mi c) 1467 mi 224. a) hm, hm, hm b) dam, dam, dam yksikköä 226. a) 6 cm b) 5 cm c) 3 cm 227. a) x + y + z b) x + x + x + x = 4x c) 3y + 3y + 2x + 2x = 4x + 6y a) 4,0 m 2 b) 9,0 m 2 c) 25 m 2 d) 81 m a) 12 cm 2 b) 7,2 cm 2 c) 23 cm m m 2 a ha km , , ,68 0, ,62 mm 2 cm 2 dm 2 m ,07 0, ,2 0,
26 234. a) 14 ruutua b) 15 ruutua , , cm 2 = 3 dm ,39 m 2 = 1939 dm a) 0,03 m 2 b) m 2 c) 4,58 m 2 d) m 2 e) 0,4003 m m a) 32,5 m 2 b) olohuone 19,5 m 2, keittokomero 6,0 m 2, kylpyhuone 4,0 m 2, eteinen 3,0 m 2 c) ¼ 240. a) 556 laattaa b) ¼ m 6 m /2 5. Alueesta muodostuu suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat 6 m ja m Pintaalaksi tulee silloin 242. a) 5 cm b) 9 cm c) 11 cm d) 15 cm 243. a) 16 cm 2 b) 25 cm 2 c) 100 cm 2 d) 625 cm ¼ 6 m 2 5 m 30 m. 142
27 ,3 m ruutua kg 248. Pienen neliön pintaala 1 4 cm 4 cm 16 cm A 2 15 cm 4 cm 10 cm 110 cm. 2 A. Suorakulmion pintaala 2 Kokonaispintaala on 1 A2 16 cm 249. Leveys on 178 m ja pintaala on 3,5 ha. 110 cm A. 126 cm m 0,080 m 375 m ha = 2,53 km 2 Moottoritiealueen leveys on keskimäärin 2 2,53 km 25,8 km 0,0981km 9,81m neliön pintaalasta Merkitään tontin sivun pituutta a:lla. Tontin pintaala A = a 2 a. Rakennuksen pitempi sivu on 2 a, ja lyhempi sivu
28 Rakennuksen pintaala on a a a. Siis rakennuksen pintaala on kuudesosa tontin pinta 6 alasta ja pihaalueen siten 6 5 tontin pintaalasta A. 5 A 6 5A A Vastaus: Tontin ala on 480 m a) 18 cm 2 b) 36 cm 2 c) 66 cm 2 d) 90 cm a) 25 cm 2 b) 36 cm 2 c) 66 cm 2 d) 14 cm a) 160 cm 2 b) 54 cm 2 c) 20 m cm a) 5 ruutua b) 14 ruutua c) 12 ruutua 144
29 260. a) 30 cm 2 b) 62,5 cm 2 c) 165 cm ,1 m a) 12 cm 2 b) 30 cm 2 c) 24 cm 2 d) 72 cm a) 181 b) 78 c) 119, a) 4 cm b) 9 cm c) 11 cm d) 16 cm a) m 2 b) m 2 c) m a) ¼ b) ¼ c) ¼ cm 270. a) 1400 cm 2 b) 5600 cm a) 5600 km 2 145
30 b) 5770 km a) 5 cm b) 7 cm c) 11 cm d) 15 cm ,2 m 274. Alueen A1 pintaala: Alueen A2 pintaala: A 1 A 2 6 cm 10 cm 2 60 cm 8 cm 6 cm 2 48 cm A 3 10 cm 6 cm 6 cm10 cm 256 cm Alueen A3 (neliö) pintaala: 2 Alueen A4 pintaala: A 4 10 cm 10 cm/2 Kokonaispintaala on A1 A2 A3 A4 50 cm 60 cm cm cm 2 50 cm cm Sivun pituus on 13,6 m ja piiri 54,6 m cm Kolmion ABC ala saadaan vähentämällä suorakulmion CDEF alasta kolmioiden CDA, AEB ja BCF alat, jolloin saadaan
31 a) 1 yksikkö b) 5 yksikköä c) 12 yksikköä d) 7 yksikköä 147
32 290. a) (6, 0), (2, 0), (0, 0) b) (0, 6), (0, 11), (0, 0) 291. a) toisessa b) neljännessä c) ensimmäisessä d) kolmannessa 292. a) origoksi b) negatiivinen, positiivinen c) positiivinen, negatiivinen d) negatiivinen, negatiivinen 293. a) d) A 294. a) n, o b) ei mikään c) n, o d) o a) janaksi b) keksinormaaliksi c) puolisuoraksi e) normaaleiksi 299. a) (2, 2) b) (3, 5) c) (5, 5) d) (3, 3) 300. a) ei 148
33 b) ei c) kyllä 301. a) 70 b) a) kärki b) aukeama c) vasen kylki d) oikea kylki 304. a) 108 b) 26 c) a) B b) C c) A 306. a) kovera kulma, terävä kulma b) kovera kulma, tylppä kulma c) kupera kulma d) kupera kulma e) oikokulma q 149
34 a) 100q b) 78q c) 62,9q d) mahdoton tapaus 311. a) 90q b) 34q c) 0q d) mahdoton tapaus 312. a) Kun kaksi kulmaa on vierekkäin siten että niiden kärjet ja erinimiset kyljet yhtyvät ja toiset erinimiset kyljet muodostavat suoran, ovat kulmat toistensa vieruskulmia. b) Kun kaksi suoraa leikkaavat toisensa, syntyy leikkauskohtaan neljä kulmaa. Näistä ristikkäiset ovat ristikulmia ja vierekkäiset vieruskulmia a) D, J b) E 314. D = 156q ja E = 24q 315. a) 45q b) 146q c) 96q d) 137q o 317. a) epätosi b) tosi c) epätosi d) tosi a) e ja h 150
35 b) g ja f 320. a) yhtäsuuret b) yhdensuuntaiset 321. a) x = 135q ja y = 45q b) x = 135q ja y = 45q c) x = 132q ja y = 48q 322. a) ovat, samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret b) eivät, samankohtaiset kulmat eivät ole yhtäsuuret c) ovat, samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret a) säde b) halkaisija c) kaari d) halkaisija e) sektorin keskuskulma q ja 303q q 329. a) 293q b) 105q 151
36 c) 337q 330. a) ympyrän sisäpuolella b) ympyrän ulkopuolella c) ympyrän kehällä 331. Tövälineinä ovat harppi ja viivain. Viivainta käytetään ainoastaan suorien viivojen piirtämiseen. Mittaamiset suoritetaan harpilla, jolla voidaan erottaa yhtä pitkiä janoja a) Ei voida piirtää kolmiota. b) Sivun AC pituuden pitää olla vähemmän kuin 18,0 cm
37 338. Piirrä ensiksi suoralle normaali, jonka puolitat geometrisesti. Puolita edelleen muodostuva 45q kulma geometrisesti a) suorakulmio b) suorakulmainen kolmio c) puolisuunnikas d) tasakylkinen kolmio e) suunnikas f) tylppä kulma g) ympyrä h) neliö i) vinoneliö j) jana k) puolisuora q 341. a) viisikulmio ABCDE b) 540q 342. a) 70q b) 267q c) 53q d) 130q e) 20q q q, 110q ja 110q 345. a) ei b) kyllä c) kyllä d) kyllä
38 a) Tasakylkinen kolmio b) Tasasivuinen kolmio c) Suorakulmainen kolmio d) Tylppäkulmainen kolmio 349. a) 80 o b) 55 o c) 60 o d) 50 o 350. Tylppäkulmainen kolmio 351. molemmat 60q 352. a) 120q b) 40q c) 100q 353. a) 25º b) 35º c) 42,5º d) Mahdoton tapaus 354. a) 64q b) 174q c) 152q d) 99q 355. a) kyllä b) ei 356. x 46q, y 36q 357. kaikki yhtä suuria eli 60 q
39 a) 51,4q b) 900q c) 128,6q 361. a) 90q b) 45q 362. a) 100 cm b) 2 cm c) 15,6 cm d) 800 cm 363. a) 2 m b) 1000 m c) 56 m d) 25 m 364. a) 17,0 cm b) 20,0 cm c) 18,0 cm 365. a) 1,7 dm b) 2,0 dm c) 1,8 dm 366. a) 7,5 m b) 12,0 m c) 2,3 dm d) 5,6 dm m W / 71 L ,0 m 155
40 370. tunnus km 2 ha a m 2 dm 2 cm 2 mm 2 nimi neliökilometri hehtaari aari neliömetri neliödesimetri neliösenttimetri neliömillimetri 371. a) 640 dm 2 b) 2300 dm 2 c) 14 m 2 d) 0,56 dm 2 e) 89 km a) 9 m 2 b) 100 m 2 c) 121 cm 2 d) 2,25 cm ,19 m 2, 419 dm cm Suorakulmion kanta Suorakulmion korkeus Suorakulmion pintaala 9,0 cm 8,0 cm 72 cm 2 7,0 m 12,0 m 84 m 2 20,0 cm 35,0 cm 700 cm 2 16,0 mm 10,0 mm 160 mm 2 8,0 mm 11,0 mm 88 mm 2 5,0 m 13,0 m 65 m ,5 ha ,76 m a) sivu b) säde 156
41 c) halkaisija d) pintaala e) kulman puolittaja f) kulma g) piiri h) normaali i) korkeus j) kyljet 379. a) 6 ruutua b) 4 ruutua c) 8 ruutua 380. a) 75 cm 2 b) 33 cm 2 c) 40 cm Kolmion kanta Kolmion korkeus Kolmion pintaala 6,0 cm 4,0 cm 12 cm 2 18,0 m 3,0 m 27 m 2 11,0 m 10,0 m 55 m 2 8,0 cm 9,0 cm 36 cm 2 13,0 m 10,0 m 65 m 2 8,0 cm 6,0 cm 24 cm ,8 m m ,4 cm
42 Nelikulmion ABCD ala saadaan vähentämällä suorakaiteen EBFD alasta kolmioiden EAD, BFC ja CFD alat
a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
Tasokuvioita. Monikulmio: Umpinainen eli suljettu, itseään leikkaamaton murtoviivan rajaama tason osa on monikulmio. B
Tasokuvioita GOMTRI M3 Murtoviiva: Sanotaan, että kaksi janaa on liitetty toisiinsa, jos niiden toinen päätypiste on sama. Peräkkäin toisiinsa liitettyjen janojen muodostamaa viivaa kutsutaan murtoviivaksi,
Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi
Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,
14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.
1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri
Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.
KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden
302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360
Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja
GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin
AVOIN MATEMATIIKKA Osio 2: pinta-aloja
Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA Osio : pinta-aloja Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 SI-järjestelmä ja ISO Päivittäiseen elämäämme liittyy paljon mittaamista.
AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja
Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma
1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,
2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA
Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia
Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5
Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =
1 Kertausta geometriasta
1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat
Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka
2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
MAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.
Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035
Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli
Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat
TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)
Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen
GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO
GEOMETRIN PERUSTEIT Maria Lehtonen Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MTEMTIIKN LITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Piste, suora ja taso........................ 3 2.2 Etäisyys..............................
5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.
5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja. (Omaan käyttöön muuntanut ja muokannut Jan-Erik Sandelin)
AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja Marika Toivola Tiina Härkönen (Omaan käyttöön muuntanut ja muokannut Jan-Erik Sandelin) Alkuperäinen sisältö on lisensoitu avoimella
Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Valitse Näkymät->Geometria PIIRRETÄÄN KOLMIOITA: suorakulmainen kolmio keksitkö, miten korostat suoraa kulmaa? tasakylkinen kolmio keksitkö,
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste
7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Geometria 2 Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 8. Keskinormaali (kulmaviivaimella tai geometrisesti)... 4 9. Kulman puolittaminen ja siirtäminen geometrisesti...
Pythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet
3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin
( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten
1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,
Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi
2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset
Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy
Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
1 Kappaleet ympärillämme 1.
1 1 Kappaleet ypärilläe Mitkä kappaleista ovat a) lieriöitä B, D ja F b) kartioita? A ja E A B C D E F Nieä avaruuskappale. a) b) c) d) kuutio ypyräkartio (neliöpohjainen) pallo pyraidi Kuinka onta pikkukuutiota
Kolmion kulmien summa. Maria Sukura
Kolmion kulmien summa Maria Sukura Oppituntien johdanto Oppilaat kuulevat triangelin äänen. He voivat katsoa sitä ja yrittää nimetä tämän soittimen. Tutkimme, miksi triangelia kutsutaan tällä nimellä,
4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT
Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
Kenguru 2010 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 5
Kenguru 2010 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 5 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1
Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.
Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on
Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
GEOMETRIAN PERUSTEITA
GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden
11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa.
11. Geometria Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11.1 Valikot ja näppäintoiminnot Kun valitset päävalikosta Geometry, näyttö tyhjenee ja näkyviin ilmestyy uusi painikevalikko
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla
Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion
GeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1
Pohdin projekti 1 GeoGebra ohjeita ja tehtäviä 2 1 Lukuvuosina 2008-2012 Tampereen normaalikoulun matematiikan opetusharjoittelijat ovat olleet rakentamassa joko Capri-oppaita ja niiden pohjalta nyt käsillä
HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen
Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.
9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
Matematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun
Matematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon
Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit
Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13
Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä
Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA
PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1