7.lk matematiikka. Geometria 1. Janne Koponen versio 2.0

Transkriptio

1 7.lk matematiikka 1 Janne Koponen verio 2.0

2 Tämä monite on tehty 7.lk. geometrian opetukeen ja olen käyttänyt itä ite Hatanpään koulua. Jo joku opettaja haluaa tätä kuitenkin käyttää omaa opetukeaan, on e allittua. Moniteen eteenpäin myyminen ja omiin nimiin ottaminen on kuitenkin kielletty. Muokkaan ja korjailen monitetta omien tarpeideni mukaan ja julkaien uuimman verion (jo muutokia tulee) koulumme kotiivuilla ooitteea: Tämä monite on uunniteltu iten, että oppila tekee uurimman oan tehtävitä tähän moniteeeen. Oa tehtävitä on kuitenkin vihkotehtäviä. Tämä monite iältää 7.lk. geometriata noin yhden kolmanneken, eli moniteet 2 ja 3 iältävät loput. Arvioinnin kannalta näiden kolmen moniteen arvotelu on ollut kahden koealueen aiat, eli omaa arvoteluani huomioin jokaien moniteen iällöt 2/3 painotukella verrattuna tyypillieen koealueeeen. Tämä ii tiedoki omille oppilailleni, joku muuhan voi arvioida toienlaiella painotukella. Maalikuua 2018 (veriota 2.0 kirjoittaea) Janne Koponen 2

3 Siälly 1. Koordinaatito Kulmien nimeäminen ja luokittelu Kulmien mittaaminen ja piirtäminen Ritikulmat ja vierukulmat Suorat, yhdenuuntaiuu ja kohtiuoruu Samankohtaiet kulmat Kertau Vataukia

4 1. Koordinaatito Koordinaatitoa jokaielle piteelle on tarkka paikka, joka kerrotaan kahden numeron avulla. Enimmäinen numero kertoo vaakauuntaien koordinaatin x. Toinen numero pytyuuntaien koordinaatin y. Numerot merkitään ulkeiden iää ja erotetaan pilkulla (tai puolipiteellä, jo jompikumpi on deimaaliluku). Viereieen koordinaatitoon on merkitty kolme pitettä: A(4, 2) B(1, 2) C( 1,5; 2) Kohta joa koordinaattiakelit leikkaavat on nimeltään origo ja en koordinaatit ovat (0, 0) origo (0,0) y-akeli x-akeli Koordinaatiton minimivaatimuket (käin piirrettäeä): Koordinaattiakelit Akelien nimet (x ja y) Poitiivien uunnan ooittavat nuolet Yhden ruudun uuruuden arvo o Kaikkia numeroita ei ii tarvite kirjoittaa. Koordinaatiton neljänneket: Koordinaattiakelit jakavat koordinaatiton neljään oaan, joiden nimet on liätty viereien kuvan koordinaatitoon. Nimillä inällään ei ole yläkoulun matematiikaa merkitytä. Olennaita on kuitenkin huomata e, miten koordinaattien merkit menevät eri alueilla. 1. neljännekeä x ja y ovat aina poitiiviia. 2. neljännekeä x on aina negatiivinen ja y poitiivinen. 3. neljännekeä x ja y ovat aina negatiiviia. 4. neljännekeä x on aina poitiivinen ja y negatiivinen. II neljänne III neljänne I neljänne IV neljänne 4

5 Tehtäviä Merkite piteiden koordinaatit Merkite piteiden koordinaatit A(, ) B C D E F G H Merkite piteiden koordinaatit A B C D E F G H Merkite piteiden koordinaatit A B A C E B D F C E G D F H G H 5

6 Merkite koordinaatitoon euraavat piteet A(3, 4) B( 2, 5) C( 3, 3) D( 4, 5) E(3, 4) F(2, 5) G( 3, 0) H(0, 5) Merkite koordinaatitoon euraavat piteet A(1, 1) B(1,5; 1) C(2, 1) D(2; 1,5) E(2, 2) F(2,5; 2) G(3, 2) H(3,5; 2) Merkite koordinaatitoon euraavat piteet A(1, 2) B(0, 0) C(0, 2) D( 4, 0) E(1, 1) F(0, 5) G(1, 0) H(2, 3) Merkite koordinaatitoon euraavat piteet A(0; 2,5) B( 1,5; 2) C(3,5; 2) D( 1 2, 3) E( 1,5; 1,5) F(2,5; 1,5) G(0; 0,5) H(2 1 3, 1) 6

7 Tee euraavat tehtävät vihkooi. Piirrä koordinaatito ja merkite iihen piteet A( 3, 2) B( 1, 4) C(1, 2) D( 2, 1) E(0, 1) Yhditä viivoittimella piteet ABC ja DE. Mikä kuvio yntyi? Piirrä koordinaatito ja merkite iihen piteet A( 1, 2) B( 2, 4) C( 4, 4) D( 5, 2) E( 1, 3) F(3, 2) G(2, 4) H(0, 4) Yhditä viivoittimella piteet ABCDEFGHA. Mikä kuvio yntyi? Piirrä koordinaatito ja merkite iihen piteet A(3, 3) B( 3, 3) C( 3, 1) D(3, 1) E(4, 0) F(0, 4) G( 4, 0) H(1, 3) I(1, 1) J(2, 1) K(2, 3) Yhditä viivoittimella piteet ABCDA, EFG JA HIJK. Mikä kuvio yntyi? Piirrä koordinaatito ja merkite iihen piteet A(0, 2) B( 3, 4) C( 2; 0,5) D( 5, 2) E( 1,5; 2) F(0, 5) G(1,5; 2) H(5, 2) I(2; 0,5) J(3, 4) Yhditä viivoittimella piteet ABCDEFGHIJA. Mikä kuvio yntyi? Piirrä koordinaatito ja merkite iihen piteet A(0, 1) B(0, 5) C(1, 1) D(2, 5) E(2, 1) F(4, 2) G( 2, 2) H(1,5; 2) I(2, 4) J(0, 4) K(0,5; 2) Yhditä viivoittimella piteet ABCDEFGA ja HIJK. Mikä kuvio yntyi? 7

8 2. Kulmien nimeäminen ja luokittelu Nimeäminen Kulma voidaan nimetä kolmella eri tavalla Kolmen piteen avulla. Piteet merkitään järjetykeä: oikea kylki, kärkipite, vaen kylki ABC Kärkipiteen peruteella B Kreikkalaiilla aakkoilla Näitä viimeiin on e eniten lakuia käytetty ja illä kuvataan nimenomaan kulman uuruutta, joten itä varten pitää opetella tunnitamaan ja kirjoittamaan ainakin muutamat enimmäiet kreikkalaiet (pienet) kirjaimet: Tietokone γ δ ε Käin (kopioi taululta) Kirjaimen nimi alfa beeta gamma delta epilon Luokittelu Kulmat luokitellaan niiden uuruuden mukaan. Tärkeimmät luokittelut terävä kulma < 90 uorakulma = 90 tylppä kulma 90 < < 180 Harvemmin käytettyjä nollakulma = 0 oikokulma = 180 täyi kulma = 360 kovera kulma 0 < < 180 kupera kulma 180 < < 360 8

9 Tehtäviä Nimeä kulmat kolmen piteen avulla Merkite kulmien piteiden kirjaimet, kun = ABC = DEF γ = GHI δ = JKL = = γ = δ = Nimeä kulmat kolmen piteen avulla Mitkä alla olevita kulmita ovat a) teräviä b) tylppiä c) uorakulmia d) koveria e) kuperia e) oikokulmia = = γ = δ = Merkite kulmien piteiden kirjaimet, kun = ABC = DEF γ = GHI δ = JKL Piirrä vihkooi ja merkite a) terävä kulma b) tylppä kulma c) uorakulma δ d) kupera kulma γ 9

10 3. Kulmien mittaaminen ja piirtäminen Eimerkki 1. Piirretään kulma, jonka uuruu on Piirrä enimmäinen kylki. 2. Aeta piirtokolmion nollakohta kulman kärkeen. 5. Piirrä toinen kylki. 3. Aeta viivaimen reuna kiinni kulman kylkeen. 6. Merkite kulman 4. Merkki atemitan oikeaan kohtaan. merkki (kaari). 70 Eimerkki 2. Mitataan kulman uuruu. a) b) 1. Nollakohta kulman kärkeen. 2. Viivain kiinni kulman kylkeen. 3. Valite ateikko. Se kumpi lähtee pienitä luvuita kulman kyljetä. 4. Lue kulman uuruu. = 63 = 127 Eimerkki 3. Mitataan yli kuperan kulman (yli 180 ) uuruu. (Täyden ympyrän atemäärä on aina 360.) Mittaamalla aadaan kovera kulma = 68 Sitten laketaan kupera kulma = 360 = = 292 Jokainen voi ite miettiä, miten piirtäii eimerkiki 285 kulman. Ja kyllä niitä pitää vielä piirtääkin. :) 10

11 Tehtäviä Arvioi enin kulmien uuruudet. Tarkita arvioi mittaamalla. Arvio = Mittau = Arvio = Mittau = Arvio δ = γ Arvio γ = Mittau γ = Mittau δ = δ Arvio ε = Mittau ε = ε Mittaa kulmien uuruudet. γ δ 11

12 Piirrä kulmat (vatapäivään). Vatauoiota löytyvät ruudut, joihin piirrettävän kyljen pitäii oua. A1 B1 C1 D1 E1 F1 G1 H1 I1 J1 K1 L1 M1 N1 O1 a) = 30 b) = 120 A2 B2 C2 D2 E2 F2 G2 H2 I2 J2 K2 L2 M2 N2 O2 c) γ = 56 d) δ = 157 Piirrä kulmat (vatapäivään). Vatauoiota löytyvät ruudut, joihin piirrettävän kyljen pitäii oua. A3 B3 C3 D3 E3 F3 G3 H3 I3 J3 K3 L3 M3 N3 O3 a) = 230 b) = 127 A4 B4 C4 D4 E4 F4 G4 H4 I4 J4 K4 L4 M4 N4 O4 c) γ = 16 d) δ = 197 A5 B5 C5 D5 E5 F5 G5 H5 I5 J5 K5 L5 M5 N5 O5 12

13 Tee euraavat tehtävät vihkooi Piirrä koordinaatitoon euraavat piteet: A( 2, 5), B(10,7) ja C(7, 1) Piirrä ja mittaa euraavat kulmat ateen tarkkuudella = ABC = CAB Piirrä koordinaatitoon euraavat piteet: A( 3, 3), B(7,7), C(7, 2) ja D(1, 5) Piirrä ja mittaa euraavat kulmat ateen tarkkuudella = ABC = CDA Piirrä koordinaatitoon euraavat piteet: A(1, 3), B(7,9), C(7, 1), D( 5, 7) ja E( 6, 3) Piirrä ja mittaa euraavat kulmat ateen tarkkuudella = ABC = CED γ = EDB δ = ACE 13

14 4. Ritikulmat ja vierukulmat Ritikulmat Kun kaki uoraa leikkaavat toiena, anotaan vatapäiiä kulmia toitena ritikulmiki. Ritikulmat ovat aina yhtä uuria. δ γ Viereieä kuvaa = γ ja = δ (uuruudet ovat amoja). Vierukulmat Kun uora jaetaan kahteen kulmaan, anotaan näitä kulmia vierukulmiki. Vierukulmien umma on aina 180. Viereieä kuvaa + = 180, mitä euraa ovellu: = 180 Eimerkki 1. a) Ratkaie kuviota. 65 = 65 ritikulma Viereieä vataukea ei ole mitään liikaa. Jo ei mainite, että kyeeä on ritikulmat, ei vatauta ole peruteltu. b) Ratkaie kuviota. 126 Vierukulmat = = 54 Viereieä vataukea lakulaueke on perutelu. Liämainita vierukulmita ei ole haitaki. c) Ratkaie kuviota γ, δ ja ε. γ = 112 ritikulma = γ = =

15 Tehtäviä Ratkaie kulmat,, γ ja δ. Ratkaie kulmat,, γ ja δ γ γ δ 132 δ 141 Ratkaie kulmat,, γ ja δ. 36 Ratkaie kulmat,, γ ja δ γ γ δ δ 15

16 Ratkaie kulmat ja. Ratkaie kulmat,, γ ja δ Ratkaie kulmat ja. γ δ Ratkaie kulmat ja Ratkaie kulmat,, γ ja δ γ 100 δ 16

17 Ratkaie ja yhtälön avulla Ratkaie ja yhtälön avulla

18 5. Suorat, yhdenuuntaiuu ja kohtiuoruu Yhdenuuntaiuu Kaki uoraa ovat kekenään yhdenuuntaiia, kun ne eivät leikkaa toiiaan. Yhdenuuntaiet uorat ovat joka kohdata yhtä kaukana toiitaan. (Jo jompikumpi edellä olevita ehdoita pätee, pätee toinenkin.) Merkintä: t tarkoittaa, että uorat ja t ovat yhdenuuntaiia. t tarkoittaa, että uorat ja t eivät ole yhdenuuntaiia. (Knoppitietoa: Tietokoneella nämä aa kirjoitettua pikanäppäimellä ALT+8741 ja ALT+8742, miä numerot pitää näppäillä numeronäppäimitöllä. Symboleina 2225 ja 2226.) Kohtiuoruu ja normaali Kaki uoraa ovat kohtiuoraa, jo niiden välinen kulma on 90. Suoraa kohtiuoraa olevaa uoraa kututaan uoran normaaliki. Merkintä: t tarkoittaa, että uorat ja t ovat kohtiuoraa toiiina nähden. (Symboli 22A5) Vatakkaita merkkiä ei ole yleieti käytöä. Suorien ja vähän muidenkin nimeäminen: Suora Puoliuora Jana a a Kaki tapaa nimetä: Kahden piteen avulla uora AB tai uora BA Pienellä kirjaimella uora a Nimetään kahden piteen avulla. Enin alkupite ja itten kauttakulkupite. puoliuora AB Kaki tapaa nimetä: Kahden piteen avulla jana AB tai jana BA Pienellä kirjaimella jana a 18

19 Tehtäviä Tarkita mittaamalla, ovatko uorat yhdenuuntaiia ja merkite tulo. a) (Tää on mittaamien helpottamieki piirretty toielle uoralle kaki normaalia, joita pitkin kannattaa mitata.) Mitkä uorita ovat yhdenuuntaiia uoran m kana? m c d e f a b b b) (Mieti, miten teit a-kohdan.) c d a Piirrä kaki uoran kana yhdenuuntaita uoraa iten, että toinen kulkee piteen G ja toinen piteen H kautta. Mihin tarkitupiteiiin uorat ouvat. c) e f Mitkä uorita ovat yhdenuuntaiia uoran kana? Piirrä kaki uoran kana yhdenuuntaita uoraa iten, että toinen kulkee piteen R ja toinen piteen U kautta. a b c d e f 19

20 Tarkita geokolmiolla, mitkä uorat ovat kohtiuoraa uoran kana. a b c d Piirrä uoralle kaki normaalia. Toinen kulkee piteen Q ja toinen piteen R kautta. Mihin tarkitupiteeeen normaalit ouvat? Mitkä uorita ovat kohtiuoraa uoran kana? c d f g Piirrä uoralle kaki normaalia. Toinen kulkee piteen Q ja toinen piteen R kautta. Mihin tarkitupiteeeen normaalit ouvat? b e a Piirrä uoralle kaki normaalia. Toinen kulkee piteen Q ja toinen piteen R kautta. Mihin tarkitupiteeeen normaalit ouvat? 20

21 21

22 6. Samankohtaiet kulmat Samankohtaiten kulmien määrittäminen Olkoon kaki uoraa m ja n ekä niitä molempia leikkaava uora. Suoran molemmia leikkaukohdia on neljä kulmaa. Kulmat, jotka ovat eri rykelmiä amaa kohdaa eli ooittavat amaan uuntaan, ovat amankohtaiia kulmia. Kuvan tilanteea kekenään amankohtaiia kulmia ovat: ja ja γ ja γ δ ja δ. n m γ δ' γ δ Samankohtaiille kulmille on olemaa myö toinen perinteinen määritelmä, joa kulmalle on kaki amankohtaita kulmaa ja γ. Tämä ei kuitenkaan ovi yhteen amankohtaiet -anan kana ja kanainvälieä kirjalliuudea e ei ole käytöä. Tulevien tehtävien tekemien kannalta molemmat määritelmät toimivat yhtä hyvin. Samankohtaiille kulmille on olemaa yki olennainen käyttötarkoitu, joka eitellään euraavaki. Suorien yhdenuuntaiuu ja amankohtaiet kulmat Olkoon kaki uoraa m ja n ekä niitä molempia leikkaava uora. Jo amankohtaiet kulmat ovat yhtä uuria ovat uorat m ja n yhdenuuntaiet. (ama toimii toiinkin päin) Jo uorat m ja n ovat yhdenuuntaiet, ovat amankohtaiet kulmat yhtä uuria Eimerkki 1. a) Ovatko kuvan uorat a ja b yhdenuutaiet? a b 74 b) Kuinka uuri on, kun uorat a ja b ovat yhdenuuntaiet. 103 a 74 Samankohtaiet kulmat ovat yhtä uuria, joten b a ǁ b. a ǁ b ja amankohtaiet kulmat, joten = 103 (Huomaa, miten vatau ilmoitettiin ymbolieti. Sanallinen perutelu on myö välttämätön.) (Myö tää anallinen perutelu on välttämätön.) 22

23 Merkite kuvaan kulman kana amankohtainen kulma. Suorat n ja m ovat yhdenuuntaiia. Määritä. n m 47 Merkite kuvaan kulman kana amankohtainen kulma. Suorat n ja m ovat yhdenuuntaiia. Määritä n 55 m Suorat n ja m ovat yhdenuuntaiia. Määritä. n m Suorat n ja m ovat yhdenuuntaiia. Määritä n Suorat n ja m ovat yhdenuuntaiia. Määritä. n m 89 m Suorat n ja m ovat yhdenuuntaiia. Määritä Suorat n ja m ovat yhdenuuntaiia. Määritä. n n m 119 m 23

24 Ovatko uorat a ja b yhdenuuntaiet? Ovatko uorat a ja b yhdenuuntaiet a b 123 a 61 b 65 a Ovatko uorat a ja b yhdenuuntaiet? 120 Ovatko uorat a ja b yhdenuuntaiet b 123 a b Ovatko uorat a ja b yhdenuuntaiet? 68 a b Suorat n ja m ovat yhdenuuntaiia. Määritä käyttäen yhtälöä. n Ovatko uorat a ja b yhdenuuntaiet? a b m

25 7. Kertau 1 Merkite piteiden koordinaatit Nimeä kulmat,, γ ja δ kolmen piteen avulla. A B C D E F G H I J Merkite koordinaatitoon euraavat piteet A( 2, 3) F( 4, 1) B(1, 4) G(2, 1) C( 3, 3) H( 4, 3) D(3, 2) I( 3, 0) E(0; 1,5) J(0,5; 4) = γ = = δ = Mitkä edellien tehtävän kulmita ovat a) teräviä b) tylppiä c) uoria d) koveria e) kuperia Piirrä vihkooi koordinaatito ja iihen piteet A(2, 1) D( 3, 2) B(5, 3) E(0, 5) C(1, 4) F( 2, 5) Merkite ja mittaa euraavat kulmat = EDF γ = CAB = BAE δ = DCA Piirrä vihkooi euraavat kulmat. Anna vierukaverii tarkitaa, onko ne piirretty oikein. = 35 γ = 245 = 147 δ = 90 25

26 Ratkaie kulmat,, γ ja δ γ 78 δ 26

27 8. Vataukia Vataukia kpl1 A(1, 3) B(3, 2) C(2, 3) D( 3, 2) E( 3, 3) F( 4, 4) G(0, 4) H(3, 2) A( 5, 1) B(0, 3) C(3, 0) D( 2, 2) E(0, 4) F(0, 0) G(0, 4) H( 4, 0) A(4,5; 2) B(0, 1) C(5, 3) D(0, 1) E( 3,5; 1) F( 3, 1) G( 1,5; 0) H(2, 2) A(0, 2) B( 1, 5) C(0, 0) D( 2,5; 1) E( 1,5; 0) F(4, 3) G(1, 4) H( 5, 4) 27

28 Vataukia kpl 2 = ABC γ = GHI = PTR γ = JOX = FED δ = JKL = MSN δ = KAL 28

29 a) A ja C b) B ja F c) E d) A, B, C, E ja F e) D ja G e) I Kulma H = 360 ei ole mitään näitä. a ja c c ja e Vataukia kpl 3 = 40 = 135 γ = 250 δ = 110 ε = 30 = 330 = 32 γ = 180 δ = 8 a) H1 b) I1 c) E2 d) C2 a) A4 b) I3 c) K4 d) D5 = 60 = 43 = 68 = 90 = 45 = 80 γ = 105 δ = 44 Vataukia kpl 4 = 45 = 83 γ = 58 δ = 132 = 144 = 135 γ = 41 δ = 51 = 50 = 94 γ = 58 δ = 39 = 132 = 52 γ = 107 δ = 78 = 100 = 41 = 100 = 90 = 34 = 34 γ = 100 δ = 41 = 43 = 37 γ = 50 δ = 40 = 35 = 16 = 48 = 36 = 46 = 50 Suorat b ja d eli b ja d c ja e Vataukia kpl 5 a) a b b) c d c) e f 29

30 = 54 = 114 = 61 = 133 = 96 = 135 = 65 Kyllä Ei Ei Kyllä Ei Kyllä = 62 Vataukia Kpl 7 A(2, 3) F(3, 1) B( 2, 4) G(0, 2) C( 4, 1) H(1,5; 1) D(0,3) I( 3,5; 5) E( 3, 0) J(3,5; 5) Vataukia Kpl 6. = PLQ = BAE γ = GHC δ = JKD 30

31 a) b) δ c) ei mikään d) ja δ e) ja γ Mitat tarkkoja. Sinulle riittää ateen tarkkuu. Kaveri tarkitaa = 132 γ = 73 = 128 δ = 78 31