Mat Matematiikan peruskurssi L4, osa I

Fourier-sarjat..................... 3 Mat-.4 Matematiikan peruskurssi L4, osa I In matematics you don t understand tings. You just get used to tem. Jon von eumann G. Gripenberg Aalto-yliopisto 9. elmikuuta Fourier-integraalit................... 5 Fourier-käänteismuunnos............... Fourier-muunnos ja derivaatta............. 4 Poissonin summakaava................ 7 Keskeinen raja-arvolause............... 9 3 Moniulotteinen Fourier-muunnos............. 33 4 Vaimennetut distribuutiot ja niiden Fourier-muunnokset... 37 5 Diskreetti Fourier-muunnos............... 4 6 Laplacen ytälö.................... 5 Poissonin kaavat pallossa ja ylemmässä puoliavaruudessa.. 55 Keskiarvo-ominaisuus................ 57 Maksimiperiaatteet ja Harnackin epäytälö....... 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 Jaksolliset funktiot, T jne Funktio f : C on jaksollinen jaksolla jos f (t + ) = f (t) kaikilla t. T = /Z jolloin siis T on ekvivalenssiluokkien muodostama joukko eli joukko missä pisteet t ja t + n on samaistettu kun n Z. Jokaista funktiota f : T C voidaan käsitellä jaksollisena funktiona f : C ja päinvastoin ja näin tässä tullaan tekemäänkin. Joukko L p (T) sisältää kaikki jaksolliset (jaksolla ) ja mitalliset ( ) funktiot f, joilla f L P (T) < missä f L P (T) = f (t) p p dt kun p < ja f L (T) = inf{ C : f (t) C melkein kaikkialla }. Jaksollisen funktion Fourier-kertoimet Jos f L (T) niin ˆf (n) = e iπnt f (t) dt, n Z. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 Jos f L (T) niin funktioden f ja e iπnt jaksollisuudesta seuraa, että Fourier-kertoimet saadaan myös kaavoilla ˆf (n) = e iπnt f (t) dt = Jaksolliset funktiot jaksolla T a a e iπnt f (t) dt. Jos f :n jakso on T eli f (t + T ) = f (t) kaikilla t niin funktio g(t) = f (tt ) on jaksollinen jaksolla ja muuttujan vaidon jälkeen todetaan, että g:n (eli ytä yvin f :n) Fourier-kertoimiksi tulee T T e iπnt T f (t) dt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6

iemann-lebesguen lemma Jos f L (T) niin ˆf (n) f L (T), n Z ja lim ˆf (n) =. n Jos f L p ([, ]) niin f :n arvoilla pisteissä ja ovat epäoleellisia ja jatkamalla funktiota jaksolliseksi funktioksi voidaan ytä yvin ajatella, että f L p (T). äin ei ole asian laita jos käsitellään jatkuvia funktioita ja C(T) C([, ]) koska edellisessä tapauksessa vaaditaan, että f () = f (). Fourier-analyysi perustuu tuloksiin, joiden mukaan n= eiπntˆf (n) on f (t) mutta ongelma on missä mielessä sarja suppenee eli mitä summalla tarkoitetaan. Tietyin oletuksin ongelmia ei ole, muissa tapauksissa sen sijaan on valittava sopiva tulkinta tai sitten todistuksista tulee yvin ankalia. Fourier-sarjan suppeneminen, I Jos f L (T) on derivoituva pisteessä t tai jos pelkästään t f (t + t ) f (t ) dt < niin lim,m n= M ˆf (n)e iπnt = f (t ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6 Konvoluutio Jos f ja g L (T) niin f g L (T) missä ja (f g)(t) = f (t s)g(s) ds = f g(n) = ˆf (n)ĝ(n), n Z. Itseisesti suppenevat Fourier-sarjat f (s)g(t s) ds, Jos n Z a n < niin A(t) = n Z a ne iπnt C(T) ja Â(n) = a n. Jos lisäksi f L (T) niin Erikoistapaus: Fejerin ydin F m (t) = ( ) sin(mπt), m sin(πt) t, m =,,.... { F m (n) = max, m n m }, n Z. F m C (T) ja F m (t), t. F m(t) dt =. Jos f L (T), niin lim m (F m f )(t) f (t) dt = ja jos f C(T) niin lim m sup t F m f (t) f (t) =. (A f )(t) = n Z a nˆf (n)e iπnt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 7 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 8 / 6

Fourier-sarjan suppeneminen II Jos f C(T) niin lim sup m ja jos f L (T) niin t lim m m n= m m n= m m n m m n m ˆf (n)e iπnt f (t) =. ˆf (n)e iπnt f (t) dt =. Fourier-muunnos on injektio Jos f L (T) ja ˆf (n) = kaikilla n Z niin f (t) m.k. =. Fourier-sarjan suppeneminen III Jos f L (T) ja n Z ˆf (n) < niin f C(T) ja ja sarja suppenee tasaisesti. f (t) = n Z ˆf (n)e iπnt, t, Weierstrassin approksimaatiolause Jos f C([a, b]) niin f voidaan approksimoida tasaisesti polynomeilla välillä [a, b], eli löytyy jono polynomeja P n s.e. lim sup n t [a,b] P n (t) f (t) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 9 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 Sisätulo L (T):ssä Jos f ja g L (T) niin f, g = f (t)g(t) dt. Funktiot t e iπnt muodostavat L (T):n ortonormaalin kannan Jos märitellään e n (t) = e iπnt niin ja jos f L (T) niin e m, e n = {, m = n,, m n, L (T) on Hilbert-avaruus Jos funktioden sijasta tarkastellaan ekvivalenssiluokkia eli f = g jos ja vain jos f (t) = g(t) melkein kaikilla t, niin silloin L (T) on Hilbert-avaruus eli täydellinen (eli jokainen Caucy-jono suppenee) sisätuloavaruus (ja siten samanlainen joukko kuin taso, jossa sisätulo on x, y = x y = x y + x y, kun :n paikalle tulee ja :n paikalle C). f, e n = f (t)e iπnt dt = f (t)e iπnt dt = ˆf (n), n Z, ja f = f, e n e n = ˆf (n)e n. n Z n Z Jos f ja g L (T) niin f (t)g(t) dt = n Z ˆf (n)ĝ(n) ja erityisesti f (t) dt = n Z ˆf (n). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6

Fourier-sarjan suppeneminen IV Jos f L (T) niin jokaisella ɛ > on olemassa äärellinen joukko I Z siten, että jos I J Z ja J on äärellinen niin f (t) ˆf (n)e iπnt dt < ɛ. n J Toisin sanoen, sarja suppenee L -mielessä ja kun lasketaan yteen sarjan termit, järjestyksellä ei ole merkitystä, eli sarja on summautuva. Mutta sen sijaan sarja ei ole välttämättä itseisesti suppeneva. Aritmeettisten jonojen jakaumat Valitaan x [, ) ja γ (, ) \ Q (eli γ on irrationaalinen) ja määritellään x k = (x + kγ) (mod ) = x + kγ x + kγ. Luvun γ irrationaalisuudesta seuraa, että jos f C(T) niin tämän funktion aika-keskiarvo j tila-keskiarvo ovat ytä suuret eli n lim f (x k ) = n n k= Lisäksi pätee, että jos a, b [, ), a < b niin f (t) dt. lim n n #{ k : k < n, a x k b } = b a, missä #S on S:n elementtien lukumäärä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6 Avaruus L () Joukko L () sisältää kaikki mitalliset funktiot (eli ne, jotka ovat jatkuvien funkioiden raja-arvona melkein kaikkialla) joilla f L () = f (t) dt <. Jos f L () ja ɛ > niin löytyy funktio f ɛ C c (), eli se on jatkuva joukossa ja rajoitetun välin ulkopuolella, siten, että f f ɛ L () < ɛ. Fourier-muunnos Jos f L () niin ˆf (ω) = F(f )(ω) = e iπtω f (t) dt. Kuten sarjojen kodalla saadaan f periaatteessa integraalina eiπtωˆf (ω) dω mutta ongelmat syntyvät siitä, ettei funktio ˆf välttämättä ole integroituva joten tulee taas tulkintaongelmia. Jaksollisten funktioden kodalla pätee L (T) L (T) mutta L () L () ja L () L (). iemann-lebesguen lemma Jos f L () niin ˆf C(), sup ω ˆf (ω) f L () ja ˆf (ω) kun ω. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6

Translaatiot, dilaatiot, jne Jos f L (), x ja a niin Erikoistapaus Jos (t) = e πt g(t) = f (t x) ĝ(ω) = e iπωxˆf (ω), (t) = e iπxt f (t) ĥ(ω) = ˆf (ω x), k(t) = f (at) k(ω) = a ˆf ( ω ). a niin ĥ(ω) = (ω). Konvoluutio Jos f ja g L () niin f g L () ja f g L () f L () g L () missä (f g)(t) = f (t s)g(s) ds. Lisäksi pätee Approksimointi konvoluutioilla f g(ω) = ˆf (ω)ĝ(ω). Jos k L () on sellainen, että k(t) dt = ja k a(t) = ak(at) niin lim a k a f f L () = jos f L (). lim a sup t (k a f )(t) f (t) = jos f on rajoitettu ja tasaisesti jatkuva. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 7 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 8 / 6 Kertolaskukaava Jos f ja g L () niin ˆf (ω)g(ω) dω = f (t)ĝ(t) dt. Kertolaskukaava, erikoistapaus Jos f ja k L () niin e iπωt k( ω)ˆf (ω) dω = (ˆk f )(t). Fourier-käänteismuunnos I Jos f L () niin lim ɛ f (t) Fourier-käänteismuunnos II e iπωtˆf (ω)e ɛω dω dt =. Jos f L () ja ˆf L () niin f (t) = e iπωtˆf (ω) dω, t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 9 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6

C () F(L ()) Jos esimerkiksi g C () (eli g on jatkuva ja lim ω = g(ω) = ) ja g(ω) = g( ω) kun ω ja g(ω) ω dω = + niin ei ole olemassa f L () siten, että g(ω) = ˆf (ω). Oletetaan, että tällainen funktio f L () löytyy. Silloin g(ω) = g( ω) = eiπωt f (t) dt jolloin g(ω) = g(ω) g( ω) = ( e iπωt e iπωt) f (t) dt = i sin(πωt)f (t) dt. Jos nyt määritellään F (t) = i(f (t) f ( t)) niin F L () ja muuttujan vaidolla saadaan g(ω) = sin(πωt)f (t) dt. C () F(L ()), jatkuu Jos a < b < niin b a g(ω) ω dω = b sin(πωt) F (t) dω dt a ω = πbt F (t) πat sin(x) x yt on olemassa vakio C < siten, että πbt sin(x) πat x dx C joten b sup g(ω) ω dω C F (t) dt <, <a<b< a ja tämä on ristiriita. Funktioksi g voidaan esimerkiksi valita g(ω) = { ω ω ln( ω ) ω e, ω > e,, ω e. dx dfft G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 Fourier-muunnos ja derivaatta I opeasti väenevät funktiot S() = { f : C : f C (), sup t k f (m) (t) <, k, m }. t S() sisältää siis kaikki äärettömän monta kertaa derivoituvat funktiot, joiden kaikki derivaatat suppenevat koti nopeammin kuin jokainen muotoa t m oleva funktio kun t. äin ollen f (m) L () kaikilla m. Esimerkkinä kelpaa yvin funktio. Jos ( + t )f (t) L () niin ˆf C () ja (missä D = d dω ) D(F(f ))(ω) = F(( iπt)f (t))(ω). Fourier-muunnos ja derivaatta II Jos f ja f L () ja f (t) = f () + t Df (s) ds niin F(Df )(ω) = iπωf(f )(ω). Fourier-muunnos ja derivaatta III Jos f S() niin ˆf S() ja (iπω) k D m (F(f ))(ω) = F ( D k( ( iπt) m f (t) )) (ω), k, m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6

Fourier-muunnos ja L () I Jos f ja g S() niin f (t)g(t) dt = Fourier-muunnos ja L () II ˆf (ω)ĝ(ω) dω. Jos f ja g L () niin on olemassa ˆf ja ĝ L () siten, että f (t)g(t) dt = ˆf (ω)ĝ(ω) dω, ja erityisesti f L () = ˆf L (). Jos f L () L () niin ˆf tulee määritellyksi kadella eri tavalla, toisaalta suoraan integraalina koska f L () ja toisaalta raja-arvona lim n fn, missä f n S(), mutta nämä määritelmät antavat saman tuloksen. Jos f L () niin pätee myös lim S,T ˆf (ω) T S e iπωt f (t) dt dω =. Jos f L () niin löytyy jono (f n ) n=, f n S() kun n siten, että lim n f n f L () = ja silloin lim n f n ˆf L () =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6 Poissonin summakaava Jos f L () C(), sarja n= f (t + n) suppenee tasaisesti kun t [ δ, δ] missä δ > ja sarja ˆf n= (n) suppenee, niin n= f (n) = n= ˆf (n). Koska funktion t f (t + x) Fourier-muunnos on e iπωxˆf (ω) saadaan vastaavin oletuksin myös kaava f (n + x) = e iπωxˆf (n). n Z n Z Vastaesimerkki Seuraava esimerkki osoittaa etteivät oletukset, että n= f (t + n) suppenee kaikilla t ja että ˆf n= (n) suppenee ole riittäviä: Määritellään g n (t) = max { min{, nt, n( t)}, }, ja f (t) = {, jos t <, g n+ (t n) g n (t n), jos t [n, n + ), n, joten f on jatkuva, ei-negatiivinen ja integroituva. Jos t [, ) niin n n ( f (t + k) = gk+ (t) g k (t) ) = g n+ (t) g(t) kun n k= missä k= g(t) = {, jos t (, ), jos t =. yt ˆf () = ĝ() = ja ˆf (n) = ĝ(n) =, n mutta f (n) = kaikilla n. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 7 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 8 / 6

Keskeinen raja-arvolause Tässä tarkastellaan oleellisesti kysymystä miksi normaalijakauma σ t π e p σ (t) = σ jonka odotusarvo on ja ajonta σ on normaali. Olkoot X, X,... toisistaan riippumattomia reaalisia satunnaismuuttujia joilla on tieysfunktiot f, f,.... Siis, Pr{a X j b} = b a f j (t) dt. Funktioista f j oletetaan, että ne ovat mitallisia, ja että kaikilla indekseillä j, f j (t), t, f j(t) dt =, tf j(t) dt = ja t f j (t) dt = σj (, ) missä luvut σ j ovat sellaisia, että jos vn = n j= σ j, niin v n, σn/v n kun n ja lisäksi t T t f j (t) dt/σj kun T tasaisesti j:llä. Keskeinen raja-arvolause sanoo, että jos S n = n j= X j niin { Pr a S } n b v n b a (π) e t G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 9 / 6 dt. Keskeinen raja-arvolause, jatkuu Tunnetusti S n :n tieysfunktio on g n = (f f... f n ) joten Sn v n :n tieysfunktio tulee olemaan v n g n (tv n ). Olkoon k S() mielivaltainen jolloin se on funktion ˆk( ω) Fourier-muunnos. Funktion v n g n (v n t) Fourier-muunnos taas on Π n j=ˆf j ( ω v n ) joten kertolaskukaavan nojalla saadaan v n g n (v n t)k(t) dt = Taylorin keitelmästä seuraa, että missä e iπωt vn jokaisella M < ja ˆk( ω)π n j=ˆf j ( ω v n ) dω. = iπωt π ω t ( + δ n (ωt)) v n lim n y M v n sup δ n (y) = sup δ n (y) <. n,y G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 Keskeinen raja-arvolause, jatkuu Tämän perusteella saadaan ( ) ω ( ˆf j = iπωt π ω t ) ( + δ n (ωt)) f j (t) dt v n v n missä v n ɛ j,n (ω) = t δ n (ωt)f j (t) dt. σ j = π ω σ j vn ( + ɛ j,n (ω)), yt tiedetään, että jokaisella kiinteällä luvulla ω pätee sup j,n ɛ j,n (ω) < ja lim n sup j ɛ j,n (ω) =. Koska lisäksi σj sup j n kun n niin saadaan jokaisella ω vn n lim log( π ω σ n j ɛ vn ( + ɛ j,n (ω))) + π ω σ j vn = j= G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 j= Keskeinen raja-arvolause, jatkuu Pätee tietenkin myös, että P n Π n j=ˆf j ( ω j= v n ) = e log( π ω σ j vn (+ɛ j,n (ω))) ja jos lisäksi otetaan uomioon v n :n määritelmä niin todetaan että jokaisella ω lim n Πn j=ˆf j ( ω v n ) = e π ω. Dominoidun konvergenenssilauseen perusteella saadaan ˆk( ω)π n j=ˆf j ( ω v n )dω = ˆk( ω)e π ω dω (π) e t k(t) dt. Koska karakteristista funktiota [a,b] voidaan approksimoida sekä yläältä että alaalta S()-funktioilla mielivaltaisen yvin L ()-normissa niin saadaaan väite. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6

Fourier-muunnos d :ssä Jos f L ( d ) niin ˆf (ω) = e iπω x f (x) dx, d ω d, missä ω x on sisätulo d :ssä. Käänteismuunnoskaavat, L -teoria jne. ovat samanlaiset kuin tapauksessa d =. Fourier-muunnos d :ssä ja lineaarikuvakset Jos M on d d-matriisi, jolla on käänteismatriisi ja f M (x) = f (Mx) missä f L ( d ) L ( d ) niin f M (ω) = det(m) ˆf ((M T ) ω), ω d, ja erityisesti jos M on ortogonaalinen (jolloin M T = M ) niin f M (ω) = ˆf (Mω), ω d. Jos M = ai missä a niin det(m) = a d. adon-muunnos Jos f on integroituva funktio tasossa niin määritellään sen adon-muunnos käyräintegraalilla f = f ds, missä L on suora ja integraali on käyräintegraali kaarenpituuden suteen. Fubinin lauseesta seuraa, että tämä integraali on määritelty melkein kaikilla suorilla. Suoran L ytälö voidaan kirjoittaa muodossa x cos(θ) + y sin(θ) = ρ, jolloin adon-muunnos on kaden muuttujan funktio: (f )(ρ, θ) = f ds, ρ, θ [, π). { (x,y):x cos(θ)+y sin(θ)=ρ } L G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 33 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 34 / 6 adon-muunnos, jatkuu Tämä suora voidaan myös esittää parametrimuodossa r(t) = (ρ cos(θ) t sin(θ), ρ sin(θ) + t cos(θ)), t,jolloin adon-muunnos voidaan kirjoittaa muodossa (koska r (t) = ) (f )(ρ, θ) = f ( ρ cos(θ) t sin(θ), ρ sin(θ) + t cos(θ) ) dt. Tästä funktiosta otetaan nyt Fourier-muunnos muuttujan ρ suteen jolloin saadaan F (f )(ω, θ) = e iπωρ f ( ρ cos(θ) t sin(θ), ρ sin(θ)+t cos(θ) ) dt dρ. (Merkintä F tarkoittaa siis, että Fourier-muunnos on otettu ainoastaan ensimmäisen muuttujan suteen.) adon-muunnos, jatkuu Jos nyt tedään muuttujan vaito [ ] [ ] x ρ cos(θ) t sin(θ) = y ρ sin(θ) + t cos(θ) niin dt dρ = dx dy ja [ ] ρ = t [ cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) [ ] [ cos(θ) sin(θ) x sin(θ) cos(θ) y äin ollen saadaan muuttujan vaidolla ]. ] [ ρ t F (f )(ω, θ) = e iπ(ω cos(θ),ω sin(θ)) (x,y) f (x, y) dx dy ], = ˆf (ω cos(θ), ω sin(θ)). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 35 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 36 / 6

Metriikka joukossa S() Jos φ ja ψ S() niin d(φ, ψ) = k= m= (k) sup t t k (φ (m) (t) ψ (m) (t)) + sup t t k (φ (m) (t) ψ (m) (t)). äin ollen funktio esim. u : S() C on jatkuva jos jokaisella ψ S() ja jokaisella ɛ > on olemassa δ > siten että jos φ S() ja d(φ, ψ) < δ niin u(φ) u(ψ) < ɛ. Vaimennetut distribuutiot S () = { u : u on jatkuva ja lineaarinen funktio: S() C }. Vaimennetun distribuution Fourier-muunnos Jos u S () niin û = F(u) on vaimennettu distribuutio û(φ) = u( ˆφ). Jotta voidaan osoittaa, että û S () jos u S () pitää ensin osoittaa että Fourier-muunnos on jatkuva: S() S(). (Lineaarisuus on melkein itsestään selvä asia.) Esimerkki Jos f : C on mitallinen ja on olemassa m siten, että f (t) ( + t ) m dt < niin voidaan määritellä vaimennettu distribuutio f D (tai pelkästään f ) kaavalla f D (φ) = f (t)φ(t) dt. Fourier-muunnos on järkevästi määritelty Jos f L () tai f L () niin F(f D ) = (ˆf ) D. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 37 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 38 / 6 Fourier-muunnos ja derivaatta IV Jos u S () niin sen derivaatta Du = u määritellään kaavalla äin ollen Du(φ) = u(dφ). F(Du)(φ) = Du(F(φ)) = u(d(f(φ))) = u(f(( iπt)φ(t))) = F(u)(((iπt)φ(t)) = ((iπt)f(u))(φ) joten F(Du) = (iπt)f(u) missä siis distribuutio ψu määritellään kaavalla (ψu)(φ) = u(ψφ) (mikä onnistuu ainakin jos ψ C () ja sup t ( + t ) k(m) ψ (m) (t) < kaikilla m jollain k(m)). Samalla tavalla todetaan, että Jaksollisen funktion Fourier-muunnos Jos f L (T) niin f määrittelee myös funktion: C siten, että f (t) ( + t ) dt <. Silloin F(f D ) = n Z ˆf (n)δ n, missä ˆf (n) on f :n Fourier-kerroin ja δ τ (φ) = φ(τ). D(F(u)) = F(( iπt)u). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 39 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6

Diskreetti Fourier-muunnos Jos on positiivinen kokonaisluku niin Π = { F : Z C : F(m + ) = F(m) kaikilla m Z }. Jos F Π niin F (F)(m) = ˆF(m) = k= e iπmk F(k). Joukko Π on siis oleellisesti C, jonka vektoreista on tety jaksollisia jonoja. Diskreetti Fourier-muunnos määritellään usein kaavoilla iπmk k= e F(k) tai iπmk k= e F(k). Valittu määritelmä vaikuttaa vain siien missä kodassa muissa kaavoissa esiintyy. Diskreetin Fourier-muunnoksen käänteismuunnos F on bijektio:π Π ja jos F Π niin eli F (F (F))(m) = e iπmk F(k) k= = F = F missä (F)(m) = F( m). FFT FFT on algoritmi, jolla diskreetti Fourier-muunnos lasketaan käyttäen c log() laskutoimitusta eikä c niin kuin suoraviivainen lasku edellyttäisi. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6 FFT:n perusideat Diskreetin Fourier-muunnoksen teokas käyttö perustuu siien, että on madollista laskea se nopeasti ja teokkaasti, mutta jos lädetään laskemaan suoraan määritelmästä joudutaan suorittamaan suurin piirtein laskuoperaatiota. Laskun nopeuttamiseksi voidaan käyttää esim. seuraavanlaisia ideoita: Olkoon parillinen luku ja olkoon F Π. yt F (F)(m) = ˆF(m) = = j= = j= k= e iπmk F (k) e iπmj F(j) + j= e iπmj F(j) + e iπm e iπm(j+) F(j + ) j= e iπmj F(j + ) = F (F( : : ))(m) + e iπm F (F( : : ))(m). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 43 / 6 FFT:n perusideat, jatkuu Kun lisäksi muistetaan, että F (G) on jaksollinen jaksolla = e iπm pystyvektoreina niin saadaan e iπ(m+ ) missä B M = [ I M I M Ω M Ω M ja että niin nädään, että kun kirjoitetaan vektorit [ ] F (F( : : )) F (F) = B, (F( : : )) ] ja F ([ ]) Ω M = diag e iπ M e iπ M... e iπ(m ) M G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 44 / 6

FFT:n perusideat, jatkuu Jos nyt = q ja niin silloin A k = I q k B k = diag([b k,..., B k ]) F (F) = A q A q... A P F missä P F on permutaatio vektorista F. Kun lisäksi uomataan, että kun kerrotaan vektoria matriisilla A k niin jokaisen elementin laskemiseksi on kerrottava yksi elementti kompleksiluvulla ja tulokseen lisätään toinen kompleksiluku eli kaiken kaikkiaan kertolaskua ja yteenlaskua ja kaiken kaikkiaan on siis laskettava q kertolaskua ja q yteenlaskua. opea Fourier-muunnos on siis todella uomattavasti nopeampi kuin suoraviivainen määritelmän soveltaminen. Vastaavasti nopeita Fourier-muunnosalgoritmeja on myös olemassa tapauksissa kun k. Konvoluutio ja diskreetti Fourier-muunnos Jos F ja G Π niin niiden konvoluutiotulo on ja (F G)(m) = k= F(m k)g(k), () F (F G)(m) = F (F)(m)F (G)(m). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 45 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 46 / 6 Jonot ja konvoluutiot Tässä tarkastellaan jonoja (A(k)) k= eli funktiota C. Yteenlaskun, skalaarilla kertomisen ja termeittäin otetun kertolaskun lisäksi voidaan myös määritellä konvoluutiotulo kaavalla (A B)(m) = m A(m k)b(k), m. k= Tämä konvoluutio ei ole sama kuin jaksollisille jonoille määritelty konvoluutio, mutta tämänkin konvoluution laskemisessa voidaan käyttää diskreettiä Fourier-muunnosta. Jos alutaan laskea (A B)(k) kun k =,,..., n niin valitaan = n ja määritellään jaksolliset jonot F ja G Π : { A(k), k n, F(k) =, n k, { B(k), k n, G(k) =, n k. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 47 / 6 Jonot ja konvoluutiot, jatkuu Jos nyt m n niin m (F G)(m)= F(m k)g(k)+ k= n k=m+ n F(m k)g(k)+ F(m k)g(k). Määritelmän mukaan m k= F(m k)g(k) = m k= A(m k)b(k) ja n k=n F(m k)g(k) =. Koska F on jaksollinen niin F(m k) = F(n + m k) ja kun m n ja m + k n niin n + m k n + n = n ja n + m k n + m m = n joten F(m k) = kun k = m +,..., n ja n k=m+ F(m k)g(k) =. äin ollen m (F G)(m) = F(m k)g(k), m =,,..., n, k= ja laskemalla Fourier-muunnoksia saadaan k=n (A B)(m) = F n (F n(f) F n (G))(m), m =,,..., n. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 48 / 6

Jonot ja konvoluutiot, jatkuu Jonon sijasta voitaisiin myös puua potenssisarjasta Ã(x) = A(k)x k. k= Tällaiset sarjat ovat muodollisia siinä mielessä ettei välitetä sarjan suppenemisesta. Tärkeintä on tietenkin, että (A B)(x) = Ã(x) B(x). Fourier-integraalin numeerinen laskeminen Olkoon g(t) = k= ( t t k t f (k t + t )p t missä t > ja p : on sellainen, että p() = ja p(j) = kun j Z \ {}. Silloin g on funktio joka interpoloi funktion f, eli ), g(k t + t ) = f (k t + t ), k =,...,, ja g(k t) = kun k < tai k >. Jos nyt F(k) = f (k t + t ), k =,...,, Monet esimerkit, missä lasketaan jonoilla liittyvät juuri tään. ja niin t ω =, ĝ(m ω) = te iπm ωt ˆF(m)ˆp ( m ), m Z. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 49 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 Harmoniset funktiot Jos Ω d on avoin niin u : Ω on armoninen Ω:ssa jos u C (Ω) ja d u = u = Ω:ssa. x j= j G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 Laplacen ytälö ja satunnaiskulku Olkoon > ja =. Satunnaiskulku toimii siten, että jos tietyllä etkellä ollan pisteessä (j, k) ja k > niin siirrytään todennäköisyydella 4 pisteeseen ((j )), k), ((j + ), k), (j, (k )) tai (j, (k + )) ja pysädytään jos tullan x-akselille. Olkoon nyt U(j, k) todennäköisyys, että jos lädetään liikkeelle pisteestä (j, k) niin pysädytään x-akselilla välillä [, ]. Jos nyt oletetaan, että siirtymät ovat toisistaan riippumattomia niin kokonaistodennäköisdyyden kaavan mukaan U(j, k) = 4 U(j, k) + 4 U(j +, k) + 4 U(j, k ) + U(j, k + ). 4 Jos u(x, y) on funktio siten, että u(j, k) = U(j, k) niin tätä ytälöä voidaan myös esittää seuraavassa muodossa kun (x, y) = (j, k): ( u(x +, y) u(x, y) + ( u(x, y + ) u(x, y) ) u(x, y) u(x, y) ) u(x, y) u(x, y ) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6

Laplacen ytälö ja satunnaiskulku, jatkuu Koska u(x+,y) u(x,y) u(x,y+) u(x,y) u x (x + u(x,y) u(x,y), y), u x (x, y), u(x,y) u(x,y ) ) ja u y (x, y ) niin u y (x, y + saadaan raja-arvona kun Laplacen ytälö u xx + u yy =, x, y >. Koska U(j, ) = jos j ja U(j, ) = jos j < tai j > niin saadaan reuna-arvoksi u(x, ) = [,] (x). Lisäksi tiedetään tässä tapauksessa, että u on rajoitettu. Laplacen ytälö on rotaationinvariantti Jos u on armoninen joukossa B(x, r) = { x d : x < r } ja v(x) = u(x + Q(x x )) missä Q on ortogonaalinen matriisi (Q = Q T ) niin myös v on armoninen joukossa B(x, r). adiaaliset armoniset funktiot Jos u on armoninen joukossa { x : r < x < r } d ja u(x) = v( x ) niin v (r) + d v (r) =, r < r < r. r Jos lisäksi r = ja u on rajoitettu, niin u on vakio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 53 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 54 / 6 Poissonin kaava pallolle Jos r > ja g on jatkuva joukossa { x d : x = r } niin funktio u(x) = r x ra(s d g(y) ds(y), ) x y d y =r missä a(s d ) = x = ds on yksikköpallon B(, ) reunan Sd pinta-ala, on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva ja armoninen funktio (, r):ssä, u C(B(, r)) ja u(x) = g(x) kun x = r. Poissonin kaava ylemmässä puoliavaruudessa Jos g on jatkuva ja rajoitettu funktio d :ssä niin funktio y u(x, y) = a(s d g(z) dz, x d, y >, ) d ( x z + y ) d on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva, rajoitettu ja armoninen funktio ylätasossa { (x, y) : x d, y > } ja jatkuva ylätason sulkeumassa ja u(x, ) = g(x). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 55 / 6 Esimerkki Seuraavassa konstruoidaan tason yksikköympyrän sisäpuolella armoninen funktio, jota ei voida esittää reunaarvojen integraalina. Ensikisi todetaan, että kun d = niin jokainen armoninen funktio on analyyttisen funktion reaaliosa. Tästä seuraa, että jos u on armoninen ja f on analyyttinen niin funktio v(x, y) = u(e (f (x + iy)), Im (f (x + iy))) on myös armoninen. yt valitaan u(x, y) = sin(x) sin(y) ja f (z) = i +z z, jolloin f siis kuvaa joukon { z C : z < } joukolle { w C : Im (w) > }. apakoordinaateilla saadaan f (re iθ ) = i ( + reiθ )( re iθ ) re iθ = ja kun määritellään ( v(r cos(θ), r sin(θ)) = sin r sin(θ) r cos(θ) + r +i r r cos(θ) + r, r sin(θ) r cos(θ) + r ) ( sin r r cos(θ) + r niin v on armoninen joukossa { (x, y) : x + y < } ja v(x, y) kun x + y mutta (x, y) (, ) mutta kaikilla θ pätee lim r v(r cos(θ), r sin(θ)) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 56 / 6 )

Keskiarvo-ominaisuus Jos Ω d on avoin ja u C(Ω) niin u:lla on keskiarvo-ominaisuus jos u(x ) = x = ds x = u(x + rx) ds kaikilla x ja r joilla pätee { x d : x x r } Ω. u:lla on eikko keskiarvo-ominaisuus jos jokaisella x Ω ja jokaisella ɛ > on olemassa r (, ɛ) siten, että { x d : x x r } Ω ja u(x ) = x = ds u(x + rx) ds. x = Harmoniset funktiot, keskiarvo-ominaisuus ja derivoituvuus Jos Ω d on avoin niin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja: u C (Ω) ja u on armoninen Ω:ssa. u C (Ω) ja u on armoninen Ω:ssa. u C(Ω) ja u:lla on keskiarvo-ominaisuus. u C(Ω) ja u:lla on eikko keskiarvo-ominaisuus. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 57 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 58 / 6 Jos Heijastusperiaate Ω + { (x, y) : x d, y > }; u C(Ω + ) ja u on armoninen joukossa Ω; u(x, ) = jos (x, ) Ω + ; Ω ± = Ω + Ω Ω missä (x, y) Ω jos ja vain jos (x, y) Ω + ja (x, ) Ω jos ja vain jos B((x, ), r) { (x, y) : x d, y > } Ω + jollakin r > ; määritellään u(x, y) = u(x, y) kun (x, y) Ω ; niin silloin u on armoninen joukossa Ω ± Yksinkertaisin tilanne on tietenkin se, että Ω + = { (x, y) : x d y > } mutta oleellista on että eijastus tedään jonkin ypertason { w d : (w w ) n = } suteen ja että u on vakio tällä ypertasolla. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 59 / 6 Liouvillen lause Jos u on armoninen ja alaalta (tai yläältä) rajoitettu joukossa d niin u on vakio. Aputulos Jos u on armoninen ja ei-negatiivinen avoimessa joukossa Ω d, B(x, ) Ω ja x x = r < niin ( r) d ( + r) d u(x ( + r)d ) u(x) ( r) d u(x ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6

Maksimiperiaate Jos Ω d on avoin ja rajoitettu, u on jatkuva Ω:n sulkeumassa Ω ja armoninen Ω:ssa niin max u(y) = max u(y) eli u(x) max u(y), x Ω. y Ω y Ω y Ω Yksikäsitteisyys Jos Ω d on avoin ja rajoitettu ja f ja g ovat annettuja funktioita niin on olemassa korkeintaan yksi funktio u C (Ω) C(Ω) siten, että u = f joukossa Ω ja u = g reunalla Ω. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6 Vava maksimiperiaate Jos Ω d on avoin ja ytenäinen, u C (Ω) on armoninen Ω:ssa ja jos jossain pisteessä x Ω pätee u(x ) = sup x Ω u(x) niin u on vakio. Harnackin epäytälö Jos Ω d on avoin ja jos V Ω on rajoitettu, avoin, ytenäinen ja V Ω niin on olemassa vakio c (, ) siten, että jos u on armoninen Ω:ssa ja sup x Ω u(x) < niin sup x V u(x) ( c) sup u(x) + c inf u(x). x Ω x V Koska u on armoninen jos ja vain jos u on armoninen saadaan maksimiperiaatteista vastaavanlaisia minimiperiaatteita ja erikoisesti Harnackin epäytälö esitetään tavallisesti niin, että u(x) joukossa Ω jolloin epäytälöksi tulee sup u(x) x V c inf u(x). x V G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6