Mat Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Transkriptio

1 Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali lauseen sekä potenssisarja esitykset funktioille. Tätä teoriaa hyödynnetään loppupuolella erityisesti Fourier-sarjojen, muunosten sekä Laplace-muunnosten yhteydessä. Huomaa erityisesti merkityt kohdat. Kompleksiluvut Kompleksilukujen jouko = {z = x + iy : x, y R} jossa vakiolle i 2 =. Yhtäältä on kompleksitaso, vektoriavaruus, z sen vektori, ja toisaalta on algebra (sillä on määritelty lisäksi kertolasku). Käsitteitä: z, z = z z, arg z, Arg z. Esitykset (polaariesitys) z = x + iy = r(cos θ + i sin θ) = re iθ = e w ( ) jossa x = Re z, y = Im z, θ = arg z ja w = ln z + iθ. Kertolaskulle pätee z, w, zw = z r e i(arg z+arg w). Laske arg( + i) ja Arg ( + i).

2 Trigonometriset funktiot Nämä määritelmät ja muiden johdot pitää osata: Kaikilla z e z := + z + z2 + z ! 3! sinh z := 2 (ez e z ) cosh z := 2 (ez + e z ) sinh z = z + z3 + z cosh z = + z2 + z ! 5! 2! 4! e z = cosh z + sinh z sin z := z z3 + z5... cos z := z2 + z4... 3! 5! 2! 4! sin iz = i sinh z cos iz = cosh z e iz = cos z + i sin z Ratkaise sin z = 2 ja tan z = i. Logaritmi ja exponentti De Moivre : Jos z ja w = ln z + iθ, θ arg z, z n = (e w ) n = e nw = e nre w e inim z = z n e inθ = z n (cos nθ + i sin nθ) Tästä saadaan ln z = w, joka siis on moniarvoinen. Erikseen määritellään yksikäsitteinen Ln z = ln z + iarg z. Koska arg z = Arg z + 2πN on joukkoarvoinen (se ei ole yksikäsitteinen), niin yhtälöllä z n = c on aina tarkalleen n ratkaisua: jos z 0 = c /n exp( i arg c ) on n yksi ratkaisu, muut ovat z 0 e 2πik/n jossa k =, 2,..., n. z c = e c ln z on moniarvoinen, koska ln z on moniarvoinen. Ratkaise z n + 2i = 0. Laske Ln ( + i), ln( + i). Laske i i. Ratkaise z 3 = 8. 2

3 Derivaatta ja analyyttisyys Kompleksitason joukoista: avoin, suljettu, yhtenäinen, yhdesti yhtenäinen, alue = avoin + yhdesti yhtenäinen. Kompleksinen raja-arvo: f : w = lim f(z) lim f(z 0 + ɛ) w = 0 z z0 ɛ, ɛ 0 Huomaa, että raja-arvo ei saa riippua lähestymistavasta! Derivaatta riippuu raja-arvosta: f f(z + ɛ) f(z) (z) := lim. ɛ 0 ɛ Analyyttisyys: f on analyyttinen alueessa D joss f (z) kaikilla z D. Kaikki reaalisen tapauksen derivointisäännöt pätevät (jos kompleksinen derivaatta on olemassa, voidaan valita ɛ R yllä, jolloin derivaatta yhtyy realiseen derivaattaan.) Laske f (z) kun f(z) = z + z. Laske (f g) kun f(z) = / sin z ja g(z) = cos z. Missä f, g, f g ovat analyyttisiä? auchy-riemann -R ehdot: Olkoon u, v : R 2 R kahdesti jatkuvasti derivoituvia ja f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Jos, alueessa D, { u x = v y u y = v x f on analyyttinen Tässä D R 2, ja u x = u x. Huomaa, että -R ehdot saadaan myös derivoimalla analyyttistä funktiota: Jos f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) on analyyttinen, derivaatta (0.) voidaan ottaa yhtenevästi joko reaaliakselin suunnassa (0.2), tai imaginaariakselin 3

4 suunnassa (0.4). f (x + iy) = f(x + iy + ɛ) f(x + iy) lim ɛ 0,ɛ ɛ (0.) f (x + iy) = f(x + ɛ + iy) f(x + iy) lim ɛ 0,ɛ R ɛ (0.2) = x [u(x, y) + iv(x, y)] = u x (x, y) + iv x (x, y) (0.3) f (x + iy) = lim iɛ = ɛ 0,ɛ R f(x + iy + iɛ) f(x + iy) iɛ (0.4) = i y[u(x, y) + iv(x, y)] = v y (x, y) iu y (x, y) (0.5) Asettamalla (0.3) ja (0.5) yhtäsuuriksi, nähdään, että f toteuttaa -R ehdot. Käänteinen tulos on myös totta: jos u,v ovat jatkuvasti kaksi kertaa derivoituvia, f = u + iv on analyyttinen. Olkoon u : R 2 R jolla on jatkuvat u x, u y. Näytä että f(x + iy) = u(x, y) + iu(y, x) on analyyttinen (käyttäen -R ehtoja). Harmoniset funktiot Funktio u : R 2 R on harmoninen funktio alueessa D joss u(x, y) = 0 alueessa D. Tässä D R 2, ja u x = u x, u = u xx + u yy. Funktio v : R 2 R on u:n harmoninen konjugaatti (alueessa D) joss f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) on analyyttinen (alueessa D). Laske u:n harmoninen konjugaatti, kun u(x, y) = cos(x + y). Vastaus: konjugaattia ei ole, koska u = 2 cos(x + y) 0, ja u ei ole harmoninen lain. Laske u:n harmoninen konjugaatti, kun u(x, y) = x 2 y 2. Vastaus: Nyt u x = 2x, u xx = 2, u y = 2y, u yy = 2; u = 0 v x = u y = 2y ja v y = u x = 2x ja niinpä v(x, y) = 2xy +. Näytä, että jos f on analyyttinen, u(x, y) = Re f(x + iy) on harmoninen. Vastaus: u xx = (u x ) x = v yx u yy = (u y ) y = v xy u = u xx + u yy = v yx v xy. joka on nolla, koska f analyyttinen ja niinpä u kaikki osittaisderivaatat jatkuvia ja derivointijärjestystä voidaan vaihtaa. 4

5 Polkuintegrointi Polku = suunnattu tasokäyrä (moninkertoineen). Tasokäyrän oletetaan olevan paloittain sileän. Suljettu polku on äärellisen alueen reuna. Polulla integraali määritellään polun (sileän suuntansa säilyttävän) parametrisoinnin, w : [a, b] R, avulla f(z)dz = b Laske x 2 dz kun polku on murtoviiva 0 i. a f(w(t) ) w (t)dt. ( ) }{{} } {{ } z =dz Analyyttisyys ja integrointi f : on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin f(z)dz = 0 ( ) suljetulle käyrälle D Tällöin on myös olemassa analyyttinen integraalifunktio F :, F (z) = f(z): Kaikille poluille alueessa D pätee silloin f(z)dz = F (z ) F (z 0 ) (0.6) jossa polun alku ja päätepisteet ovat z 0, z. Vaikka D ei ole yhdesti yhtenäinen, f(z)dz = f(z)dz jos polkujen ja väliin jäävä alue on D:ssä (polun deformaatio). Laske dz, kun on murtoviiva 0 i. (z+) 2 Laske integraalit (z±) 2 dz kun on keskeinen säteinen myötäpäivää suunnattu ympyrä. 5

6 auchy Oletetaan että f on analyyttinen alueessa D, D on suljettu käyrä. Erityisesti kaikilla m Z Pätee (z z 0 ) m dz = 2πif(z 0 ) = josta derivoimalla, m N 2πif (m) (z 0 ) = m! { 2πi, m = 0, m. ( ) f(z) z z 0 dz ( ) f(z) dz ( ) (z z 0 ) m+ Seuraus: analyyttisellä funktiolla on aina äärettömän monta derivaataa! Tiedetään että f on analyyttinen ja f(w(t)) = sin(tπ), kun w : t [0, ] e 2πit2. Laske f(0), f (0). Tiedetään f(z) kun z = 2. Anna yläraja luvuille f (0), f(0). Konformikuvakset Konformikuvaukset f : säilyttävät kulmat. Analyyttinen kuvaus f on konforminen, jos f (z) 0. ( ) a b Möbius kuvaus φ : z az+b, a, b, c, d, on konforminen kun det cz+d c d 0, sillä φ (z) = ad bc. Möbius-kuvausta voidaan tarkastella ns. Riemann (cz+d) 2 pallolla eli laajennetussa kompleksitasossa { }. Silloin se on konforminen (mainitulla ehdolla) kaikissa pisteissä. Laajennetussa kompleksitasossa mielivaltaisille pisteille w, w 2, w 3, z, z 2, z 3 on olemassa Möbius kuvaus φ siten että φ(z i ) = w i. Todista. Anna Möbius kuvaus φ jolle φ(0) =, φ() =, φ(i) =. 6

7 Sarjat Potenssisarjaa k=0 a k(z z 0 ) k voi derivoidan ja integroida termeittäin. Se suppenee alueessa {z : z z 0 < R} (z 0 keskeinen R säteinen kiekko), jossa R = lim sup a k /k. Analyyttisellä funktiolla f on Taylor-sarja f(z) = f (k) (z 0 ) k=0 (z z m! 0 ) k joka suppenee suurimmassa mahdollisessa z 0 keskeisesä kiekossa jossa f on analyyttinen. MacLaurin sarja: z 0 = 0. Laurent-sarja: f(z) = k= n a k(z z 0 ) k suppenee ympyrärenkassa keskuksena z 0, jossa f analyyttinen. (Ympyrärengas riippuu kertoimista.) f ei tarvitse olla analyyttinen pisteessä z 0. Taylor sarjassa n = 0. Laske funktion f(z) = sin(z 2 ) McLaurin sarja. Laske funktion f(z) = / sin(z) Laurent-sarja origon ympäristössä. Singulariteetit, navat ja nollakohdat Tarkastellaan funktiota f analyyttinen pisteen z 0 punkteeratussa ympäristössä (siis ei välttämättä pisteessä z 0 ) ja määritellään kaikilla m Z g m (z) = (z z 0 ) m f(z), z z 0, g m (z 0 ) = lim z z0 g(z). f:llä on nollakohta pisteessä z 0 jos f(z 0 ) = 0. f:llä on nollakohta kertalukua m pisteessä z 0 jos g m (z 0 ) 0 ja g m on analyyttinen (pisteessä z 0 ) f:llä on napa kertalukua m pisteessä z 0 jos g m (z 0 ) 0 ja g m on analyyttinen (pisteessä z 0 ) jossa g m (z) = (z z 0 ) m f(z). Funktiolla /f on annetussa pisteessä m-nollakohta, joss funkiolla f on m- napa. Etsi funktion z(z ) sin (z 2 ) navat ja nollakohdat. 7

8 Residy Funktion residy on määritelmän mukaan funktion f : Laurent-sarjan kerroin: f(z) = k= m a n z n, Res f(z) = a. z=z 0 0 < z z 0 < R Tässä z 0 on ainoa singulariteetti alueessa z z 0 < R. Huomaa, että edellytämme, että sarja suppenee pisteen z = z 0 välittömässä ympäristössä. Residyllä ja integraalilla on yhteys: f(z) dz = 2πi Res f(z), z z 0 z=z 0 jossa kiertää kerran pisteen z 0 alueessa 0 < z z 0 < R. Laske integraali f(z)dz kun f(z) = (z z 0 )(z z ja kiertää pisteen ) 2 z 0 kerran vastapäivää ja pisteen z kaksi kertaa myötäpäivää. Ratkaisu: f:llä on navat pisteissä z 0 ja z kertalukua ja 2 vastaavasti. Tehdään osamurto, f(z) = A 0 z z } {{ 0} g 0 (z) + A + z z A 2 (z z ) 2 } {{ } g (z) ja saadaan: A 0 = (z 0 z ) 2, A = (z 0 z ) 2, A 2 = z 0 z. Nyt Res f(z) = Res g 0 (z) + Res g (z) = 0 + A z=z z=z z=z koska g 0 on analyyttinen pisteessä z ja selvästi g Laurent-sarjan kerroin a = A. Vastaavasti Res z=z0 f(z) = A 0. Täten, ( ) 6πi f(z)dz = 2πi κ 0 Res f(z) + κ Res f(z) = 2πi(A 0 2A ) = z=z 0 z=z 0 (z 0 z ), 2 jossa κ 0 = ja κ = 2, Vaihtoehtoisesti osamurron sijasta: h 0 (z) = (z z 0 )f(z) = (z z ) 2, Res z=z 0 f(z) = h 0 (z 0 ) = 8 (z 0 z ) 2,

9 h (z) = (z z ) 2 f(z) = z z 0, (Tarkaan ottaen h i (z i ) = lim z zi h i (z).) Res f(z) = h() (z 0 ) z=z! = (z z 0 ) 2. Fourier-sarja Fourier-sarja, kertoimilla {..., c 2, c, c 0, c, c 2,... }, on määritelty T - jaksollisille funktioille f : [ T/2, T/2) R, ja f(t) = f(t + T ) kaikille t R. f(t) = c k e iwkt, w = 2π T c k = T k= T/2 T/2 f(t)e iwkt dt. Jokaisesta mielivaltaisella T -pituisella välillä määritellystä funktiosta voidaan tehdä jaksollinen määrittelemällä f(x) = f(x + T ) kaikilla x R. Fourier-muunna u(t ) kun t [0, 4]. u on Heaviside-funktio. Fourier-muunna sin(t ) kun t [0, 2π]. Fourier-muunna f(t) = sin(t) jossa t [0, π]. (T = π, c k = 2 +4k 2.) * Kirjoita edellinen Fourier-sarja muodossa k a k cos(2wk)+b k cos(2wk), w = 2π T. Ratkaise y (t) + κy(t) = sin(3t) jaksolliset ratkaisut, κ R, t R (tai κ ). Diskreetti Fourier-muunnos ja FFT Diskreetti Fourier-muunnos ˆf n on määritelty vektorille f n, kaikilla k = 0,..., n merkitään vektoreiden elementtejä alaindeksillä f k = n j=0 ˆf j e iwj, w = 2π n 9

10 ˆf k = n f j e iwk. n j=0 FFT on edullinen tapa laskea tämä muunnos, kun n = 2 m jollakin m N. Olkoon vektorin v R n komponentit v k = f( k ), k = 0,..., n. Mikä n on vektorin diskreetti Fourier-muunnos, kun f(t) = k= c ke iwt, w = 2π. Fourier-muunnos Fourier-muunnos F (w) = F{f} : R on määritelty funktioille f : R : f(t) = F (w) = 2π F (w) e iwt dw, f(t) e iwt dt, t R w R kun jälkimmäinen integraali suppenee kaikilla w. Sanomme että f on Fouriermuuntuva, jos F{f} on olemassa. Jos f on integroituva, eli f(t) dt <, Fourier-muunnos on olemassa. Katso myös Taulukko sivulla 3. Fourier-muunna f(t) = /(t 2 + ) kun t R. (F (w) = w /4) Laplace-muunnos Merkitään R + = {t R : t > 0}, H α = {z : Re z > α}. Laplacemuunnos F (s) := L{f} : H α on määritelty funktioille f : R + f(t) = t0 +i t 0 i F (s) e st ds, t 0 > α, t > 0 F (s) = 2π 0 f(t) e st dt, s H α 0

11 sellaiselle α jolla jälkimmäinen integraali suppenee. Huomaa, α riippuu funktiosta f. Jos L{f} on määritely jollakin α < sanotaan että f on Laplacemuuntuva. Suppenemiselle ehto eponentiaalisen kasvun kautta: jos f(t) < e αt niin Laplace muunnos L{f} on määritelty alueessa H α. Deritaavan muunnos saadaan derivoimalla F (s) lauseketta t:n suhteen. Ratkaise Laplace-muunnosta käyttäen alkuarvo-ongelma y (t) 2y (t) + y(t) = δ(t ), t > 0, y(0) = 0, y (0) =. (Y (s) = ( + e s )/(s ) 2 ), y[t] = e t (t e u(t )(t ))) Z-muunnos Z-muunnos X = Z{x} : e Hα jonoille (diskreeteille funktioille) {x 0, x, x 2,... } määritellään (jollakin α > 0) X(z) = x k z k, z e Hα. k=0 Huomaa e Hα = {z : z > R} ympyrärengas, jossa R := e α. Määritellään jono (x k ) differenssiyhtälön avulla: x k+2 +x k +x k /4 = ja x 0 = x = 0. Suppeneeko jono?

12 Muunokset-yhteenveto Fourier-sarja funktioavaruus periodiset funktiot tai funktiot rajatulla välillä Fourier-muunnos reaaliakselin R funktiot (jotka muuntuvia) Diskreetti Fourier vektorit n muunnos Laplace-muunnos positiivisen reaaliakselin R + funktiot (jotka muuntuvia) Z-muunnos jonot {c 0, c,... } (diskreetit funktiot Z:lla) muunnosavaruus Fourier-sarja (sarjan kertoimet c k ) reaaliakselin R funktiot, vektorit n oikean puolitason H α funktiot potenttisarja k=0 c kz k, jossa z e Hα 2

13 f(t) F (w) = F{f}(w) F (w)e iwt dw 2π f (t) f(t + α) f(t/α) iw F (w) e αwi F (w) αf (αw) f(t)e iwt dt (h g)(t) H(w)G(w) h(t)g(t) t 2 + β 2 t 2 t 2 β { 2, t < 2 0, t sin t t { t, t < 0, t exp( t 2 /2) (H G)(w) π β e β w π w π w sin(βw) βw sin w w { π, w < 0, w ( ) 2 sin (w/2) w/2 ( 2π exp w 2 /2 ) δ(t) u(t) iw jossa β > 0, α R \ {0} ja (f g)(t) = f(τ)g(t τ)dt. Taulukko : Fourier muunnoksia 3