sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

Transkriptio

1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x, y) (0, 0), Ratkaisu: Osoitetaan ensin, että g on jatkuva kaikkialla paitsi origossa. Oletetaan, että (x i, y i ) (0, 0) kaikilla i on sellainen jono, että (x i, y i ) (x, y) (0, 0). On näytettävä, että myös g(x i, y i ) g(x, y). Koska (x i, y i ) (x, y), niin viikon 2 laskuarjoitusten nojalla tiedetään, että tällöin x i x ja y i y. Analyysin peruskurssin tietojen nojalla tiedetään, että tällöin myös x 2 i x ja y 2 i y, ja että summajonolle pätee x 2 i + y 2 i x 2 + y 2. Koska sinifunktio on jatkuva, niin pätee myös, että sin(x 2 i +y 2 i ) sin(x 2 +y 2 ). Koska (x i, y i ) (0, 0) kaikilla i ja (x, y) (0, 0), niin x 2 i + y 2 i 0 kaikilla i ja x 2 + y 2 0: tällöin tiedetään, että sin(x 2 i + y 2 i ) x 2 i + y 2 i sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 eli g(x i, y i ) g(x, y), kuten aluttiin, joten g on jatkuva pisteessä (x, y) (0, 0). Huomaa, että ongelma palautui täysin reaalilukujojen pyörittelyyn (vektorijonojen sijasta). Osoitetaan lopuksi, että g ei ole jatkuva origossa: tällöin riittää löytää jokin tietty jono (x i, y i ), jolla (x i, y i ) (0, 0) kaikilla i ja (x i, y i ) (0, 0), mutta kuitenkin g(x i, y i ) g(0, 0) = 0. Muistetaan, että sin(t)/t 1, kun t 0: tämä raja-arvo todistettiin sinin derivaattaa määrittäessä. Valitaan siitä syystä jonoksi (x i, y i ) = (1/i, 0), joka toteuttaa vaatimukset. Kun i, niin 1/i 2 0, ja tällöin g(1/i, 0) = sin(1/i ) 1/i = g(0, 0) eli funktio g ei tosiaan ole jatkuva origossa. 1

2 Ratkaisu 2: Muistetaan sinifunktion sarjakeitelmä: Nyt siis sin(t) = t t3 3! + t5 5!... g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) = 1 (x2 + y 2 ) 2 + (x2 + y 2 ) 4... x 2 + y 2 3! 5! Funktion voi siis määritellä jatkuvasi valinnalla g(0, 0) = 1, mikä on selvää myös kuvasta 1. Kuva 1: Funktion g(x, y) = sin(x 2 + y 2 )/(x 2 + y 2 ) kuvaaja Etsi funktion, (x, y) = arctan ( y ) x määrittelyalue ja tutki funktion jatkuvuutta. Ratkaisu: Arkustangentin määrittelyalue on koko R, joten arctan(y/x) on yvin määritelty kun x 0. Tutkitaan funktion jatkuvuutta. Muistetaan, että lim n arctan(n) = π/2 ja lim n arctan(n) = π/2. Nyt jos y > 0, niin lim x 0 arctan( y / x ) = π/2 ja lim x 0 arctan( y / x ) = π/2 eli funktiota ei voi määritellä jatkuvaksi y-akselilla, mikä on arvinaisen selvää myös kuvasta 2. Lisäksi jos y = 0 ja x > 0, niin arctan(0/x) = 0. 2

3 Kuva 2: Funktion (x, y) = arctan(y/x) kuvaaja Olkoon (a) g(x, y) = 2x 2 xy + y 2, (b) f(x, y) = x 3 y + exp(xy 2 ). Määrää g/ x ja g/ y pistessä (x 0, y 0 ) suoraan määritelmästä. Etsi f x, f y, f xx, f yy, f xy ja f yx. Ratkaisu: Määritelmän nojalla saadaan: 1 g(x 0, y 0 ) g(x 0 +, y 0 ) g(x 0, y 0 ) 2(x 0 + ) 2 (x 0 + )y 0 + y 2 0 2x x 0 y 0 y 2 0 2x x x 0 y 0 y 0 + y0 2 2x x 0 y 0 + y0 2 4x y 0 (4x y 0 ) = 4x 0 y 0 = g x. 2 g(x 0, y 0 ) g(x 0 +, y 0 ) g(x 0, y 0 ) 3

4 2x 2 0 x 0 (y 0 + ) + (y 0 + ) 2 2x x 0 y 0 y 2 0 2x 2 0 x 0 y 0 x 0 + y y x x 0 y 0 + y 2 0 x 0 + 2y ( x 0 + 2y 0 + ) = x 0 + 2y 0 = g y. Tiedetään, että exp(x) = e x. Nyt: f x (x, y) = f(x,y) x = 3x 2 y + e xy2 y 2 ; f y (x, y) = f(x,y) y = x 3 + e xy2 2xy; f xx (x, y) = 2 f(x,y) x 2 = 6xy + e xy2 y 4 ; f yy (x, y) = 2 f(x,y) y 2 = e xy2 4x 2 y 2 + e xy2 2x; f xy (x, y) = 2 f(x,y) x y f yx (x, y) = 2 f(x,y) y x = 3x 2 + e xy2 2xy 3 + exp xy 2 2y = 3x 2 + e xy2 (2xy 3 + 2y); = 3x 2 + e xy2 2xyy 2 + e xy2 2y = 3x 2 + e xy2 (2xy 3 + 2y) Tutki, toteuttaako funktio Laplacen osittaisdifferentiaaliytälön U(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 x + 2 U 2 y + 2 U 2 z = 0. 2 Ratkaisu: Derivoidaan funktiota U ensin x:n suteen kadesti. Suoraan laskemalla saadaan, että U x = x (x2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = 1 2 2x(x2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = x(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ja siten tulon derivoimissäännön mukaan pätee x 2 = (x2 + y 2 + z 2 ) 3/ x2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 = 3x 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2. 4

5 Funktio U on symmetrinen muuttujien x, y ja z suteen, joten saadaan vastaavasti, että y = 2 3y2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ja z = 2 3z2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2. Näiden osittaisderivaattojen summaksi saadaan x + 2 U 2 y + 2 U 2 z = 2 3(x2 + y 2 + z 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = 0, joten funktio U toteuttaa Laplacen osittaisdifferentiaaliytälön. Mainitsemisen arvoista ekä on, että Laplacen osittaisdifferentiaaliytälön toteuttavaa funktiota kutsutaan armoniseksi Tutki funktion g : R 2 R, g(x, y) = xy, kun (x, y) (0, 0), x 2 + y2 g(0, 0) = 0, osittaisderivaattojen olemassaoloa ja funktion g jatkuvuutta. Ratkaisu: Koska osoittajassa ja nimittäjässä olevat funktiot ovat polynomeina jatkuvia, ja x 2 + y 2 saa arvon 0 vain origossa, niin funktio g on jatkuva ainakin kaikkialla paitsi origossa. Kun t 0, niin funktiolle g pätee g(t, t) = t2 t 2 + t 2 = 1 2, mutta g(0, 0) = 0. Vaikuttaa siis, että g ei olisi jatkuva origossa. Tämä voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavasti: jonolle ((1/n, 1/n)) n pätee (1/n, 1/n) (0, 0) kun n, mutta 1 2 = g(1/n, 1/n) g(0, 0) = 0 joten funktio g ei ole jatkuva origossa. Funktion kuvaaja on esitetty kuvassa 3. Olkoon b R. Osittaisderivaatan x g(x, b) laskemiseksi täytyy derivoida funktio x g(x, b) = xb x 2 + b = bx 2 x 2 + b. 2 5

6 Kun b 0, niin nimittäjän funktio x x 2 + b 2 ei saa koskaan arvoa 0. Koska osoittaja ja nimittäjä ovat molemmat derivoituvia funktioita, niin tällöin myös niiden osamääräkin on derivoituva ja osittaisderivaatta on olemassa. Kun b = 0 ja x 0, niin lauseke 0x x saa arvon 0; kun x = 0 niin lauseke on määrittelemätön, mutta g(0, 0) = 0 määritelmän perusteella. Siis kun b = 0, niin funktio x g(x, 0) on vakiofunktio 0, joka on derivoituva, joten osittaisderivaatta on tällöinkin olemassa. Yteenvetona, x g(x, y) on olemassa kaikkialla. Lasketaan vielä sen arvo: x g(x, y) = x xy(x2 + y 2 ) 1 = y ( 1 (x 2 + y 2 ) 1 + x ( 1)(x 2 + y 2 ) 2 2x ) ( ) 1 = y x 2 + y + 2x2 2 (x 2 + y 2 ) 2 ( x 2 + y 2 ) = y (x 2 + y 2 ) + 2x2 2 (y 2 + y 2 ) 2 = y(y2 x 2 ) (x 2 + y 2 ) 2, joka siis pätee, kunan (x, y) (0, 0) (ja origossa x g(0, 0) = 0). Yllä derivaatta on laskettu tulon derivoimissäännöllä: toki osamäärän derivoimissääntöäkin saa käyttää, mikäli sen sattuu muistamaan. Koska funktio g on symmetrinen muuttujien x ja y suteen, niin osittaisderivaatalle y g pätevät samat uomiot: se on olemassa kaikkialla, kun (x, y) (0, 0) sen kaava on ja lisäksi y g(0, 0) = 0. y g(x, y) = x(x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2, On uomionarvoista, että tetävässä ei riitä pelkästään derivoida funktion g lauseke x:n ja y:n suteen: tällöin jää uomaamatta, että osittaisderivaatat ovat olemassa myös origossa. 6

7 Kuva 3: Funktion g(x, y) = (xy)/(x 2 + y 2 ) kuvaaja. 7