Mat Matematiikan peruskurssi L4, osa II
|
|
- Kirsi Uotila
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.040 Matematiikan peruskurssi L4, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 26. maaliskuuta 200 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 / 70 Poissonin yhtälö Perusratkaisu Greenin funktio Energia- ja variaatioperiaate Lämpöyhtälö Perusratkaisu Lämpöyhtälön maksimiperiaate Lämpöyhtälön energia-arvio Aaltoyhtälö Schrödingerin yhtälö Säilymislait Rankine-Hugoniotin ehto Entropiaehto G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
2 Divergenssilause ja osittaisintegrointi Jos R d on avoin ja rajoitettu ja sen reuna on sopivan sileä niin div F dx = F n ds, missä n on yksikkönormaali ulospäin. Jos F korvataan funktiolla Fg niin saadaan osittaisintegrointikaava div Fg dx = (F n)g ds F Dg dx, missä siis Dg = g on g:n derivaatta eli osittaisderivaatoista muodostettu vektori. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Jos niin eli Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu Φ(x) = 2π ln( x ), d = 2 (d 2)a(S d, d 3, ) x d 2 u = δ 0, u(x) = Φ(x y)f (y) dy R n u = f. Tässä a(s d ) on R d :n yksikköpallon B(0, ) reunan pinta-ala ja väite pätee ainakin oletuksella f C 2 c (R d ). Huomaa lisäksi, että Φ on harmoninen kaikkialla paitsi origossa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
3 Greenin funktio Jos R d avoin ja rajoitettu ja sen reuna on C ja u C 2 () on yhtälön ratkaisu niin u(x) = missä u(x) = f (x), u(x) = g(x), G(x, y)f (y) dy x x (D y G(x, y) n)g(y) ds(y), x, G(x, y) = Φ(x y) φ x (y) edellyttäen, että löytyy funktio φ y (x) siten, että φ x (y) = 0, y, φ x (y) = Φ(x y), y. jolloin lisäksi pätee G(x,y) = G(y, x) ja erikoisesti φ x (y) = φ y (x) kun x y. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Energia- ja variaatioperiaate I Jos R d on avoin ja rajoitettu, ja sen reuna on C, g C( ), f C(), u C 2 () ja u = g reunalla niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: u = f joukossa. J(u) J(v) kaikilla v C () joilla v = g reunalla missä ( J(v) = 2 Dv(x) 2 v(x)f (x)) dx. ( ) Du Dv fv dx = 0 kaikilla v C () joilla v = 0 reunalla. Huom! Osoittautuu, että ei olekaan hyvä idea formuloida energia- ja variaatioperiaate kuten yllä jatkuvasti derivoituvilla funktioilla, vaan kannattaa menetellä hieman toisin. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
4 Sobolev-avaruudet H k () Jos R d on avoin ja k niin H k () = { v L 2 () : D α v L 2 (), α k, α N d 0 } ja v H k () = D α v 2 L 2 () 2, α k missä α = d j= α j ja D α = α α x α kun α = (α,..., α d ) ja x Dα v(x)φ(x) dx = ( ) α v(x)dα φ(x) dx kaikilla φ Cc (). Sobolevavaruus H0 () H0 () on joukon C c () sulkeuma Hilbert-avaruudessa H (). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Yhtälön u = f variaatiomuoto II Sen sijaan, että yritettäisiin suoraan ratkaista yhtälö u = f u = 0, :ssa, reunalla voidaan ratkaista vastaava variaatiomuoto: Määritä u H0 () siten että a(u, v) = L(v), kaikilla v H 0 () missä a(u, v) = Du Dv dx ja L(v) = vf dx. Jos ratkaistava yhtäälö on u = f Du n = h, :ssa, reunalla niin variaatiomuodossa haetaan u H () siten, että a(u, v) = L(v), kaikilla v H () missä a(u, v) = Du Dv dx ja L(v) = vf dx + vh ds. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
5 Jos Lax-Milgramin lause H on reaalikertoimenen Hilbert-avaruus. a : H H R on bilineaarinen eli funkio u H a(u, v) on lineaarinen kaikilla v H ja funktio v H a(u, v) on lineaarinen kaikilla u H. On olemassa vakiot 0 < α β < siten, että α u 2 H a(u, u), u H, a(u, v) β u H v H, u, v H. L : H R on lineaarinen ja jatkuva. niin on olemassa yksikäsitteinen u H siten, että a(u, v) = L(v), v H. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Variaatiomuoto ja minimointi Jos bilineaarinen funktio a kuten yhtälön u = f tapauksessa on symmetrinen eli a(u, v) = a(v, u) ja a(u, u) 0 niin variaatioprobleeman a(u, v) = L(v) ratkaisu on täsmällen funktion 2a(u, u) L(u) minimipiste. Galerkinin menetelmä ja Céan lause Oletetaan, että Lax-Milgramin lauseen oletukset ovat voimassa ja että H h on H:n suljettu aliavaruus ja haetaan u h H h siten, että a(u h, v) = L(v), v H h. Jos H h on äärellisulotteinen tästä ehdosta tulee matriisyhtälö. Lisäksi pätee u h u H β α inf v H h u v H missä u on probleeman a(u, v) = L(v), v H ratkaisu. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
6 Lämpö- eli diffuusioyhtälön tulkinta Olkoon u(x, t) jonkin suureen kuten massan, energian, tms. tiheys pisteessä x hetkellä t eli jos K on esimerkiksi kuutio niin K u(x, t) dx on massa, energia jne. joukossa K. Silloin K ( u(x, t + h) u(x, t + k) ) dx on tämän määrän muutos aikavälillä (t, t + h). Lisäksi oletetaan, että tämä suureen vuo on F(x, t) eli massa, energia tms. siirtyy pinnan P läpi normaalin n suuntaan nopeudella P F n ds. Silloin se nettomäärää kyseistä massaa, energiaa tms., joka aikavälillä (t, t + h) on siirtynyt pois kuutiosta K t+h F(x, s) n ds(x) ds. t K Jos nyt oletetaan, että massaa, energiaa tms. ei synny tai katoa mihinkään niin saadaan G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 / 70 Lämpö- eli diffuusioyhtälön tulkinta, jatkuu K ( u(x, t + h) u(x, t + k) ) dx = t+h Jos jaetaan h:lla ja otetaan raja-arvo kun h 0 niin saadaan u t (x, t) dx + F(x, t) n ds(x) = 0. K K t K F(x, s) n ds(x) ds. Divergenssilauseen nojalla K F(x, t) n ds(x) = K div x F(x, t) dx joten K ( ut (x, t) + div x F(x, t) ) dx = 0. Koska K on mielivaltainen saadaan tästä säilymislaki u t (x, t) + div x F(x, t) = 0. Monessa tapauksessa on järkevää olettaa, että F(x, t) = adu(x, t) eli massa, energia tms. siirtyy suuntaan missä tiheys on pienempi ja silloin saadaan yhtälöksi u t = a u. missä siis Laplace-operaattori otetaan vain x-muuttujan suhteen. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
7 Lämpöyhtälön perusratkaisu Yhtälön u t (x, t) = u(x, t), x R d, t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), x R d, missä u 0 on esimerkiksi jatkuva ja rajoitetun ja integroituvan funktion summa on u(x, t) = Φ(x y, t)u 0 (y) dy, R d x R d, t > 0, missä lämpöyhtälön perusratkaisu Φ(x, t) on Φ(x, t) = (4πt) d 2 e x 2 4t, x R d, t > 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Satunnaiskulku, lämpöyhtälö ja keskeinen raja-arvolause Satunnaiskulku alkaa hetkellä t = 0 pisteestä x = 0 ja ja jos hetkellä t = nk ollaan pisteessä mh niin hetkeen (n + )k mennessä on siirrytty pisteeseen (m + )h todennäköisyydellä p, pisteeseen (m )h samoin todennäköisyydellä p ja ollaan edelleen pisteessä mh todennäköisyydellä 2p missä siis p (0, 2 ]. (Lisäksi oletetaan tietenkiin, että nämä siirtymät ovat toisistaan riippumattomia.) Olkoon nyt U(m, n + ) todennäköisyys, että hetkellä (n + )k satunnaiskulkija on pisteessä mk. Tällöin hän on hetkellä nk ollut joko pisteessä (m )h, mh tai (m + )h ja kokonaistodennäkösyyden kaavalla saadaan U(m, n + ) = pu(m, n) + ( 2p)U(m, n) + pu(m +, n). Jos nyt määritellään funktio u(x, t) siten, että U(m, n) = hu(mh, nk) niin edellä oleva yhtälö voidaan esittää muodossa u(x, t + k) u(x, t) k ( = ph2 u(x + h, t) u(x, t) k h h ) u(x, t) u(x h, t). h G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
8 Satunnaiskulku, lämpöyhtälö ja keskeinen raja-arvolause jatkuu Jos nyt h ja k 0 siten, että ph2 k a > 0 niin saadaan yhtälöksi u t (x, t) = au xx (x, t). Tässä tapauksessa alkuarvo on u(x, 0) = δ 0. Toisaalta voidaan myös kirjoittaa n U(m, n) = Pr X j = mh, missä X j :t ovat riippumattomia satunnaismuuttujia siten, että Pr{X j = h} = Pr{X j = h} = p ja Pr{X j = 0}. Silloin X j :n odotusarvo on 0 ja varianssi on 2ph 2. Keskeisen raja-arvolauseen nojalla pätee Pr { α j= n j= X } β j β 2nph 2 α 2π e y2 2 dy. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Satunnaiskulku, lämpöyhtälö ja keskeinen raja-arvolause jatkuu Jos nyt valitaan a = ph2 k ja t = nk niin 2nph 2 = 2ta ja koska n Pr α 2ta X j β 2ta U(m, n) niin β 2ta α 2ta j= beta 2ta h α 2ta h u(x, t) dx Pr α 2ta β α α 2ta m beta 2ta h h hu(hy, t) dy = n X j β 2ta j= (2π) 2 e y2 2 β 2ta α 2ta β 2ta dy = α 2ta josta saadaan lämpöyhtälön perusratkaisu u(x, t) = 4πta e x2 4at. u(x, t) dx, 4πta e x2 4at, G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
9 Yksinkertainen standardiesimerkki sarjaratkaisuista Tarkastellaan yhtälöä u t (x, t) = u xx (x, t), 0 < x <, t > 0, u(0, t) = u(, t) = 0, t > 0, u(x, 0) = x( x), 0 < x <. 2 Tässä yksiulotteisessa tapauksessa Laplace-operaattorin ominaisarvot ja ominaisfunktiot toteuttavat yhtälön y (x) = λy(x), y(0) = y() = 0. Tässä ei käytetä yleisen teorian tuloksia vaan haetaan positiivisia ominaisarvoja ja osoitetaan sitten, ettei muita voi ollakaan. (Ei olisi kovin vaikeata osoittaa suoraankaan, ettei tällä yhtälöllä voi olla kompleksisia tai ei-positiivisia ominaisarvoja.) Jos λ > 0 niin yhtälön yleinen ratkaisu on y(x) = c cos(x λ) + c 2 sin(x λ). Ehdosta y(0) = 0 seuraa, että c = 0 ja koska c 2 ei silloin voi olla 0 (ominaisfunktio ei voi olla identtisesti nolla) niin ehdosta y() = 0 seuraa, että sin( λ) = 0 eli λ = nπ missä n =, 2,.... Näin ollen ominaisarvot ovat λ n = n 2 π 2 ja vastaavat ominaisfunktiot ovat ϕ n (x) = sin(nπx). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Yksinkertainen standardiesimerkki, jatkuu Haetaan yhtälön ratkaisu muodossa u(x, t) = c n (t)ϕ n (x). n= Tämä funktio toteuttaa autmomaattisesti reunaehdot u(0, t) = u(, t) = 0 ja koska u t (x, t) u xx (x, t) = (c n(t) + λ n c n (t))ϕ n (x) n= niin yhtälö u t (x, t) u xx (x, t) = 0 pätee jos c n(t) = λ n c n (t) eli c n (t) = e λ nt c n (0). Kertoimet c n (0) on valittava siten, että 2 x( x) = n= c n (0)ϕ n (x) = c n (0) sin(nπx). n= G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
10 Yksinkertainen standardiesimerkki, jatkuu Nyt määritellään f (x) = 2 x( x) kun x [0, ] ja f (x) = 2x( x) kun x [, 0]. Koska f on pariton, niin sen Fourier-kertoimet ovat myös parittomia ja ˆf (n) = 2 e i2πn f (x) dx = i 2 Fourier-kertoimien parittomuudesta seuraa, että f (x) = n Z Näin ollen voidaan valita e i2πnx 2 ˆf (n) = c n (0) = 2iˆf (n) = 2 0 sin(nπx)f (x) dx = i sin(nπx)2iˆf (n). n= 0 sin(nπx)f (x) dx. sin(nπx)f (x) dx. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Yksinkertainen standardiesimerkki, jatkuu Tämä tulos saadaan helpommin yleisen teorian perusteella, mutta Fourier-sarjojen käyttö antaa myös suoraan vastauksen kysymykseen onko löydetty kaikki ominaisarvot, eli voidaanko todella f esittää löydettyjen ominaisfunktioiden avulla. Suoraviivainen lasku osoittaa, että c n (0) = / cos(nπx)x( x) nπ 0 nπ = 0 (nπ) 2 / Näin ollen ratkaisu on 0 u(x, t) = 0 cos(nπx)( 2x) dx sin(nπx)( 2x) + (nπ) 2 sin(nπx)( 2) 0 = 2 / (nπ) 3 cos(nπx) = 2 0 (nπ) 3 ( ( )n ). n= 2( ( ) n ) (nπ) 3 e n2 π 2t sin(nπx). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
11 Laplace-operaattorin ominaisarvot Olkoon R d avoin ja rajoitettu (ja sen reuna on C ) ja tarkastellaan ominaisarvoprobleemaa u = λu joukossa, u = 0 reunalla. Variaatiomuodossa ehdoksi tulee, että on löydettävä u H0 () \ {0} ja λ C a(u, v) = λ u, v, kaikilla v H0 () missä a(u, v) = Du(x) Dv(x) dx ja u, v = u(x)v(x) dx. Voidaan osoittaa, että on olemassa reaalisia ominaisarvoja λ λ 2... siten, että lim m λ m = ja ominaisvektorit ϕ m voidaan valita siten, että ϕ m, ϕ n = 0 jos m n. Jos f L 2 () on sellainen, että f, ϕ n = 0 kaikilla n niin f = 0 joten jokainen f L 2 () voidaan esittää sarjana f = m= f, ϕ m ϕ m, ϕ m ϕ m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Lämpöyhtälön ratkaisu ja ominaisfunktiot Jos R d on avoin ja rajoitettu ja ϕ m, m J N ovat Laplace-operaattorin ominaisfunktioita ja λ m, m J ovat vastaavat ominaisarvot (joillakin sopivilla reunaehdoilla) niin u(x, t) = m J c m e λ mt ϕ m (x) on lämpöyhtälön ratkaisu (samoilla reunaehdoilla) olettaen että sarja suppenee riittävän hyvin. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
12 Duhamelin periaate eli miten ratkaistaan yhtälö u t = u + f Jos R d (esimerkiksi = R d ) ja yhtälön u t (x, t) = u(x, t), x, t > 0, αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, x, t > 0, u(x, 0) = g(x), x, ratkaisu on niin yhtälön u(x, t) = Φ(x, y, t)g(y) dy, x, t > 0, u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), x, t > 0, αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, x, t > 0, u(x, 0) = 0, x, ratkaisu on u(x, t) = t 0 Φ(x, y, t s)f (y, s) dy ds, x, t 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Huom! Duhamelin periaate on tässä esitetty nimenomaan periaateena eikä lauseena ja kun funktiot Φ ja f tunnetaan voidaan tarkistaa missä mielessä Duhamelin periaatteella laskettu funktio toteuttaa yhtälön (reunaehtoineen). Epähomogeeniset reuna-arvot Jos reunaarvot ovat muotoa αdu(x, t) n + βu(x, t) = h(x, t), x, t > 0, niin haetaan funktio w siten, että αdw(x, t) n + βw(x, t) = h(x, t) ja määritetään sitten funktio v siten, että u = w + v. Näin v:n reunaehdot ovat αdv(x, t) n + βv(x, t) = 0 mutta alkuarvot ja epähomogeeninen termi yhtälössä muuttuvat alkuperäisestä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
13 Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoitetussa joukossa Jos R d on avoin ja rajoitettu, T > 0 ja u C (2,) ( (0, T )) C( [0, T )) on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa (0, T ) niin u(x, t) max u(y, s), x, t (0, T ), (y,s) Γ t missä Γ t = ( [0, t]) ( {0}) (on ns. parabolinen reuna). Tässä u C (2,) tarkoittaa, että u on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva x-muuttujan suhteen ja kerran jatkuvasti derivoituva t-muuttujan suhteen. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoittamattomassa joukossa Jos R d on avoin, T > 0 ja u C (2,) ( (0, T )) C( [0, T )) on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa (0, T ) ja on olemassa vakiot A ja a siten että niin u(x, t) Ae a x 2, (x, t) [0, T ), u(x, t) missä Γ t = ( [0, t]) ( {0}). sup u(y, s), (x, t) (0, T ), (y,s) Γ t G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
14 Maksimiperiaate ja yksikäsitteisyys Maksimiperiaatteista seuraa yksikäsitteisyys eli jos R d ja T > 0 niin on olemassa korkeintaan yksi funktio u C (2,) ( (0, T )) C( [0, T )) siten, että joillakin jatkuvilla funktioilla A ja a pätee ja u toteuttaa yhtälön u(x, t) A(t)e a(t) x 2, (x, t) [0, T ), u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), (x, t) (0, T ), u(x, t) = h(x), x, t (0, T ), u(x, 0) = g(x), x, missä f, h ja g ovat annettuja jatkuvia funktioita. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys Jos R d, T > 0 ja u C (2,) ( (0, T )) on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa (0, T ) niin u C ( (0, T )). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
15 Lämpöyhtälön energia-arvio Jos R d on avaoin ja rajoitettu (ja sen reuna on riittvän sileä), T > 0 ja u C (2,) ( [0, T )) on yhtälön u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), (x, t) (0, T ), αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, (x, t) (0, T ), u(x, 0) = g(x), x, ratkaisu missä αβ 0 niin u(x, t) 2 dx + 2 t 0 Du(x, s) 2 dx ds + t 0 g(x) 2 dx f (x, s) 2 dx ds. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Energia-arvio ja yksikäsitteisyys Jos R d on avaoin ja rajoitettu (ja sen reuna on riittvän sileä), T > 0 ja αβ 0 mutta α 2 + β 2 > 0 niin on olemassa korkeintaan yksi funktio u C (2,) ( [0, T )), joka on yhtälön u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), (x, t) (0, T ), αdu(x, t) n + βu(x, t) = h(x, t), (x, t) (0, T ), u(x, 0) = g(x), x, ratkaisu kun f, g ja h ovat annettuja funktioita. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
16 Lämpöyhtälö ja maksimaalinen säännöllisyys Olkoon u yhtälön u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), (x, t) (0, T ), ratkaisu missä u, f ja ovat riittävän säännöllisiä ja αdu(x, t) + βu(x, t) = 0 kun x ja αβ = 0 (mutta α 2 + β 2 > 0. Silloin Du(x, t) 2 dx + t 0 u(x, t) 2 dx dt Du(x, 0) 2 dx t + f (x, t) 2 dx dt, 0 ja erityisesti jos u(x, 0) = 0 niin u t L 2 ( (0,T )) + u L 2 ( (0,T )) 3 f L 2 ( (0,T )). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Huom! Jos u t = u + f niin tietenkin pätee u t u L 2 ( (0,T )) = f L 2 ( (0,T )) u t L 2 ( (0,T )) + u L 2 ( (0,T )), joten parempaa arviota ei olisikaan mahdollista saada aikaan. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
17 Värähtelevä kieli ja aaltoyhtälö Tarkastellaan värähtelevää pingoitettua kieltä ja olkoon u(x, t) sen poikkeama y-akselin suunnassa tasapainotilasta kohdassa x hetkellä t. Olkoon τ(x, t) kielessä vaikuttava voima joka on tangentin suuntainen. Jos nyt oletetaan, että kieli liikkuu ainoastaan y-akselin suunnassa (eikä siis lainkaan x-akselin suunnassa) niin silloin voiman komponentti x-suunnassa on kaikissa pisteissä sama eli τ(x, t) cos(α(x, t)) = τ missä τ on vakio ja tan(α(x, t)) = u x (x, t). Pystysuunnassa vaikuttaa kielen osaan, joka on välillä (x, x + h), voima τ(x + h, t) sin(α(x + h, t)) τ(x + h, t) sin(α(x, t)) = τ tan(α(x + h, t)) τ tan(α(x, t)) = τu x (x + h, t) τu x (x, t). Newtonin lain perusteella ρ x+h x u tt (r, t) dr = τ(u x (x + h, t) u x (x, t)). Jos yhtälön molemmat puolet jaetaan h:lla ja h 0 niin saadaan u tt (x, t) = τ ρ 2 uxx (x, t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Fourier-muunnos ja yksiulotteinen aaltoyhtälö Oletetaan, että u on yhtälön u tt (x, t) = c 2 u xx (x, t), x R, t > 0 ratkaisu ja olkoon û(ω, t) = F(u)(ω, t) sen Fourier-muunnos ensimmäisen muuttujan suhteen. Jos t-derivaatan Fourier-muunnos on Fourier-muunnoksen derivaatta t:n suhteen niin saadaan û tt (ω, t) = c 2 (i2πω) 2 û(ω, t). Tämä on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu on û(ω, t) = k e ic2πωt + k 2 e ic2πωt, missä k ja k 2 ovat vakioita t:n suhteen ja voivat siten olla ω:n funktioita esimerkiksi niin, että k = ˆF (ω) ja k 2 = Ĝ(ω). Nyt funktio e ic2πωt on distribuution δ ct ja e ic2πωt on distribuution δ ct Fourier-muunnos joten u(x, t) = (F δ ct )(x) + (G δ ct )(x) = F (x ct) + G(x + ct). Tämä onkin -ulotteisen aaltoyhtälön yleinen ratkaisu. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
18 Aaltoyhtälön ratkaisu kun d = eli d Alembertin kaava Jos aaltoyhtälön ratkaisu toteuttaa alkuehdot u(x, 0) = g(x), x R, u t (x, 0) = h(x), x R, niin sijoittamalla nämä ehdot yleiseen ratkaisuun saadaan F (x) + G(x) = g(x) ja cf (x) cg (x) = h(x). Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan F (x) G(x) = c h(s) ds + k joten x 0 F (x) = 2 g(x) + 2c G(x) = 2 g(x) 2c x 0 x 0 h(s) ds + 2 k, h(s) ds 2 k joten koska u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct) niin u(x, t) = 2 ( g(x + ct) + g(x ct) ) + 2c x+ct x ct h(s) ds. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Esimerkki Jos on ratkaistava aaltoyhtälö u tt (x, t) = c 2 u xx (x, t), u(0, t) = 0, u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = h(x), x > 0, t > 0, niin voidaan määritellä g(x) = g( x) ja h(x) = h( x) kun x < 0. Aaltoyhtälön ratkaisu kun x R ja t > 0 on silloin u(x, t) = 2 (g(x + ct) + g(x ct)) + 2c x+ct x ct h(s) ds. Koska g ja h ovat parittomat niin G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
19 Esimerkki, jatkuu u( x, t) = 2 (g( x + ct) + g( x ct)) + 2c = 2 ( g(x ct) g(x + ct)) + 2c = 2 ( g(x + ct) g(x ct)) 2c x+ct x ct x+ct x ct x+ct x ct h(s) ds h( s) ds h(s) ds = u(x, t), eli myös u on pariton. Koska nyt u( x, t) = u(x, t) niin erikoisesti u(0, t) = u(0, t), eli u(0, t) = 0. Käyttämällä vielä kerran hyödyksi g:n ja h:n parittomuutta saadaan alkuperäisen probleeman ratkaisuksi u(x, t) = { 2 2 (g(x + ct) + g(x ct)) + 2c (g(x + ct) g(ct x)) + 2c x+ct x ct x+ct ct x h(s) ds, x h(s) ds, x ct, < ct. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö Maxwellin yhtälöt tyhjiössä voidaan kirjoittaa muodossa E = 0, B = 0, E = t B, B = ɛ 0 µ 0 t B, missä E on sähkökentän voimakkuus, B on magneettivuon tiheys, vakio ɛ 0 on tyhjiön permittiivisyys ja vakio µ 0 sen permeabilitetti. Yhtälöistä seuraa, että ( E) = B t = t B = ɛ 0µ 0 B tt, ( B) = ɛ 0 µ 0 E t = ɛ 0 µ 0 t E = ɛ 0µ 0 E tt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
20 Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö, jatkuu Koska aina pätee, että ( F) = ( F) F, niin ehdoista E = B = 0 seuraa, että jokainen vektorien E ja B komponenteista toteuttaa aaltoyhtälön eli 2 t 2 E j(x, t) = c 2 E j (x, t), 2 t 2 B j(x, t) = c 2 B j (x, t), kun j =, 2, 3 ja c = ɛ0 µ 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot Olkoon u C 2 (R d [0, )) aaltoyhtälön u tt (x, t) = u(x, t), u(x, 0) = g(x), x R d, ratkaisu. Jos nyt x 0 R d ja u t (x, 0) = h(x), x R d, U(r, t) = G(r) = H(r) = missä a( B(x 0, r)) = B(x 0,r) a( B(x 0, r)) a( B(x 0, r)) a( B(x 0, r)) (x, t) R d (0, ), ds(y) niin B(x 0,r) B(x 0,r) B(x 0,r) u(y, t) ds(y), g(y) ds(y), h(y) ds(y), U tt (r, t) = U rr (r, t) + d U r (r, t). r G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
21 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot kun d = 3 Jos d = 3 ja U(r, t) on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio, joka on yhtälön U tt U rr d U r = 0, r ratkaisu kun r > 0 ja t > 0 niin U(r, t) = (r + t)u(r + t, 0) (t r)u(t r, 0) 2r + 2r t+r t r yu t (y, 0) dy, kun r < t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 3 (0, ):ssä Yhtälön { utt (x, t) u(x, t) = 0, (x, t) R 3 [0, ), u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = h(x), x R 3, ratkaisu on u(x, t) = (g(y) + Dg(y) (y x) + th(y)) ds(y). a( B(x, t)) B(x,t) G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
22 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 2 (0, ):ssä Yhtälön { utt (x, t) u(x, t) = 0, (x, t) R 2 [0, ), ratkaisu on u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = h(x), x R 2, u(x, t) = t 2 v(b(x, t)) B(x,t) ) (g(y)+dg(x) (y x)+th(y) dy. t 2 y x 2 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Energiaperiaate ja yksikäsitteisyys Jos u C 2 (R d [0, )) on aaltoyhtälön u tt (x, t) = u(x, t), (x, t) R d (0, ), ratkaisu ja u(x, 0) = u t (x, 0) = 0 kun x B(x 0, t 0 ) missä t 0 > 0 niin u(x, t) = 0 kun x x 0 < t 0 t. Huom! Toinen tapa formuloida edellä olevaa tulosta on, että funktion u arvo pisteessä (x 0, t) riippuu ainoastaan funktioiden u(x, 0) ja u t (x, 0) arvoista joukossa B(x 0, t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
23 Aaltoyhtälö ja ominaisfunktiot Jos R d on avoin ja rajoitettu ja ϕ m, m J N ovat Laplace-operaattorin ominaisfunktioita ja λ m, m J ovat vastaavat ominaisarvot (joillakin sopivilla reunaehdoilla kuten u(x, t) = 0 kun x ) ja jos lisäksi oletetaan, että λ m > 0 kun m J niin u(x, t) = m J a m sin(c λ m t)ϕ m (x) + m J b m cos(c λ m t)ϕ m (x). on aaltoyhtälön u tt = c 2 u ratkaisu (samoilla reunaehdoilla) olettaen että sarja suppenee riittävän hyvin. Jos otetataan vain yksi ominaisfunktio (sekä vain toinen sin- ja cos-termeistä) saadaan joka on ns. seisova aalto. u(x, t) = sin(c λ m t)ϕ m (x), G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Duhamelin periaate eli miten ratkaistaan yhtälö u tt = u + f Jos R d (esimerkiksi = R d ) ja yhtälön u tt (x, t) = u(x, t), x, t > 0, αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, x, t > 0, u(x, 0) = 0, x, u t (x, 0) = h(x), x, ratkaisu on u(x, t) = S(x, t, h) kun x ja t > 0 niin yhtälön u tt (x, t) = u(x, t) + f (x, t), x, t > 0, αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, x, t > 0, u(x, 0) = 0, x, u t (x, 0) = 0, x, ratkaisu on u(x, t) = t 0 S ( x, t s, f (, s) ) ds, x, t 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
24 Schrödingerin yhtälö Schrödingerin yhtälö (jossa potentiaalifunktio on 0 ja jossa aikamuuttuja on valittu niin, että vakio on ) on iu t + u = 0 ja se voidaan myös kirjoittaa muodossa u t = i u josta saadaan lämpöyhtälö missä aikamuuttuja t on korvattu it:llä. Jos lämpöyhtälön perusratkaisussa t korvataan it:llä saadaankin Schrödingerin yhtälön perusratkaisu Φ(x, t) = e i x 2 (i4πt) d 4t, 2 jolloin on odotetavissa, että jos u(x, 0) = g(x) niin Schrödingerin yhtälön ratkaisu on u(x, t) = e i x y 2 (i4πt) d 4t g(y) dy. 2 R d Ainakin jos R d ( + y 2 ) g(y) dy < niin u on jatkuvasti derivoituva (kerran t:n ja kaksi kertaa x:n suhteen ja yhtälö on voimassa kun t 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Aputulos Jos α 0, Re (α) 0, φ L (R d ) ja ˆφ L (R d ) niin e απx2 ˆφ(x) dx = e π α ω2 φ(ω) dω, α R R eli funktion e απx2 Fourier-muunnos on α e π α ω2 kompleksinen kunhan Re (α) 0. myös kun α on Schrödingerin yhtälön perusratkaisun Fourier-muunnos Funktion Φ(x, t) = (i4πt) d 2 e i x 2 4t Fourier-muunnos on funktion määräämän vaimennetun distribuution määräämä vaimennettu distribuutio. ω e i4π2 t ω 2 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
25 Schrödingerin yhtälö ja alkuarvo Jos d, g L (R d ) ja ĝ L (R d ) niin e i x y 2 (i4πt) d 4t g(y) dy = e i2πω x i4π2t ω 2 e ĝ(ω) dω, 2 R d R d jolloin erityisesti pätee lim t 0 (i4πt) d 2 R d e i x y 2 4t g(y) dy = g(x), x R d. Jos määritellään funktio S(t)g : R d C kaavalla (S(t)g)(x) = u(x, t) = (i4πt) d 2 R d e i x y 2 4t g(y) dy niin jokaisella t R pätee, että S(t) on bijektio: S(R d ) S(R d ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Schrödingerin yhtälö ja L 2 (R d ) Koska S(t)g L 2 (R d ) = g L 2 (R d ) kun g S(Rd ) niin S(t):n määritelmää voidaan laajentaa myös joukkoon L 2 (R d ) ja todetaan, että jokaisella g L 2 (R d ) funktio t S(t)g on jatkuva funktio R L 2 (R d ) siten, että S(t + s)g = S(t)(S(s)g) ja S(t)g L 2 (R d ) = g L 2 (R d ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
26 Kuljetusyhtälö Oletetaan, että u on yhtälön u t (x, t) + au x (x, t) = 0, x R, t > 0, u(x, 0) = g(x), x R, ratkaisu. Jos ξ(t) on sellainen, että ξ (t) = a niin d dt u(ξ(t), t) = u t(ξ(t), t) + u x (ξ(t), t)ξ (t) joten funktio t u(ξ(t), t) on vakio eli u(ξ(t), t) = u(ξ(0), 0) = g(ξ(0)). = u t (ξ(t), t) + u x (ξ(t), t)a = 0, Koska ξ(t) = ξ(0) + at niin ehdosta ξ(t) = x seuraa ξ(0) = x at ja u(x, t) = g(x at), G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Esimerkki: Säilymislaki ja sen ja sen johto Olkoon ρ(x, t) jalankulkijoiden tiheys pisteessä x hetkellä t jolloin siis välillä (x, x + h) on x+h x ρ(y, t) dy jalankulkijaa hetkellä t. Jos jalankulkijat liikkuvat nopeudella v (oikealle jos v > 0) niin aikavälillä (t, t + k) väliltä (x, x + h) poistuu oikelle t+k t ρ(x + h, τ)v(x + h, τ) dτ jalankulkijaa ja sinne tulee vasemmalta t+k t ρ(x, τ)v(x, τ) dτ jalankulkijaa. Olettaen etteivät jalankulkijat katoa minnekään eivätkä ilmesty kadulle (säilymislaki!) niin t+k t ρ(x + h, τ)v(x + h, τ) dτ + = t+k t x+h x ρ(x, τ)v(x, τ) dτ ρ(y, t + k) dy x+h x ρ(y, t) dy. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
27 Esimerkki: Säilymislaki ja sen ja sen johto, jatkuu Jos nyt yhtälön molemmat puolet jaetaan hk:lla ja annetaan (h, k) (0, 0) niin saadaan, olettaen, että kyseiset funktiot ovat derivoituvia ρ t (x, t) = (vρ) x (x, t) ρ t + (vρ) x = 0. Jotta tämä yhtälö olisi ratkaistavissa pitää vielä tietää miten nopeus v riippuu tiheydestä ρ. Yksinkertaisimpia oletuksia on, että ( v = v max ρ ), ρ max ja valitsemalla yksiköt sopivasti tästä tulee v = ρ ja yhtälöksi tulee ρ t + (ρ( ρ)) x = 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu I Tarkastellaan yhtälöä u t (x, t) + +u(x, t)u x (x, t) = 0, x R, t > 0, kun u(x, 0) = max{0, min{x, }}. Jos nyt u on tämän yhtälön ratkaisu ja ξ (t) = u(ξ(t), t) niin d dt u(ξ(t), t) = u t(ξ(t), t) + ξ (t)u x (ξ(t), t) = u t (ξ(t), t) + u(ξ(t), t)u x (ξ(t), t) = 0 joten u(ξ(t), t) = u(ξ(0), 0) ja ξ (t) = u(ξ(0), 0). Näin ollen ξ(t) = tu(ξ(0), 0) + ξ(0) joten jos ξ(0) 0 ξ(t) = ξ(0), 0 < ξ(0) < ξ(t) = ξ(0)(t + ), ξ(0) ξ(t) = t + ξ(0). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
28 Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu I, jatkuu Tästä seuraa, että jos ξ(t) = x niin u(x, t) = u(ξ(0), 0) joten x 0 u(x, t) = u(x, 0) = 0, 0 < x < + t u(x, t) = u( x t+, 0) = x t +, x + t u(x, t) = u(x t, 0) =. Tämä funktio ei tosin ole jatkuvasti derivoituva mutta se on jatkuva (ja esimerkiksi jatkuvasti derivoituvan ratkaisun raja-arvo) ja kaikin puolin järkevä ja hyvä ratkaisu joten tässä tapauksessa ei synny mitään ongelmia... u(x, t) = 0 u(x, t) = x t+ u(x, t) = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu II Tarkastellaan yhtälöä u t (x, t) + u(x, t)u x (x, t) = 0, x R, t > 0, kun u(x, 0) = max{0, min{ x, }}. Kuten edellisessä esimerkissä vaaditaan, että ξ (t) = u(ξ(t), t) jolloin todetaan, että u(ξ(t), t) = u(ξ(0), 0) on vakio. Tässä tapauksessa saadaan ξ(0) 0 ξ(t) = ξ(0) + t, 0 < ξ(0) < ξ(t) = ( ξ(0))t + ξ(0), ξ(0) ξ(t) = ξ(0). Jos 0 t < ja ξ(t) = x niin tästä seuraa, että x t u(x, t) = u(x, 0) =, t < x < u(x, t) = u( x t t, 0) = x t, x u(x, t) = u(x, 0) = 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
29 Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu II, jatkuu Mutta nyt ongelma on siinä, että kun t = ja 0 ξ(0) niin x(t) = eli samassa pisteessä u(x, t) pitäisi saadan monta arvoa. Sama ongelma tulee vastaan kaikilla t > joten oletus, että meillä on jatkuva (puhumattakaan jatkuvasti derivoituvasta ratkaisusta) ratkaisu johtaa ristiriitaan. Tästä seuraa, että on hyväksyttävä epäjatkuvia funktiota ratkaisuiksi ja puhua distribuutioratkaisuista. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Säilymislain distribuutioratkaisu Oletetaan, että f : R R on jatkuva ja R R on avoin. Funktio u : R joka on (mitallinen ja) rajoitettu on yhtälön u t (x, t) + (f (u(x, t))) x = 0, x R, t > 0 distribuutioratkaisu :ssa jos ( ) u(x, t)φ t (x, t) + f (u(x, t))φ x (x, t) dt dx = 0 kaikilla φ C c (). Joukko C c () sisältää kaikki jatkuvasti derivoutuvat funktiot: R siten että on olemassa sulejettu ja rajoitettu joukko A siten, että φ(x, t) = 0 kun (x, t) \ A. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
30 Rankine-Hugoniotin ehto Olkoon f : R R jatkuva ja h jatkuvasti derivoituva välillä (t 0 δ, t 0 + δ) missä δ > 0. Merkitään x 0 = h(t 0 ) ja V = { (x, t) : (x, t) (x 0, t 0 ) < δ, x < h(t) }, V = vasen, O = { (x, t) : (x, t) (x 0, t 0 ) < δ, x > h(t) }, O= oikea. Oletetaan, että u on tasaisesti jatkuva joukoissa V ja O, u ja f (u) ovat jatkuvasti derivoituvia ja u t + f (u) x = 0 joukoissa V ja O. Silloin u on yhtälön u t + f (u) x = 0 distribuutioratkaisu joukossa B((x 0, t 0 ), δ) jos ja vain jos h (t) = f (uv (t)) f (u O (t)) u V (t) u O, (t) kun (h(t), t) B((x 0, t 0 ), δ) missä u V (t) = lim x h(t) u(x, t) ja u O (t) = lim x h(t) u(x, t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu II, jatkuu Rankine-Hugoniotin ehdon avulla löydetään ratkaisu myös kun t. Tässä tapauksessa f (u) = 2 u2 ja jos u V = ja u O = 0 niin ehdoksi tulee h (t) = f (uv ) f (u O ) u V u O = = 2. Näin ollen todetaan että kun t niin {, x < + u(x, t) = 2 (t ), 0, x > + 2 (t ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
31 Harvennusaalto eli jatkuva ratkaisu kun alkuarvo on epäjatkuva Olkoon u(x, 0) = u V kun x < x 0 ja u(x, 0) = u O kun x > x 0. Oletetaan, että f (u V ) < f (u O ). Jos u(ξ(0)) = u V niin ξ (t) = f (u V ) ja ξ(t) = ξ(0) + f (u V )t ja jos u(ξ(0)) = u O niin ξ (t) = f (u O ) ja ξ(t) = ξ(0) + f (u O )t joten { u V, x < x 0 + tf (u v ), u(t, x) = u O, x < x 0 + tf (u O ). Jos nyt f on jatkuvasti derivoituva ja aidosti monotoninen välillä [f (u V ), f (u O )] niin todetaan, että ( ) x x0 u(x, t) = g t on yhtälön u t + f (u) x = 0 ratkaisu kun f (u V ) < x x 0 t < f (u O ) missä g on f :n käänteisfunktio eli f (g(r)) = r kun r [f (u V ), f (u O )]. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Esimerkki Yhtälö u t + f (u) x = 0 missä f (u) = u( u) ja 2, x < 0, u(x, 0) =, 0 x, 0, x >, voidaan ajatella kuvaavan katua missä hetkellä t = 0 ajoneuvojen tiheys välillä (, 0) on puolet maksimitiheydestä, välillä (0, ) tiheys on ja välillä (, ) ei ole ajoneuvoja lainkaan. Ajoneuvojen nopeus oletataan olevan u jos tiheys on u, eli välillä (0, ) liikenne seisoo (esim. liikennevalojen takia) ja on selvitettävä miten tämä ruuhka purkautuu. Tarkastellaan ensin tilannetta missä u(x, 0) = kun x ja u(x, 0) = 0 kun x, eli alkuarvossa on vain yksi epäjatkuvuuskohta. Koska f (r) = 2r niin tämän funktion käänteisfunktio on h(r) = 2 ( r). Näin ollen löytyy seuraava ratkaisu G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
32 Esimerkki jatkuu u(x, t) = 0, x > + t, ( ) 2 x t, < x t <,, x < t. Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta missä u(x, 0) = 2 kun x < 0 ja u(x, 0) = kun x > 0. Nyt f (u V ) f (u O ) = (u V u O )( (u V + u O )) joten f (u V ) f (u O ) u V u O = u V u O ja tässä tapauksessa saadaan Rankine-Hugoniotin ehdon nojalla ratkaisuksi { u(x, t) = 2, x < t 2,, x > t 2. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Esimerkki jatkuu Kun edellä laskettuja tuloksia yhdistellään, nähdään, että niin kauan kun 0 t 2 niin alkuperäisen yhtälön ratkaisu on 2, x < t 2,, t u(x, t) = ( ) 2 < x < t, 2 x t, t + < x < t +, 0, x t +.. u = 2 ( ) x t. u = 2 u = u = 0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
33 Esimerkki jatkuu Sitten kun t > 2 tilanne muuttuu sikäli, että epäjatkuvuuden oikealla puolella ratkaisun arvo pienenee jolloin epäjatkuvuuskäyrä kääntyy. Näin ollen, meillä on silloin ratkaisu 2, ( ) x < h(t), u(x, t) = 2 x t, h(t) < x < t +,. 0, x t +. Nyt tiedetään, että h(2) = ja Rankine-Hugoniotin ehdosta seuraa, että h (t) = 2 ( h(t) ) = h(t), t 2. 2 t 2t Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on h(t) = 2t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Esimerkki jatkuu.. u = 2 ( ) x t. u = 0 u = 2 u = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
34 Distribuutioratkaisu ei ole välttämättä yksikäsitteinen! Jos f (u) = 2 u2 ja niin sekä funktio että funktio u(x, 0) = u S (x, t) = { 0, x < 0,, x > 0, { 0, x < 2 t,, x > 2 t, 0, x < 0, u H (x, t) = x t, 0 x t,, x > t, ovat yhtälön u t + f (u) x = 0 distribuutioratkaisuja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Entropiaehto Jotta mahdollisesti monen ratkaisun joukosta voitaisiin valita oikea ratkaisu vaaditaan, että ratkaisu toteuttaa jonkinlaisen entropiaehdon. Entropiaratkaisu Olkoon f : R R jatkuva, R R avoin ja olkoon u : R (mitallinen ja) rajoitettu. Määritellään η c (y) = y c ja q c (y) = sign (y c)(f (y) f (c)). Silloin u on yhtälön u t + f (u) x = 0 entriopiaratkaisu joukossa jos jokaisella c R pätee η c (u) t + q c (u) x 0 distribuutiomielessä joukossa eli ( ) η c (u(x, t))φ t (x, t) + q c (u(x, t))φ x (x, t) dt dx 0, kaikilla ei-negatiivisilla funktioilla φ C c (). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
35 Entropiaratkaisu on distribuutioratkaisu Valitsemalla c siten, että u(x, t) > c (mikä on mahdollista kun oletetaan, että u on rajoitettu) nähdään että u on distribuutioratkaisu jos se on entropia ratkaisu Sileä ratkaisu on entropiaratkaisu Jos f ja u ovat jatkuvasti derivoituvia ja u t + f (u) x = 0 joukossa niin voidaan osoittaa, että u on myös entropiaratkaisu joukossa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70 Entropiaehto epäjatkuvuuskohdassa Jos yhtälön u t + f (u) x = 0 entropiaratakisu u on jatkuvasti derivoituva käyrän x = h(t) vasemmalla ja oikealla puolella mutta u V = lim x h(t) u(x, t) u O = lim x h(t) u(x, t) niin voidaan osoittaa, että entropiaehdoksi tulee, että jos u V < u O niin f :n kuvaaja on pisteitä (u V, f (u V )) ja (u O, f (u O )) yhdistävän janan yläpuolella välillä [u V, u O ], jos u 0 < u V niin f :n kuvaaja on pisteitä (u O, f (u O )) ja (u V, f (u V )) yhdistävän janan alapuolella välillä [u O, u V ]. Entropiaehto ja karakteristikat Edellä olevasta entropiaehdosta seuraa, että jos f on derivoituva niin f (u V ) f (u O ) mistä seuraa, että karakteristikat, eli funktiot ξ(t) jotka toteuttavat yhtälön ξ (t) = f (u(ξ(t), t)) voivat törmätä toisiinsa entropiaratkaisun epäjatkuvuuskohdassa kun t kasvaa, mutta jos karakteristikat lähtevät eri suuntiin epäjatkuvuuskohdasta kun t kasvaa, niin kyseessä ei ole entropiaratkaisu. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta / 70
Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym
Mat-.4 Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym G. Gripenberg Aalto-yliopisto 4. maaliskuuta 2 G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 / 68 Poissonin yhtälö...................
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t)
Harjoitukset 6, syksy 017 1. Osoita, ettei ajan suunnalla ole merkitystä aaltoyhtälössä: Jos u on ratkaisu, niin U(x, t) = u(x, t) on myös ratkaisu (toisin kuin lämpöyhtälön tapauksessa). Todistus. Funktion
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotHarjoitus 1, tehtävä 1
Heikki Kallasjoki, 66H, htkallas@cc.hut.fi /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f C(R) on π-jaksollinen funktio ja a R. Näytä, että f(t + a) dt f(t) dt a+π f(t) dt. a () () (3) Tarkastellaan ensin lauseketta
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedot= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.
6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän
Lisätiedotpuolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt
8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotReuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät
Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotJos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.
Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja
Lisätiedot7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista
7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista Värähtelevän jousen ja lämmönjohtumisyhtälöiden ratkaisemisessa päädyttiin seuraavankaltaiseen reuna-arvotehtävään { V = λv välillä (a, b), ja V (a) = V (b) = 0.
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
Lisätiedot