4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio, Markovin epäyhtälö, Negatiivinen binomijakauma, Odotusarvo, ilman takaisinpanoa, Otantasuhde, Otanta takaisinpanolla, Pistetodennäköisyysfunktio, jakauma, Standardipoikkeama, Tshebyshevin epäyhtälö, Varianssi.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E(X) µ Määrää ylärajat seuraaville todennäköisyyksille: Pr(X µ) Pr(X 10µ) Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja jonka odotusarvo on E(X) µ ja olkoon g positiivinen reaaliarvoinen funktio. Tällöin pätee Markovin epäyhtälö: E( g( X)) Pr( g( X) a) a Markovin epäyhtälön mukaan E( X ) µ Pr( X µ ) 1 µ µ Markovin epäyhtälön mukaan E( X ) µ 1 Pr( X 10 µ ) 0.1 10µ 10µ 10 Jos satunnaismuuttujan X jakaumasta tiedetään enemmän, saatetaan pystyä johtamaan yllä esitettyjä ylärajoja terävämpiä ylärajoja. TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 1/13

.2. Olkoon X mielivaltainen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo ja varianssi ovat E(X) µ Var(X) σ 2 Kuinka suuri osuus satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassasta on alle kymmenen standardipoikkeaman päässä odotusarvosta µ? Olkoon X mielivaltainen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E(X) µ ja varianssi on Var(X) σ 2 ja olkoon g positiivinen reaaliarvoinen funktio. Tällöin pätee Tshebyshevin epäyhtälö: 1 Pr( X µ kσ) 2 k Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavasta seuraa, että 1 Pr( X µ < kσ ) 1 Pr( X µ kσ) 1 2 k Soveltamalla Tshebyshevin epäyhtälöä saadaan epäyhtälö 1 1 Pr( X µ 10 σ) 0.01 2 10 100 josta seuraa komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan nojalla, että 99 Pr( X µ < 10 σ) 100 Siten mielivaltaisen satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassasta on 99 % alle kymmenen standardipoikkeaman päässä odotusarvosta µ ja vain 1 % todennäköisyysmassasta on kauempana. Jos satunnaismuuttujan X jakaumasta tiedetään enemmän, saatetaan pystyä johtamaan yllä esitettyä alarajaa terävämpiä alarajoja..3. Pelaaja heittää virheetöntä tetraedrin ( säännöllinen monitahokas, jolla on tasasivuisen kolmion muotoista tahkoa) muotoista noppaa 12 kertaa. Oletamme, että tetraedrin tahkot on merkitty silmäluvuilla 1, 2, 3 ja. Noppa on virheetön, jos jokaisella silmäluvulla on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Laske silmälukujen summan odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama. Pelaaja saa voittona silmälukujen summan euroina kymmenkertaisena. Mikä on voiton odotusarvo ja standardipoikkeama? Kannattaako peliin osallistua, jos osallistuminen maksaa 00 euroa? TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 2/13

Pelaaja heittää virheetöntä tetraedrin muotoista noppaa. Nopanheiton tulos X on satunnaismuuttuja, joka noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa. Koska noppa oletettiin virheettömäksi, satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(x) Pr(X x) 1/, x 1, 2, 3, Satunnaismuuttujan X odotusarvo, 2. momentti, varianssi ja standardipoikkeama: E( X) xpr( X x) x 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 1+ 2+ 3+ 10 2.5 2 2 E( X ) x Pr( X x) x 1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 1 + 2 + 3 + 30 7.5 2 2 2 2 + + + [ ] 2 2 2 D( ) E( ) E( ) X X X 30 10 20 1.25 16 D( X ) 1.25 1.11803 2 Kun tetraedrin muotoista noppaa heitetään 12 kertaa, jokaisen heiton tulos X i on satunnaismuuttuja, joka noudattaa ym. diskreettiä tasaista jakaumaa. Voimme lisäksi olettaa, että heittojen tulokset ovat toisistaan riippumattomia. Heittotulosten summa 12 Z X i 1 on satunnaismuuttuja. i TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 3/13

Summan Z odotusarvo on ( i i) 12 12 1 i 1 k E( Z ) E X E( X ) 12 2.5 30 Huomaa, että satunnaismuuttujien summan odotusarvo on satunnaismuuttujien odotusarvojen summa myös, kun ko. satunnaismuuttujat eivät ole riippumattomia. Summan Z varianssi on ( i i) 2 2 12 12 2 1 i 1 i D( Z ) D X D( X ) 12 1.25 15 Huomaa, että satunnaismuuttujien summan varianssi on satunnaismuuttujien varianssien summa vain, kun ko. satunnaismuuttujat ovat riippumattomia. Summan Z standardipoikkeama on D( Z ) 29.17 5.01 Huomaa, että D(Z) 12 D(X i ) ts. satunnaismuuttujien summan standardipoikkeama ei ole satunnaismuuttujien standardipoikkeamien summa. Pelaajan voittosumma Y 10 Z on satunnaismuuttuja. Voiton odotusarvo: E(Y) 10 E(Z) 300 e Voiton varianssi: D 2 (Y) 10 2 D 2 (Z) 1500 e 2 Voiton standardipoikkeama: D(Y) 38.73 e Koska peliin osallistuminen maksaa 00 e, pelaajat kärsivät keskimäärin tappion, jonka suuruus on 00 E(Y) 00 300 100 e.. Ruuveja tekevä kone tekee viallisia ruuveja todennäköisyydellä 1/10. Valitaan 20 ruuvia tarkastettavaksi. (c) Mikä on todennäköisyys, että viallisia ruuveja löytyy täsmälleen 2 kpl? Mikä on todennäköisyys, että viallisia ruuveja löytyy? Mikä on odotettavissa oleva viallisten ruuvien lukumäärä? TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) /13

Viallisten ruuvien lukumäärä X tarkastettavaksi valittujen 20 ruuvin joukossa on satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa: X Bin(n, p) n 20 p 0.1 n x n x f ( x) Pr( X x) p (1 p), x 0,1,2,, n x Todennäköisyys, että viallisia ruuveja löytyy täsmälleen 2 kpl on 20 Pr( X 2) 0.1 0.9 2 2 18 0.285 Tapahtumana se, että viallisia ruuveja löytyy tarkastettavaksi valittujen 20 ruuvin joukosta, voidaan esittää seuraavassa muodossa: { X 1 } { X 2} { X 20} { X > 0} Todennäköisyys, että viallisia ruuveja löytyy, voidaan mukavasti laskea soveltamalla komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavaa: Pr( X > 0) 1 Pr( X 0) 20 1 0.1 0.9 0 1 0.122 0.878 0 20 (c) Odotettavissa oleva viallisten ruuvien lukumäärällä tarkoitetaan binomijakauman Bin(20, 0.1) odotusarvoa E(X) np 20 0.1 2 TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 5/13

.5. Tehdas valmistaa tuotetta, jolla on erittäin korkeat laatukriteerit. Keskimäärin vain 60 % tuotteista täyttää kriteerit. Valitsemme tuotteista satunnaisesti yhden kerrallaan tarkastettavaksi. (c) (d) Millä todennäköisyydellä joudumme tarkastamaan vähintään tuotetta kunnes löydämme ensimmäisen viallisen tuotteen? Millä todennäköisyydellä joudumme tarkastamaan vähintään 3 tuotetta lisää kunnes löydämme ensimmäisen viallisen tuotteen, jos olemme tarkastaneet 3 tuotetta löytämättä yhtään viallista? Mikä on niiden tuotteiden odotettavissa oleva lukumäärä, jotka joudutaan tarkastamaan kunnes löydämme ensimmäisen viallisen tuotteen? Mikä on todennäköisyys, että joudumme tarkastamaan enemmän kuin tuotetta ennen kolmannen ehjän tuotteen löytymistä? Valitsemme tuotteita yksi kerrallaan ja satunnaisesti tarkastettavaksi. Ensimmäisen viallisen tuotteen järjestysnumero X on satunnaismuuttuja, joka noudattaa geometrista jakaumaa: X Geom(p) p 1 0.6 0. x 1 f( x) Pr( X x) (1 p) p, x 1,2, On helppo nähdä (esimerkiksi täydellisellä induktiolla), että satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on [ ] F( x) Pr( X x) 1 (1 p) x [x] suurin kokonaisluku, joka x Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan Pr( X > x) 1 Pr( X x) 1 F( x) (1 p ) x [ ] TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 6/13

löydämme Todennäköisyys, että joudumme tarkastamaan vähintään tai tuotetta kunnes ensimmäisen viallisen tuotteen on ( X ) ( X > ) 1 Pr( X 3) Pr Pr 3 1 F(3) 3 1 1 (1 p) (1 p) 3 3 0.6 0.216 Todennäköisyys, että joudumme tarkastamaan vähintään 3 tuotetta lisää kunnes löydämme ensimmäisen viallisen tuotteen ehdolla, että olemme tarkastaneet 3 tuotetta löytämättä yhtään viallista on Pr( X 7 ja X ) Pr( X 7 X ) Pr( X ) Pr( X 7) Pr( X ) 1 F(6) 1 F(3) 6 0.6 3 0.6 3 0.6 0.216 Toisaalta todennäköisyys, että joudumme tarkastamaan vähintään tuotetta ennen ensimmäisen viallisen löytymistä on -kohdan mukaan 3 Pr( X ) 1 F(3) 0.6 0.216 Se, että olemme saaneet saman tuloksen kuin -kohdassa ei ole sattumaa, vaan tulos voidaan yleistää seuraavaan muotoon: Jos satunnaismuuttuja X noudattaa geometrista jakaumaa, niin ( ) ( ) Pr X a+ b X a Pr X 1 + b, a 1,2,3, Tulos merkitsee sitä, että geometrisella jakaumalla on ns. unohtamisominaisuus: Todennäköisyys joutua tarkastamaan vähintään b tuotetta lisää kunnes löydämme ensimmäisen viallisen tuotteen ei riipu siitä, kuinka monta tuotetta on jouduttu tarkastamaan löytämättä viallisia. Voimme ilmaista tämän sanomalla, että prosessi on unohtanut oman historiansa. TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 7/13

(c) Odotettavissa oleva lukumäärä tuotteille, jotka joudutaan tarkastamaan kunnes löydämme ensimmäisen viallisen, on E(X) 1/p 1/0. 2.5 Valitsemme tuotteita yksi kerrallaan ja satunnaisesti tarkastettavaksi. Kolmannen ehjän tuotteen järjestysnumero X on satunnaismuuttuja, joka noudattaa negatiivista binomijakaumaa: X NegBin(r, p) r 3 p 0.6 x 1 x r r f( x) Pr( X x) (1 p) p, r 1, 2,, x r, r+ 1, r+ 2, r 1 (d) Todennäköisyys, että joudumme tarkastamaan enemmän kuin tuotetta ennen kolmannen ehjän tuotteen löytymistä on Pr( X > ) 1 Pr( X ) 1 Pr( X 3) Pr( X ) 3 1 0.6 0. 0.6 2 1 0.216 0.2592 0.528 3 3.6. Pakkauksessa on 100 tuotetta, joista 20 on viallista. Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen tuote? Mikä on odotettavissa olevien viallisten tuotteiden lukumäärä? Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen tuote? Mikä on odotettavissa olevien viallisten tuotteiden lukumäärä? Olkoon satunnaismuuttuja X Viallisten lukumäärä tarkastettujen 5 tuotteen joukossa. TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 8/13

Satunnaismuuttujan X jakauma riippuu siitä poimitaanko otos ilman takaisinpanoa tai takaisinpanolla: Jos otanta tehdään ilman takaisinpanoa, X noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otanta tehdään takaisinpanolla, X noudattaa binomijakaumaa. On kuitenkin syytä huomata, että hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida riittävällä tarkkuudella binomijakaumalla, jos ns. otantasuhde n/n n otoskoko N perusjoukon koko on kyllin pieni. Näin on käytännössä, jos Tässä n/n < 0.05 n/n 0.05 Koska otos poimitaan ilman takaisinpanoa, X HyperGeom(N, r, n) N 100 r 20 n 5 r N r x n x f ( x) Pr( X x), max[ 0, n ( N r) ] x min( n, r ) N n Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen on 20 100 20 1 5 1 f(1) Pr( X 1) 0.20 100 5 Satunnaismuuttujan X odotusarvo on r 20 E( X) n 5 1 N 100 Vertaa tuloksia -kohdan tuloksiin. TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 9/13

Koska otos poimitaan takaisinpanolla, X Bin(n, p) n 5 p r/n 0.2 n x n x f ( x) Pr( X x) p (1 p), x 0,1,2,, x n Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen on f 5 1 (1) Pr( X 1) 0.2 0.8 0.10 Satunnaismuuttujan X odotusarvo on E( X) np 5 0.2 1 Vertaa tuloksia -kohdan tuloksiin..7. Palvelujonoon tulee keskimäärin asiakasta minuutissa. (c) (d) Mikä on todennäköisyys, että 30 sekunnissa ei tule yhtään asiakasta? Mikä on todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan asiakasta? Mikä on todennäköisyys, että seuraavan minuutin aikana ei tule yhtään asiakasta ehdolla, että edellisenä minuuttina asiakkaita oli? Mikä on odotettavissa olevien asiakkaiden lukumäärä 1 tunnin aikana? Oletetaan, että ajanjaksona, jonka pituus on s minuuttia, jonoon tulevien asiakkaiden lukumäärä X on satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa: X Poisson(λs) s ajanjakson pituus minuutteina λ minuutissa jonoon tulevien asiakkaiden keskimääräinen lukumäärä λs x e ( λs) f( x) Pr( X x), x 0,1,2, x! TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 10/13

Nyt s 0.5 min joten λs 0.5 2 Siten todennäköisyys, että 1/2 minuutissa ei tule asiakkaita, on 2 0 e (2) Pr( X 0) 0.135 0! Nyt s 1 min joten λs 1 Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan asiakasta, on Pr( X ) Pr( X x) x 0 x 0 e λs ( λs) x! x 0 1 2 3 e + + + + 0! 1! 2! 3!! 0.018316 (1 + + 8 + 10.667 + 10.667) 0.018316 3.333 0.6288 (c) Olkoon X i minuutin i aikana tulleiden puheluiden lukumäärä, i 1, 2. Satunnaismuuttujia X 1 ja X 2 voidaan pitää riippumattomina ja lisäksi kumpikin noudattaa Poisson-jakaumaa: X i Poisson(λs) s 1 min λ TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 11/13

Riippumattomuuden nojalla ( ) Pr X 0 X Pr( X 0) 1 2 1 e e 0! 0 0.018316 (d) Nyt s 60 min joten λs 60 20 Siten odotettavissa oleva puheluiden määrä tunnin aikana on E(X) λs 20.8. Koulussa tarjotaan jouluna riisipuuroa. Puuroannoksen koko on 3 dl. Kuinka monta mantelia 200 koululaisen puuroon on vähintään sekoitettava, jotta satunnaisesti valitussa annoksessa olisi ainakin 1 manteli vähintään todennäköisyydellä 0.95? Oletetaan, että manteleiden lukumäärä X annoksessa puuroa on satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa: X Poisson(λ) λ manteleiden keskimääräinen lukumäärä annoksessa puuroa x e λ λ f( x) Pr( X x), x 0,1,2, x! Todennäköisyys, että annoksessa puuroa on ainakin 1 manteli on ( X ) Pr 1 1 Pr( X < 1) 1 Pr( X 0) 0 λ 1 e 0! 1 e λ λ TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 12/13

Asetetaan ehto joka toteutuu, jos ( X ) Pr 1 1 e λ > 0.95 λ > log(0.05) 2.996 Koulussa tarjotaan 200 annosta puuroa. Koska 200 2.996 599.2 puuroon pitää laittaa vähintään 600 mantelia, jotta satunnaisesti valitussa annoksessa olisi ainakin 1 manteli vähintään todennäköisyydellä 0.95. TKK/SAL @ Ilkka Mellin (200) 13/13