802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016

Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial...................... 2 1.1 Palautusaava, Pascalin olmio................... 4 1.2 Binomisarja, Binomiehitelmä.................... 6 2 p-valuaatio 7 3 Rationaaliluvun jaollisuus mod n) 11 3.1 Perusteita............................... 11 3.2 Rengas Q n............................... 15 3.3 Sovellusia............................... 18 3.3.1 Wilsonin lause......................... 19 3.3.2 Euler-Fermat......................... 20 3.3.3 Euler-Fermat'n todistus................... 21 3.4 Wolstenholmen lause......................... 23 3.5 p 1)! ja a p 1 mod p 2 )/EI oeeseen............... 28 4 Polynomien ongruenssi 31 4.1 Sovellusia luujen ongruensseihin................. 37 4.1.1 Lucasin binomierroinlause.................. 37 4.1.2 Lucasin binomierroinlauseen todistus........... 37 5 Summausmenetelmiä 39 5.1 Polynomialgebran sovellusia.................... 39 5.2 Telesoopit.............................. 40 1

1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 1.0.1 Kertoma/Factorial Määritellään luvun n N ertoma n! indutiivisesti asettamalla Määritelmä 1. 0! 1, 1.1) n! n 1)! n, n Z +. 1.2) Yleisesti tapausessa n 1 irjoitetaan löyhästi n! 1 2 3 n 1) n, 1.3) missä on eräänlainen lyhennysmerintä tarasta määritelmästä 1.2). Kertoman yleistys, Pochammerin symboli a) n, saadaan seuraavasti. Määritelmä 2. Oloon a C. Tällöin a) 0 1, 1.4) Nytin tapausessa n 1 irjoitetaan a) n a) n 1 a + n 1), n Z +. 1.5) a) n a a + 1) a + n 2) a + n 1). 1.6) Erityisesti 1) n n!. 1.7) Määritelmä 3. Oloot a C ja N. Tällöin luvut ) a a + 1)! ovat binomiertoimia "a yli :n". 1.8) 2

Huomautus 1. Aiaisempi Määritelmä ja Määäritelmä 3 ovat evivalentit eli ) a a + 1) 1) a). 1.9)!! Binomiertoimen Määritelmä 3 esitetään usein epätaremmin) muodossa Määritelmä 4. Oloot a C ja N. Tällöin luvut ) a ovat binomiertoimia "a yli :n". 1, jos 0; a +1) a +2) a 1) a!, jos Z + 1.10) Perustelu. Oloon alusi 0. Tällöin ) ) a a a + 1) 0 0 0! 1 a C. 1.11) Kun Z +, niin ) a a + 1)! a + 1)a + 2) a 1)a! a C. 1.12) Kuten yleensäin niin seuraavassain äytetään enimmäseen tätä esitystä. Oloon vielä a n Z +, jolloin ) n n + 1)n + 2) n 1)n! joten n )!n + 1)n + 2) n 1)n, 1.13)!n )! ) n n!!n )! 0 n. 1.14) 3

Jos n + 1, niin ) n n) n + j) n + 1) 1), 1.15)! missä 0 j 1 n. Siten, un j n, niin n + j 0 ja ) n 0 n + 1. 1.16) Oloon a n Z, jolloin ) n nn + 1) n + 1) 1)! joten ) n n + 1)! 1), 1.17)!n 1)! ) n + 1 1) 0. 1.18) 1.1 Palautusaava, Pascalin olmio Lause 1. Oloon a C. Tällöin ) a + 1 + 1 ) a + + 1 ) a N. 1.19) Erioistapausena saadaan Pascalin olmion sääntö Lause 2. ) ) n + 1 n + + 1 + 1 ) n, n N. 1.20) Todistus. Lasetaan väitteen oiea puoli äyttäen binomiertoimien esitystä??), jolloin ) a + + 1 aa 1) a + 1) + 1) + 1)! + ) a aa 1) a + 1)! 4

aa 1) a + 1)a ) aa 1) a + 1) +! + 1)! ) aa 1) a + 1)! a + 1 + 1 a + 1)a + 1 1) a + 1 + 1) + 1) + 1)! Siis saatiin väitteen vasen puoli. Pascalin olmion säännöllä voidaan todistaa Lause 3. Todistus. Indutio n:n suhteen. Alusi n 0, 1. ) a + 1. 1.21) + 1 ) n Z + 0 n N. 1.22) ) 0 0 Indutio-oletus: Väite tosi, un n l. ) 1 0 Indutioasel: Oloon n l + 1. Tällöin ) ) ) l + 1 l l + + 1 + 1 ) 1 1. 1.23) 1 1 + 1 l, 1.24) missä indutio-oletusen nojalla oiea puoli Z +, joten ) l + 1 Z + 1 + 1 l. 1.25) + 1 Lisäsi Tulosen 1.22) nojalla joten mistä saadaan. ) l + 1 l + 1 ) l + 1 1. 1.26) 0 n + 1)n + 2) n 1)n! Z +, 1.27)! n + 1)n + 2) n 1)n, 1.28) 5

Lause 4.! m + 1)m + 2) m + ), m N. 1.29) Edelleen Lause 5. Oloon p P, tällöin ) p p 1 p 1. 1.30) Todistus. Tulosen 1.28) nojalla! p + 1)p + 2) p 1)p, 1.31) Kosa p!, niin 1.31) johtaa relaatioon! p + 1) p 1) l!, 1.32) jollain l Z. Siten ) p p + 1)p + 2) p 1)p! 1.33) l p 0 mod p). 1.34) 1.2 Binomisarja, Binomiehitelmä Sarjaa 1 + t) a 0 sanotaan Binomisarjasi. Oloon a n N, jolloin 1 + t) n ) a t, a C 1.35) n 0 ) n t. 1.36) 6

Asetetaan t A/B, jolloin yhtälöstä 1.36) saadaan Binomiehitelmä: A + B) n +ln 0,l n n 0 Kun, a 1 ja t x, niin saadaan Geometrinen sarja: ) n A B n 1.37) n!!l! A B l. 1.38) 1 1 x x. 1.39) Ja yleisemmin, jos a n Z ja t x, niin 1 1 x) ) n + 1 x 1.40) n identiteetin 1.18) nojalla. 0 0 2 p-valuaatio Tarastellaan aluluvun p esiintymistä oonaisluvussa myöhemmin esitetään p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle). Määritelmä 5. Oloot p P, Z \ {0}, r N ja p r. 2.1) Tällöin asetetaan v p ) r. 2.2) Kertaa vielä, että p r p r c, p c Z \ {0}. 2.3) 7

Lause 6. Lasusääntöjä. Oloon p P ja n, m Z \ {0}, tällöin v p 1) 0; 2.4) v p n) 0; 2.5) v p nm) v p n) + v p m); 2.6) v p n!) v p 1) + v p 2) +... + v p n), n 1; 2.7) n p vpn) p vpn) p vpn), n 1. 2.8) p n p n p P Määritelmä 6. Oloot p P, Z \ {0}, l Z +. Asetetaan tällöin w p l) 1 jos p l ; 2.9) w p l) 0 jos p l. 2.10) Lause 7. Oloot p P, Z \ {0}, r N ja v p ) r. Tällöin Lause 8. Oloot n Z + ja Tällöin v p ) A p r w p i) i1 n i1 p i w p i). 2.11) i1, p P. 2.12) v p n!) A p. 2.13) p Ap n! p n!. 2.14) 8

n! p n p Ap. 2.15) Huomaa, että n/p i 0, un p i sums are nite. > n. Siten summat A p ovat äärellisiä/the Todistus. I osan tulosen 4.26) nojalla välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten luujen lm Toisaalta n #{ Z + 1 n, p i } p i. 2.16) #{ Z + 1 n, p i } w p i1) + w p i2) +... + w p in). 2.17) Esimerisi 1,..., 1 p,..., 2 p,..., p p,..., n p,..., n 2.18) p missä pätee w p 1) w p 2)... w p p 1) w p p + 1)... 0 2.19) w p p) w p 2p)... w p n p ) p 1. 2.20) Oloon Siten p r n < p r+1, w p 1) + w p 2) +... + w p n) n 0. 2.21) p r+1 n ; 2.22) p n w p 21) + w p 22) +... + w p 2n) p 2 ; 2.23) 9

... n w p r1) + w p r2) +... + w p rn) p r, 2.24) Lasetaan yhtälöt 2.222.24) puolittain yhteen, jolloin saadaan n n n v p 1) + v p 2) +... + v p n) + +... +. 2.25) p p 2 p r Siten Edelleen v p n!) n A p, p P. 2.26) i1 p i n! p n p vpn!). 2.27) Huomautus 2. Aluluvulle p pätee p n! p n. 2.28) Esimeri 1. v 2 11!): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 w 2 1) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 5 w 2 2) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 w 2 3) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 v 2 ) 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 8 Toisaalta, 2 3 11 < 2 4, joten r 3 ja v 2 11!) 11 11 11 11 + + 5 + 2 + 1 8. i1 2 i Lauseen 4.3 todistus/2. tapa: 2 1 2 2 2 3 10

Kertomien aluteijäehitelmien nojalla n!!n )! p Bp, 2.29) p n missä Tulosen??) B p n n. 2.30) i1 p i p i p i a + b a + b 2.31) avulla saadaan n + p i p i p + n i p i p i n p i. 2.32) Siten B p N ja p Bp Z +, 2.33) p n joa identiteetin 2.29) anssa todistaa, että ) n Z + 0 n N. 3 Rationaaliluvun jaollisuus mod n) 3.1 Perusteita Määritelmä 7. Rationaaliluu A a/b Q on supistetussa muodossa/reduced form, un a b. Edelleen, dena) b on A:n nimittäjä/denominator. Määritelmä 8. Oloon p P, a, b Z, ja a b 0. Silloin asetetaan a p b Q p a 3.1) Z ja sanotaan, että p jaaa rationaaliluvun a/b. 11

Huomautus 3. Käytetään myös merintää p a b. 3.2) Oloon p P. Joaisella a/b Q on ysiäsitteinen esitys Tällöin saadaan Lause 9. a b pr c d, c Z, d Z+, c d, p cd, r Z. 3.3) a p b Q r 1. 3.4) Määritelmä 9. Oloon p P, a, b Z ja a b 0. Silloin asetetaan Esimeri 2. Esimeri 3. a b 0 mod p) p a b 5 20 3 20 3 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 50 4! 3.5) 0 mod 5). 3.6) 0 mod 5). 3.7) Laajennetaan Määritelmä 8 vapaasti valittavalle moduluselle n Z 2. Määritelmä 10. Oloon n Z 2, a, b Z, ja a b 0. Silloin asetetaan a n b Q n a b ja sanotaan, että n jaaa rationaaliluvun a/b. n a 3.8) Z Huomautus 4. Lause 10. a n b Q n b. 3.9) 12

Oloon n Z 2 annettu ja oloon rationaaliluvun a/b Q aluteijäesitys a b ±pr 1 1 p r q v 1 1 q v l l ; 3.10) missä q j / {p 1,..., p }. Jos p i, q j P r i Z +, v i Z, 3.11) n p s 1 1 p s, s i N, 3.12) ja 0 s i r i i 1,...,, 3.13) niin a n Q b. 3.14) Määritelmä 11. Oloon n Z 2 annettu ja a/b, c/d Q. Jos n a b c d, 3.15) niin asetetaan a b c d mod n) 3.16) ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat ongruentteja mod n). Huomautus 5. a 0 mod n) a 0 mod n), b n. 3.17) b Lause 11. Oloot n Z 2 ja a/b, c/d Q seä polynomi P x) Q[x]. Tällöin, jos niin a b c d miäli ongruenssi 3.19) on määritelty. mod n), 3.18) P a b ) P c ) mod n), 3.19) d 13

Lause 12. Oloot n Z 2 ja a/b, c/d Q seä rationaalifuntio Rx) Qx). Tällöin, jos niin a b c d miäli ongruenssi 3.21) on määritelty. Esimeri 4. mod n), 3.20) R a b ) R c ) mod n), 3.21) d 20 3 22 5 1 3 1 0 mod 2 5); 3.22) missä p 1 2, p 2 5, q 1 3 ja r 1 2, r 2 1, v 1 1. Esimeri 5. Esimeri 6. 20 3 0 mod 20), 3.23) 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 50 4! 0 mod 52 ). 3.24) 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 25 7 Esimeri 7. Oloon p P, p 5, tällöin 1 p + 5 1 5 Huomaa, että ongruenssi 3.26) ei ole määritelty mod 5). Esimeri 8. Oloon p P, tällöin 2p 1)2p 2) p + 2)p + 1) mod 5 3 ). 3.25) mod p). 3.26) p 1)p 2) 2 1 p 1)! mod p), 3.27) joten 2p ) p 2p 1)2p 2) p + 2)p + 1) 2 p 1)! 2 mod p). 3.28) 14

Lause 13. Kongruenssi mod n) on evivalenssirelaatio jouossa { c d Q d n}. 3.2 Rengas Q n Määritelmä 12. Oloot n Z 2 ja a/b Q annettu ja n b. Tällöin a/b { c d Q c d a b on edustajan a/b määräämä jaojäännösluoa mod n)} 3.29) mod n) ja Q n {a/b a/b Q, n b}. 3.30) Asetetaan vielä lasutoimituset binary operations) x + y x + y, x y xy 3.31) aina, un x, y Q n. Lause 14. a) Lasutoimituset { + : Q n Q n Q n, 3.32) ovat hyvinmääriteltyjä well dened) eli binäärioperaatiot ovat funtioita. b). Nolla-alio zero) on 0 { ln l, d Z, d n} 3.33) d ja vasta-alio x x x Q n. 3.34) 15

c). Yösalio unity) 1 { d + ln l, d Z, d n} 3.35) d ja äänteisalio inverse) x 1 x 1 x, x 1 Q n. 3.36) d) Kolmio Q n, +, ) muodostaa yösellisen ommutatiivisen renaan. Lause 15. Oloon n Z 2. Tällöin uvaus F a/b) a b ) 1 F : Q n Z n on rengasisomora eli Q n Zn. 3.37) Todistusta EI ysytä oeessa. Todistus: Lasemalla saadaan 1) F a b + c ) F d ) ad + bc bd ad + bc bd ) 1 ad + bc) b ) 1 d ) 1 a b ) 1 + c d ) 1 F ) a + F b joten F on ryhmien Q n, +) ja Z n, +) välinen homomora. ) c, 3.38) d 2) F a b c ) F d ) ac bd 16

ac bd ) 1 a b ) 1 c d ) 1 F ) a F b ) c. 3.39) d 3) F 1 ) F ) 1 1 1 ) 1 1. 3.40) 1 Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n Z n on rengasmorsmi. 4) Asetetaan nyt missä b n, joten F ) a 0, 3.41) b a b ) 1 0. 3.42) Kerrotaan 3.42 puolittain aliolla b, jolloin saadaan a b ) 1 b 0 b a 0 a 0 mod n) a b 0. 3.43) Siten F : Q n Z n on injetio. 5) Oloon vielä Z n. Tällöin, jos valitaan a, b 1, niin ) ) a F F 1 ) 1. 3.44) b 1 Siispä F : Q n Z n on surjetio. Kohtien 4) ja 5) nojalla on bijetio ja edelleen rengasisomora. F : Q n Z n Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa/can be identied, jolloin meritään Q n a/b ab) 1 Z n. 3.45) 17

ESIM: Lasetaan 2/3 renaassa Q 7. Alusi saadaan 2 3 2 + l 7 3 mod 7) l Z. 3.46) Valitaan l 4, jolloin 2 3 2 + 4 7 3 10 3 mod 7). 3.47) Täten Toisaalta Z 7 :ssa. 2/3 3. 3.48) 2 3 1 2 5 10 3. 3.49) 3.3 Sovellusia Lemma 1. Oloon G ryhmä ja a G. Tällöin uvauset ι : G G, ιx) x 1 3.50) ja τ : G G, τx) ax 3.51) ovat bijetioita. Todistus. Kohta 3.50): Asetetaan josta saadaan x 1 x 2. Siten ι on injetio. ιx 1 ) ιx 2 ) x 1 1 x 1 2, 3.52) Oloon sitten y G annettu. Valitaan nyt x y 1, jolloin ιx) ιy 1 ) y 1 ) 1 y. 3.53) Täten ι on surjetio ja edelleen bijetio. 18

Seuraus 1. Oloon H {a 1,..., a m } 3.54) äärellinen ryhmä. Tällöin ιh) H eli {a 1 1,..., a 1 m } {a 1,..., a m }. 3.55) Edelleen, oloon a H annettu. Tällöin τh) H eli {a a 1,..., a a m } {a 1,..., a m }. 3.56) 3.3.1 Wilsonin lause Lause 16. WILSONIN LAUSE: Oloon p P. Tällöin Esimeri 9. Oloon H Z 11, missä p 1)! 1 mod p). 3.57) 1 1 1, 2 1 6, 3 1 4,, 4 1 3, 5 1 9, 6 1 2, 7 1 8, 8 1 7, 9 1 5, 10 1 10. 3.58) Siten 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lause 17. Oloon p P 3. Tällöin 1 2 2 1 3 3 1 5 5 1 7 7 1 10 1. 3.59) 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 mod p). 3.60) 19

Todistus. Lemman 3.50 nojalla ιz p) Z p eli {1 1,..., p 1 1 } {1,..., p 1}. 3.61) Täten p 1 p 1 a 1 b, 3.62) a1 b1 Seuraavassa äytetään samaistusta 3.45). Yhtälön V.P. vasen puoli) 1/1 + 1/2 +... + 1/p 1 1 + 1/2 +... + 1/p 1) 1 + 1/2 +... + 1/p 1). 3.63) Toisaalta Yhtälön O.P. oiea puoli) 1 +... + p 1 1 + 2 +... + p 1 pp 1)/2 0, 3.64) missä p pp 1)/2, sillä p 3. Evivalenssiluoien 3.63) ja 3.64) identtisyydestä seuraa edustajien välinen ongruenssi 3.60). 3.3.2 Euler-Fermat Lause 18. Oloot a Z, m Z 2 annettu ja a m. Tällöin a ϕm) 1 mod m). 3.65) Seurausena saadaan Lause 19. FERMAT'N PIKKULAUSE: Oloot a Z, p P annettu ja p a. Tällöin a p 1 1 mod p). 3.66) 20

3.3.3 Euler-Fermat'n todistus Todistus. Asetetaan τx) a x. Kosa a Z m, niin Lemman 3.50 nojalla τz m) Z m eli {a a 1,..., a a ϕm) } {a 1,..., a ϕm) }. 3.67) Siten a a 1 a a ϕm) a 1 a ϕm) 3.68) a ϕm) a 1 a ϕm) a 1 a ϕm), 3.69) josta a ϕm) 1. 3.70) Todistetaan seuraavasi eräs Wilsonin lauseen yleistys. Lause 20. Oloot p P 3 ja r Z +. Tällöin Todistus. Oloon a Z p r p r 1 1,p 1 mod p r ). 3.71) oma äänteisalionsa eli a a 1 a 2 1. 3.72) Siten josta a 2 1 0, 3.73) a 1)a + 1) l p r, 3.74) jollain l Z. Välttämättä p a 1 tai p a + 1. 3.75) 21

Jos niin p a 1 ja p a + 1, 3.76) p 2a p a. 3.77) Mutta a p, joten joudutaan ristiriitaan. Tarastellaan siis tapauset 1.) p a 1 ja p a + 1 3.78) ja 2.) p a 1 ja p a + 1. 3.79) Tapaus 1. Yhtälön 3.74) nojalla p r a 1 a 1. 3.80) Tapaus 2. Yhtälön 3.74) nojalla p r a + 1 a 1. 3.81) Siten a Z pr on oma äänteisalionsa täsmälleen silloin, un a ±1. Edelleen missä jouon alioille pätee Täten Z pr {1, 1} B, 3.82) B {b 1,..., b m }, m ϕp r ) 2, 3.83) b i 1 bi, i 1,..., m. 3.84) B {c 1,..., c m/2, c 1 1,..., c m/2 1 } 3.85) 22

ja siten a Z p r a 1 1)c 1 c 1 1 c m/2 c m/2 1 1. 3.86) Esimeri 10. 3 2 p r. Jolloin 1 2 4 5 7 8 1 mod 3 2 ). 3.87) 3.4 Wolstenholmen lause Lause 21. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Oloon p P 5. Tällöin Tätä todistusta EI ysytä oeessa.) Todistus, I tapa: Tarastellaan polynomia 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 mod p2 ). 3.88) Gx) x 1)x 2) x p 1)) Z[x]. 3.89) Auaistaan tulo, jolloin Gx) x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... missä W i Z. Välittömästi saadaan +W 2 x 2 W 1 x + W 0, 3.90) xx 1)x 2) x p 1)) x p W p 2 x p 1 + W p 3 x p 2 W p 4 x p 3 +... +W 2 x 3 W 1 x 2 + W 0 x, 3.91) 23

johon sijoitetaan x y 1 ja siten y 1)y 2) y p 1))y p) y 1) p W p 2 y 1) p 1 + W p 3 y 1) p 2 W p 4 y 1) p 3 +... +W 2 y 1) 3 W 1 y 1) 2 + W 0 y 1). 3.92) Yhtälössä 3.92) V.P. y p)gy) y p)y p 1 W p 2 y p 2 + W p 3 y p 3... +W 2 y 2 W 1 y + W 0 ) y p p + W p 2 )y p 1 + pw p 2 + W p 3 )y p 2 pw p 3 + W p 4 )y p 3 +... pw 2 + W 1 )y 2 + pw 1 + W 0 )y pw 0. 3.93) Toisaalta yhtälön 3.92) O.P. ) ) ) p p p 1 y p + W p 2 )y p 1 + + W p 2 + W p 3 )y p 2 1 2 1 ) ) ) p p 1 p 2 + W p 2 + W p 3 + W p 4 )y p 3 3 2 1 ) ) ) p p 1 2 +... + + W p 2 +... + W 1 + W 0 )y p 1 p 2 1 1 + W p 2 +... + W 1 + W 0 ). 3.94) Verrataan seuraavasi vastinpotenssien ertoimia yhtälöissä 3.93) ja 3.94), jolloin y p : 1 1, 3.95) 24

y p 1 : p + W p 2 ) p + W p 2, 3.96) 1 y p 2 : pw p 2 + W p 3 3.97) ) ) p p 1 + W p 2 + W p 3, 2 1... y p 3 : pw p 3 + W p 4 3.98) ) ) ) p p 1 p 2 + W p 2 + W p 3 + W p 4, 3 2 1 y 1 : pw 1 + W 0 3.99) ) ) ) p p 1 2 + W p 2 +... + W 1 + W 0, p 1 p 2 1 y 0 : pw 0 1 + W p 2 +... + W 1 + W 0. 3.100) Kasi ensimmäistä ovat triviaali-identiteettejä mutta seuraavista saadaan palautusaavat: 3W p 4 p 2)W 1 2W p 3 ) p + 4 ) p + p 1 W p 2 ) p + 3 p 1 3 ) p, 3.101) 2 p 1 2 ) W p 2 + ) W p 2, 3.102) p 2 2 ) p 1 W p 2 +... + p 2 ) W p 3,... 3.103) ) 3 W 2, 3.104) 2 25

p 1)W 0 1 + W p 2 +... + W 1. 3.105) Huomaa, että nämä yhtälöt ovat muotoa ) p jw p j 1 +... j + 1 1 j p 1. 3.106) Käytetään tulosta 1.30), jolloin ) p p 2 3.107) ja siten Seuraavasi joten Edelleen joten... Siten j 1. p W p 2. 3.108) ) p p 3 ja p W p 2, 3.109) j 2. p W p 3. 3.110) ) p p, 4 p W p 2 ja p W p 3, 3.111) j 3. p W p 4. 3.112) j p 2. p W 1. 3.113) p W 1, W 2,..., W p 2, 3.114) josta tulosen 3.105) anssa seuraa j p 1. p 1)W 0 1 mod p) 3.115) 26

eli Mutta W 0 1 mod p). 3.116) W 0 p 1)!, 3.117) joten saadaan II todistus Wilsonin lauseelle. Sijoitetaan nyt x p yhtälöön p 1 p 1 Gx) x j) 1) i W i x i, W p 1 1, 3.118) j1 i0 josta saadaan W 1 W 2 p W 3 p 2... + p p 2. 3.119) Kosa p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. 3.120) Toisaalta W 1 p 1 p 1 j1 i1,i j i 2 3 p 1) + 1 3 4 p 1) +... +1 2 p 3) p 1) + 1 2 p 2) Siten p 1)! 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ). 3.121) p 1 p 2 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 3.122) II todistus Fermat'n piulauseelle. Oloot p P, a Z ja p a. Tällöin a j mod p), 3.123) 27

jollain j 1, 2,..., p 1. Sijoitetaan x a yhtälöön 3.118), jolloin a p 1 W p 2 a p 2 + W p 3 a p 3... + W 2 a 2 W 1 a + W 0 0 mod p), 3.124) missä Siten W p 2,..., W 1 0 mod p). 3.125) a p 1 W 0 p 1)! 1 mod p). 3.126) 3.5 p 1)! ja a p 1 mod p 2 )/EI oeeseen Tiedetään, että p 1)! 1 mod p 2 ), 3.127) un p 5, 13, 563,... Wilsonin aluluuja) ja a p 1 1 mod p 2 ), 3.128) un p 1093, 3511,... Mutta yleisellä tasolla ohtien 3.127) ja 3.128) jaojäännösien mod p 2 ) äyttäytymistä ei tunneta. Ehdon 3.128) tutiminen on ollut täreää liittyen Fermat'n suuren lauseen todistusyritysiin, sillä jos p P 3 ja 2 p 1 1 mod p 2 ), 3.129) niin x p + y p z p x, y, z Z +. 3.130) 28

Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 1994)] on todistanut, että 3.130) pätee ilman lisäoletusta 3.129). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten äyrien ominaisuusiin. Oloon p P 3, tällöin Piu Fermat'n nojalla tiedetään, että 2 p 1 1 l p, 3.131) jollain l Z, joten on luonnollista tutia Fermat'n osamääriä Lause 22. Oloon p P 3. Tällöin q p 2) 2p 1 1 p Z. 3.132) q p 2) 2p 1 1 p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 p 2 mod p). 3.133) Huomaa, että 3.133) on yhtäpitävää ehdon 2 p 1 1 + p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 mod p 2 ) 3.134) anssa. Todistus. Alusi binomiaavalla saadaan p ) p 1 p ) p 2 p 2 +, 3.135) i i jossa tulosen 1.30) nojalla i0 i1 jollain h i Z aina, un i 1,..., p 1. Edelleen h i ) p ph i, 3.136) i p 1)p 2) p i + 1) i! 1) i 1 i 1)! i! 1)i 1 i mod p) 3.137) 29

eli jollain m i a/b Q, p b. h i 1)i 1 i + m i p, 3.138) Siten 3.136) ja 3.138) antavat ) p 1) i 1 p i i ) + m i p 1) i 1 p i Yhtälöiden 3.135) ja 3.139) nojalla 2 p 2 + p 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 ) p 1 Toisaalta 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 p 1 2 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 2 + 1 ) p 1 2 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 tulosen 3.88) nojalla. mod p 2 ). 3.139) mod p 2 ). 3.140) mod p 2 ) 3.141) Yhdistämällä 3.140) ja 3.141) saadaan 2 p 2 + 2p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 missä p 2, joten 3.134) seuraa. mod p 2 ), 3.142) Esimeri 11. Oloon p 7. Nyt 2 p 1 2 6 1 + 63 1 + 7 9 3.143) 1 + 7 1 + 1 3 + 1 ) 5 mod 7 2 ). 3.144) Huomaa, että 1/3 5 ja 1/5 3 mod 7). 30

4 Polynomien ongruenssi Määritelmä 13. Oloot n Z 2 ja P x) n p x Q[x], 0 jolloin asetetaan n Qx) q x Q[x], 0 P x) Qx) mod n) p q mod n) 0, 1,..., n. 4.1) Seuraavassa äytetään jaojäännösluoia a Z n. Huomaa, että un p P, niin Z p on unta. Määritelmä 14. Oloon n Z 2 ja ax) a 0 + a 1 x +... + a d x d Z[x]. Kuvaus r n a 0 + a 1 x +... + a d x d ) a 0 + a 1 x +... + a d x d 4.2) r n : Z[x] Z n [x], r n ax)) ax), on redutio mod n). Lause 23. Redutio r n : Z[x] Z n [x], r n ax)) ax), on rengasmorsmi. Lause 24. a 0 +... + a d x d b 0 +... + b d x d 4.3) a 0 +... + a d x d b 0 +... + b d x d mod n) 4.4) 31

Lause 25. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Oloon p P 5. Tällöin 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 mod p2 ). 4.5) II Todistus. Tämä todistus nojautuu Fermat'n piulauseeseen 19. Tarastellaan polynomeja Gx) x 1)x 2) x p 1)) Z[x]; 4.6) F x) x p 1 1 Z[x] 4.7) ja niiden redutioita mod p) Gx), F x) Z p [x]. 4.8) Välittömästi Fermat'n piulauseeseen 19 nojalla F j) 19 0, j 1, 2,..., p 1. 4.9) Täten F x) jaaantuu polynomirenaassa Z p [x] teijöihin seuraavasti F x) x 1)x 2) x p 1) Gx) 4.10) polynomialgebran tulosten nojalla Katso: Merintöjä ja algebrallisia raenteita). Kirjoitetaan Gx) aui polynomisi p 1 p 1 Gx) x j) 1) i W i x i 4.11) j1 i0 x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... + W 2 x 2 W 1 x + W 0, W p 1 1. Tulosen 4.10) nojalla x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... 32

+W 2 x 2 W 1 x + W 0 x p 1 1 mod p). 4.12) eli W 0 mod p), 1, 2,..., p 2, W 0 1 mod p). 4.13) Siirrytään taaisin polynomirenaaseen Z[x] ja auaistaan 4.11): x 1)x 2) x p 2))x p 1)) 4.14) x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... + W 2 x 2 W 1 x + p 1)!. Sijoitetaan x p yhtälöön 4.14), jolloin p 1)! p p 1 W p 2 p p 2 + W p 3 p p 3... + W 2 p 2 W 1 p + p 1)!. 4.15) Tällöin saadaan W 1 W 2 p W 3 p 2 +... W p 2 p p 3 + p p 2. 4.16) Kosa p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. 4.17) Toisaalta W 1 p 1 p 1 j1 i1,i j i 2 3 p 1) + 1 3 4 p 1) +... +1 2 p 3) p 1) + 1 2 p 2) Siten p 1)! 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ). 4.18) p 1 p 2 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 4.19) 33

Esimeri 12. p 5. 4 Gx) x j) j1 x 4 W 3 x 3 + W 2 x 2 W 1 x + W 0, W 3 4 + 3 + 2 + 1, W 2 3 4 + 2 4 + 1 4 + 2 3 + 1 3 + 1 2, 4.20) ja W 1 2 3 4 + 1 3 4 + 1 2 4 + 1 2 3, W 0 4!. W 1 50 4! 1 + 1 2 + 1 3 + 1 ), 5 2 4! 4 5 2 1 + 1 2 + 1 3 + 1 ). 4.21) 4 Esimeri 13. Tapausessa p 3 lauseen väite ei päde uten nähdään seuraavasta: Gx) 2 x j) x 2 W 1 x + W 0 x 2 3x + 2, j1 Terävöitetään Esimerin 8 tulosta. Esimeri 14. W 1 3 2! 1 + 1 ), 3 2 1 + 1 ). 4.22) 2 Oloon p P p 5, tällöin ) 2p 2p 1)2p 2) p + 2)p + 1) 2 2 p p 1)! mod p 3 ). 4.23) 34

Todistus. Kerrataan alusi, että W 1 v 1 p 2 ja W v p, missä v Z aina, un 1,..., 2. Sijoitetaan nyt x 2p yhtälöön 4.14), jolloin 2p 1)2p 2) p + 2)p + 1) 2p) p 1 W p 2 2p) p 2 +... + W 2 2p) 2 W 1 2p + p 1)! 2p) p 1 v p 2 2) p 2 p p 1 +... + v 2 2) 2 p 3 v 1 2p 3 + p 1)! p 1)! mod p 3 ). 4.24) Lause 26. Oloon p P, tällöin x + 1) p x p + 1 mod p). 4.25) polynomirenaassa Q[x]. Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla x + 1) p p 0 ) p x 4.26) x p + 0 x p 1 + 0 x p 2 +... + 0 x + 1 x p + 1 mod p). Lause 27. Oloot n Z 2 ja fx), gx), hx) Q[x] ja gx) hx) mod n). 4.27) Tällöin Lause 28. Oloot p P ja r N. Tällöin fgx)) fhx)) mod n). 4.28) x + 1) pr x pr + 1 mod p). 4.29) polynomirenaassa Q[x]. 35

Todistus. Indutiolla. r 1. Lause 26. Indutioaseleessa lasetaan V.P. x + 1) pr+1 x + 1) pr ) p x pr + 1) p 4.30) x pr ) p + 1 x pr+1 + 1 mod p) 4.31) O.P. Kohdassa 4.30) sovellettiin indutio-oletusta ja Lausetta 27 seä ohdassa 4.30) Lausetta 26. Seurausena saadaan Lause 29. Oloot p P ja r Z +. Tällöin ) p r 0 mod p) 1,..., p r 1. 4.32) Lause 28 voidaan yleistää ahdenmuuttujan polynomeille. Lause 30. Oloot p P ja r N. Tällöin x + y) pr x pr + y pr mod p) 4.33) polynomirenaassa Q[x, y]. Ja edelleen useanmuuttujan tapauseen. Lause 31. Oloot p P ja r N. Tällöin polynomirenaassa Q[x 1,..., x m ]. x 1 +... + x m ) pr x pr 1 +... + x pr m mod p) 4.34) 36

4.1 Sovellusia luujen ongruensseihin Määritelmä 15. Oloon p P ja Tällöin asetetaan joa on luvun A esponentiaalinen p-valuaatio. Siten, jos v p A) 0, niin p b ja jos p A, niin p b. A a b c pr, p cd. 4.35) d v p A) r, 4.36) Sovelletaan Lausetta 31 antamalle muuttujille rationaaliluuarvot. Lause 32. Oloot p P, r N ja A i Q, v p A i ) 0 aina, un i 1,..., m. Tällöin A 1 +... + A m ) pr A pr 1 +... + A pr m mod p). 4.37) Huomaa, että 4.37) on Piu-Fermat'n yleistys. 4.1.1 Lucasin binomierroinlause Lause 33. Oloot p P, n, N seä n i 0 n i p i, i 0 i p i, 0 i, n i p 1. 4.38) Tällöin ) n i 0 ni i ) mod p). 4.39) 4.1.2 Lucasin binomierroinlauseen todistus Huomautus 6. Oloot p P ja n N. Tiedetään, että p-antaehitelmä n n i p i, 0 n i p 1 4.40) i 0 on ysiäsitteinen. 37

Lauseen 33 Todistus: Alusi huomataan, että 1 + x) n 1 + x) n 0 1 + x) pn 1 1 + x) p2 n2 1 + x) n 0 1 + x p ) n 1 1 + x p2 ) n2 mod p) 4.41) Lauseen 28 nojalla. Sama binomiehitelmillä n 0 n0 i i 0 0 0 p 1 n0 i 0 0 i 0 ) x i 0 ) x i 0 0 j 0 i j p 1 n 0 n 1 n1 i i 1 0 1 p 1 n1 ) n x ) x pi 1 ) x pi 1 i i 1 0 1 i 2 0 ) ) n0 n1 n2 i 0 i 1 n 2 n2 i i 2 0 2 p 1 n2 i 2 i 2 ) x p2 i2 ) x p2 i2 ) x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +... mod p). 4.42) Tutitaan V.P. polynomin termiä x ja sen O.P. polynomin vastintermiä x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +..., joa saadaan, un 0 + 1 p + 2 p 2 +... i 0 + i 1 p + i 2 p 2 +... 4.43) Luvun ysiäsitteisen p-antaesitysen nojalla havaitaan, että i 0 0, i 1 1,.... Täten vertaamalla ongruenssin 4.42) V.P. ja O.P. termejä x, saadaan ongruenssi ) n i 0 ni i ) mod p). 4.44) 38

Esimeri 15. p 7, n 11 4 + 1 7, 5 5 + 0 7, joten ) ) ) ) ) 11 n0 n1 4 1 0 1 0 mod 7). 4.45) 5 0 1 5 0 Esimeri 16. ) 3 100 + 2 3 10 + 2 2 mod 3) 4.46) 3 10 + 2 5 Summausmenetelmiä 5.1 Polynomialgebran sovellusia Esimeri 17. Lähdetään identiteetistä joa irjoitetaan muotoon n ) n x j j j0 Nyt Caychyn ertosäännöllä n+m josta 0 1 + x) n 1 + x) m 1 + x) n+m, 5.1) j+l n j m l0 j+l,0 j,l j0 ) m x l l ) m l ) ) x ) ) n m j l n+m 0 n+m 0 n + m n + m ) n + m Edelleen, asettamalla n m, saadaan m ) ) ) n m 2m j m j m eli m j0 ) 2 m j ) x. 5.2) ) x, 5.3) 5.4) 5.5) ) 2m. 5.6) m 39

5.2 Telesoopit Telesooppisumma ja telesooppitulo n a i+1 a i ) a n+1 a 0 5.7) i0 n i0 a i+1 a i a n+1 a 0 5.8) soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen. n 0 nn + 1) 2 5.9) n 2 0 nn + 1)2n + 1) 6 5.10) n ) 2 nn + 1) 3 5.11) 2 0 n 2 + 1) n + 1) 2 5.12) 0 Johdetaan 5.12) valitsemalla a 2 ja lähtemällä identiteetistä a +1 a + 1) 2 2 2 + 1. 5.13) Otetaan summat 5.13) molemminpuolin, jolloin n 2 + 1) 0 Edelleen josta saadaan 5.9). n a +1 a ) a n+1 a 0 n + 1) 2. 5.14) 0 n n 2 + 1 n + 1) 2, 5.15) 0 0 40

Valitsemalla a 3 ja telesopoimalla identiteettiä a +1 a + 1) 3 3 3 2 + 3 + 1 5.16) päästään tuloseen 5.10). JNE. 41