Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Transkriptio

1 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. Huomautus. Polynomien suurin yhteinen tekijä saadaan yksikäsitteiseksi kun vaaditaansenolevanpääpolynomi. Jatkosssa oletamme aina, että syt(f(x),g(x)) pääpolynomi. Nyt on helppo nähdä, että syt(f(x),g(x)) on polynomien f(x),g(x) yhteisistä tekijöistä se, joka on asteeltaan suurin ja jonka johtava kerroin = 1. Esimerkki Lasketaan polynomien x 12 + x 10 + x 8 + x 3 +1jax 8 + x 7 + x 5 + x 4 + x 2 +1 F 2 [x] suurin yhteinen tekijä. Eukleideen algoritmi: x 12 + x 10 + x 8 + x 3 +1=(x 8 + x 7 + x 5 + x 4 + x 2 + x +1)(x 4 + x 3 + x) + x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x +1 x 8 + x 7 + x 5 + x 4 + x 2 + x +1=(x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x +1)(x +1)+x 6 + x 2 + x x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x +1=(x 6 + x 2 + x)x + x 5 + x +1 x 6 + x 2 + x =(x 5 + x +1)x joten syt(x 12 + x 10 + x 8 + x 3 +1,x 8 + x 7 + x 5 + x 4 + x 2 +1)=x 5 + x +1. Lemma 2.2 (Eukleideen lemma). Olkoon p(x),f(x),g(x) K[x] ja p(x) jaoton. Jos p(x) f(x)g(x), niin p(x) f(x) tai p(x) g(x). Todistus. Lause 2.7. Lause 2.8. K[x] on UFD. Tarkemmin: jokainen polynomi f(x) K[x] \{0} voidaan esittää muodossa f(x) =up 1 (x)p 2 (x) p n (x), missä kukinpolynomip i (x) on jaoton pääpolynomi ja u K. polynomien p i (x) järjestystä vailleyksikäsitteinen. Tämä esityson Todistus. Olkoon f(x) 0 alinta positiivista astetta oleva polynomi, joka ei hajoa jaottomien alkioiden tuloksi. Nyt f(x) ei ole jaoton joten f(x) =a(x)b(x), missä deg a(x),b(x) n 1 (huomaa, että K on kunta). Koska a(x) jab(x) hajoavat jaottomien alkioiden tuloksi, niin samoin hajoaa f(x) japäädyimme ristiriitaan. Täten

2 ALGEBRA II 19 jokainen positivista astetta oleva polynomi hajoaa jaottomien alkioiden tuloksi. Koska jokainen jaoton polynomi p(x) = uq(x), missä q(x) on jaoton pääpolynomi, niin väitteen hajoitelma on olemassa kaikille positiivista astetta oleville polynomeille ja triviaalisti myös kaikille vakiopolynomeille. Yksikäsitteisyys: oletetaan, että up 1 (x)p 2 (x) p n (x) =f(x) =u q 1 (x)q 2 (x) q t (x), missä t n ja kukin q i (x) on jaoton. Nyt Eukleideen lemman nojalla p 1 q i jollakin i =1,...,t. Voidaan olettaa, että i =1. Täten q 1 = p 1, sillä q 1 on jaoton pääpolynomi ja p 1 on pääpolynomi. Täten up 2 (x) p n (x) =u q 2 (x) q t (x). Toistamalla eo. päättelyä saamme lopulta u = u q n+1 (x) q t (x). Täten n = t ja u = u R[x] on UFD jos R on UFD. Olkoon R mikä tahansa UFD ja K sen osamääräkunta. Näytetään ensin, että Eukleideen lemma pätee renkaassa R. Määritelmä 2.8.Alkiot a, b R ovat liitännäisiä jos a = ub, missä u R.Tällöin merkitään a b. Lemma 2.3. Olkoot a, b, c R ja syt(a, c) 1. Silloin pätee implikaatio: Jos c ab, niin c b. Todistus. Olkoot a = up 1 p i, b = u q 1 q j ja c = u r 1 r k alkioiden a, b, c hajoitelmat jaottomien alkioiden tuloksi. Koska c ab, niin uu p 1 p i q 1 q j = u r 1 r k v jollakin d R. Koska R on UFD, niin r 1 p i tai r 1 q j. Koska syt(a, c) 1, niin r 1 = u 1 q j, u 1 R. Voidaan olettaa, että j = 1. Samoin jatkamalla näemme, että r 2 = u 2 q 2,...,r k = u k q k.täten b = u q 1 q j = u vr 1 r 2 r k q k+1 q j =(u vq k+1 q j )c, missä v = u 1 u k,janäin ollen c b. Seuraus (Eukleideen lemma). Jos p R on jaoton ja p ab, niin p a tai p b.

3 20 ALGEBRA II Määritelmä 2.9.Polynomi f(x) R[x] onprimitivinen, jos jokin sen kertoimien suurin yhteinen tekijä on yksikkö. Lemma 2.4 (Gaussin lemma). Olkoot f(x),g(x) R[x] primitiivisiä. Silloin myös polynomi f(x)g(x) on primitiivinen. Todistus. Olkoot m =degf(x) jan =degg(x), jolloinf(x)g(x) = m+n i=0 b ix i, missä b i = i k=0 f jg j i. Olkoon c = syt(b 0,...,b n+m ) ja oletetaan ettei c ole yksikkö. Olkoon p c jaoton. Nyt p b 0 = f 0 g 0, joten Eukleideen lemman nojalla voidaan olettaa, että p f 0. Koska p b 1 = f 0 g 1 + f 1 g 0, niin p f 1 g 0 (Lause 2.5 (4)). Koska f on primitiivinen, niin nyt Eukleideen lemman nojalla p g 0.Koskap b 2 = f 0 g 2 +f 1 g 1 +f 2 g 0, niin p f 1 g 1 (Lause Lause 2.5 (4)). Nyt Eukleideen lemman nojalla p f 1 tai p g 1. Kummassakin tapauksessa päädymme ristiriitaan polynomien f(x) ja g(x) primitiivisyyden kanssa. Lause 2.9. Olkoot f(x),g(x) R[x] ja h(x) K[x]. Jos f(x) =h(x)g(x) ja g(x) on primitiivinen, niin h(x) R[x]. Todistus. Olkoon b polynomin h(x) kertoimien nimittäjien tulo. Nyt bf(x) =bh(x)g(x), missä bh(x) R[x]. Olkoon bh(x) = ar(x), missä r(x) R[x] on primitiivinen. Nyt f(x) = a b r(x)g(x). Olkoon d = syt(a, b) jaa = vd ja b = wd. Nyt f = v w (q 0 + q 1 x + + q m x m )= vq 0 w + + vg m w xm, missä polynomi g := g 0 +g 1 x+ +g m x m on Gaussin lemman nojalla primitiivinen. Koska f R[x], niin w vg i kaikilla i =0,...,m.Koskasyt(v, w) on yksikkö, niin w g i kaikilla i =0,...,m (Lemma 2.3). Nyt g:n primitiivisyyden nojalla w R ja näin ollen b a. Siispä h(x) R[x]. Seuraus. Olkoon f(x) R[x] \{0} ja oletetaan, että f(x) =p 1 (x)p 2 (x) p t (x), missä kukinp i (x) K[x]. Silloin on olemassa sellaiset alkiot a 1,...,a t K, ja primitiivipolynomit r 1 (x),...,r t (x) R[x], että (1) r i (x) =a i p i (x) kaikilla i =1,...t,

4 ALGEBRA II 21 (2) f(x) =ar 1 (x)r 2 (x) r t (x), jollakina R. Erityisesti, jos f(x) on jaoton renkaassa R[x], niin se on jaoton myös renkaassa K[x]. Todistus. Olkoon c i polynomin p i kertoimien nimittäjien tulo. Merkitään c = c 1 c t. Nyt cf = q 1 q t, missä q i = c i p i R[x]. Olkoon q i = d i r i, missä r i R[x] on primitiivinen. Nyt f = d c r 1 r t, missä d = d 1 d t. Koska Gaussin lemman nojalla r 1 r t on primitiivinen, niin Lauseen 2.9 nojalla d/c = a R. Lause Jos R on UFD, niin R[x] on UFD. Tarkemmin: jokainen polynomi f(x) R[x] \{0} voidaan esittää muodossa f(x) =ua 1 a 2 a s r 1 (x)r 2 (x) r t (x), missä kukina i R on jaoton, ja kukin r i (x) R[x] on jaoton vähintään astetta 1 oleva primitiivipolynomi. Tämä esitys on olennaisesti yksikäsitteinen. Todistus. Olkoon f = p 1 p t polynomin hajoitelma jaottomien alkioiden tuloksi renkaassa K[x]. Nyt Lauseen 2.9 Seurauksen nojalla f = ar 1 r t, missä a R ja kukin r i R[x] on primitiivinen. Koska jokainen r i on jaoton renkaassa K[x], niin näin on myös renkaassa R[x]. Kun nyt hajoitetaan vielä a jaottomien alkioiden tuloksi renkaassa R, a = ua 1 a s, niin saamme väitteen hajoitelman. Yksikäsitteisyys: Oletetaan että, polynomilla f(x) onmyös hajoitelma f(x) =u b 1 b k h 1 (x) h l (x) missä u R,kukinb i R on jaoton, ja kukin h i (x) R[x] on jaoton vähintään astetta 1 oleva primitiivipolynomi. Lauseen 2.9 Seurauksen nojalla kukin polynomi h i (x) jar j (x) on jaoton renkaassa K[x], ja koska K[x] onufd, niin l = t ja

5 22 ALGEBRA II h 1 (x) =u 1 r 1 (x),,h t (x) =u t r t (x), joillakin u i K.Koskar i (x) on primitiivinen kaikilla i = 1,...,t, niin Lauseen 2.9 nojalla u i R kaikilla i = 1,...,t. Nyt polynomien h i (x) primitiivisyyden nojalla u i R kaikilla i =1,...,t,jatäten renkaassa R on voimassa yhtäsuuruus ua 1 a t = u b 1 b k u 1 u t = u b 1 b k. Väite seuraa nyt Eukleideen lemmasta. Seuraus. Jos R on UFD, niin n:n muuttujan polynomirengas R[x 1,x 2,...,x n ] on UFD. Esimerkki Z[x], ja yleisemmin Z[x 1,...,x n ], on UFD. UFD olipa K mikä tahansa kunta. K[x 1,...,x n ]on 2.4. Jakojäännösrengas. Otetaan nyt käyttöön lukuteoriasta tuttu kongruenssimerkintä. Määritelmä Olkoon R kokonaisalue. Olkoon n R \{0}. Olkoota, b R. Polynomit a ja b ovat kongruentit modulo n, josn a b. Tällöin merkitään a b (n). Lause (1) Jos a b (n) ja c d (n), niin a + c b + d (n). (2) Jos a b (n) ja c d (n), niin ac bd (n). Todistus. Harjoitustehtävä. Lause Olkoon f(x) R[x] jonka johtava kerroin on yksikkö. Olkoot a(x),b(x) R[x]. Silloin a(x) b(x) (f(x)) polynomien a(x) ja b(x) jakojäännökset modulo f(x) ovat yhtäsuuret. Todistus. Harjoitustehtävä. Olkoon f(x) R[x] jonka johtava kerroin on yksikkö jamerkitään symbolilla R[x] mod f(x) kaikkien jakojäännösten modulo f(x) joukkoa ts. R[x] modf(x) ={a 0 +a 1 x+ +a n 1 x n 1 n =degf(x),a i R i =0,...,n 1}.