TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Johdatus todeäköisyyslasketaa Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Mitä oimme? /3 Tutustumme tässä luvussa seuaavii diskeetteihi todeäköisyysjakaumii: Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma Diskeettejä jakaumia Mitä oimme? /3 Takastelu kohteea ovat seuaavat jakaumie omiaisuudet: (i) Jakauma määittely (ii) Pistetodeäköisyysfuktio (iii) Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama (iv) Kuvaaja Takastelemme myös jakaumie yhteyksiä toisii jakaumii. Takasteltavie jakaumie odotusavot johdetaa suoaa odotusavo määitelmää ojautue. Todeäköisyysjakauma mometit saadaa kuiteki yleesä kätevimmi johdetuksi käyttämällä hyväksi jakauma mometit geeoivaa fuktiota; ks. lukua Momettiemäfuktio ja kaakteistie fuktio. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Diskeettejä jakaumia Mitä oimme? 3/3 Takastelemme Beoulli-jakauma, biomijakauma ja Poisso-jakauma taauksessa myös ko. jakaumaa oudattavie iiumattomie satuaismuuttujie summa jakaumaa. Lisätietoja iiumattomie satuaismuuttujie summa jakauma määäämisestä: ks. lukua Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. Huomautus: Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. Diskeettejä jakaumia Esitiedot Esitiedot: ks. seuaavia lukuja: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Jakaumie tuusluvut TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Diskeettejä jakaumia Lisätiedot Todeäköisyysjakaumie momettie määäämistä takastellaa luvussa Momettiemäfuktio ja kaakteistie fuktio Riiumattomie satuaismuuttujie summa jakauma määäämistä takastellaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Diskeettejä jakaumia >> Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Diskeetti tasaie jakauma Avaisaat Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi Diskeetti tasaie jakauma Diskeetti tasaie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Olkoo X diskeetti satuaismuuttuja, joka mahdolliset avot ovat,,, Oletetaa, että satuaismuuttuja X mahdollisii avoihi,,, liittyvät todeäköisyydet ovat yhtä suuia: P( X k ), k,,, Huomautus: Diskeetti tasaie jakauma liittyy sellaisii otosavauuksii, joissa alkeistaaukset ovat symmetisiä. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeetti tasaie jakauma Diskeetti tasaie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ), k k,,, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa diskeettiä tasaista jakaumaa. Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska f( k ) k Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Diskeeti tasaise jakauma odotusavo: E( X) µ X k k Diskeeti tasaise jakauma vaiassi: Va( X) D ( X) σ X ( k ) k Diskeeti tasaise jakauma stadadioikkeama: D( X) σ X ( k ) k TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4)
TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo ja vaiassi johto Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo omiaisuuksia Suoaa diskeeti satuaismuuttuja odotusavo ja vaiassi määitelmistä saadaa: E( X ) µ k f( k) k k k Va( X) D ( X) σ ( k µ ) f( k) k ( k ) k Diskeeti tasaise jakauma odotusavo E( X) µ X k k o satuaismuuttuja X mahdolliste avoje,,, aitmeettie keskiavo. TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo ja vaiassi laskemie: Esimekki Diskeetti tasaie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Olkoo satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio f(k) P(X k) k /6, k,, 3, 4, 5, 6 Odotusavo: 6 6 E( X) kf( k) k k 6 k ( + + 3 + 4 + 5 + 6) 3.5 6 Vaiassi: 6 6 D( X) ( k E()) f() k ( k E()) k 6 k 35 ( 3.5) ( 3.5) (6 3.5).97 6 + + + Stadadioikkeama: D( X ).97.78 Kuva oikealla esittää diskeeti tasaise jakauma f( ),,,3,4,5,6 6 istetodeäköisyysfuktiota. Jakauma odotusavo: 6 E( X) k 3.5 6 k.3.. Diskeetti tasaie jakauma 3 4 5 6 E(X) 3.5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Diskeettejä jakaumia Beoulli-jakauma Diskeetti tasaie jakauma >> Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma Avaisaat Beoulli-jakauma Beoulli-koe Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Beoulli-jakauma Beoulli-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Olkoo A otosavauude S taahtuma ja P(A). Tällöi P(A c ) P(A) q. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X:, jos A taahtuu X, jos A ei taahdu Tällöi satuaismuuttuja Xjakaumao P( X ) P( X ) q Beoulli-jakauma Beoulli-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ) q,< <, q, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa Beoulli-jakaumaa aametiaa. Mekitä: X Beoulli() Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska f () + f() q+ TKK (c) Ilkka Melli (4) Beoulli-jakauma Komlemettitaahtuma todeäköisyys Beoulli-jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Olkoo P(A) Tällöi P(A c ) P(A) q A c A Olkoo X Beoulli() Odotusavo: E(X) Vaiassi ja stadadioikkeama: Va( X) D ( X) q D( X) q S TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Beoulli-jakauma Odotusavo ja vaiassi johto Beoulli-jakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia Suoaa diskeeti satuaismuuttuja odotusavo ja vaiassi määitelmistä saadaa: E( X ) P( X ) + P( X ) + q E( X ) P( X ) + P( X ) + q Va( X) E( X ) [E( X)] ( ) q Olkoo X Beoulli() Beoulli-jakauma odotusavo E(X) yhtyy taahtuma A todeäköisyytee P(A). Beoulli-jakauma vaiassi Va(X) q ( ) saavuttaa maksimisa /4 ku q /. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Beoulli-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Beoulli-jakauma Beoulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Kuva oikealla esittää Beoullijakauma Beoulli(.8) istetodeäköisyysfuktiota f( ) q.8, q isteissä, Jakauma odotusavo: E( X ).8.8.6.4. Beoulli(.8) E(X).8 Olkoot X, X,, X iiumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beoulli-jakaumaa aametilla : X, X,, X X i ~ Beoulli(), i,,, Tällöi satuaismuuttujie X, X,, X summa Y X + X + + X oudattaa biomijakaumaa aametilla (, ): Y ~ Bi(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Beoulli-jakauma Beoulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Tulos eustellaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. Huomautuksia: Kaikilla Beoulli-jakaumilla o oltava sama taahtuma A todeäköisyyttä kuvaava aameti. Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. Beoulli-jakauma Beoulli-kokeet ja diskeetit todeäköisyysjakaumat / Useat diskeetit todeäköisyysjakaumat saadaa toistamalla samaa Beoulli-koetta ii, että koetoistot ovat iiumattomia: (i) Biomijakauma saadaa määäämällä todeäköisyys sille, että taahtuma A sattuu ketaa, ku koetta toistetaa ketaa. (ii) Geometie jakauma saadaa määäämällä todeäköisyys sille, että taahtuma A sattuu esimmäise kea. koetoistossa. (iii) Negatiivie biomijakauma saadaa määäämällä todeäköisyys sille, että taahtuma A sattuu. kea. koetoistossa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Beoulli-jakauma Beoulli-kokeet ja diskeetit todeäköisyysjakaumat / Poisso-jakauma voidaa johtaa biomijakauma ajaavoa, ku koetoistoje lukumäää aetaa tiettyje ehtoje vallitessa kasvaa ajatta. Poisso-todeäköisyys voidaa tulkita todeäköisyydeksi sille, että haviaie taahtuma A sattuu ketaa itkässä toistokoesajassa. Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma >> Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3
TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Biomijakauma Avaisaat Biomijakauma Beoulli-jakauma Beoulli-koe Odotusavo Otata takaisiaolla Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi Biomijakauma Biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa, jossa o kiiteä, etukätee äätetty luku. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia. Takastellaa otosavauude S taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että P(A) P(A c ) P(A) q Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Taahtuma A esiitymiste lukumäää -ketaisessa Beoulli-kokeessa TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Biomijakauma Biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ) q,, q < <,,,, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa biomijakaumaa aameteiaa ja. Mekitä: X Bi(, ) Biomijakauma Biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio 3/3 Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska biomikaava mukaa f( ) q ( q) + Site biomijakauma istetodeäköisyydet f( ) q,,,,, toteuttavat yhtälö + + + + q TKK (c) Ilkka Melli (4) 33 TKK (c) Ilkka Melli (4) 34 Biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto / Biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto / Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia ja takastellaa taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että toistokoesaja tuloksea saadaa taahtumajoo c c AAA AA A jossa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c. Koska P(A) P(A c ) P(A) q takasteltava taahtumajoo todeäköisyydeksi saadaa iiumattomie taahtumie tulosääö ojalla qq q Eilaisia jooja, joissa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c, o kl Eilaiset taahtumajoot ovat toisesa oissulkevia. Toisesa oissulkevie taahtumie yhteelaskusääö mukaa todeäköisyys saada sellaie joo, jossa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c saadaa laskemalla eilaiste tällaiste jooje todeäköisyydet yhtee. Site kysytyksi todeäköisyydeksi saadaa f ( ) q, q,,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) 35 TKK (c) Ilkka Melli (4) 36
TKK (c) Ilkka Melli (4) 37 Biomijakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Biomijakauma Odotusavo johto / Olkoo X Bi(, ) Odotusavo: E( X) Vaiassi ja stadadioikkeama: Va( X) D ( X) q D( X) q Olkoo X Bi(, ) Tällöi! E( X) f( ) ( )!( )!! ( )!( )!! ( ) ( )!( )! ( )! ( ) ( )!( )! TKK (c) Ilkka Melli (4) 38 Biomijakauma Odotusavo johto / Biomijakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia Kalvo / yhtälöketju viimeie yhtälö eustuu siihe, että ( )! ( ) ( )!( )! Tämä seuaa siitä, että summassa lasketaa yhtee kaikki biomijakauma Bi(, ) istetodeäköisyydet ( )! f ( ) ( ) ( )!( )! Olkoo X Bi(, ) Biomijakauma odotusavo E( X) o suoaa veaollie sekä toistokeide lukumääää että taahtuma A todeäköisyytee P(A). Biomijakauma vaiassi Va(X) q ( ) saavuttaa maksimisa /4 ku q /. TKK (c) Ilkka Melli (4) 39 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Kuva oikealla esittää Biomijakauma.4 Bi(, /3) Bi(, /3).3 istetodeäköisyysfuktiota. f( ) q., / 3, q isteissä,,,, Jakauma odotusavo: E( X ) 4 E(X) 4 3 4 5 6 7 8 9 Biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja: Taaukset < /, /, > /.3.5..5..5 Bi(, /4) Bi(, /) Bi(, 3/4).3.3 3 4 5 6 7 8 9.5..5..5 3 4 5 6 7 8 9 < /: Biomijakauma o vio oikealle. /: Biomijakauma o symmetie. > /: Biomijakauma o vio vasemmalle..5..5..5 3 4 5 6 7 8 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
TKK (c) Ilkka Melli (4) 43 Biomijakauma Biomijakauma ja Beoulli-jakauma /3 Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa, jossa o kiiteä, etukätee äätetty luku. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia ja takastellaa taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että P(A) P(A c ) q Biomijakauma Biomijakauma ja Beoulli-jakauma /3 Määitellää diskeetit satuaismuuttujat X i, i,,, :, jos A taahtuu kokeessa i X i, jos A ei taahdu kokeessa i Tällöi X i Beoulli(), i,,,. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X : X Taahtuma A esiitymiste lukumäää -ketaisessa Beoulli-kokeessa Tällöi X Bi(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 44 Biomijakauma Biomijakauma ja Beoulli-jakauma 3/3 Selvästi X Xi i koska luku esiityy summassa X i täsmällee yhtä mota ketaa kui taahtuma A sattuu : koetoisto aikaa. Tämä mekitsee sitä, että biomijakautuut satuaismuuttuja voidaa esittää iiumattomie Beoullijakautueide satuaismuuttujie summaa. Huomautus: Biomi- ja Beoulli-jakauma yhteyttä voidaa käyttää aua biomijakauma odotusavo ja vaiassi määäämisessä; ks. >. TKK (c) Ilkka Melli (4) 45 Biomijakauma Biomijakauma odotusavo ja vaiassi johto sekä Beoulli-jakauma / Olkoot X i, i,,, iiumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beoulli-jakaumaa aametilla : X, X,, X X i Beoulli(), i,,, Olkoo X X i i Tällöi X Bi(, ) Huomautus: Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) 46 Biomijakauma Biomijakauma odotusavo ja vaiassi johto sekä Beoulli-jakauma / Satuaismuuttuja X X i odotusavo o E( X ) EXi E( Xi) i i i koska satuaismuuttujie summa odotusavo o satuaismuuttujie odotusavoje summa. Satuaismuuttuja X X i vaiassi o D( X ) DX i D( X i) q q i i i koska iiumattomie satuaismuuttujie summa vaiassi o satuaismuuttujie vaiassie summa. Biomijakauma Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Olkoot X, X,, X k iiumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat biomijakaumia aametei (, ), (, ),, ( k, ): X, X,, X k X i ~ Bi( i, ), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie X, X,, X k summa Y X + X + + X k oudattaa biomijakaumaa aametei ( + + + k, ): Y ~ Bi( + + + k, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 47 TKK (c) Ilkka Melli (4) 48
TKK (c) Ilkka Melli (4) 49 Biomijakauma Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Tulos eustellaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. Huomautuksia: Kaikilla biomijakaumilla o oltava sama taahtuma A todeäköisyyttä kuvaava aameti, mutta se sijaa toistokokeide lukumääää kuvaava aameti saa vaihdella jakaumasta toisee. Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla /5 Olkoo eusjouko S alkioide lukumäää (S) N Poimitaa eusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, joka alkioide lukumäää o (B) käyttämällä oimiassa otataa takaisiaolla. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla /5 Otata takaisiaolla: (i) Peusjoukosta S oimitaa alkiot osajoukkoo B yksi keallaa aomalla. (ii) Poimittu alkio alautetaa aia ee uude alkio aomista takaisi eusjoukkoo S. (iii) Jokaisella eusjouko S alkiolla o jokaisessa avoassa sama todeäköisyys /N tulla oimituksi osajoukkoo B. Osajoukko B muodostaa yksiketaise satuaisotokse eusjoukosta S. Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla 3/5 Otaassa takaisiaolla avota voidaa toteuttaa seuaavalla tavalla: () Paaa uuaa jokaista eusjouko S alkiota vastaava aaliu. () Sekoitetaa avat huolellisesti. (3) Nostetaa uuasta aaliu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Palautetaa ostettu aaliu uuaa. (5) Palataa vaiheesee (), kues haluttu otoskoko o saavutettu. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla 4/5 Huomautuksia otaasta takaisiaolla: (i) Jokaise eusjouko S alkio todeäköisyys tulla valituksi otoksee säilyy samaa koko oimia aja. (ii) Jokaisella eusjouko S samakokoisella osajoukolla o sama todeäköisyys tulla valituksi otokseksi. (iii) Sama eusjouko S alkio voi tulla valituksi useita ketoja otoksee. Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla 5/5 Olkoo A eusjouko osajoukko, joka alkioide lukumäää o (A) Tällöi todeäköisyys oimia alkio joukosta A o P( A) N Otaassa takaisiaolla otoksee oimittuje A- tyyiste alkioide lukumäää X o diskeetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa aameteilla ja : X Bi(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 53 TKK (c) Ilkka Melli (4) 54
TKK (c) Ilkka Melli (4) 55 Diskeettejä jakaumia Geometie jakauma Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma >> Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma Avaisaat Geometie jakauma Beoulli-koe Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 56 Geometie jakauma Geometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Toistetaa samaa Beoulli-koetta. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia. Takastellaa otosavauude S taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että P(A) P(A c ) P(A) q Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Tehtyje Beoulli-kokeide lukumäää, ku A sattuu esimmäise kea TKK (c) Ilkka Melli (4) 57 Geometie jakauma Geometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ) q,< <, q,,3, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa geometista jakaumaa aametiaa. Mekitä: X Geom() Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska geometise saja summa kaava mukaa f( ) q q q TKK (c) Ilkka Melli (4) 58 Geometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto / Geometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto / Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia ja takastellaa taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Takastellaa toistokoesajaa, jossa taahtuma A sattuu esimmäise kea :essä kokeessa. Toistokoesaja tuloksea o tällöi ollut taahtumajoo c c c c A A A A A jossa o esi sattuut ( ) kl taahtumia A c ja sitte taahtuma A. Koska P(A) P(A c ) P(A) q takasteltava taahtumajoo todeäköisyydeksi saadaa iiumattomie taahtumie tulosääö ojalla qqq q q,,3, mikä o kysytty todeäköisyys. TKK (c) Ilkka Melli (4) 59 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Geometie jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Geometie jakauma Odotusavo johto /4 Olkoo X Geom() Odotusavo: E( X ) Vaiassi ja stadadioikkeama: q Va( X) D ( X) D( X ) q Olkoo X Geom() Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f ( ) q, q,,3, Pistetodeäköisyyksie f(),,, 3, summa o S( ) f( ) ( ) Satuaismuuttuja X odotusavo o E( X ) f ( ) ( ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Geometie jakauma Odotusavo johto /4 Geometie jakauma Odotusavo johto 3/4 Summa S() deivaatta muuttuja suhtee o S( ) ( )( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) Ottamalla huomioo yhtälöt ( ) S( ) ( ) E( ) X saadaa yhtälö S( ) E( X ) + + E( X ) + ( ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 63 TKK (c) Ilkka Melli (4) 64 Geometie jakauma Odotusavo johto 4/4 Geometie jakauma Odotusavo omiaisuuksia Geometise jakauma odotusavo E() toteuttaa siis yhtälö E( X ) + ( ) Site geometise jakauma odotusavo o E( X ) Olkoo X Geom() Geometise jakauma odotusavo E( X ) o käätäe veaollie taahtuma A todeäköisyytee P(A). Site taahtumaa A saa odottaa keskimääi sitä kauemmi mitä ieemi o taahtuma A todeäköisyys. TKK (c) Ilkka Melli (4) 65 TKK (c) Ilkka Melli (4) 66
TKK (c) Ilkka Melli (4) 67 Geometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Geometie jakauma Geometise jakauma uohtamisomiaisuus Kuva oikealla esittää geometise jakauma Geom(/3) istetodeäköisyysfuktiota f( ) q /3, q isteissä,,, Jakauma odotusavo: E( X ) 3.5.4.3.. Geom(/3) 3 4 5 6 7 8 9 E(X) 3 Olkoo X Geom() Tällöi P(X a + b X a) P(X + b) Site geometisella jakaumalla o seuaava uohtamisomiaisuus: Se, että taahtuma A sattumista o jouduttu odottamaa a koetoistoa, ei vaikuta todeäköisyytee joutua odottamaa b koetoistoa lisää. TKK (c) Ilkka Melli (4) 68 Diskeettejä jakaumia Negatiivie biomijakauma Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma >> Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma Avaisaat Beoulli-koe Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 69 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Negatiivie biomijakauma Negatiivie biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Toistetaa samaa Beoulli-koetta. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia. Takastellaa otosavauude S taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että P(A) P(A c ) P(A) q Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Tehtyje Beoulli-kokeide lukumäää, ku A sattuu. kea Negatiivie biomijakauma Negatiivie biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ) q,, q < <,,3, ;, +, +, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa egatiivista biomijakaumaa aameteiaa ja. Mekitä: X NegBi(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7
TKK (c) Ilkka Melli (4) 73 Negatiivie biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /3 Negatiivie biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /3 Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia ja takastellaa taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Takastellaa toistokoesajaa, jossa taahtuma A sattuu. kea. kokeessa. Olkoo toistokoesaja tuloksea ollut taahtumajoo c c c AAA AA AA jossa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c ja, jossa taahtuma A o viimeiseä. Koska P(A) P(A c ) P(A) q takasteltava taahtumajoo todeäköisyydeksi saadaa iiumattomie taahtumie tulosääö ojalla qq q q Eilaiste sellaiste jooje, joissa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c ja joissa A o viimeiseä, lukumäää o TKK (c) Ilkka Melli (4) 74 Negatiivie biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto 3/3 Negatiivie biomijakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Eilaiset taahtumajoot ovat toisesa oissulkevia. Toisesa oissulkevie taahtumie yhteelaskusääö mukaa todeäköisyys saada sellaie joo, jossa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c ja jossa taahtuma A o viimeiseä, saadaa laskemalla eilaiste tällaiste jooje todeäköisyydet yhtee. Koska ko. jooje lukumäää o saadaa kysytyksi todeäköisyydeksi f( ) q, q,,3, ;, +, + Olkoo X NegBi(, ) Odotusavo: E( X ) Vaiassi ja stadadioikkeama: q Va( X) D ( X) D( X ) q TKK (c) Ilkka Melli (4) 75 TKK (c) Ilkka Melli (4) 76 Negatiivie biomijakauma Odotusavo johto /4 Negatiivie biomijakauma Odotusavo johto /4 Olkoo X NegBi(, ) Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f ( ) q, q, +, +, Pistetodeäköisyyksie f(),, +, +, summa o S( ) f( ) ( ) Satuaismuuttuja X odotusavo o E( X ) f ( ) ( ) Summa S() deivaatta muuttuja suhtee o S( ) ( ) ( )( ) ( )( ) + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + + ( ) + + TKK (c) Ilkka Melli (4) 77 TKK (c) Ilkka Melli (4) 78
TKK (c) Ilkka Melli (4) 79 Negatiivie biomijakauma Odotusavo johto 3/4 Negatiivie biomijakauma Odotusavo johto 4/4 Ottamalla huomioo yhtälöt ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) E( X ) saadaa yhtälö S( ) E( X ) + + E( X ) + ( ) Negatiivise biomijakauma odotusavo E() toteuttaa siis yhtälö E( X ) + ( ) Site egatiivise biomijakauma odotusavo o E( X ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Negatiivie biomijakauma Odotusavo omiaisuuksia Negatiivie biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Olkoo X NegBi(, ) Negatiivise biomijakauma odotusavo E( X ) o suoaa veaollie lukuu ja käätäe veaollie taahtuma A todeäköisyytee P(A). Site. taahtumaa A saa odottaa keskimääi sitä kauemmi mitä suuemi o ja mitä ieemi o taahtuma A todeäköisyys. Kuva oikealla esittää egatiivise biomijakauma NegBi(3, /3) istetodeäköisyysfuktiota f( ) q 3, /3, q isteissä 3, 4,, 6 Jakauma odotusavo: E( X ) 9..5..5 NegBi(3, /3) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 E(X) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Negatiivie biomijakauma Negatiivie biomijakauma ja geometie jakauma Olkoo X NegBi(, ) Jos, ii satuaismuuttuja X oudattaa geometista jakaumaa Geom(): X Geom() Geometie jakauma o site egatiivise biomijakauma eikoistaaus. Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma >> Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) 83 TKK (c) Ilkka Melli (4) 84
TKK (c) Ilkka Melli (4) 85 Hyegeometie jakauma Avaisaat Biomijakauma Hyegeometie jakauma Odotusavo Otata ilma takaisiaoa Otatasuhde Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Olkoo eusjouko S alkioide lukumäää (S) N Takastellaa eusjouko S ositusta joukkoihi A ja A c. Oletetaa, että joukossa A S o (A) alkiota. Tällöi jouko A komlemetissa A c o (A c ) N alkiota. TKK (c) Ilkka Melli (4) 86 Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Poimitaa eusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, joka alkioide lukumäää o (B) käyttämällä oimiassa otataa ilma takaisiaoa. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Osajoukkoo B tulleide A: alkioide lukumäää Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o N f( ) P( X ) N ma[, ( N )] mi(, ) Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa hyegeometista jakaumaa aameteilla N, ja. Mekitä: X HyeGeom(N,, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 87 TKK (c) Ilkka Melli (4) 88 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /4 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /4 Olkoo S otosavauus ja (S) N Olkoo A S Tällöi {A, A c } o otosavauude S ositus. Olkoo (A) ja (A c ) N Olkoo B S ja (B) Otosavauude S ositus {A, A c } idusoi ositukse joukkoo B: B (B A) (B A c ) Olkoo (B A) (B A c ) A B B A B A c A c S N: alkio joukosta S voidaa oimia : alkio osajoukko B N ei tavalla. : alkio joukosta A voidaa oimia alkiota ei tavalla. (N ): alkio joukosta A c voidaa oimia alkiota N ei tavalla. A B B A B A c A c S TKK (c) Ilkka Melli (4) 89 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9
TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto 3/4 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto 4/4 : alkio joukosta A voidaa oimia alkiota iiumatta siitä, mitkä alkiota oimitaa (N ): alkio joukosta A c. Ketolaskueiaattee ojalla alkiota voidaa oimia joukosta S ii, että saadaa alkiota joukosta A ja (N ) alkiota joukosta A c N ei tavalla. A B B A B A c A c S Soveltamalla klassise todeäköisyyde määitelmää saadaa: N P( X ) N A B B A B A c A c S TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Hyegeometie jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Hyegeometie jakauma Odotusavo johto /3 Olkoo X HyeGeom(N,, ) Odotusavo: E( X) N Vaiassi ja stadadioikkeama: N Va( X) D ( X) N N N N D( X) N N N Olkoo X HyeGeom(N,, ) Koska! ( )!!( )! ( )!( )! ii N N E( X) f( ) N N TKK (c) Ilkka Melli (4) 93 TKK (c) Ilkka Melli (4) 94 Hyegeometie jakauma Odotusavo johto /3 Hyegeometie jakauma Odotusavo johto 3/3 Koska N N! N ( N )! N N!( N )! ( )!( N )! ii N N E( X) N N N N N TKK (c) Ilkka Melli (4) 95 Kalvo /3 yhtälöketju viimeie yhtälö eustuu siihe, että N N Tämä seuaa siitä, että summassa lasketaa yhtee kaikki hyegeometise jakauma HyeGeom(N,, ) istetodeäköisyydet N f( ) N TKK (c) Ilkka Melli (4) 96
TKK (c) Ilkka Melli (4) 97 Hyegeometie jakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia /3 Hyegeometie jakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia /3 Olkoo X HyeGeom(N,, ). Hyegeometise jakauma odotusavo o E( X) N Odotusavo o suoaa veaollie sekä eusjouko S osajouko B ( otos) alkioide lukumääää ( ) että tyyi A alkioide lukumääää eusjoukossa S ( ). Odotusavo o käätäe veaollie eusjouko S alkioide lukumääää ( N). Olkoo eusjouko S alkioide lukumäää (S) N Olkoo jouko A S alkioide lukumäää (A) Poimitaa eusjoukosta S otaalla ilma takaisiaoa osajoukko B, joka alkioide lukumäää o (B) Tällöi diskeetti satuaismuuttuja X Osajoukkoo B tulleide A: alkioide lukumäää oudattaa hyegeometista jakaumaa aameteilla N,, : X HyeGeom(N,, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 98 Hyegeometie jakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia 3/3 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Todeäköisyys oimia yksi alkio joukosta A o A ( ) P( A) S ( ) N Hyegeometise jakauma odotusavo voidaa kijoittaa todeäköisyyde avulla muotoo E( X ) Hyegeometise jakauma vaiassi voidaa kijoittaa todeäköisyyde avulla muotoo N D( X) ( ) N Kuva oikealla esittää hyegeometise jakauma HyeGeom(,, ) istetodeäköisyysfuktiota N f( ) N N,, isteissä,,,, Jakauma odotusavo: E( X).4 N.4.3.. HyeGeom(,, ) 3 4 5 6 7 8 9 E(X).4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 99 TKK (c) Ilkka Melli (4) Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa /5 Olkoo eusjouko S alkioide lukumäää (S) N Poimitaa eusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, joka alkioide lukumäää o (B) käyttämällä oimiassa otataa ilma takaisiaoa. TKK (c) Ilkka Melli (4) Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa /5 Otata ilma takaisiaoa: (i) Peusjoukosta S oimitaa alkiot osajoukkoo B yksi keallaa aomalla. (ii) Poimittuja alkioita ei alauteta takaisi eusjoukkoo S. (iii) Ku otoksee oimitaa alkiota k, k,,, jokaisella eusjoukossa S jäljellä olevalla alkiolla o sama todeäköisyys /(N k + ) tulla oimituksi osajoukkoo B. Osajoukko B muodostaa yksiketaise satuaisotokse eusjoukosta S. TKK (c) Ilkka Melli (4)
TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa 3/5 Otaassa ilma takaisiaoa avota voidaa toteuttaa seuaavalla tavalla: () Paaa uuaa jokaista eusjouko S alkiota vastaava aaliu. () Sekoitetaa avat huolellisesti. (3) Nostetaa uuasta aaliu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Ei alauteta ostettua aaliua uuaa. (5) Palataa vaiheesee (), kues haluttu otoskoko o saavutettu. Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa 4/5 Huomautuksia otaasta ilma takaisiaoa: (i) Peusjouko S alkio todeäköisyys tulla valituksi otoksee muuttuu oimia aikaa. (ii) Jokaisella eusjouko S samakokoisella osajoukolla o kuiteki sama todeäköisyys tulla valituksi otokseksi. (iii) Sama eusjouko S alkio voi tulla valituksi vai kea otoksee. TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa 5/5 Olkoo A eusjouko S osajoukko, joka alkioide lukumäää o (A) Todeäköisyys oimia yksi alkio joukosta A o A ( ) P( A) S ( ) N Otaassa takaisiaolla otoksee, joka koko o, oimittuje A-tyyiste alkioide lukumäää X o diskeetti satuaismuuttuja, joka oudattaa hyegeometistä jakaumaa aameteilla N,, : X HyeGeom(N,, ) Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma vs biomijakauma /3 Hyegeometise jakauma todeäköisyydet ovat lähellä biomitodeäköisyyksiä, jos otatasuhde N Otatasuhde, jos otoskoko o iei eusjouko kokoo N ähde. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma vs biomijakauma /3 Olkoo X HyeGeom(N,, ) Mekitää /N, jolloi N. Site X HyeGeom(N, N, ) Aetaa N +. Tällöi hyegeometie jakauma HyeGeom(N, N, ) lähestyy biomijakaumaa Bi(, ): lim f ( ) f ( ),,,,, N + HyeGeom( NN,, ) Bi (, ) Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma vs biomijakauma 3/3 Hyegeometise jakauma ja biomijakauma yhteys äkyy myös siiä, että jakaumilla o sama odotusavo ja vaiassit eoavat vai multilikatiivisella tekijällä N N jota saotaa ääellise eusjouko kojaustekijäksi. Kojaustekijä vaikuttaa hyegeometise jakauma vaiassii sitä vähemmä mitä ieemi o otatasuhde /N: N, jos N N TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Hyegeometie jakauma Otata takaisiaolla vs otata ilma takaisiaoa Biomijakauma muodostaa todeäköisyysmalli otaalle takaisiaolla. Hyegeometie jakauma muodostaa todeäköisyysmalli otaalle ilma takaisiaoa. Eo otaa takaisiaolla ja otaa ilma takaisiaoa välillä o mekityksetö, jos otatasuhde /N o iei tai eusjoukko o ääetö. Käytäössä otata tehdää lähes aia ilma takaisiaoa, mutta laskutoimituksissa käytetää usei kaavoja, jotka eustuvat otataa takaisiaolla. Edellä esitety mukaa tästä johtuva vihe o kuiteki yleesä mekityksetö. Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma >> Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) Poisso-jakauma Avaisaat Biomijakauma Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Poisso-jakauma Stadadioikkeama Vaiassi Poisso-jakauma Poisso-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Toistetaa samaa satuaiskoetta. Oletetaa, että toistot ovat toisistaa iiumattomia. Takastellaa joki taahtuma A sattumista toistoje aikaa. Oletetaa, että taahtumie keskimäääie lukumäää aika- tai tilavuusyksikköä kohde o λ. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Taahtuma A esiitymiste lukumäää aika- tai tilavuusyksikköä kohde TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Poisso-jakauma Poisso-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o muotoa e λ λ f( ) P( X ), λ >!,,, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa Poisso-jakaumaa aametiaa λ. Mekitä: X Poisso(λ) Poisso-jakauma Poisso-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio 3/3 Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska eksoettifuktio määitelmä mukaa λ e λ λ λ λ λ f( ) e e e!! TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Poisso-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /3 Poisso-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /3 Takastellaa joki taahtuma A sattumista sama satuaiskokee toistoje aikaa. Oletukset: () Toistot ovat toisistaa iiumattomia. () P(Yksi taahtuma A lyhyellä aikavälillä dt) νdt (3) Aikaväli o dt o ii lyhyt, että todeäköisyys P(k kl taahtumia A aikavälillä dt, k > ) o häviävä iei eli ketaluokkaa o(t). Mekitää: f(; t) P( kl taahtumia A aikavälillä [, t]) Oletuste ()-(3) ätiessä aikavälillä [, t + dt] voi sattua kl taahtumia A kahdella toisesa oissulkevalla tavalla (t todeäköisyys): () kl taahtumia A ajahetkee t meessä; t f(; t) Ei taahtumia A aikavälillä dt; t νdt Lisäksi ämä ovat taahtumia toisistaa iiumattomia. () ( ) kl taahtumia A ajahetkee t meessä; t f( ; t) Yksi taahtuma A aikavälillä dt; t νdt Lisäksi ämä ovat taahtumia toisistaa iiumattomia. TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Poisso-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto 3/3 Poisso-jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Riiumattomie taahtumie tulosääö ja toisesa oissulkevie taahtumie yhteelaskusääö mukaa f(; t + dt) f(; t)( νdt) + f( ; t)νdt Saadaa eotusosamäää f ( t ; + dt) f( t ; ) ν [ f ( ; t) f( ; t) ] dt Atamalla dt, saadaa (: suhtee) diffeessiyhtälö df ( ; t) ν [ f ( ; t) f( ; t) ] dt Voidaa osoittaa, että tämä diffeessiyhtälö atkaisua o t e ν ( νt) f( ),,,,! Mekitsemällä νt λ saadaa Poisso-jakauma istetodeäköisyysfuktio. Olkoo X Poisso(λ) Odotusavo: E( X ) λ Vaiassi ja stadadioikkeama: Va( X) D ( X) λ D( X ) λ TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Poisso-jakauma Odotusavo johto Poisso-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Olkoo X Poisso(λ) Site E( X) f( ) λ e λ! λ λ e! λ λ λe ( )! λ λ λe e λ Kuva oikealla esittää Poissojakauma Poisso(5) istetodeäköisyysfuktiota e λ λ f( )! λ 5 isteissä,,,, Jakauma odotusavo: E( ) λ 5.3.. Poisso(5) 3 4 5 6 7 8 9 E(X) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4)
TKK (c) Ilkka Melli (4) Poisso-jakauma Poisso-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Olkoot X, X,, X k iiumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat Poisso-jakaumia aametei λ, λ,, λ k : X, X,, X k X i ~ Poisso(λ i ), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie X, X,, X k summa Y X + X + + X k oudattaa Poisso-jakaumaa aametilla λ + λ + + λ k : Y ~ Poisso(λ + λ + + λ k ) Poisso-jakauma Poisso-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Tulos eustellaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. Huomautuksia: Jokaisella Poisso-jakaumalla saa olla ei aameti. Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma /3 Biomitodeäköisyydet ovat lähellä Poissotodeäköisyyksiä, jos o suui ja o iei. Site Poisso-jakauma kuvaa haviaiste taahtumie todeäköisyyksiä itkissä toistokoesajoissa. Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma /3 Olkoo X Bi(, ) Olkoo λ/, jolloi λ. Aetaa + ja ii, että λ. Tällöi biomijakauma Bi(, ) lähestyy Poissojakaumaa Poisso(λ): lim f ( ) f ( ),,,, Bi(, ) Poisso( λ ) λ Huomautus: Ehto λ voidaa kovata lievemmällä ehdolla λ. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma 3/3 Poisso-jakauma ja biomijakauma välie yhteys äkyy myös siiä, että jakaumie odotusavot ovat lähellä toisiaa, jos o suui ja o iei: E( X) µ λ Tällöi myös jakaumie vaiassit ovat lähellä toisiaa: D( X ) µ λ q koska q Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma: Todistus /3 Olkoo X Bi(, ). Tällöi f X ( ) q, q,,,,, Oletetaa, että + ja samaa aikaa ii, että λ jossa λ > o vakio. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma: Todistus /3 Ottamalla huomioo, että λ ja q, voimme kijoittaa fx ( ) q ( )( ) ( + ) ( ) ( )! ( )( ) ( + ) λ ( )! ( ) λ ( )! ( ) Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma: Todistus 3/3 Kijoitetaa / / ( ) [( ) ] [( ) ] Luvu e määitelmä mukaa () lim[( ) / ] λ λ e λ Lisäksi ätee: () lim (3) lim( ) Yhdistämällä tulokset (), () ja (3) saadaa haluttu loutulos: lim fx ( ) λ λ e λ! TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Poisso-jakauma Poisso-osessi Poisso-jakauma Poisso-osessi ja eksoettijakauma Takastellaa joki taahtuma sattumista jatkuvalla aikavälillä, joka ituus o t. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Niide taahtumie lukumäää, jotka sattuvat aikavälillä [, t] Soivi oletuksi (ks. edellä) satuaismuuttuja X oudattaa Poisso-jakaumaa aametiaa νt: X Poisso(νt) Paameti νt kuvaa taahtumaitesiteettiä eli taahtumie keskimäääistä lukumääää aikavälillä, joka ituus o t. Olkoo X Poisso(νt) Määitellää jatkuva satuaismuuttuja Y: Y Esimmäise taahtuma sattumisaika Taahtumie väliaika Satuaismuuttuja Y oudattaa eksoettijakaumaa aametiaa ν. Ks. takemmi lukua Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Poisso-jakauma Poisso-osessi: Esimekki Takastellaa adioaktiivista hajoamista. Olkoo satuaismuuttuja X aikavälillä [, t] hajoavie atomie lukumäää Tällöi X Poisso(νt) jossa ν o alkuaiekohtaie aameti, joka kuvaa keskimääi aikayksikköä kohde hajoavie atomie lukumääää. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3