Estimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Estimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku"

Transkriptio

1 Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso, Otos, Otostieto, Parametri, Posteriorijakauma, Priorijakauma, Prioritieto, Testaus, Todeäköisyys, Todeäköisyysjakauma, Uskomus, Väliestimoiti 6.2. Bayesi kaava Bayesi kaava, Diskreetti jakauma, Ehdollie jakauma, Ehdollie todeäköisyys, Jatkuva jakauma, Kokoaistodeäköisyyde kaava, Ositus, Pistetodeäköisyysfuktio, Posterioritodeäköisyys, Prioritodeäköisyys, Tiheysfuktio 6.3. Priorijakaumat ja posteriorijakaumat Bayesi kaava, Bayes uskottavuus, Diskreetti jakauma, Ehdollie jakauma, Epäiformatiivie priorijakauma, Epäoleellie priorijakauma, Jatkuva jakauma, Kojugaattiperhe, Kojugaattipriorijakauma, Otos, Otostieto, Parametri, Posteriorijakauma, Priorijakauma, Prioritieto, Uskottavuusfuktio 6.4. Bayes estimoiti Estimaattori, Estimoiti, Mediaai, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tuusluku 6.5. Bayes testit Hylkäysalue, Nollahypoteesi, Parametri, Posteriorijakauma, Testaus, Testi, Testisuure, Vaihtoehtoie hypoteesi 6.6. Bayes luottamusvälit Bayeslaie optimaalisuus, Luottamustaso, Luottamusväli, Parametri, Peittotodeäköisyys, Posteriorijakauma, Uskottavuusjoukko, Uskottavuustodeäköisyys, Uskottavuusväli Ilkka Melli (2007) 1/13

2 Ilkka Melli (2007) 2/13

3 6.1. Johdato Klassisessa eli frekvetistisessä lähestymistavassa tilastollisee päättelyy oletetaa, että havaiot oudattavat jakaumaa, joka ideksoiva parametri o kiiteä, ei satuaie vakio. Klassisessa lähestymistavassa ajatellaa, että otos sisältää kaike parametria koskeva iformaatio ja site kaikki parametria koskevat johtopäätökset voidaa perustaa otoksee ja se jakaumaa. Lisäksi klassisessa lähestymistavassa estimoitii ja testauksee sovelletaa todeäköisyyde frekvessitulkitaa siitä imitys frekvetistie lähestymistapa: (i) (ii) Väliestimoiissa luottamusväli luottamustasolle 1 α aetaa seuraava tulkita: Jos otataa toistetaa, ii luottamusväli peittäisi parametri kiiteä, mutta tutemattoma arvo (1 α) %:ssa otoksia. Testauksessa testi merkitsevyystasolle α aetaa seuraava tulkita: Jos otataa toistetaa tilateessa, ollahypoteesi H 0 koko aja pätee, ii se jouduttaisii hylkäämää virheellisesti α %:ssa otoksia. Bayeslaisessa lähestymistavassa tilastollisee päättelyy ajatellaa, että parametri o satuaismuuttuja, joka arvoje vaihtelua voidaa kuvata todeäköisyysjakaumalla, jota kutsutaa priorijakaumaksi. Priorijakauma o subjektiivie jakauma, joka kuvastaa tutkimukse tekijä uskomuksia para metri käyttäytymisestä. Tutkimukse tekijä o pystyttävä formuloimaa priorijakaumasa ilma otostietoje apua (so. ee havaitoje keräämistä). Otokse poimimise jälkee parametri priorijakauma päivitetää s. posteriorijakaumaksi käyttämällä Bayesi kaavaa. Posteriorijakauma yhdistää parametria koskeva prioritiedo ja otostiedo toisiisa. Bayeslaisessa lähestymistavassa kaikki parametria koskevat johtopäätökset voidaa perustaa se posteriorijakaumaa. Matemaattisissa tieteissä ei yleesä ole koulukutia. Tilastotiede o kuiteki jakautuut frekvetisteihi ja bayeslaisii. Frekvetistisestä äkökulmasta prioritiedo liittämie mallii tuo tutkimuksee mukaa epätoivottava subjektiivise elemeti. Lisäksi vaikka prioritietoa parametrista olisiki, se formuloiti priorijakauma muodossa saattaa olla hyvi vaikeata. Bayeslaiset ovat huomauttaeet tähä, että o parempi pyrkiä formulomaa tutkija subjektiiviset käsitykset priorijakauma muotoo, kui yrittää piilottaa e mato alle. Lisäksi bayeslaiset ovat kiiittäeet huomiota siihe, että todeäköisyyde frekvessitulkia käyttöö estimoiissa ja testauksessa sisältyy hakalasti tulkittavaa puhetta siitä, mitä tapahtuu, jos otataa toistetaa, ku todellisuudessa päättelyssä käytettävissä o vai yksi aioa otos se otos, joka o poimittu Bayesi kaava Ositus Jouko S osajoukot B 1, B 2,, B muodostavat jouko S ositukse, jos seuraavat ehdot pätevät: Ilkka Melli (2007) 3/13

4 (i) B, i 1,2, K, i (ii) B B, i j i (iii) S B1 B2 L B j Kokoaistodeäköisyyde kaava Olkoo A epätyhjä otosavaruude S osajoukko: A S, A Oletetaa, että joukot B 1, B 2,, B muodostavat otosavaruude S ositukse. Tällöi pätee kokoaistodeäköisyyde kaava Pr( A) Pr( Bi) Pr( A Bi) i 1 Bayesi kaava Olkoo A epätyhjä otosavaruude S osajoukko: Oletetaa, että joukot A S, A B 1, B 2,, B muodostavat otosavaruude S ositukse. Tällöi pätee Bayesi kaava Pr( Bi)Pr( A Bi) Pr( Bi A), i 1,2, K, Pr( B)Pr( A B) i 1 i i Bayesi kaava kertoo mite prioritodeäköisyydet Pr(B i ) (lat. prior edeltävä) voidaa tapahtuma A havaitsemise jälkee päivittää posterioritodeäköisyyksiksi Pr(B i A) (lat. posterior jälkee tuleva). Bayesi kaava diskreeteille todeäköisyysjakaumille Olkoo f XY (x,y) diskreettie satuaismuuttujie X ja Y yhteisjakauma pistetodeäköisyysfuktio. Olkoo lisäksi f Y (y) satuaismuuttuja Y reuajakauma pistetodeäköisyysfuktio ja f X Y (x y) satuaismuuttuja x ehdollise jakauma (ehdolla y) pistetodeäköisyysfuktio. Tällöi f ( x, y) f ( x y) f ( y) XY X Y Y ja satuaismuuttuja y ehdollise jakauma (ehdolla x) pistetodeäköisyysfuktio f(y x) saadaa kaavasta f YX fx Y( x y) fy( y) ( y x) f ( x) X Ilkka Melli (2007) 4/13

5 f ( x) f ( x y) f ( y) X X Y Y y satuaismuuttuja X reuajakauma pistetodeäköisyysfuktio. Summa lasketaa yli kaikkie satuaismuuttuja Y mahdolliste arvoje. Bayesi kaava jatkuville todeäköisyysjakaumille Olkoo f XY (x,y) jatkuvie satuaismuuttujie X ja Y yhteisjakauma tiheysfuktio. Olkoo lisäksi f Y (y) satuaismuuttuja Y reuajakauma tiheysfuktio ja f X Y (x y) satuaismuuttuja x ehdollise jakauma (ehdolla y) tiheysfuktio. Tällöi f ( x, y) f ( x y) f ( y) XY X Y Y ja satuaismuuttuja y ehdollise jakauma (ehdolla x) tiheysfuktio f(y x) saadaa kaavasta f YX ( y x) f ( x y) f ( y) X Y f X ( x) f ( x) f ( x y) f ( y) dy X X Y Y satuaismuuttuja X reuajakauma tiheysfuktio. Huomautus: Y Bayesi kaava todeäköisyysjakaumille voidaa ilmeisellä tavalla formuloida myös sekamuodoille, joissa toie satuaismuuttujista X ja Y o diskreetti ja toie o jatkuva Priorijakaumat ja posteriorijakaumat Otosiformaatio Olkoo X 1, X 2,, X satuaisotos satuaismuuttuja X jakaumasta, joka pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio f(x;) riippuu parametrista. Tällöi havaiot X 1, X 2,, X ovat riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio f(x;): X, X, K, X 1 2 X f( x; ), i 1,2, K, i Koska parametria pidetää Bayeslaisessa lähestymistavassa satuaismuuttujaa, havaitoje jakauma f(x;) tulkitaa satuaismuuttuja X ehdolliseksi jakaumaksi ehdolla. Kirjoitamme siksi jatkossa X f( x ) Ilkka Melli (2007) 5/13

6 Koska havaiot X 1, X 2,, X muodostavat satuaisotokse jakaumasta f(x ), ii otokse X ( X, X, K, X ) 1 2 yhteisjakauma pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio voidaa esittää muodossa f( x ) f( x, x, K, x ) f( x ) f( x ) L f( x ) f( x ), i 1,2, K, i o yksittäisee havaitoo X i, i 1, 2,, liittyvä pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio ja x ( x, x, K, x ) 1 2 Otokse X uskottavuusfuktio L( x) f( x ) o otokse yhteisjakauma pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio f arvo pisteessä x tulkittua parametri arvoje fuktioksi. Uskottavuusperiaattee mukaa uskottavuusfuktio L() sisältää kaike otosiformaatio parametrista. Priorijakauma Oletetaa yt, että parametri o satuaismuuttuja, joka pistetodeäköisyys tai tiheysfuktio o π(): π ( ) Kutsumme todeäköisyysjakaumaa π() parametri priorijakaumaksi ja se sisältää prioriiformaatio eli eakkotiedo parametrista. Posteriorijakauma Parametri posteriorijakauma π ( x) x ( x, x, K, x ) 1 2 saadaa otokse X (X 1, X 2,, X ) yhteisjakaumasta ja parametri priorijakaumasta Bayesi kaavalla. Parametri posteriorijakauma o parametri ehdollie jakauma ehdolla X x. Ehdo muodostaa siis poimittu otos eli e havaiot, jotka todella o saatu. Diskreettie jakaumie tapauksessa posteriorijakauma saadaa kaavasta π ( x) f( x π ) ( ) f( x) f( x π ) ( ) f( x π ) ( ) Ilkka Melli (2007) 6/13

7 f( x ) f( x ) π( ) f( x, ) o otokse X reuajakauma, s. Bayes uskottavuus. Summa lasketaa yli kaikkie satuaismuuttuja mahdolliste arvoje. Huomaa, että f( x ) π( ) E [ f( x )] Jatkuvie jakaumie tapauksessa posteriorijakauma saadaa kaavasta π ( x) f( x π ) ( ) f( x) f( x π ) ( ) f( x ) π( ) d f( x ) f( x ) π( ) d f( x, ) d o otokse X reuajakauma, s. Bayes uskottavuus. Huomaa, että Huomautus: f( x ) π( ) d E [ f( x )] Posteriori jakaumie kaava voidaa ilmeisellä tavalla formuloida myös sekamuodoille, joissa toie satuaismuuttujista X ja o diskreetti ja toie o jatkuva. Bayeslaisessa lähestymistavassa kaikki parametria koskeva tilastollie päättely perustetaa se posteriorijakaumaa. Koska π ( x) f ( x π ) ( ) ii posteriorijakaumaa johdettaessa voidaa toimia site, että muodostetaa otokse yhteisjakauma f(x ) ja priorijakauma π() tulo ja ormeerataa tulo todeäköisyysjakaumaksi. Itse asiassa posteriorijakaumaa π ( x ) muodostettaessa riittää käsitellä otokse yhteisjakauma ja priorijakauma ytimiä eli iitä jakaumie pistetodeäkköisyys tai tiheysfuktioide osia, jotka jäävät jäljelle, ku fuktioide lausekkeista jätetää pois vakio osat, so. e osat, jotka eivät riipu ko. fuktioide argumeteista. O syytä huomata, että ei ole välttämätötä, että priorijakauma oikea todeäköisyysjakauma. Silti posteriorijakaumaksi saadaa oikea todeäköisyysjakauma. Tällä tarkoitetaa sitä, että ehdo + ei tarvitse päteä, kuha π( ) d 1 π ( ) > 0 kaikille ja silti Bayesi kaava ataa (sopiva ormeeraukse jälkee) posteriorijakaumaksi ( ) f x oikea todeäköisyysjakauma. Ilkka Melli (2007) 7/13

8 Jos π ( ) > 0 ja + π( )d fuktiota π() o tapaa kutsua epäoleelliseksi priorijakaumaksi. Bayslaisessa lähestymistavassa o tapaa käyttää tällaisia epäoleellisia priorijakaumia esimerkiksi silloi, ku halutaa kuvata sitä, että prioritieto parametri käyttäytymisestä o ii heikkoa, että kaikkia vaihtoehtoja voidaa pitää yhtä epämääräisiä. Kojugaattiperheet Posteriori jakauma ei tarvitse olla mitää tuettua tyyppiä, jolloi se hallitsemie saattaa olla hyvi vaikeata. Jos posteriori jakauma o samaa tyyppiä kui priorijakauma, ii tällaista ogelmaa ei ole. Saomme, että tällaisessa tapauksessa priorijakauma kuuluu havaitoje jakauma kojugaattiperheesee. Olkoo F parametri ideksoima tiheys tai pistetodeäköisyysfuktioide f(x ) perhe. Priorijakaumie perhe Π o perhee F kojugaattiperhe, jos parametri posteriorijakauma kuuluu jokaiselle f F ja jokaiselle priorijakaumalle π Π perheesee Π. Alla olevaa taulukkoo o kerätty eräide keskeiste jakaumie parametrie kojugaattipriorijakaumat. Havaitoje jakauma Parametri Kojugaattipriorijakauma Beroulli jakauma p E(X) Beta jakauma Biomi jakauma p E(X) Beta jakauma Poisso jakauma λ E(X) Gamma jakauma Ekspoettijakauma λ 1/E(X) Gamma jakauma Normaalijakauma (σ 2 o tuettu) µ E(X)/ Normaalijakauma Normaalijakauma (µ o tuettu) σ 2 E[(X µ) 2 ] Ivertoitu gamma jakauma Epäiformatiiviset priorijakaumat Jos parametri käyttäytymisestä ei ole käytettävissä sellaista eakkotietoa, joka mahdollistaa priorijakauma tarka formuloii, Bayeslaisessa lähestymistavassa pyritää kuvaamaa kaikkie vaihtoehtoje epämääräisyyttä epäiformatiivise priorijakauma avulla. Tämä voidaa tehdä määrittelemällä parametrille (tai jolleki se muuokselle) lokaalisti tasaie jakauma. Jos parametriavaruutea Θ o reaalilukuje joukko epäiformatiivie priorijakauma kaavalla π( )d d, ii parametrille voidaa määritellä Ilkka Melli (2007) 8/13

9 jolloi k o vakio. π ( ) k Jos parametriavaruutea Θ o positiiviste reaalilukuje joukko +, ii parametri logaritmimuuokselle φ log() voidaa määritellä epäiformatiivie priorijakauma kaavalla jolloi koska π( φ)dφ dφ π ( ) 1 d dϕ Kummassaki tapauksessa priorijakauma o epäoleellie eli Θ π( )d Lisäksi molemmat priorijakaumat kuvaavat vaihtoehtoje epämääräisyyttä seuraavassa mielessä: (i) Tapauksessa Θ suhde [ a ] [ a + ] Pr (, ) Pr (, ) d Pr ( d, ) π( ) d, d, {, + }, < d [ ] o määrittelemätö eli muotoa / kaikille a. (ii) Tapauksessa + Θ suhde [ a ] [ a + ] Pr (0, ) Pr (, ) d Pr (, d) π( ) d,, d { + }, < d [ ] o määrittelemätö eli muotoa / kaikille a Bayes estimoiti Puhdasverie Bayeslaie ei estimoi todeäköisyysjakaumie parametreja samassa mielessä kui frekvetisti. Ku frekvetisti o tyytyväie, ku hä o voiut tuottaa parametrille piste estimaati, ii Bayeslaie haluaa kostruoida parametrille kokoaise posteriorijakauma. Ilkka Melli (2007) 9/13

10 Parametri Bayes estimaattoria käytetää kuiteki yleisesti jotaki posteriorijakauma sijaitia kuvaavaa tuuslukua. Tällöi kyseesee tulevat posteriorijakauma odotusarvo, mediaai tai moodi. Varsiki moodi o suosittu valita, koska posteriorijakauma moodi asettuu todeäköisimpie parametri arvoje kohdalle Bayes testit Olkoo otokse f ( x ) X 1, X 2,, X yhteisjakauma tiheysfuktio, π ( ) parametri priorijakauma ja π ( x) parametri posteriorijakauma. Olkoo testaukse kohteea oleva ollahypoteesi H 0 muotoa H 0 : Θ0 Θ Θ 0 o joki parametriavaruude Θ osajoukko ja olkoo vaihtoehtoie hypoteesi H 1 muotoa H: Θ Θ 1 0 Θ 0 o jouko Θ 0 komplemetti. Määritellää todeäköisyydet ja Pr( Θ X x) Pr(H pätee X x) 0 0 Pr( Θ X x) Pr(H pätee X x) 0 1 Huomaa, että ämä todeäköisyydet eivät ole mielekkäitä frekvetistille, koska klassisessa lähestymistavassa parametri ei ole satuaismuuttuja vaa kiiteä luku ja lisäksi hypoteesit ovat joko tosia tai epätosia ja site iihi ei voida liittää ollasta ja ykkösestä poikkeavia todeäköisyyksiä. Bayeslaisessa lähestymistavassa testauksee voidaa toimia esimerkiksi seuraavalla tavalla: Hyväksytää ollahypoteesi H 0, jos ja hylätää ollahypoteesi H 0, jos Pr( Θ X x) Pr( Θ X x) 0 0 Pr( Θ X x) < Pr( Θ X x) 0 0 Tämä merkitsee sitä, että testisuureea käytetää otokse fuktiota Ilkka Melli (2007) 10/13

11 κ( X) Pr( Θ X) ja testi hylkäysalue o muotoa 0 { x Pr( Θ X x) > } jolloi testi hyväksymisalue o muotoa { x Pr( Θ X x) } Jos haluamme erityisesti suojautua ollahypoteesi H 0 virheellistä hylkäystä vastaa, voimme ottaa hylkäysalueeksi jouko { Pr( x Θ ) 0 X x > γ} γ o joki ykköstä lähellä oleva luku kute 0.95 tai Bayes luottamusvälit Ku frekvetistisessä lähestymistavassa puhutaa parametri ja se luottamusväli suhteesta, olisi aia hyvä käyttää saotaa Otoksesta kostruoitu luottamusväli peittää parametri arvo luottamustaso ilmaisemalla todeäköisyydellä. Näi tulisi korostetuksi sitä, että frekvetistille luottamisväli o satuaissuure, joka päätepisteet vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee ja parametri o kiiteä, ei satuaie vakio. Näi ei kuitekaa useikaa saota, vaa saotaa, että Parametri arvo o otoksesta kostruoidu luottamusväli sisällä luottamustaso ilmaisemalla todeäköisyydellä. Tähä saotaa liittyy se epätäsmällisyys, että luottamusväli o satuaissuure, jolle o realisoituut poimitussa otoksessa yksi se mahdollisista arvoista ja koska parametri o kiiteä, se arvo o realisoituee väli sisällä joko todeäköisyydellä 0 tai todeäköisyydellä 1. Ku saomme, että realisoituut luottamusväli peittää parametri arvo luottamustasolla (1 α), ii tarkasti ottae ilmaisu tarkoittaa sitä, että (1 α) % mahdollisista havaitopisteistä johtaa luottamusvälii, joka peittää parametri ja α % mahdollisista havaitopisteistä johtaa luottamusvälii, joka ei sitä tee. Koska erilaisia käsitteitä ei haluta sekottaa toisiisa, Bayeslaisessa lähestymistavassa o tapaa puhua luottamusjoukkoje tai välie sijasta uskottavuusjoukoista tai väleistä. Olkoo π ( x) parametri posteriorijakauma ehdolla X x (ku otostietoa o X x). Olkoo A joki parametriavaruude Θ osajoukko: A Θ Ilkka Melli (2007) 11/13

12 Tällöi jouko A uskottavuustodeäköisyys o Pr( A x) π( x) d A ja A o uskottavuusjoukko parametrille. Jos posteriorijakauma π ( x ) o joki diskreeti jakauma pistetodeäköisyysfuktio, ii yo. kaava itegraali o korvattava summalla. Uskottavuusjoukkoje uskottavuustodeäköisyydet määrätää posteriorijakaumasta. Posteriorijakauma todeäköisyysmekaismi perustuu priorijakauma todeäköisyysmekaismii. Priorijakauma avulla tutkija o kuvaut parametria koskevie eakkokäsitystesä varmuutta. Tämä o tapahtuut ee kui häellä o ollut käytettävissää otostietoa. Uskottavuustodeäköisyydet kuvaavat tutkija parametria koskevie käsityste varmuutta se jälkee, ku hä o päivittäyt eakkokäsityksesä parametrista otostiedolla. Ku bayeslaie saoo, että parametri kuuluu 90 %: todeäköisyydellä kostruoituu uskottavuusjoukkoo, hä tarkoittaa sillä itse asiassa seuraavaa: Se jälkee ku otostieto o yhdistetty priori tietoo, hä o 90 %:se varma siitä, että parametri kuuluu uskottavuusjoukkoo. O syytä huomata, että luottamusjoukkoje peittotodeäkäisyydet kuvaavat otataa liittyvää epävarmuutta ja siihe liittyvä todeäköisyysmekaismi perustuu siihe, että ajatellaa, että otataa voidaa aiaki hypoteettisesti toistaa. Ku frekvetisti saoo, että luottamusjoukko peittää 90 %: todeäköisyydellä parametri arvo, hä tarkoittaa sillä itse asiassa seuraavaa: Jos otataa toistetaa, ii 90 % kostruoiduista luottamusjoukoista peittää parametri todellise arvo. Bayeslaie optimaalisuus Klassisise lähestymistava luottamusjoukkoja kostruoitaessa haluttii iistä joukoista, joilla o sama peittotodeäköisyys, valita mahdollisimma piei. Sama ajatus voidaa liittää myös bayeslaisii uskottavuusjoukkoihi. Olkoo π ( x ) parametri posteriorijakauma ehdolla X x (so. ku otostietoa o X x). Haluamme siis löytää jouko C(x), joka toteuttaa seuraavat kaksi ehtoa: (i) C( x) π( x) d 1 α (ii) Jouko C(x) koko Jouko C (x) koko kaikille joukoille C (x), jotka toteuttavat ehdo C ( x) π( x) d 1 α Jos uskottavuusjoukkoa o väli ja jouko kokoa mitataa väli pituudella, pätee seuraava lause (vrt. luvu 5. Välisestimoiti, kappale 5.3. Luottamusvälie vertailu kohda Peittotodeäköisyys ja luottamusjouko koko esitettyy lauseesee): Ilkka Melli (2007) 12/13

13 Lause: Olkoo posteriorijakauma π ( x) uimodaalie. Valitaa luku α [0,1]. Tällöi lyhyi uskottavuusväli parametrille toteuttaa ehdo { π ( x) k} { π( x) k} π( x) d 1 α Lausee määrittelemää uskottavuusjoukkoa kutsutaa korkeimma posterioritiheyde alueeksi. Ilkka Melli (2007) 13/13

Estimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku

Estimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet

Lisätiedot

Tilastolliset luottamusvälit

Tilastolliset luottamusvälit Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy

Lisätiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria

Lisätiedot

1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).

1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit). Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät

Tilastolliset menetelmät Tilastolliset meetelmät tilastolliste meetelmie tarkoitus o: estimoida eliaika- (vikaatumisaika, korjausaika- jakaumie ja -mallie parametreja eliaikakokeide, laitteide käyttökokemustiedo yms. perusteella

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori,

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,

Lisätiedot

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauman käyttö päättelyssä Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat: Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

1. Tilastollinen malli??

1. Tilastollinen malli?? 1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Tilastollinen todennäköisyys

Tilastollinen todennäköisyys Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Harjoitukset 1 : Tilastokertaus

Harjoitukset 1 : Tilastokertaus 31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.

Lisätiedot

Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3

Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3 TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Johdatus todeäköisyyslasketaa Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

EX1 EX 2 EX =

EX1 EX 2 EX = HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1 Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu 1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)

Lisätiedot

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489 Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

((12345A, 5, 1, 5), (98759K, 1, 5, 2), (33312K, 4, 4, 3), (23453B, 4, 4, 3), (21453U, 3, 3, 3)),

((12345A, 5, 1, 5), (98759K, 1, 5, 2), (33312K, 4, 4, 3), (23453B, 4, 4, 3), (21453U, 3, 3, 3)), Luku 6 Datajoukkoje jakaumat, tuusluvut ja kuvaajat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 28. marraskuuta 207 6. Datajoukko ja datakehikko Tässä moisteessa datajoukko tarkoittaa järjestettyä listaa keskeää samatyyppisiä

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Luku 7. Parametrien estimointi. 7.1 Parametriset jakaumat. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 29. marraskuuta 2017

Luku 7. Parametrien estimointi. 7.1 Parametriset jakaumat. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 29. marraskuuta 2017 Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 29. marraskuuta 2017 7.1 Parametriset jakaumat Tarkastellaa tutematota datalähdettä, joka tuottaa toisistaa stokastisesti riippumattomia ja tiheysfuktio

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot