Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä, että rtkisu olisi io ti edes prs mhdollie. Vlittu rtkisutp o toivottvsti kuiteki mhdollisimm suorviivie j ymmärrettävä. Rtkisut ovt mllirtkisuj. Niissä rtkisu eteemie o esitetty ii trksti j perustelle kui hyvässä rtkisuss pitää tehdä. Hyvää rtkisuu kuuluu rtkisuss käytety meetelmä j merkitöje sllie selittämie. Rtkisuu kuuluu myös vstukse ilmoittmie. Mieluite ktt kirjoitt erillie vstus, vikk oheisiss rtkisuiss ei til säästämiseksi ole äi tehtykää. Rtkisut o kuiteki ldittu site, että vstus o rtkisu lopuss. Yleesä tehtävie rtkisuiss trvit sekä sllisi perusteluj vtivi väliviheit että mekisi lskuj, kute yhtälöide rtkisemist ti kvoje käyttöä. Oheisiss rtkisuiss o slliset perustelut esitetty vähitääki riittävällä trkkuudell. Moimutkisemmiss tehtävissä o joisti mekiste viheide yksityiskohdist ollut joskus pkko tikiä, jott rtkisuje selkeys ei kärsisi. Opiskelij pitää kuiteki omiss rtkisuiss käyttää riittävästi väliviheit, kosk tämä prhite tk virheettömä lopputulokse. Jukk Kgsho j Werer Söderström Oskeyhtiö 008
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät Kertustehtävie rtkisut 5. Positiivisi kulmi ovt esimerkiksi 0 60 90, 0 60 90 j 0 5 60 90. Negtiivisi kulmi ovt 0 60 0 j 0 60 80. 5. Kulm kosii o 0, ku se kehäpiste o 0, ti 0,. y Siis kikki kulmt ovt α 90 80, kokoisluku. Välillä 70 α 0 kulmist ovt 90, 70, 50 j 60. b Kehäpiste o 0,. Kikki kulmt: α 70 60, kokoisluku Välillä 70 α 0 kulmist ovt 70 60 90 j 70 60 50. 5. si α cos α, jote: si α si α 5 6 si 5 α ti 6 si α 5 6 5 6 5 Kosk cos α o egtiivie, kulm α o kolmess eljäeksessä, jolloi sii o egtiivie. 5 Siis si α. si α 5 5 t α : cos α 5 cos si
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 55. Määritetää sii j kosii itseisrvot. Kulm tgetti o suorkulmisess kolmioss, joss kulm vstie kteetti o j viereie. Hypoteuus o 0. 0 Siis si α: itseisrvo o, cos α:. 0 0 Kosk t α o egtiivie, kulm α o toisess eljäeksessä, jote kulm sii o positiivie j kosii egtiivie. Siis si α, cos α. 0 0 56. Yhtälö cos α 0,76 yksi rtkisu o α 0 9. Kikki rtkisut: α 9 60 ti α 9 60, kokoisluku b Yhtälö si α 0, yksi rtkisu o α 0 5. Kikki rtkisut: α 5 60 ti α 80 5 60 α 5 60 ti α 55 60, kokoisluku c Yhtälö t α 5 yksi rtkisu o α 0 79. Kikki rtkisut: α 79 80, kokoisluku 57. Yhtälö cos α yksi rtkisu o α0 60. Kikki rtkisut: α 60 60 ti α 60 60, kokoisluku b Yhtälö si α yksi rtkisu o α0 0. Kikki rtkisut: α 0 60 ti α 80 0 60 α 0 60 ti α 0 60, kokoisluku 5
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 58. si α cos α 0 si α cos α : cos α 0 si α cos α t α α 7 80, kokoisluku 59. cos 6α 6α 60 : 6 α 60, kokoisluku 60. si α 0 si α 0 α 0 5 60 ti α 0 80 5 60 α 5 60 ti α 05 60 : α 5 0 ti α 5 0, missä o kokoisluku Juurist välille [80, 80 ] kuuluvt 5 0 5, 5 0 0 5, 5 0 5, 5 0 85, 5 0 0 5, 5 0 55, suuruusjärjestyksessä 5, 85, 5, 5, 5 j 55. 6. cos α cos α, ku α α 60 ti α α 60 α 60 ti 6α 60 α 80 ti α 60, o kokoisluku Esimmäie rtkisuprvi sisältyy jälkimmäisee, jote yhtälö rtkisu o α 60, o kokoisluku. 6
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 6. rdii o 80, jote rdii 0,6 rdii 0,6 b 7 rdii 7 80 stett 9, 80 stett 97 80 stett. 6. rdii o 80, jote b 5 5 rdii o 80 5. rdii o 80 60. 6. 80 o rdii, jote 80 7 7 80 0,0 rdii rdii. b 80 7,5 rdii 65. b 5 80 rdii 7 7 7 0 80 6 6 6 66. Kulm sii o 0, ku se kehäpiste o, 0 ti, 0. Kulmt ovt 80, kokoisluku eli, kokoisluku. b Kosii o, ku kehäpiste o, 0. Kulmt ovt 80 60, kokoisluku eli, kokoisluku. y 67. f si cos 5 f si cos 5 si cos 5 si cos b f si 7 cos 5 si cos 6 5 7
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 68. Fuktio si 6 jkso o. 6 Fuktio rvojoukko o sm kui fuktio si eli [, ]. b Fuktio 6 cos jkso o fuktio cos jkso eli. Fuktio 6 cos rvot sd kertomll fuktio cos rvot luvull 6, jote fuktio 6 cos rvojoukko o [6, 6]. 69. Kosk kosiifuktio suuri rvo o j piei rvo, ii fuktio 7cos suuri rvo o 7 7 j piei rvo o 7 7. Siis fuktio f 5 7cos suuri rvo o 5 7 j piei rvo o 5 7. Fuktio f s suurimm rvo, ku cos eli ku, kokoisluku. Fuktio f s pieimmä rvo, ku cos eli ku, kokoisluku. b Kosk siifuktio suuri rvo o j piei rvo, fuktio 7 si suuri rvo o 7 j piei rvo 7 7. Siis fuktio g 7 si suuri rvo o 7 0. Piei rvo o 7. Fuktio g s suurimm rvo, ku si eli ku eli, kokoisluku. Fuktio g s pieimmä rvo, ku si eli ku eli, kokoisluku. 70. si jos j vi jos si. Kosk fuktio si rvojoukko o [, ], yhtälöllä o rtkisuj silloi, ku o välillä [, ] eli ku > 0 < 0 eli. 8
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 7. Määritetää sii j tgeti itseisrvot. Kulm kosii o suorkulmisess 5 kolmioss, joss kulm viereie kteetti o j hypoteuus 5. Toie kteetti o 5. 5 Siis si : itseisrvo o, t :. 5 Kosk kulm o III eljäeksessä, sii o egtiivie j tgetti positiivie. Siis: si, t 5 si t 7. Lskimell sd yksi rtkisu 0,7.,, jote kikki rtkisut ovt 0,7 ti,, kokoisluku. b Yksi rtkisu o 0,5, kikki rtkisut,5 ti,5, kokoisluku. c Yksi rtkisu o 0,6, kikki rtkisut,6, kokoisluku. 7. si 0 : si Yksi kulm, jok toteutt yhtälö o ti, kokoisluku. ti, kokoisluku b cos 0 cos Yksi kulm, jok toteutt yhtälö o ti, kokoisluku. c cos 0 cos :, kokoisluku 9
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 7. si si ti ti ti 8, kokoisluku 75. cos cos 0 cos cos 0 cos 0 ti cos 0 cos 0 ti cos ti, kokoisluku 76. si si si ti si 5 ti ti ti, kokoisluku b t t ti t ti, kokoisluku 77. Sijoittmll si cos sd: cos cos cos 0 cos cos 0 cos 0 cos cos 0 Tulo ollsääö perusteell cos 0 ti cos 0 eli cos 0 ti cos, jote ti ti. 0
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 78. D si si si cos cos D si D si cos cos si cos 79. 0 cos si si D D cos cos cos f f g fg g g b c D si cos D lsi D l si si D cos D cos cos D cos cos si cos si f f f 80. f cos b si, f si b cos, f cos 9b si f cos b si cos b si b b f cos 9b si cos 9b si 9b 9b Siis b j 9b. Yhtälöpri rtkisu o, b. 8. Fuktio f si kuvj leikk -kseli fuktio f ollkohdiss, kokoisluku. Leikkuspisteesee piirrety tgeti kulmkerroi o f cos. Kulmkerroi o, ku o prillie, j, ku o prito. Siis khtee leikkuspisteesee piirrettyje tgettie kulmkertoimet ovt joko yhtä suuret, jolloi tgetit ovt yhdesuutiset, ti kulmkertoimie tulo o, jolloi tgetit ovt kohtisuorss toisi vst.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 8. f cos, f si Derivt ollkohdt: si 0 si, kokoisluku. b f cos, f si Derivt ollkohdt: si 0 si ti : 6 6 ti 5, kokoisluku 8. Fuktio f si derivttfuktio o f cos. Kosk cos kikill, f o kikkill epäegtiivie. Derivttfuktio ollkohdt: cos 0 cos, : kokoisluku Kosk derivtt o epäegtiivie j derivt ollkohdt ovt erillisiä, fuktio f o kikkill idosti ksvv.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 8. Derivoid fuktio f t : f t t Derivt ollkohdt: t 0 t t ti t ti Välille ], [ ollkohdist kuuluvt j. Välille ], [ rjttu kulkukvio: f f f 0,56 > 0 f 0 < 0 f 0,56 > 0 Kulkukvio perusteell fuktioll f o mksimikoht j miimikoht. Mksimirvo o f t. Miimirvo o f t. 85. Fuktio f si cos o jksollie j jkso o. Riittää määrittää fuktio f suuri j piei rvo suljetull välillä [0, ]. Derivttfuktio f cos cos si cos si välille ]0, [ kuuluvt ollkohdt ovt j. Fuktio rvot derivt ollkohdiss: f si cos 0 f si cos Päätepistervot: f f 0 si 0 cos 0 0 0 Siis suuri rvo o, piei rvo o.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 86. Fuktio f si cos o jksollie j jkso o. Riittää määrittää fuktio f suuri j piei rvo suljetull välillä [0, ]. Derivttfuktio f cos cos si 0 si cos : si cos t, kokoisluku 6 si ollkohdt: cos 7 Nollkohdist välille ]0, [ kuuluvt j. 6 6 Fuktio rvot derivt ollkohdiss: f si cos 6 6 6 7 7 7 f si cos 6 6 6 Päätepistervot: f f 0 si 0 cos 0 0,7 Suuri rvo o, piei rvo o. 87. f si cos si, f cos cos si cos cos cos cos cos cos si cos cos cos cos cos cos cos cos Derivttfuktio rvo o oll, ku cos 0 ti cos. Siis ollkohdt ovt j j, kokoisluku.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 88. Merkitää kolmio ktkulm rdiei. Korkeusj jk kolmio khtee smlisee suorkulmisee kolmioo. Kolmio kylkie pituus o b. cos Korkeusj pituus o h t. Tutkittv luseke o b h t, cos missä 0 < <. Kosk o positiivie vkio, luseke s pieimmä rvos, ku fuktio f t, 0 < < s pieimmä rvos. cos Derivoid: f 0 cos si cos Derivt ollkohdt: si 0 si cos si cos cos 5 ti, kokoisluku 6 6 Nollkohdist välille ]0, [ kuuluu 0, 5 6. Välille ]0, [ rjttu kulkukvio: b h si cos f f 0 6 f 0, 0,8 < 0 f, > 0 Kulkukvio perusteell fuktio f s pieimmä rvos kohdss. 6 Siis tutkittv luseke o piei, ku kolmio ktkulm o 0. 5
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 89. Joo,,,... luseke o. Neliöide muodostm joo luseke o. Siis. 90. Joo,,,... luseke o, jote lusekkeet ovt: b b c c 9. 0 o joo jäse, jos 0 jolli : positiivisell kokoislukurvoll. 0 0 0 0 0 5 0 ti 7 Rtkisukvll. Siis 0 o joo kolms jäse j 7. jäse. 5 5 9. Merkitää f, jolloi f. f 5 6 5 Derivtt o määritelty j positiivie, ku > 0, jote fuktio f o idosti ksvv, ku > 0. 5 Siis joo f o idosti ksvv. 6
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 9. Joo k b peräkkäiste jäsete erotus o k b k b k k b k b k. Erotus o yhtä suuri kikill, jote joo o ritmeettie. 9. Joo esimmäie jäse, erotus d 7. Aritmeettise joo kvll d sd: 0 0 59 95. Istuitsoje lttist mittut korkeudet muodostvt ritmeettise joo, joss,0 m j 5 5, 0 m. Kosk, o, d 5 d d d 5,,, 0,0 m. Kymmees tso o korkeudell 0,0 9 0,0,90 m. 96. 0 9d 0 j 0 9d 60 Rtkist yhtälöpri. 9d 0 9d 60 0d 800 d 0 9 0 0 0 9 0 7 000 7
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 97. Joo k b c peräkkäiste jäsete suhde o k b c k b k b k k b k b k c c c k b c Peräkkäiste jäsete suhde o vkio, jote joo o geometrie.. 98. Joo esimmäie jäse 5, suhde 5 5. Geometrise joo kvll 5, 0 5 9 95 5 sd: 99. Seurv ympyrä säde o i puolet edellise ympyrä säteestä, jote seurv ympyrä pit-l o i eljäsos edellise ympyrä pit-lst. Siis pit-lt muodostvt geometrise joo A, A,..., missä A o esimmäise ympyrä pit-l.. ympyrä pit-l o A. Pit-l o lle miljoosos esimmäise pit-lst, ku lg lg A < 0 > < 0 6 6 < lg0 < lg0 A 6 6 6 lg0 lg 6 lg0 > lg : lg 0,97. : A > 0 < 0 Siis yhdestoist ympyrä o esimmäie. 8
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 00. Joo. jäse o,0 5. Jäseet ovt pieempiä kui 000, ku,0,0 lg,0 5 < 000 lg,0 < lg 00 < < 00 < lg 00 < lg 00 lg,0 lg 00 lg,0 : 5 > 0 5,5. : lg,0 > 0 Siis 5 jäsetä o pieempiä kui 000. 0. Merkitää joo peräkkäiste jäsete suhdett. 6 Tällöi 7 j. Siis 6 50 j 50. 0 50 Esimmäisestä yhtälöstä sd. 6 Sijoitet jälkimmäisee: 0 50 50 6 50 50 9 ti 9 9 : 50 0 9 50, jote molemmill : rvoill o 6 50 50 50 50 6 6, jote 50. 50, ku j 50, ku. 9
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 0. Merkitää k suuruutt. vuode luss. Suuruus esimmäise vuode luss o 00. Toisest vuodest lähtie suuruus sd lisäämällä määrää 5 % eli kertomll luvull,05 j vähetämällä sdust määrästä poismuutteide määrä 0. Siis joo rekursiivie esitys o: 00 j,05 0, ku $ b Lsket joo jäseiä lskime As-äppäime vull: vuosi 00 00 5 00 5,5 00......... 8 96,0 08 9 00, 09 Määrä ylittää 000 yksilö rj 9. vuode eli vuode 09 luss. 0. 5 5 5...! 0. Joo kksi esimmäistä jäsetä ovt j. Tästä eteepäi huhukuulleide määrä sd lisäämällä edellise päivä määrää sitä edellise päivä määrä khdell kerrottu. Huhu kerrot seurv päivää yhdelle j khde päivä päästä khdelle. Siis joo rekursiivie muoto o,,, ku. b Joo o,,, 5,,,, 85, 7,.... Siis 9. päivää juoru kuulee 7 hekilöä. 0
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 05. Joo esimmäie jäse j peräkkäiste jäsete erotus o 6 7. 0. jäse o 9 7 0. 0 Kolmekymmee esimmäise jäsee summ sd ritmeettise summ kvll S. 0 S 0 0 05 06. Lutoje pituudet muodostvt ritmeettise joo. Joo esimmäie jäse o, m j viimeie, joo 9. jäse o,5 m. Kokoispituus sd ritmeettise summ kvll: S,,5 9 9 9,0 m 07. Neliumeroiset luvut ovt luvut 000... 9 999. Vlitut luvut muodostvt ritmeettise joo, jok esimmäie jäse o 00 j jok erotus o. Joo. jäse o 00 00 989. 9999, ku 989 9999 900 69,. : > 0 Siis lukuj o 69 kpplett j viimeie luku o 9998. Lukuje summ sd ritmeettise summ kvll: 00 9998 69 8 500. 69
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 08. Lyheyskertoj o 0 0, jote yhdellä lyheyskerrll 0 000 mksettv summ o 000. 0 6,50 % Korko mkset,5 % jäljellä olevst list. Kosk li määrä pieeee jok lyheyskerrll yhtä pljo, myös mksettv korko pieeee jok kert yhtä pljo. Siis mksetut korot muodostvt ritmeettise joo. Esimmäisellä kerrll korko mkset,5 % 0 000 :st eli 0,05 0 000 900, viimeisellä kerrll,5 % 000 :st eli 0,05 000 97,50. Yhteesä korko mkset 900 97,50 0 79 950. Lyheyksillä mkset lisumm 0 000 tkisi. Yhteesä mkset 0 000 79 950 99 950. 09. Kehillä olevie istuite määrät muodostvt ritmeettise joo. Joo peräkkäiste jäsete erotus o 8. Joo 5. jäse o 5 8. Tuolie yhteismäärä o ritmeettie summ: 5 5 5 6000 00 800 688 :5 : Siis esimmäisellä kehällä o istuit.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 0. Joo esimmäie jäse o j peräkkäiste jäsete erotus o. Joo :s jäse o. Joo : esimmäise jäsee summ o. Summ o yli miljoo, ku 000 000 > 0. > 000 000 > 000 000 Rtkist stu toise stee epäyhtälö. Nollkohdt sd toise stee yhtälö rtkisukvll: ± 000 00 6 Nollkohtie likirvot: 86,7 ti 86,. Fuktio kuvj o ylöspäi ukev prbeli, jote epäyhtälö toteutuu, ku < ti >. Siis yhteelskettvi o oltv vähitää 87.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät. Esimmäie yhteelskettv 0 j suhdeluku. Yhteelskettvie määrä 8. Summ o 8 0 65600 6 00..... k k Summ o geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv, peräkkäiste yhteelskettvie suhde, j yhteelskettvie lukumäärä. Siis: k k 095. 096 b k k k k 0 k 0 k 0 0 Summ o geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv, 0 peräkkäiste yhteelskettvie suhde, j yhteelskettvie lukumäärä. Summ o,....
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät. Slii määrä tulee vuositti 0,9-kertiseksi, jote määrät muodostvt geometrise joo 0,9 7600, missä o vuodest 997 kulueide vuosie määrä. Vuode 005 slis o 8 8 0,9 7600 900 toi. b Vuosittiset slismäärät muodostvt geometrise joo, jok esimmäie jäse o 8, suhdeluku 0,9 j. Kokoisslis o geometrie summ. Summkvll sd: S 8 0,9 7600 0,9 0,9 9 000 toi. Geometrise joo, 0,98, 0,98,... esimmäie jäse j suhdeluku 0,98. : esimmäise luvu summ o geometrie summ S 0,98 0,98 Summ ylittää luvu 9, ku 0,98 0,0 0,98 0,98 0,98 > 9 > 0,98 > 0,0 < 0,0 lg 0,98 < lg 0,0 0,0 lg 0,0 > 9,6. lg 0,98 0,98 0,0 : lg 0,98 0,0088 < 0 Yhteelskettvi pitää oll vähitää 9.. 5
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 5. Mij tekee kikki 0 tlletust. Esimmäie tlletus ksv korko 0 vuott, toie 9 je. Tlletuste loppurvot lopust lkuu lskie muodostvt geometrise joo. Mtkrh o lopult,05 00,05 00...,05 0 00,05 00,05 85,5.,05 0 b Merkitää tlletussumm. Mtkrh o,05,05...,05 0 0,05,05.,05 Rh o 5 000, ku 0,05,05 5000,05,05,05 0 5,05 0,05 :,05,05 0 89,7. 6
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Kertustehtävät 6. Popultio suuruus esimmäise vuode luss o 500. Toisest vuodest lähtie suuruus sd vähetämällä määrästä 0 % eli kertomll 0,8:ll, j lisäämällä stuu määrää kt muutteide määrä 00. Joo rekursiivie kuvilu o 500 j 0,8 00, ku. Lsket joo jäseiä: 500 0,8 500 00 0,8 0,8 500 00 00 0,8 500 0,8 00 00, 0,8 0,8 500 0,8 00 00 00 0,8 500 0,8 00 0,8 00 00 je. Jäsee luseke o 0,8 500 0,8 00... 0,8 00 00. Lusekkee termit toisest lke muodostvt geometrise summ. Summkvll lskemll lopust lkuu sd: 00 0,8 0,8 500 0,8 500 500 0,8 0,8 0,8 0,8 000 500 0,8 500 500 Popultio 0. vuode luss o 500,8 000 500 50 yksilöä. 0 0 9 7
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj A. f cos si, f si si cos, f si si cos si si cos. Geometrise joo peräkkäiste jäsete suhde o i yhtä suuri, jote si. si cos si Yhtälö o määritelty kikill mhdollisill : rvoill, sillä jos si 0 ti cos 0, ii luvut ovt 0, si j, jote e eivät ole mikää geometrise joo peräkkäisiä jäseiä. Ristii kertomll sd: si cos cos si : si 0 ti, kokoisluku. Viikkomyyit muodostvt ritmeettise joo, missä 600 j erotus d 00. Kokoismyyti : esimmäise viiko ik sd ritmeettise summ kvll. S 00 00 d 600 600 00 00 00 00 50 Erä o loppuut, jos S 80 000 eli ku 50 550 80000 0. 550 Fuktio 50 550 80000 ollkohdt ovt likimi,9 j 5,9. Fuktio kuvj o ylöspäi ukev prbeli, jote S 80 000, ku 5. Siis erä loppui 5. viikoll. 8
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Lsket joo u 5, u u jäseiä. u 5 u 5 u 5 u 5... u 5... Summ termit toisest termistä lähtie muodostvt geometrise summ. Summkvll sd: u 5 5 6 6 6 5 6 5 Sijoittmll sd u 6 98 0. 5 6 5. Toise stee yhtälö rtkisukvll sd: cos cos 0 cos ± ± 6 ± cos ti cos Yhtälö cos ei toteudu millää muuttuj rvoll, cos, ku, kokoisluku. b Fuktio f cos cos o jksollie jkso, jote riittää, ku määritetää fuktio f suuri j piei rvo välillä [0, ]. Derivoid: f cos si si si cos. Derivt ollkohdt: si 0 ti cos 0 cos Nollkohdist välille ]0, [ kuuluu. Arvo derivt ollkohdss: f cos cos 0 Päätepistervot: f 0 f cos cos Suuri rvo o 0, piei rvo. 9
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 6. Tgeti yhtälö o y si cos. Tgetti kulkee origo kutt, jos j vi jos 0 si cos 0 eli si cos. Jos cos 0, ii si ti si, jote ehto ei toteudu eli tgetti ei kulje origo kutt. Jos cos 0, ii jkmll cos :ll sd si eli vdittu ehto t. cos t jos j vi jos o fuktio f t ollkoht. Derivttfuktio f t t o epäegtiivie 5 koko välillä ], [ j sillä o välillä vi yksi ollkoht, jote fuktio f o välillä idosti ksvv. Siis ollkohti o korkeit yksi. Hrukoimll ähdää, että f 7,75 0,05 < 0 j f 7,755 0,05 > 0, jote fuktioll o ollkoht, jok kolmidesimlie likirvo o 7,75. 5 Siis välillä ], [ o yksi ehdo t toteuttv koht. Kohd kolmidesimlie likirvo o 7,75. 0
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj B. Aritmeettisess jooss peräkkäiste jäsete erotus o yhtä suuri. Siis: b b b b b b b b b Geometrisess jooss peräkkäiste jäsete suhde o yhtä suuri. b b b b b Siis: b b ti b b eli b ti b.. Fuktio f cos derivttfuktio o f si. Fuktio si rvojoukko o [, ], jote fuktio si rvojoukko o [, ]. Siis derivttfuktio f suuri rvo o 5 j piei rvo o.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Viikkomyyit muodostvt ritmeettise joo, missä 00 j peräkkäiste jäsete erotus d,. Kokoismyyti : esimmäise viiko ik sd geometrise summ kvll. S 750, 00, 0, 00,, 750, 750 Erä o loppuut, jos S 90 000. 750, 750,, lg, 750 90 000 90 750 lg lg, lg lg, lg, : lg, Siis erä loppui 5. viikoll.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Fuktio si f o määritelty kikill, sillä cos imittäjä cos > 0 kikill. Fuktio f o jksollie jkso, jote riittää, ku määritetää fuktio suuri j piei rvo suljetull välillä [0, ]. Derivoid: f cos cos cos Derivt ollkohdt: cos cos cos si si cos si cos cos 0 cos ti Derivt ollkohdist välille ]0, [ kuuluvt Fuktio f rvot derivt ollkohdiss: f 5 f, 5 j. Päätepistervot: 0 f 0 f 0 Fuktio suuri rvo o, piei rvo o.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 5. : esimmäise : potessi tulo o....... Tulo o pieempi ku 0 000, ku lg lg < 000 000 < lg 000 lg < 0 < lg 0 < 0. 000 000 000 Toise stee epäyhtälö < 0 lg toteutuu, ku likimääri 65, < < 6,. Siis void lske eitää 6: potessi tulot. 6. Merkitää kltevuuskulm suuruutt rdiei. Tällöi d 5 si 5 si t. cos Merkitää f 5 si t, missä o välillä [0, [. Derivttfuktio f 5 cos 5 cos 0 cos 5 cos 5 cos cos ollkohdt: 0 ti, missä 0 0,5676. 0 Välillä [0, [ o vi ollkoht 0. Kulkukvio: f f 0 0 f 0,5 0,9 > 0 f 7,6 < 0 Kulkukvio perusteell fuktio f s suurimm rvos kohdss 0. Tällöi myös etäisyys d o piei. Kulm 0 suuruus stei o oi.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj C. f si b cos f cos b si f si 6b cos f si b cos b b 6 f si 6b cos 6 b 8b 6 Ehdoist f 0 j f sd yhtälöpri. b 8b 0 Esimmäisestä yhtälöstä sd b. Sijoitet jälkimmäisee: 8 8 6 6 Siis, b. 6 6 : 6. Aritmeettise joo peräkkäiste jäsete erotus o i yhtä suuri, jote cos cos si cos eli si cos cos 0 cos 0 cos. ti, kokoisluku.. Fuktio f t si derivtt o f t cos. Kosk cos kikill, o f t kikill. Derivttfuktio f o epäegtiivie koko välillä ], [ j oll vi kohdss 0. Siis fuktio f o idosti ksvv välillä ], [. 5
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 50. Merkitää f. Derivoid: f 50 00 8 00 8 Derivt ollkohdt: 00 0 00 0 00 0 ti 66, 7 Välille > 0 rjtu kulkukvio perusteell fuktio f o 00 idosti väheevä, ku < 66, 7 00 j idosti ksvv, ku >. Siis joo piei jäse o joko b 66 ti b 67. b 66 8, 0 7 b 67 8,6 0 7 7 7 Siis piei jäse o b 67. 67 0 5 f f 00 0 f 97 < 0 f 00 0 8 > 0 5. Hkkuide määrät muodostvt joo 0,0,05 00, 0,0,05 0,97,05 00, 0,0,05 0,97,05 00,.... Joo o geometrie joo, joss esimmäie jäse 0,0,05 00, j suhdeluku 0,97,05,085. Hkkuide yhteismäärä o joo esimmäise jäsee summ. Summkvll sd S,,085 9 00 m.,085 6
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 6. Merkitää lähtökulm suuruutt rdiei. Tällöi 0, missä t 0 6 eli 0 0,6 6,6. Metsässä kuljetu mtk pituus o si. Polull kuljetu mtk pituus o cos b 6 6. t si y b Jos kulkuopeus metsässä o v, ii opeus polull o v. Koko mtk kuluv ik o b 9 cos cos b 6. v v v v si si v si si Kosk v o positiivie, ik o lyhi, ku fuktio cos f, si si 0 rvo o piei. Derivoid: f 0 si cos cos si si si Derivt ollkohdt: cos 0 cos 0 cos si si si cos si cos si si cos Aio välille 0 kuuluv rtkisu o,0. cos si Kulkukvio: f f 0 f 0,88 < 0 f, 0, > 0 Kulkukvio perusteell fuktio f s pieimmä rvos kohdss. Tällöi myös kokoisik o piei. Kulm suuruus stei o oi 7. 7
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj D. Joo :s jäse o d. Siis 5 9d 5 9d, jote 9d d 0 68 6 : 9 7. Siis 5 9 7 8 j 0 joo 0 esimmäise jäsee summ o S 5 8 0 0 0 0 0.. si α cos α, jote cos α ti cos α si si α 5 α. 5 69 69 Kosk 90 < α < 80, ii cos α o egtiivie. Siis cos α j 5 0 si α. 69 cos 8
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Fuktio f cos derivttfuktio o f si. Derivt ollkohdt: si 0 si ti 6 6 5 ti 5 7 Nollkohdist välille ]0, [ kuuluvt,, j. Kulkukvio perusteell: j ovt mksimikohti, 5 7 j ovt miimikohti f f 0 5 7. Merkitää trvittvie tlletuste lukumäärää. Esimmäie tlletus ksv korko vuott, toie je. Tlletuste loppurvot lopust lkuu lskie muodostvt geometrise joo.. vuode lopull tilillä o rh,05 000,05 000...,05 000,05 000,05,05 000,05 000. Rh o yli 0 000 euro, ku 000,05 000 > 0 000 000,05 000,05 > 7 000 7,05 > 7 lg Logritmi vull sd >, 05. lg,05 : 000 > 0 Siis rh o yli 0 000.vuode eli vuode 0 lopuss. 9
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 5. Merkitää kolmio ktkulm rdiei. Korkeusj jk kolmio khtee smlisee suorkulmisee kolmioo. Kolmioist sd korkeus h si j k puoliks cos. K j korkeude pituuksie summ o f cos si, missä o välillä ]0, [. O määritettävä fuktio f suuri rvo. h Derivoid: f si cos Derivt ollkohdt: si cos 0 si cos t : cos Aio välille 0 < < kuuluv rtkisu o 0 0,665. Kulkukvio: f f 0 0 f 0, 0,79 > 0 f, < 0 Kulkukvio perusteell fuktio f s suurimm rvos kohdss 0. Kulm 0 suuruus stei o oi 6,6. 6. Olkoo joo esimmäie jäse j peräkkäiste jäsete suhde. Tällöi S S S. Sijoittmll S 5 j S 60 sd: 5 Siis: S 6 5 60 5 6 60 9 9 5 60 : 5 S S S S 5 5 8 60 0
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt Srj E. Ikkuoide määrät muodostvt ritmeettise joo, 8,.... Kokoismäärä o 8: esimmäise jäsee summ. Joo 8. jäse o 8 7, jote ikkuoide kokoismäärä o 7 S 8 8 7 6.. f si, f si D si si cos 6si cos Sivumispistee -koorditti o, y-koorditti o f si. Tgeti kulmkerroi o f 6 si cos 6. Tgeti yhtälö o y eli y. Normli kulmkerroi o tgeti kulmkertoime kääteisluvu vstluku. Normli yhtälö o y eli y.. Fuktio cos ollkohdt ovt yhtälö cos juuret, missä o kokoisluku. Juuret ovt välillä [00, 00], ku 00 00 eli ku 00 00. 00 00 Kosk 5,9 j,8, juuri o 6. b Fuktio cos ollkohdt ovt kohdt j, missä o epäegtiivie kokoisluku. Juuret ovt välillä [00, 00], ku 00 00 eli ku 0000 0000 0 000 0 000 eli 59,5 6 66,. Ehdo toteuttvi kokoislukuj j siis yhtälö juuri o 6 66 59 775.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt. Fuktio f cos si cos o jksollie jkso, jote riittää, ku määritetää fuktio f suuri j piei rvo suljetull välillä [0, ]. Derivoid: f si cos si cos cos si si si Kosk si cos, o cos si, jote f si si si si si. Derivt ollkohdt: si si si 0 si 0 si ti si Rtkisukvll. 5 ti ti 6 6 Nollkohdist välille ]0, [ kuuluvt 5, j. 6 6 Fuktio f cos si cos rvot derivt ollkohdiss: f 0 0 0 f 6 5 f 6 Päätepistervot: f 0 f 0 Siis suuri rvo o, piei rvo o.
Trigoometriset fuktiot j lukujoot Kertustehtävie rtkisut Tehtäväsrjt 5. Fuktio... f o fuktio g... derivttfuktio. Summkv muk. g Siis: D g f Siis summ o. Sijoittmll 9 j summ rvoksi sd 7. 0 9 5 0 9 9 0 6. Lsket esi yhtee kikki e väli ]0, [ rtioliluvut, joide supistetu murtolukumuodo imittäjä o sm luvu potessi. S... 5... 5 Osoittj o ritmeettie summ, joss viimeie termi o. k k k Siis, k jote yhteelskettvie lukumäärä. k Siis S. Kysytty summ 0... S S S o geometrie summ... 8 0 5 87,5.