Digitaalinen Signaalinkäsittely 5 Luento 7-3.5.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Spektrianalyysi, motivaatio Ihmiskeholla on luontaisesti hidas reagointikoneisto Musiikkia kuunnellessamme emme erota äänenpaineen hetkellisiä muutoksia ajan suhteen koska ne tapahtuvat hyvin nopeasti ( kertaa sekunnissa) Sen sijaan aistimme äänenkorkeuden (taajuuden) Vastaavasti silmät eivät havaitse yksittäisiä sähkömagneettisten aaltojen (valo) värähdyksiä, vaan sen sijaan aistimme värejä Käytännössä ihmisen aistit eivät havaitse muutoksia jotka tapahtuvat nopeammin kuin kertaa sekunnissa Kaikki nopeammat ilmiöt havaitaan yhtenä ilmiönä (taajuutena) eikä itse muutoksena ihmisen aistien kannalta taajuus on yhtä tärkeä konsepti kuin aika Miksi tarvitaan taajuustason analyysiä, eikö aikatason konvoluutio ole riittävä?. Sinisignaali (eksponentiaalisignaali) esiintyy luonnossa Vaikka signaali ei olekaan suoraan tällainen se voidaan jakaa osakomponentteihin jotka ovat LI (lineaarinen ja aikainvariantti) järjestelmän vaste tällaiseen signaaliin on erittäin yksinkertainen: ainoastaan signaalin amplitudi ja vaihe muuttuvat ei taajuus. Jos signaali on kuvattu taajuusspektrinä ja LI-järjestelmä taajuusvasteensa avulla, järjestelmän ulostulo saadaan helposti vain kertomalla taajuustason kuvaukset keskenään paljon helpompi visualisoida kuin aikatason konvoluutio 3. Usein järjestelmävaatimukset esitetään taajuustasossa (esim. suodattimet) 5/JV
Jatkuva-aikainen Fourier-sarja Insinööri voi esittää muuttuvan signaalin kahdessa tasossa: aikatasossa tai taajuustasossa Ajalliset muutokset on helppo esittää oskilloskoopilla Jossa ajan muutos on suoraan suhteessa matkaan näytöllä Signaalin esittäminen taajuuden suhteen on lisääntynyt viime aikoina kun tarvittavaa laitteistoa (spektrianalysaattori) on tullut paremmin saataville Spektrianalysaattorissa taajuuden muutos on suoraan suhteessa matkaan näytöllä HP 335A MHz dbm sine ek 7D ns/div mv/div ek 7L4 MHz/div db/div cnt MHz 5/JV 3 ek 794A,7D oskilloskooppi ek 794A,7L4 spektrianalysaattori HP 335A signaaligeneraattori; MHz, dbm sinisignaali Jatkuva-aikainen Fourier-sarja Ensimmäisiä formaaleja menetelmiä spektrianalyysin suuntaan esitti ranskalainen Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Grenoblen prefektinä ollessaan Fourier osoitti 8-luvun alkupuolella että jaksollinen signaali voidaan esittää painotettuna harmonisten sinisignaalien summana (Fourier sarja) ja että aperiodinen signaali voidaan esittää epäharmonisten sinisignaalien integraalina (Fourier muunnos) Joskin Fourier luuli että kaikki epäjatkuvat ja jatkuvat aperiodiset signaalit voidaan esittää Fourier-muunnoskertoimien avulla ämän Johann Dirichlet osoitti vääräksi hieman myöhemmin Fourier-analyysiä on käytetty useissa jatkuva-aikaisten ilmiöiden analyyseissä jo yli vuotta äytteistettyjen ilmiöiden käsittelyssä Fourier-analyysiä on käytetty n. 4 vuoden ajan (ns. nopea Fourier-muunnos) 5/JV 4
Jatkuva-aikainen Fourier-sarja Fourier osoitti että jaksollinen jatkuva-aikainen signaali f(t) (jakso ) voidaan esittää painotettuna jatkuvien harmonisessa suhteessa olevien kompleksisten eksponenttifunktioiden summana ( ) jkωt f t Fke, t synteesikaava k ätä kutsutaan Fourier-sarjaksi, siinä sarjan kertoimet F k ja perustaajuus Ω määritellään (ns. viivaspektri) jkω t Fk f ( t) e dt, k analyysikaava Ω π / Usein on tarvetta tarkastella äärellisen pituista signaalia f(t) (ei-jaksollinen) jωt f ( t) F( t) e dt synteesikaava ätä kutsutaan Fourier-muunnokseksi (Fourier transform). Signaali esitetään äärettömän suurella määrällä ei-harmonisessa suhteissa olevilla eksponenttisignaaleilla (ns. jatkuva spektri) F( f ) f ( t) e dt analyysikaava jωt MHz sinisignaalin taajuusanalyysi HP 335A MHz dbm sine ek 7L4 MHz/div db/div cnt MHz 5/JV 5 Synteettiset periodiset signaalit,5 Jaksollinen signaali voidaan konstruoida perustaajuisesta sinisignaalista ja sen harmonisten painotetusta summasta (Fourierin sarjan synteesikaava) x( t) A + Ak cos( Ωkt + ϕk ) Ωk πf k Oikealla kuvista nähdään, että jaksollinen sakara-aalto koostuu sinisignaalista ja sen painotetuista parittomista harmonisista Miksi aina reaalisten signaalien yhteydessä käytetään kosinia (eikä siniä)? Koska k ( ) A A cos Ω t Acos( t) eli kosinin avulla määritelty sinimuotoinen värähtely antaa signaalin amplitudin myös nollataajuudella,5 5 9 3 7 5 9 33 37 4 45 49 53 57 6 65 69 73 77 8 85 89 93 97 -,5 - -,5 4 4 ( t) + cos Ω + cos 3Ω + cos 5Ω π 3π 5π x Rechteck.8.6.4. -. 4 -.4-5 5/JV 6 5... 3. 4. 5. 6. 7. Harmonische 3
Käytännön periodiset signaalit ns ns 4 ns 6 ns 8 ns ns MHz 5Ω lähtöimpedanssin signaaligeneraattori tuottaa MHz sakara-aallon m kaapeliin joka on päätetty MΩ skoopin tulolla (osa tehosta heijastuu takaisin) aajuustasossa nähdään että signaalissa on muitakin komponentteja kuin parittomia harmonisia Mutta pääosin signaali koostuu perustaajuudesta ja sen kerrannaisten (harmonisten) painotetusta summasta MHz 3 MHz 4 MHz 5 MHz 6 MHz HP 335A MHz dbm square ek 7L4 5 MHz/div db/div cnt 35MHz 5/JV 7 Fourier sarjan analyysi sin Ω t sin3ωtdt jos taajuudet eri, niin tulos on kumuloituva integraali Fourier-sarjan analyysikaava perustuu harmonisessa suhteessa olevien sinisignaalien keskinäiseen korreloimattomuuteen, m n sin nωt sin mωtdt, m n sin ( Ωt) dt ( cos Ωt ) dt Kaikki spektrikomponentit saadaan parittomalle signaalille x( t) sin( kω t) dt, k, K Bk, jos taajuudet samoja, niin tulos on / 6 4 - -4-6 6 5 4 3-5 9 3 7 5 9 33 37 4 45 49 53 57 6 65 69 73 77 8 85 89 93 97 6 6 6 3 36 4 46 5 56 6 66 7 76 8 86 9 96 5/JV 8 sin Ω t sin Ωtdt / 4
Fourier sarjan analyysi Fourier-analyysin voi ajatella muodostuvan rinnakkaisista, keskenään harmonisille taajuuksille viritetyistä korrelaattoreista Korrelaattorit ovat ikään kuin omalle resonanssitaajuudelle viritettyjä äänirautoja Resonanssitaajuudet ovat harmonisessa suhteessa, ts. perustaajuuden kerrannaisia (k f ) x(t) f f f k 5/JV 9 B B B k Fourier sarjan analyysi Parilliselle signaalille saadaan vastaavasti A k x( t) cos( kω t) dt, k,, K Em. analyysikaava korreloi analysoitavaa signaalia testisignaalin kanssa, tulos on nolla jos korrelaatiota ei ole (analysoitavassa signaalissa ei ole testisignaalin kaltaista komponenttia) ja tulos on / jos analysoitavasta signaalista löytyy testisignaalikomponentti Ongelmana on vain että korrelaatio ei kykene aistimaan analysoitavan signaalin vaihetta; ts. samantaajuinen komponentti mutta π-vaihesiirron verran sivussa tuottaa korrelaatioksi nollan Signaalille jossa on sekä parillisia että parittomia komponentteja, täytyy muodostaa molemmat kertoimet A k ja B k Kompleksiselle signaalille saadaan vastaavasti jkω F k x( t) e tdt, k,, K koska j( k m) Ω t, kun k m e dt, kun k m 5/JV 5
Fourier sarjan analyysi Jotta Fourier-analyysi olisi herkkä myös erivaiheisille signaaleille, vertailtava (korreloitava) signaali on oltava kompleksinen Eli sisältää samanaikaisesti 9 vaihesiirrossa olevat komponentit Edelleen, Fourier-analyysin voi ajatella muodostuvan rinnakkaisista, keskenään harmonisille taajuuksille viritetyistä korrelaattoreista x(t) e -jf e -jf e -jkf 5/JV F F F k Fourier sarjan analyysi Reaalinen sini- ja kosinisignaali Reaalinen kosinisignaali ja vaihe Kompleksinen signaali A A x( t) + A cosω t + A cosωt + K + An cosnωt + x( t) B sin Ωt + B sin Ω t + K+ Bn sin nωt Ak x( t) coskω tdt Bk x( t) sin kωtdt 5/JV : n keskiarvo x( t) C + C cos( Ω + ϕ) + C cos( Ω + ϕ ) + + Cn cos( nωt + ϕn ) Ck Ak + Bk, Bk tanϕk A K x( t) Fk k F e k jkωt k A, kun k jkω t x( t) e ( Ak jbk ), kun k > ( A k + jb k ), kun k < 6
Diskreetti Fourier-muunnos Diskreetissä Fourier-muunnoksessa (Discrete Fourier ransform, DF) aika etenee näytteenottointervallin määräämissä askeleissa t n s Fk x ( t) jkω ns lim x( ns ) e, ω Ω, / s s e jkω t dt, k,, Kun näytteenottotaajuus oletetaan pieneksi, integraali muuttuu summalausekkeeksi (ns. numeerinen integrointi) jk n Fk ω x( ns ) e, ω π /, k,, K, 4 4 44 4 444 3 Diskreetti Fourier -muunnos (DF) K s jkω t x( t) e dt, k,, K Fk / s 5/JV 3 Diskreetti Fourier-muunnos Oletetaan näytteenottointervalliksi π, jolloin ωπ/ 4 cos t cos 4t cos6t x( t) + + + K π π,3 3,5 5,7,6366,444cos t,849cos 4t,364 cos6t + K 56; t linspace(,, (+)); t t([:]); % vika piste pois periodin takia s abs(sin(pi*t)); subplot(3), plot(t, s); d fft(s)/; % kompleksisen spektrin laskenta dmag abs(d); dphase angle(d); M ; % M spektriviivan Fourier-kertoimet d dmag(); dm *dmag(:m); % yksipuolisen spektrin laskenta cmag [d, dm]; cphase dphase(:m); subplot(3), stem((:(m-)),cmag), xlabel('amplitudi'); subplot(33), stem((:(m-)),cphase), xlabel('vaihe'); sinωt on parillinen funktio, siksi vain kosinitermejä abs(sin(x)).5...3.4.5.6.7.8.9.5.5 -.5-5 3 4 5 6 7 8 9 Amplitudi 5 5... 3. 4. Harmonische 5. 6. 7. 8. -5 3 4 5 6 7 8 9 Vaihe 5/JV Vaihe on tärkeä, koska ei ole 4 ihan sama missä keskinäisessä vaiheessa sinisignaaleja summataan 7
Diskreetti Fourier-muunnos Jos DF:n kaavassa esiintyvä termi merkitään W e -jπ/, saadaan Fourier-muunnospari muotoon X [ k] x[ k] kn W, k kn x[ k ] X [ k] W, n k joskus muunnospari määritellään lyhyemmin X[n] X[k] DF(x[n]) x[n] IDF(X[k]) Havaitaan että jos kaavojen avulla halutaan laskea X(k):n arvoja alueen k - ulkopuolelta, ulkopuoliset arvot muodostavat samanlaisen jakson kuin perusalueen X(k):t Eli DF muodostetaan kuvittelemalla muunnettava näytteen näytejono jaksolliseksi Huomaa että ainoa ero DF:n ja IDF:n välillä on skaalaustekijä / ja merkin vaihto ekponentissa Eli jos on olemassa laskentakeino DF:n laskemiseksi, se voidaan helposti muuntaa IDF:n laskemiskeinoksi ämä on suora seuraus aika- ja taajuusakselien symmetriasta x[n] DF IDF X[k] x[k] 5/JV 5 DF ominaisuudet DF ja IDF ovat syklisiä, ts. x[n] x[n+], n X[k] X[k+], k Lineaarisuus Jos x [n] X [k] ja x [n] X [k] iin A x [n]+b x [n] AX [k] + BX [k] Ajan siirto Jos x[n] X[k] iin x[n-n ] X[k]e -jπkn/ X[k]W kn n Konvoluutio Jos x [n] X [k] ja x [n] X [k] iin x n x m Modulaatio Jos x [n] X [k] ja x [n] X [k] iin [ ] [ m n] X [ k] X [ k] m x [ n] x [ n] X [ m] X [ k m] X [ k] x[ k] kn e jπ / [ n] { cos( πkn / ) j sin ( πkn / )} x W, k, W Kosini on parillinen funktio (x[n]x[-n]), joten jos x[n] on reaalinen X[k] reaaliosan täytyy olla parillinen ja X[k] imaginaariosan pariton X[k] itseisarvo on parillinen ja X[k] vaihe on pariton X[k]X * [-k] DF on täysin määritelty puolella (/) spektrikertoimia (kun siis x[n] on reaalinen) Jos x[n] on kompleksinen, symmetriaa ei ole ja kaikki spektrikerrointa tarvitaan signaalin määrittelemiseen Jos lisäksi x[n] on parillinen, spektri koostuu vain kosinitermeistä, eli X[k] imaginäärikomponentit ovat nollia Jos x[n] on pariton, spektri koostuu sinitermeistä, ja X[k] reaalikomponentit ovat nollia 5/JV 6 8
DF käytännössä DF tuottaa toisistaan riippumatonta spektrikerrointa X[k] Spektrikertoimet voidaan nähdä taajuustason näytteinä jatkuvasta Fourier-muunnoksesta X(Ω) Kertoimien välillä on yhteys Ω k /() jossa on näytteenottointervalli Eli taajuustason näytteet voidaan ajatella otetun F s / Hz välein Jos näytteenottotaajuus on 8 Hz ja käytetään pisteen DFmuunnosta, muunnetut spektrikertoimet esittävät taajuuskomponentteja jotka ovat 8 Hz:n välein Mutta vain puolet kertoimista ovat merkityksellisiä (toiset ovat peilikuva), eli voimme kattaa taajuusalueen - 5 8Hz eli 4 Hz Eli yqvistin näytteenottoteoreema kummittelee tässäkin; ottamalla näytteitä 8 Hz vauhdilla, näemme vain taajuudet 4 Hz IDF vastaavasti palauttaa signaaliarvoa x[n] spektrikertoimesta k x[n] aajuusindeksi (ei yksikköä) DF Digitaalitaajuus (rad) ω k k π/ X[k] Analogitaajuus (rad/s) Ω k k π/ 5/JV 7 DF käytännössä DF voidaan nähdä myös suodinpankkina (rinnakkaisten suotimien ryhmänä) Yhden suodattimen kaistanleveyden määrää käytetty näytteenottotaajuus sekä DF:n pisteiden määrä () Esimerkiksi 4 pisteen DF jos näytteenottotaajuus on 96 khz, yhden suotimen kaistanleveys on 96/4 Hz 93,75 Hz Mitä suurempi, sitä suurempi on DF:n resoluutio ts. tarkkuus, millä DF kykenee taajuuksia erottelemaan 96 khz 4 96 khz DF x(t) F F F F 3 93,75 Hz 93,75 87,5 Hz 87,5 8,5 Hz 5/JV 8 9
tätä ei lasketa summaksi, vaan kompleksilukuun kuuluvaksi DF:n laskenta vaatii yhtälön evaluointia kn X ( k ) x( n) W, k W j( π ) e Jos x[n] on kompleksinen X DF laskenta kn kn ( k) { R( x[ n] ) + ji( x[ n] )} { R( W ) + ji( W )} R kertolasku 4 44 8 64 47 44 8 kn kn ( x[ n] ) R( W ) I( x[ n] ) I( W ) 64 7 kertolasku kertolasku kertolasku 64 47 448 64 47 448 kn kn + j R( x[ n] ) I( W ) + I x[ n] R W, k,, K X(k):n laskenta yhdelle k:lle vaatii 4 kertolaskua, kun tämä tehdään jokaiselle k:lle, kertolaskujen määräksi tulee 4 Jokaisen neljän osan termin summaaminen vaatii - kaksiporttista summausta ja reaali ja imaginaariosien yhdistäminen vaatii kaksi summausta lisää, eli X(k):n laskenta jokaiselle k:lle vaatii 4(-)+ summausta joka kerrottuna :llä (koska kpl X(k) termejä) on (4-) ( ) ( ) 45 4 35 3 5 5 5 5 5 5 5/JV 9 3 35 4 45 5 55 6 65 Kertolaskujen määrä DF:n laskennassa tulee helposti erittäin suureksi kun kasvaa 7 75 8 85 9 95 DF laskenta Jos halutaan tehdä 4-pisteen DF reaaliaikaisesti ja näytteenottotaajuus on 96 khz, aikaa yhden 4 näytteen lohkon käsittelemiseen on 4 /96,7 ms ässä ajassa on suoritettava 4 49434 kertolaskua, eli aikaa yhden kertolaskun suorittamiseen jää,5 ns ämän hetken toteutusteknologialla,5 ns on epärealistisen pieni aika kertolaskulle Käytännössä lisäksi pitäisi laskea vielä yhteenlaskut sekä huolehtia datojen siirrosta kertolaskuelimien ja muistin välillä Suora DF:n laskenta ei ole käytännössä realistinen jos on suuri (> ) Eli DF:llä ei käytännössä voi toteuttaa suuren resoluution DF-lohkoja 96 khz 4 96 khz DF,7 ms 5/JV
Hajoita ja hallitse Jotta DF-muunnosta voitaisiin käyttää tosimaailmassa, tehokkaampi algoritmi DF:n laskennalle on tarpeen DF:n laskennan vaikeus on neliöllisesti verrannollinen laskettavien pisteiden määrään ( ) Jos laskettavien pisteiden määrä voidaan pudottaa puoleen (/), laskennan vaikeus putoaa neljäsosaan (/) /4 oki laskentoja tarvitaan kaksi koska vain puolelle pisteistä lasketaan DF Kokonaiskompleksisuus on siten /4 /, eli puolet helpompi kuin alkuperäisen jakamattoman tehtävän ratkaiseminen Jos ongelman ratkaisu on epälineaarinen ongelman kokoon nähden, tehtävän pilkkominen osiin ja sitten ratkaisujen yhdistäminen saattaa olla kannattavaa Edellyttäen että ratkaisujen yhdistäminen ei on kohtuullisen helppoa Ja että ongelma on ylipäätään pilkottavissa sekä ratkaisut yhdistettävissä DF:n laskennan suhteen tällaisen pilkkomisen ja uudelleenyhdistämisen idean esittivät 965 James W. Cooley and John W. ukey Joskin myöhemmin osoittautui että Carl Friedrich Gauss (777 855) esitteli samantapaisen ratkaisun jo vuonna 85 Eli samoihin aikoihin kun Fourier esitti itse muunnoksen konseptin! S/4 S 5/JV opea Fourier-muunnos (FF) DF voidaan jakaa kahteen osaan, parittomiin ja parillisiin indekseihin X - nk nk [ k] x[ n] W x[ n] W + x[ n] parillinen pariton merkitään r ensimmäiseen summaan ja n r+ toiseen summaan, näin saadaan X rk ( r+ ) k [ k] x[ r] W + x[ r + ] W r r järjestetään molemmat X[k]:n osat /-muunnoksiksi käyttäen rk ( ) j π rk j π rk rk rk W W e e W näin saadaan rk k rk X [ k] x[ r] W + W x[ r + ] W r r 4 44 3 44 443 / DF parilliset W nk / DF parittomat Jos G[k] esittää / DF parillisille indekseille ja H[k] / DF parittomille indekseille, saadaan DF muotoon X[k] G[k] + W k H[k] äin näytteen DF on saatu pilkottua kahteen / DF lohkoon ja näiden ulostulojen kombinointilogiikkaan yhdistävä operaattori 5/JV
opea Fourier-muunnos (FF) Pilkkomisen tuloksena kertolaskujen määrä on (/) +(/) + Pilkkomista voidaan jatkaa kunnes DF lasketaan vain yhdestä näytepisteestä (eli kertolaskujen määrä on ) Jos muunnettavien näytepisteiden määrä on :n potenssi; silloin jokaisessa pilkkomisasteessa on kertolaskua ja näitä asteita on log kappaletta Kertolaskujen määrä on silloin log Jakamalla DF osiin ja yhdistämällä osien tulokset keskenään, kertolaskujen määrä pieneni äin toteutettua DF:n laskentaa kutsutaan nopeaksi Fouriermuunnokseksi (Fast Fourier ransform, FF) FF on vastaavanlainen signaalinkäsittelyn perusoperaatio taajuustasossa kuin konvoluutio aikatasossa FF:n laskentaa varten useissa signaaliprosessoreissa on erityisiä käskyjä, osoitusmuotoja tai jopa erillisiä Hardware-laskentayksiköitä x[n] FF X[k] 5/JV 3 FF laskenta Jos halutaan tehdä 4-pisteen FF reaaliaikaisesti ja näytteenottotaajuus on 96 khz, aikaa yhden 4 näytteen lohkon käsittelemiseen on 4 /96,7 ms ässä ajassa on suoritettava 4(/)log 48 kertolaskua, eli aikaa yhden kertolaskun suorittamiseen jää,5 µs FF nopeutti 4 pisteen DF:n laskentaa n. kertaisesti 5 ns on realistinen tämän päivän toteutusteknologialle Puolijohdetekniikan kellotaajuus kaksinkertaistuu,5 vuodessa (Mooren laki) FF:n avulla voidaan nyt laskea sellaisia DFlohkoja joita muutoin voitaisiin laskea vasta,5 log,5 vuoden päästä 96 khz 4 96 khz FF,7 ms 5/JV 4
Fourier-muunnoksen käyttö Analoginen signaali x(t) 3cos(πt) näytteistetään nopeudella Hz (näytettä/s),s Digitaalinen signaali on silloin x[n] 3cos(,πn) Signaalista otetaan näytettä x[n] ja ne johdetaan DFprosessoinnin läpi DF:n tuloksena saadaan näytettä X[k] Ainoastaan X[] ja X[-] Amplitudi 3 vastaa arvoa A/ jossa A3 (kosinisignaalin amplitudi) ja (näytteiden määrä) X[k] on reaalinen (imaginääriosa ) Indeksi k vastaa kahta signaalin täyttä jaksoa (kuten kuvasta nähdään) 5/JV 5 Fourier-muunnoksen käyttö Otetaan edellisestä digitaalisignaalista näytteen DF ollasta poikkeavien signaalien amplitudi on kasvanut viisinkertaiseksi (koska 5 kertaa suurempi näytemäärä muunnoksessa) aajuusindeksi on myös siirtynyt :ta :een, joka on täysien kosinisignaalin jaksojen määrä näytteessä Vastaava digitaalitaajuus on kuitenkin säilynyt samana 5/JV 6 3
Fourier-muunnoksen käyttö Analoginen signaali x(t) 5sin(πt) näytteistetään nopeudella Hz (näytettä/s),s Digitaalinen signaali on silloin x[n] 5sin(,πn) Signaalista otetaan näytettä x[n] ja ne johdetaan DF-prosessoinnin läpi DF:n tuloksena saadaan näytettä X[k] Ainoastaan X[] ja X[-] Amplitudi 5 vastaa arvoa A/ jossa A5 (sinisignaalin amplitudi) ja (näytteiden määrä) X[k] on imaginäärinen (reaaliosa ) Koska Xi[-k] -Xi[k], imaginaariosan spektrikomponentit ovat erimerkkisiä Indeksi k vastaa kahta signaalin täyttä jaksoa (kuten kuvasta nähdään) 5/JV 7 Fourier-muunnoksen käyttö Etsi IDF kuvassa esitetystä spektrikerroinjoukosta IDF voidaan reaalisille näytteille x[n] esittää muodossa X [ ] [ ] x n + k πk n πk n X [ ] [ ] [ ] X R k cos X I k sin + cosπn Asetetaan 8 ja käytetään annettuja X[k]:n arvoja,5 π n π n π n,5 x[ n] ( ) sin + cos (,75 ) sin + cosπn 8 8 8 8 8 8 8 8 πn πn πn,875,5sin +,5cos +,4375sin +,65cosπn 4 X [ k] {.5,,,,.5,,, }, X [ k] {,,.75,,,,.75, } R Jos signaali olisi näytteistetty Hz:n taajuudella (,s), vastaava analoginen signaali voisi olla Ω ω x( t),875,5sin,5πt +,5cos5πt +,4375sin 5πt +,65 cosπt Vastaava analoginen signaali voi olla myös laskostunut (meillä ei ole mitään keinoa havaita tätä digitaalisista näytteistä) jolloin analogisessa signaalissa on paljon suurempitaajuisisia komponentteja I 5/JV 8 4
Fourier-muunnoksen käyttö Spektrianalyysissa annettu signaali puretaan spektrikomponentteihinsa ässä voidaan käyttää DF:tä Kuvassa a) on kolmen sinisignaalin muodostama 5 näytteen mittainen x[n] ensimmäisen värähtelee 6 kertaa, toinen 5 kertaa ja kolmas kertaa näytejakson (5 näytettä) aikana Jos näytteenottotaajuus olisi 5 Hz, sinisignaalien analogiataajuudet olisivat 6 Hz, 53 Hz ja Hz Koska analysoitava signaali on reaalinen, DF:n tulos on symmetrinen keskipisteen suhteen ja / spektrikertoimella voidaan signaali määritellä yksikäsitteisesti Kuvassa b) kahden sinisignaalin taajuutta muutetaan hiukan siten, että ne eivät ole aivan perustaajuuden harmonisia oinen ja kolmas spektrikomponentti vuotavat silloin hiukan vierekkäisiin spektrikertoimiin πn πn πn [ n],sin 6 +,sin 53 +,5sin, n 5 5 5 5 x πn πn πn x[ n],sin 6 +,sin 53,5 +,5sin,5, n 5 5 5 5 5/JV 9 Fourier-muunnoksen käyttö Usein spektrianalyysissä analysoitavassa signaalissa on jokin hyötysignaali joka on hautautunut kohinaan Kuvassa a) on 5 näytteen kohinasignaalin seassa jaksollisia sinisignaaleja Sinisignaalit ovat niin heikkoja, että signaalin x[n] graafisesta esityksestä ne eivät näy Kuvassa b) on signaalin x[n] muunnos DF:n avulla spektraalikomponentteihinsa X[k] ähdään että kohina on melko tasaisesti jakautunut koko taajuusalueelle (ns. valkoinen kohina) Kohinan näytteet ovat siis toisistaan varsin riippumattomia Havaitaan myös että signaalissa on selvä piikki 3 harmonisen kohdalla Lisäksi 96 harmonisen kohdalla on heikompi piikki 5/JV 3 5
äytteistettyjen järjestelmien koko kuva LOHKOKAAVIO Implementaatio Impulssivaste (FIR, IIR) Z{h[n]}H(z) DIFFERESSI- YHÄLÖ Aikatason esitys y[n] Stabiilisuus a) h[n] äärellinen b) avat yksikköympyrän sisällä SIIROFUKIO aajuustason esitys AAJUUSVASE H(e jω ) H(e jω ) θ(ω) H( z) k k az b z b ( ) ( ) z zk H z a ( z pk ) Im δ[n] µ[n] - µ[n-] δ[n] e jωp H(z) h[n] H(e jω ) Re ω p ω n π 5/JV 3 entti entti.5.6, luokka. 6:3 9:3 (3h) Kuusi hyväksyttyä laskaria korvaa tentit, kts. ekan laskarin ohjeet Laskaritehtäviä on kuitenkin 7 + yksi ekstratehtävä äillä ylimääräisillä tehtävillä voi paikata suoritustaan jos joitain tehtäviä uupuu tai eivät ole menneet läpi entissä ei saa olla mukana mitään oheismateriaalia, laskin on kuitenkin sallittu enttipaperissa on kaavakokoelma jossa mahdollisesti tarvittavat kaavat valmiina, ei tarvitse opetella ulkoa 5/JV 3 6
Entäs sitten? Olemme käsitelleet signaalinkäsittelyn alkeita Signaalien luokittelu, järjestelmien perusominaisuudet, impulssivaste, lohkokaavio, differenssiyhtälö, siirtofunktio, navat ja nollat, taajuusvaste Kiinnostavaa on myös tietää kuinka signaalinkäsittelyjärjestelmiä käytännössä toteutetaan, kuinka laskutoimitukset toteutetaan, mitä milläkin tarkkuudella täytyy laskea ja miten mahdollisimman tehokkaasti ätä varten on kurssi Digitaaliset Signaaliprosessorit Digitaalisten suodattimien suunnittelu, spektrin estimointi, signaalien kaivaminen kohinan seasta ( kun tarpeeksi kiusaa, niin kyllä se luontoäiti tunnustaa ) ovat myös tärkeitä signaalinkäsittelyn osa-alueita äitä asioita tutkitaan sitten jatkokurssilla Signaalikäsittelyjärjestelmät Signaalinkäsittelyä tarvitaan mitä erilaisimmissa tilanteissa äitä varten on kurssi Digitaalisen Signaalinkäsittelyn projekti Signaalivuokaavion viivojen verkko merikortti tuntemattomaan, kohtalo piirtää salaa yön minälle kutsuaan. ien keskeen karien kuohun sen kaavio viitoittaa. Ei tarvis kuin purjeet nostaa, vaan minne päin suunnistaa? Miksi sydän pelosta hakkaa? Mistä epäily levoton? Merikortti on tallella tässä, mutta kompassi, missä se on? Jacques Berg, 993 5/JV 33 7