Sisältö. 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi

Transkriptio

1 Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi

2 Kompleksiluvut C Kompleksiluvut C määritellään reaalilukuparien (a, b) joukkona:a+bj : j = (0, 1) a = (a, 0), kun a R (a, b) = (a, 0)+(0, b) = a+bj (a+bj)+(c + dj) = (a+c)+(b + d)j (a+bj)(c + dj) = (ac bd)+(ad + bc)j ( j 2 = 1) Yhteenlasku Kertolasku Siten C = {a+bj a, b R, j 2 = 1} missä yhteen- ja kertolasku on määritelty kuten reaaliluvuille. Olkoot x ja y reaalilukuja. Kompleksiluvun z = x + jy konjugaatti : z = x jy (liittoluku) reaaliosa: Re z = x, imaginaariosa: I z = y itseisarvo: z = x2 + y 2 käänteisluku: z 1 = 1 z = x x 2 +y j 2 y x 2 +y 2

3 Napakoordinaattiesitys Kompleksiluvun napaesitys z = r(cosϕ+j sinϕ) r = z = x 2 + y 2 Kompleksiluvun argumentti ϕ = arg z määräytyy ehdoista cosϕ = x r sinϕ = y r r = z ϕ x z=x+jy y z=x jy

4 Argumentin päähaara Argumentti on määritelty, ellei sitä muutoin kiinnitetä, vain 2π:n monikerran tarkkuudella. Argumentin pääarvo Arg z on se ϕ = arg z:n arvo joka on välillä [0, 2π); 0 Argz < 2π. Laskusääntöjä: z + w = z + w, zw = z w, z = z z 0, z = z, zw = z w, Rez z, I z z z + w z + w

5 Stereograafinen projektio Jokaista kompleksitason P pistettä A vastaa täsmälleen yksi piste A yksikköpallopinnalla S, joten jokainen kompleksiluku voidaan samaistaa pallopinnan pisteen kanssa. Piste N ( pohjoisnapa ) on kompleksiluku.

6 Kompleksilukujen yhtäsuuruus Yhtäsuuruus, kun z = x + jy, w = u + jv, z = w x = u, y = v z 1 = r 1 (cosϕ 1 + j sinϕ 1 ),z 2 = r 2 (cosϕ 2 + j sinϕ 2 ), { r 1 = r 2 z 1 = z 2 ϕ 1 = ϕ 2 + k2π, jollakin k Z ϕ 1 = ϕ 2 + k2π ϕ 1 = ϕ 2 mod 2π Tulo napaesityksen avulla: ( ) z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 +ϕ 2 )+j sin(ϕ 1 +ϕ 2 )]

7 Geometrinen tulkinta Lause 1 (a) arg z 1 z 2 = arg z 1 + arg z 2 (b) arg z w = arg z arg w (c) arg 1 z = arg z mod 2π mod 2π mod 2π Tulon geometrinen tulkinta: z 1 z 2 z 2 ϕ 1 + ϕ 2 ϕ 2 z 1 ϕ 1 z 2 ϕ 2 ϕ 1 z 1 z 2 z 1 Huom. Välttämättä ei ole Argz 1 z 2 = Argz 1 + Argz 2 ( ):n yleistys: ( ) z 1 z 2 z n = r 1 r 2 r n [cos(ϕ 1 + +ϕ n )+j sin(ϕ 1 + +ϕ n )]

8 De Moivre n kaava Jos z = r(cosϕ+j sinϕ), niin De Moivren kaava z n = r n (cos nϕ+j sin nϕ) (cosϕ+j sinϕ) n = cos nϕ+j sin nϕ cos nϕ = Re(cosϕ+j sinϕ) n sin nϕ = I(cosϕ+j sinϕ) n

9 Binomiyhtälö Binomiyhtälön z n = w, missä w = w (cosθ+j sinθ) 0, ratkaisut eli juuret saadaan kaavalla z k = n w [cos( θ n +k 2π n )+j sin(θ n +k 2π n )], k = 0,1,2,...,n 1. Perustelu: z = z (cosϕ+j sinϕ), w = w (cosθ+j sinθ) z n = w z n (cos nϕ+j sinnϕ) = w (cosθ+j sinθ) { z n = w nϕ = θ+k2π { z = n w ϕ = θ n + k 2π n, k = 0,1,...,n 1. Huom.! On vain n eri juurta, sillä z n = z 0, z n+1 = z 1, z n+2 = z 2,...

10 Juurenotto Juurenotto voidaan ajatella myös moniarvoisena funktiona z n = w z = n w missä n w saa n eri arvoa kun w 0. Kukin arvo z k, k = 0,1,...,n 1, antaa juuren erään haaran arvon k = 0 : päähaara, 0 arg z 0 < 2π n k:s haara, k2π n arg z k < (k + 1) 2π n Esimerkiksi neliöjuuri w saa kaksi arvoa, jotka ovat toistensa vastalukuja.

11 Toisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälö az 2 + bz + c = 0, a,b,c C, a 0 a(z b 2a z +( b 2a )2 )+c b2 4a = 0 a(z + b 2a )2 = b2 4ac 4a z = b+ b 2 4ac 2a z + b 2a = 1 2a b 2 4ac Jos kiinnitetään toinen neliöjuuren arvoista, niin z = b± b 2 4ac. 2a

12 Eulerin kaava Kun z C, z = x + jy, määritellään: e z = e x (cos y + j sin y). Tällöin erikoisesti, (Eulerin kaava), e jϕ = cosϕ+j sinϕ, ja De Moivren kaava (kun r = 1) saa muodon (e jϕ ) n = e jnϕ. Reaalisille cos ϕ ja sin ϕ saadaan kaavat: cosϕ = ejϕ + e jϕ 2 sinϕ = ejϕ e jϕ 2j

13 Kompleksinen impedanssi Ohmin lain mukaan U = RI, missä R on vastus, U jännite ja I on virta. Jos U on jännite ja I virta käämissä, jonka induktanssi on L, niin U = L di dt. Kondensaattorissa, jonka kapasitanssi on C, on U = 1 C t I(s)ds + U(0). 0

14 Sähköinen virtapiiri Oletetaan nyt, että ao. piirissä on sinimuotoinen virta, I(t) = I 0 cos wt, Tällöin U R = RI 0 cos wt U L = wli 0 sinwt U C = 1 wc I 0 sin wt + U C (0).

15 Kompleksinen esitys Virran I(t) = I 0 cos wt sijasta kirjoitetaan Ĩ(t) = I 0e jwt jolloin fysikaalinen virranvoimakkuus on Re(Ĩ(t)). Kaavat (1) saavat muodon Ũ R = RĨ Ũ L = jwlĩ (1) Ũ C = 1 jwc Ĩ + vakio, josta Re ŨR = RI 0 cos wt = U R, Re Ũ L = wli 0 sin wt = U L, Re ŨC = 1 wc I 0 sin wt + U C (0) = U C.

16 Kompleksinen impedanssi Jos (2):ssa oletetaan vakio nollaksi, niin kaikki ovat muotoa Ũ = ZĨ, (3) 1 missä Z on R tai jwl tai jwc = j 1 wc. Z on ns. kompleksinen impedanssi. Yllä olevalle piirille on joten Ũ = Ũ R + Ũ L + Ũ C = [R + j(wl 1 wc )]Ĩ, Z = R + j(wl 1 wc ). on piirin kompleksinen impedanssi. Huom. Z:lla on sama rooli kuin R:llä tasavirtapiirissä. Esimerkiksi vastuksen laskusääntöjä sarjan ja rinnan kytketyille piireille vastaavat samat säännöt impedanssille.

17 Esimerkki Laske alla olevan piirin jännite. Vihje: 1 Z = 1 R + jwl + 1 1/jwC, Ũ = ZĨ, R u(t) = ReŨ = = I 2 + w 2 L 2 0 (1 w 2 LC) 2 + w 2 R 2 cos(wt +ϕ) C2 arg Z = ϕ = arctan(wl/r wcr w 3 L 2 C/R)

18 LTI-systeemi heräte Systeemi vaste Systeemin heräte x(n) Systeemin vaste y(n) Systeemi h(n)

19 LTI-systeemi Aikainvarianttisuus Lineaarisuus x 1 (n) y 1 (n) x 2 (n) y 2 (n) x(n) y(n) x(n+m) y(n+m) } ax 1 (n)+bx 2 (n) ay 1 (n)+by 2 (n) Impulssivaste(funktio) h(n) on systeemin vaste diskreettiin (yksikkö)impulssiin δ(n), { 1,n = 0 δ(n) = 0,n 0,

20 Taajuusvaste Voidaan osoittaa: y(n) = k h(k)x(n k) Signaalin x(n) Fourier-muunnos X(ω) = n x(n)e jωn Voidaan myös osoittaa, että Y(ω) = H(ω)X(ω), π ω π, H(ω) ja Y(ω) ovat h(n):n ja y(n):n Fourier-muunnoksia. H(ω) on taajuusvastefunktio. Taajuusvasteen eksponenttiesitys H(ω) = H(ω) e jθ(ω). H(ω) on systeemin amplitudivaste ja θ(ω) vaihevaste. X(ω) on reaalimuuttujan (digitaalinen taajuus) ω kompleksiarvoinen funktio, jolle on voimassa mm. x(n k) X(ω)e jωk x(n) = Ae jω0n y(n) = H(ω 0 )Ae jω0n

21 Esimerkki 1 Määrää amplitudivaste ja vaihevaste Hanning-suodattimelle, joka määritellään (MA-) differenssiyhtälöllä Piirrä kuvaajat. y(n) = 1 4 x(n)+ 1 2 x(n 1)+ 1 x(n 2). 4

22 Esimerkki 2 Määrää systeemin taajuusvastefunktio H(ω), amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste θ(ω), kun vaste y(n) on (kolmen pisteen liukuvan keskiarvon (MA) malli) herätteeseen x(n). y(n) = 1 3 x(n + 1)+ 1 3 x(n)+ 1 x(n 1). 3

23 Särötön siirto Vaatimus: vaste y(n) on sama kuin heräte x(n) tai heräte vaimennettuna ja viivästettynä eli Tällöin y(n) = Ax(n k), A > 0. Y(ω) = Ae jωk X(ω), H(ω) = Ae jωk, Θ(ω) = kω. Amplitudivasteen tulee olla siis vakio ja vaihevasteen lineaarinen. Muussa tapauksessa esiintyy amplitudisäröä ja/tai vaihesäröä. Lineaarivaiheinen FIR-suodatin voidaan saada käyttämällä symmetriaehtoa h(n) = h(m 1 n), n = 0,1,...,M 1, tai käyttämällä antisymmetriaehtoa h(n) = h(m 1 n), n = 0,1,...,M 1.

24 Esimerkki 3 Määrää amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste Θ(ω) = arg H(ω) suodattimelle, joka määritellään differenssiyhtälöllä y(n) = 1 2 x(n) 1 2 x(n 2)+ 1 2 x(n 4) 1 x(n 6), 2 missä x(n) on heräte ja y(n) on vaste. Kirjoita taajuusvastefunktiolle H(ω) esitys H(ω) = R(ω)e jφ(ω), missä R(ω) ja φ(ω) ovat reaalisia. Piirrä amplitudivasteen kuvaaja.

25 Z-muunnos Signaalin x(n) Z-muunnos on kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio X(z), X(z) = n x(n)z n. Z-muunnoksen laskusäännöt Y(z) = H(z)X(z) ja x(n k) X(z)z k. H(z):aa sanotaan systeemin siirtofunktioksi. Selvästi H(ω) = H(z) z=e jω.

26 Digitaalisen suodattimen suunnittelu Nollien ja napojen sijoittamisen avulla M b k z k H(z) = k=0 = G 1+ N a k z k k=1 M Π k=1 N Π k=1 (1 z k z 1 ) (1 p k z 1 ) 1 Napojen tulee sijaita yksikköympyrän sisällä (R stabiilisuus) 2 Kompleksisten nollien ja napojen tulee esiintyä konjugaattipareina jotta systeemi olisi reaalinen. Esimerkiksi 2-napaiselle ja 2-nollaiselle systeemille ja H(z) = G (z z 1)(z z 2 ) (z p 1 )(z p 2 ) = G (1 z 1z 1 )(1 z 2 z 1 ) (1 p 1 z 1 )(1 p 2 z 1 ) H(ω) = H(z) z=e jω = G (1 z 1e jω )(1 z 2 e jω ) (1 p 1 e jω )(1 p 2 e jω )

27 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Signaalin arvoihin x(0),x(1),...,x(n 1) liitetään diskreetti Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: X(k) = x(n) = 1 N N 1 n=0 N 1 k=0 x(n)e j2πkn/n = X(ω) ω=2πk N X(k)e j2πkn/n (IDFT) (DFT) Tällöin Y(k) = H(k)X(k).

28 Käänteismunnos Käänteismuunnos (IDFT) todella antaa alkuperäiset arvot x(n) sillä N 1 1 X(k)e j2πkn/n = 1 N N = 1 N = 1 N k=0 m=0 N 1 ( N 1 k=0 k=0 m=0 N 1 N 1 x(m)e j2πk(m n)/n N 1 m=0 N 1 x(m) k=0 Aputulos (harjoitustehtävä 10) N 1 k=0 e j2πkr/n = x(m)e j2πm/n ) e j2πk(m n)/n = 1 x(n) N = x(n). N { 0, r = 1,...,N 1, N, r = 0, e j2πkn/n