MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8
Tasointegraali Olkoon R 2 joukko tasossa ja f :! R skalaarikenttä. Halutaan määritellä tasointegraali f (x, y) da. Integraalin arvo on pinnan z = f (x, y) jaxy-tason väliin jäävän alueen tilavuus. Tutkitaan aluksi erikoistapausta =[a, b] [c, d]: Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 2 / 8
Yhden muuttujan tapaus Yhden muuttujan tapauksessa integraali saadaan Riemannin summien raja-arvona Formaalisti ˆ b a f (x) dx = lim n! nx f (x i ) x, missä a = x, x,...,x n = b on välin [a, b] tasavälinen jako ja jakovälin pituus. i= x on Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 3 / 8
Usean muuttujan tapaus (tasointegraali, R 2 ) Jaetaan tason osajoukko =[a, b] [c, d] tasavälisesti ruudukoksi niin, että kummallakin akselilla on n jakopistettä: Nyt voidaan määritellä f (x, y) da = lim n! nx i= nx f (x i, y j ) x y, missä x ja y vastaavat jakovälien pituutta x ja y-suunnassa: x = b a n, y = d c. n j= Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 4 / 8
Usean muuttujan tapaus (avaruusintegraali R 3 ) Tason tapauksessa edellä määriteltyä integraalia kutsutaan tasointegraaliksi. Samaan tapaan voidaan määritellä avaruusintegraali: f (x, y, y) dv = lim n! nx i= nx j= nx f (x i, y j, z k ) x y z, k= kun =[a, b ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] R 2 ja f :! R. Tässä x = b a n, y = b 2 a 2 n ja z = b 3 a 3 n Matematiikan kannalta vieläkin useamman muuttujan funktioita f : R n! R, missä n 2, voi integroida samaan tapaan. Niitä ei kuitenkaan yleensä esiinny sovelluksissa.. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 5 / 8
Huomautuksia Yhden muuttajan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin peruslause: f (x) = d dx ˆ x c f (t) dt, kun c, x 2 [a, b] ja f :[a, b]! R on jatkuva funktio. Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Valitettavasti Analyysin peruslauseelle ei ole suoraa vastinetta usean muuttujan tapauksessa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 6 / 8
Moninkertainen integraali Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina integraaleina. Kaksiulotteinen tapaus (integrointialue suorakaide) f (x, y) da = ˆ d c ˆ b a f (x, y) dx dy, kun =[a, b] [c, d]. Kolmiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmainen särmiö) f (x, y, z) dv = ˆ b3 a 3 ˆ b2 kun =[a, b ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. a 2 ˆ b a f (x, y, z) dx dy dz, Mikäli funktio f : R n! R (n =2, 3,...) on jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 7 / 8
Esimerkki Olkoon f (x, y) =xy 2.Lasketaan f (x, y) da, missä = {(x, y) 2 R 2 :applex apple, apple y apple }. Aluksi kirjoitetaan tasointegraali kaksinkertaisena integraalina, ja lasketaan xy 2 da = xy 2 dx dy = apple x 2 y 2 2 x= dy = y 2 2 dy = apple y 3 6 y= = 6. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 8 / 8
Esimerkki 2 Olkoon f (x, y, z) =xye z.lasketaan f (x, y, z) dv, missä =[, 2] [, ] [, ]. Kirjoitetaan avaruusintegraali kolminkertaisena integraalina. Lasketaan ˆ 2 xye z dv = xye z dx dy dz = = x 2 ye z 2 2 x= y 2 e z dy dz = y= dz = e z dz 2ye z dy dz = e z z= = e e. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 9 / 8
Integrointi yleisemmissä alueissa/2 Tutkitaan funktiota f :! R, joka on määritelty tason (tai avaruuden) osajoukossa. Tähän asti on oletettu, että on suorakaide (vast. suorakulmainen särmiö). Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmiota ˆ, jolle ˆ. Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon olla siisti (esim. riittää, että reuna on paloittain sileä). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8
Integrointi yleisemmissä alueissa2/2 Määritellään funktio ˆf : ˆ! R seuraavasti: ˆf (x, y) = f (x, y), kun (x, y) 2,, kun (x, y) 2 ˆ \. Nyt voidaan määritellä f (x, y) da := ˆ ˆf (x, y) da. Samaan tapaan voidaan määritellä myös avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa: f (x, y, z) dv := ˆf (x, y, z) dv, kun ˆ on suorakulmainen särmiö ja ˆ. ˆ Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8
Esimerkki 3 /2 Olkoon = {(x, y) 2 R 2 :< x <, < y < x}. Lasketaan funktion f (x, y) =xy integraali yli alueen. xy da = ˆ x xy dy dx = xy 2 2 x y= dx = x 3 2 dx = x4 8 x= = 8. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 2 / 8
Esimerkki 3 2/2 Integrointi on mahdollista suorittaa myös toisessa järjestyksessä: xy da = y xy dx dy = x 2 y 2 x=y dy = y 2 y 3 2 dy = apple y 2 4 y 4 8 y= = 4 8 = 8. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 3 / 8
Esimerkki 4 Lasketaan funktion f (x, y) =e x2 e x2 da = ˆ x Sijoituksella t = x 2, dt =2xdx saadaan 2 e t dt = 2 et integraali Esimerkin 3 alueessa. e x2 dy dx = t= = e 2 Huom. Integroimisjärjestyksellä on väliä. Integraali on hyvin vaikea laskea. y e x2 dx dy 2. xe x2 dx Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 4 / 8
Epäoleelliset integraalit /2 Tähän asti on oletettu, että integrointi tapahtuu rajoitetussa alueessa (siis suorakulmaisen särmiön ˆ sisällä). Monialotteisia integraaleja on mahdollista laskea myös rajoittamattomissa alueissa. Tarkastellaan ainoastaan tapausta, jossa funktio f on ei-negatiivinen eli f (u) kaikilla u 2. Lasketaan Esimerkin 4 funktion integraali alueessa suorien y = ±x, kun x >, rajoittamassa alueessa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 5 / 8
Epäoleelliset integraalit 2/2 Mikäli integraali on olemassa, sen arvo saadaan laskemalla ˆ x e x2 da = e x2 dy dx = 2xe x2 dx x ˆ R = lim R! 2xe x2 dx. Integraalin laskemiseksi tehdään muuttujanvaihdot t = x 2, dt =2xdx,eli ˆ ˆ 2xe x2 dx = e t dt = e t + e = e x2 + e. Siten lim R! ˆ R 2xe x2 dx = lim R! e x2 R x= = lim R! e R2 =. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 6 / 8
Esimerkki 5 /2 Olkoon = {(x, y) 2 R 2 :< x <, y apple x 2 } ja f (x, y) =/x 2. Lasketaan integraali x 2 da = = ˆ x2 2 dx =2. dy dx x 2 x2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 7 / 8
Esimerkki 5 2/2 Lasketaan integraali alueessa 2 = {(x, y) 2 R 2 :< x <, y apple p x}. = 2 p x x 2 dx = 2 x 2 da = ˆ px dy dx p x x2 2x 3/2 dx = lim R! 2x /2 /2 x=r =. Suppeneminen riippuu integroitavasta funktiosta ja myös alueesta. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 8 / 8