Matematiikan tukikurssi

Transkriptio

1 Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja g(x, y)dxdy, jossa integrointialue puolestaan löytyi tasosta eli R. Nyt siirrymme kolmanteen ulottuvuuteen ja laskemme integraaleja, joissa integrointialue on kolmiulotteisessa avaruudessa eli R :ssa. Tällaista avaruusintegraalia merkitään f (x, y, z)dxdydz. Tässä siis kolmen muuttujan funktio f (x, y, z) integroidaan kaikkien kolmen muuttujansa x:n, y:n ja z:n suhteen. Integrointialueen muoto ratkaisee jälleen, kuinka helppoa integrointi käytännössä on. Helppoa tämä integrointi on silloin, jos on suorakulmainen särmiö eli [a, b] [c, d] [p, q]. Eli toisin sanottuna on tässä joukko, jossa x [a, b], y [c, d] ja z [p, q] eli kaikki muuttujat rajoitetaan vakioväleille. Tällöin integrointi sujuu suoraviivaisesti integroimalla funktio jokaisen muuttujansa suhteen vuoron perään: f (x, y, z)dxdydz q d b p c a f (x, y, z)dxdydz. Esimerkki.. Integroidaan funktio f (x, y, z) xyz joukossa [, ] [, 4] [, ]. Tässä siis integroinnin rajat ovat nyt x [, ], y [, 4] ja

2 z [, ]. Käytetään integrointiin yllä olevaa kaavaa: f (x, y, z)dxdydz q d b p c a 4 f (x, y, z)dxdydz (xyz)dxdydz. Nyt tämän integraalin voi laskea missä järjestyksessä haluaa. Integroidaan tämä alla ensin x, sitten y:n ja lopulta z:n suhteen: 4 (xyz)dxdydz (x yz)dydz yz (x )dydz yz()dydz 4 (y z)dz 4 z y dz z(7)dz z Tämä lasku siis on kohtalaisen pitkä, mutta suoraviivainen. Esimerkki.. Edellisessä esimerkissä integraali laskettiin integroimalla ensin x:n, sitten y:n ja lopuksi z:n suhteen. Tämän integroinnin voi suorittaa tällaisen suorakulmaisen särmiön tapauksessa myös muussa järjestyksessä. Tulos on sama. Lasketaan tämä integraali alla integroimalla

3 ensin y:n, sitten z:n ja lopuksi x:n suhteen: 4 (xyz)dxdydz xdx 4 8 x dx. (xyz)dydzdx (xy z)dzdx 4 xz (y )dzdx xz(7)dzdx xz dx Tulos on siis sama. Huomaa, että termien dx, dy ja dz järjestys kertoo integrointijärjestyksen. Täten esimerkiksi dzdxdy tarkoittaa, että integrointi suoritetaan ensin z:n, sitten x:n ja lopuksi y:n suhteen. varuusintegraali yli monimutkaisempien alueiden Yllä todettiin, että avaruusintegraalien laskeminen suorakulmaisissa särmiöissä on kohtalaisen suoraviivaista. Integrointialueena on kuitenkin usein jokin avaruuden R monimutkaisempi osajoukko. Integrointirajojen muodostaminen on tällöin usein vaikeaa. Tarkastellaan nyt integrointia yleisessä avaruuden joukossa R. Haluamme siis laskea integraalin f (x, y, z)dxdydz. Tämän laskeminen onnistuu samalla tekniikalla kuin aikaisemmin esimerkiksi silloin, kun pystymme esittämään alueen seuraavanlaisena

4 joukkona: a x b, φ (x) y φ (x), v (x, y) z b v (x, y). Tässä siis x on vakiovälillä [a, b]. Muuttujan y puolestaan sallitaan olevan kahden x:n funktion välissä. Muuttujan z taas sallitaan olla funktioiden v (x, y) ja v (x, y) välissä. Tässä on siis kolme ehtoa:. Muuttujan x rajat eivät saa riippua muista muuttujista: x on vakiovälillä.. Muuttujan y rajat saavat riippua x:stä: y on funktioiden φ (x) ja φ (x) välissä.. Muuttujan z rajat saavat riippua x:stä ja y:stä. Muuttuja z on funktioiden v (x, y) ja v (x, y) välissä. Jos alue pystytään esittämään tässä muodossa, niin haluttu integraali saadaan laskettua seuraavalla kaavalla: f (x, y, z)dxdydz b φ (x) v (x,y) a φ (x) v (x,y) f (x, y, x)dzdydx. Eli: Integroidaan funktio f (x, y, z) ensin z suhteen integrointirajoilla v (x, y) ja v (x, y). Seuraavaksi integroidaan syntynyt lauseke y:n suhteen integrointirajoilla φ (x) ja φ (x). Lopuksi integroidaan tästä syntynyt lauseke x:n suhteen välillä [a, b]. Esimerkki.. Lasketaan avaruusintegraali ()dxdydz, kun on joukko jota rajaa taso x + y + z ja koordinaattitasot x, y ja z. Nyt tämä alue pitäisi kirjoittaa yllä esitellyssä muodossa. Ratkaistaan aluksi yhtälö x + y + z muuttujan z suhteen: z ( x y). Tämä on nyt z:n yläraja. Sen alaraja saadaan ehdosta z, joten z ( x y). 4

5 Muuttujan y rajat puolestaan saadaan ratkaisemalla lauseke x + y + z muuttujan y suhteen: x + y + z y x z. Tässä y on suurimmillaan, kun z on pienimmillään: kun z. Yllä olevasta yhtälöstä nähdään että tällöin y x. Tämä on y:n yläraja. Muuttujan y alaraja on. Täten y on välillä [, x]. Muuttujan x rajat nähdään myös katsomalla yhtälöä x + y + z. Tästä nähdään, että x on integrointialueella suurimmillaan silloin kun y ja z ovat minimissään, eli silloin kun y ja z. Tällöin x 6. Täten x 6. Nyt kun rajat on ratkaistu, tämän funktion integrointi voidaan suorittaa suoraviivaisesti: b ()dxdydz φ (x) v (x,y) ()dzdydx a φ (x) v (x,y) x ( x y) ()dzdydx Tässä oli integroinnin vaikea osuus: kun rajat on muodostettu, etenee integrointi suoraviivaisesti: ensin integroidaan funktio f (x, y, x) muut- 5

6 tujan z suhteen, sitten y:n suhteen ja lopuksi x:n suhteen: x ( x y) x x ( x y) ()dzdydx (z)dydx ( x y) dydx x (y xy ) y dydx x (4y xy 6 ) y dx (4 ( x) x ( x) 6 ) ( x) dx x 8x + 4 dx 9 x 4x + 4x Yllä olevassa esimerkissä siis meillä oli neljä tasoa: x, y, z ja x + y + z 4. Nämä tasot rajoittivat integrointialueen. Tehtävän haaste oli löytää sopivat integroinnin rajat. Yhtälöistä z ja x + y + z 4 oli kohtalaisen suoraviivaista ratkaista z:n rajat. Muuttujan y rajat puolestaan saatiin ratkaistua valitsemalla z yhtälössä x + y + z 4. Muuttujan vaihto: sylinterikoordinaatit Myös kolmen muuttujan funktiota f (x, y, z) integroitaessa voidaan tehdä muuttujanvaihdos. Nyt muuttujanvaihdoksessa x, y ja z korvataan lausekkeilla, jotka sisältävät muuttujia u, v ja w: x x(u, v, w) y y(u, v, w) z z(u, v, w). 6

7 Nyt siis x korvataan funktiolla x(u, v, w), y korvataan funktiolla y(u, v, w) ja z korvataan funktiolla z(u, v, w). Esimerkki tällaisesta muuttujanvaihdoksesta on x u + v y u v z z, jossa siis z pysyy omana itsenään, mutta muuttujat x ja y muuntuvat. Tämä on kuitenkin hyvin yksinkertainen muuttujanvaihdos. Käytännössä kaksi käytetyintä muuttujanvaihdosta avaruusintegraaleille ovat siirtyminen sylinterikoordinaatteihin ja siirtyminen pallokoordinaatteihin. Seuraavassa oletamme, että determinantin laskukaava on tuttu. Jos näin ei ole, kannattaa hyväksyä tulokset sellaisinaan. Sylinterikoordinaattimuunnos on melkein sama kuin aiemmin käsitelty siirtyminen napakoordinaatteihin. Se on seuraava muunnos: x r cos θ y r sin θ z z. Tässä siis muuttujat x ja y korvataan täsmälleen samoilla muuttujilla kuin napakoordinaattimuunnoksen tapauksessa. Muuttuja z ei tässä muunnoksessa muunnu. Tämän muunnoksen Jakobin determinantti on sama kuin napakoordinaattimuunnoksella: (x, y, z) (r, θ, z) x x x r θ z y y y r θ z z z z r θ z cos θ r sin θ sin θ r cos θ cos θ r sin θ sin θ r cos θ cos θ (r cos θ) ( r sin θ(sin θ)) ( ) r cos θ + sin θ r. 7

8 Täten sylinterikoordinaatteihin siirryttäessä integraali muuttuu seuraavasti: f (x, y, z)dxdydz f (r cos θ, r sin θ, z) rdrdθdz,. D jossa alkuperäinen integrointialue muuntuu sylinterikoordinaatteihin siirryttäessä alueeksi D. Sylinterikoordinaatteihin siirryttäessä on sama etu kuin napakoordinaatteihin siirryttäessä: termi x + y voidaan korvata yksinkertaisella termillä r. Tätä muunnosta kannattaa käyttää muun muassa silloin, kun integrointialue on muotoa x + y a ja c z d, eli jos integrointialue on sylinterin muotoinen. Esimerkki.. Lasketaan integraali (xy) dxdydz, jossa alue on sylinteri x + y ja z. Koska x + y r, niin muuttujan r rajat ovat r. Puolestaan muuttuja θ on tuttuun tapaan välillä [, π], koska integrointialueena on koko sylinteri eikä esimerkiksi sylinterinpuolikas. Koska muuttuja z ei muunnu sylinterimuunnoksessa mihinkään, sen rajat eivät muutu eli z. Täten integrointi sujuu tällä kertaa seuraavasti: (xy) dxdydz 4 4. π π π π π (r cos θ) (r sin θ) rdrdθdz ( ) r cos θ sin θ drdθdz 4 r4 cos θ sin θ dθdz (cos θ sin θ) dθdz (sin θ) dz Tässä integrointi suoritettiin siis koko sylinterissä, koska kulma θ oli täydellä välillään [, π]. Huomaa lisäksi, että tulos kertoo että funktio 8

9 f (x, y, z) xy saa keskimäärin arvon nolla tehtävän sylinterissä. Tämä johtuu käytännössä siitä, että tämän funktion negatiiviset arvot tasapainottavat sen positiiviset arvot integrointialueella. Kulma θ on usein jollakin pienemmällä välillä, kuin [, π]. lla olevassa esimerkissä lisäehto y aiheuttaa sen, että θ rajoittuu välille [, π]. Esimerkki.. Integroidaan muuttuja e x +y puolisylinterissä, jonka rajat ovat x + y 9, z ja y eli lasketaan integraali e x +y dxdydz. Tehdään sylinterimuunnos, jolloin lauseke e x +y saadaan muotoon e r. Integroinnin raja x + y 9 muuttuu muotoon r ja raja y tarkoittaa, että θ rajoittuu välille [, π]. Puolestaan raja z pysyy ennallaan. Nyt integraali lasketaan sylinterikoordinaatteihin siirtymällä seuraavasti: ( e x +y ) dxdydz π π e r r drdθdz er dθdz π e 9 dθdz ( e 9 ) π (θ) dz ( e 9 ) (zπ) ( e 9 ) π. 4 Muuttujan vaihto: pallokoordinaatit Yllä käsittelimme sylinterikoordinaattimuunnoksen, jonka voi ymmärtää napakoordinaattien yleistyksenä, kun integrointi tapahtuu avaruudessa R. Tämä muunnos on hyödyllinen, kun integrointialueena oli joukko joka on muotoa a x + y b, v (x, y) z v (x, y). Sylinterikoordinaattien hyödyllisyys perustuu siihen, että termi x + y voidaan korvata 9

10 termillä r. Tutkitaan nyt palloa. Pallo on alue avaruudessa, joka määrittyy yhtälöstä x + y + z a, jossa a on jokin vakio. Jos integrointialueena on pallo tai pallon osa, on usein hyödyllistä siirtyä pallokoordinaatteihin. Pallokoordinaattimuunnoksessa muuttujat x, y ja z korvataan muuttujien r, θ ja ϕ lausekkeilla seuraavasti: x r sin θ cos ϕ y r sin θ sin ϕ z r cos θ Tämä muunnos on nyt hieman monimutkaisempi kuin sylinterikoordinaattimuunnos. Sen hyödyllisyys perustuu kuitenkin samantyyliseen seikkaan kuin sylinterikoordinaattienkin hyödyllisyys. Tämä nähdään summaamalla x + y + z yhteen: x + y + z r sin θ cos ϕ + r sin θ sin ϕ + r cos ( θ ) r sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ r ( ) sin θ cos ϕ + sin ϕ }{{} r sin θ + cos θ r. + cos θ Täten pallokoordinaattien hyöty on siinä, että pallomaisilla alueilla esiintyvä termi x + y + z voidaan korvata yksinkertaisella termillä r. Tämä helpottaa integrointia huomattavasti. Puolestaan pallokoordinaatiston muuttujat θ ja ϕ pitää tulkita kulmina. Myös pallokoordinaattien tapauksessa meidän pitää löytää tämän muunnoksen Jakobin determinantti. Tämän laskeminen on tällä kertaa hieman

11 työläämpää kuin aikaisemmin: x x x (x, y, z) (r, ϕ, θ) r ϕ θ y y y r ϕ θ z z z r ϕ θ sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ r cos θ sin ϕ cos θ r sin ϕ Huomataan, että viimeisellä rivillä on nolla. Täten tämä determinantti on helpointa laskea, kun sen laajentaa viimeistä riviä käyttäen: (x, y, z) (r, ϕ, θ) cos θ r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ cos ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ Tästä seuraa parin rivin laskutoimituksen jälkeen, että (x, y, z) (r, ϕ, θ) r sin θ. Lopulliseen integraaliin sijoitetaan tämän Jakobin determinantin itseisarvo, eli r sin θ. Täten pallokoordinaatteihin siirryttäessä integraali muuttuu seuraavasti: f (x, y, z)dxdydz Esimerkki 4.. Lasketaan integraali D f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r sin θdrdϕdθ. x + y + z dxdydz, kun integrointijoukko on pallo x + y + z. Koska integrointialueessa esiintyy termi x + y + z, on pallokoordinaattimuunnos järkevä ratkaisu. Korvataan siis termi x + y + z termillä r. Täten uutta integrointialuetta rajoittaa r r. Seuraavaksi pitää päättää kulmien ϕ ja θ rajat. ina kun integroimme täydessä ympyrässä, niin kulma ϕ käy täyden kierroksen eli ϕ

12 π. Kulma θ puolestaan käy tällöin puoli kierrosta: θ π. Täten integroinnin rajat ovat tässä tapauksessa r ϕ π θ π. Rajojen muodostamisen jälkeen tämäkin integrointi on suoraviivaista, kunhan muistetaan sijoittaa Jakobin determinantin itseisarvo eli r sin θ tähän muunnettuun integraaliin: π x + y + z dxdydz 4 π π π π π π π π π π π 5 (4π) π. 4 (r) r sin θ drdθdϕ r sin θ drdθdϕ r 4 sin θ dθdϕ (sin θ) dθdϕ π ( cos θ) dϕ ( cos π + cos ) dϕ () dϕ (ϕ) Tässä siis integrointialueena oli koko pallo. Jos rajoitteena on lisäksi z, niin kulmaa θ pitää modifioida siten että integrointi tapahtuu ainoastaan puolipallossa, jossa x + y + z a ja z. Tämä onnistuu rajoittamalla θ välille [, π/]. Vastaavasti rajoittamalla kulmia θ ja ϕ voidaan integroida funktioita pallon eri osissa.