f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].

Transkriptio

1 Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio f : R on konveksi, jos jokaisella x, y ja t [0, 1]. f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) Esimerkki Sylinteri, pallo, kuutio ja ellipsoidi ovat konvekseja joukkoja. Torus ei ole konveksi joukko, sillä esim. sen horisontaalinen poikkileikkaus on ympyrän leikkaus pienemmän ympyrän komplementin kanssa. Täten löytyy sellaisia janoja, jotka yhdistävät toruksen pisteitä, mutta jotka kulkevat pienemmän ympyrän kautta ja eivät siten sisälly kokonaan torukseen. Käytämme konveksisuutta yleisenpää ominaisuutta (4.5.18) divergenssilauseen todistuksessa. Konveksisuus on kuitenkin helpompi tarkistaa. Lemma Olkoon R 3 kompakti konveksi joukko ja joukot U i R 2 joukon projektio tasoon jossa i:s muuttuja on vakio. Silloin löytyy sellaiset funktiot g i, h i : U i R 2, että = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : g i (x k, x l ) x i h i (x k, x l ), (x k, x l ) U i, k, l {1, 2, 3}\{i}} (4.5.18) jokaisella i = 1, 2, 3. Lisäksi funktiot g i ja h i ovat konvekseja jokaisella i = 1, 2, 3.

2 Todistus. Olkoon i = 3 (muut tapaukset näytetään vastaavasti). Olkoon matriisi [ ] P = Tällöin P x on x:n projektio 1. ja 2. komponentille. Merkitään U = P (). Erityisesti U on kuvauksen P lineaarisuuden nojalla konveksi. Olkoon (a, b) U. Tarkastellaan joukkoa V a,b = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 = a, x 2 = b}, joka on kompaktin joukon ja suljetun joukon leikkauksena kompakti. Merkitään h(a, b) = g(a, b) = sup x 3 (x 1,x 2,x 3 ) V a,b inf x 3. (x 1,x 2,x 3 ) V a,b Koska V a,b on kompakti, niin (a, b, g(a, b)), (a, b, h(a, b)) V a,b. Tällöin V a,b {(a, b, x 3 ) R 3 : g(a, b) x 3 h(a, b)}. (4.5.19) Toisaalta joukko V a,b, jolloin joukon konveksisuuden nojalla pisteet t(a, b, g(a, b)) + (1 t)(a, b, h(a, b)) = (a, b, tg(a, b) + (1 t)h(a, b)) t [0, 1]

3 Erityisesti {(a, b, x 3 ) R 3 : g(a, b) x 3 h(a, b)} {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 = a, x 2 = b} = V a,b. (4.5.20) Inkluusioiden (4.5.19) ja (4.5.20) nojalla V a,b = {(a, b, x 3 ) R 3 : g(a, b) x 3 h(a, b)}. Kun merkitään (a, b) = (x 1, x 2 ) U, niin nähdään, että = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : g(x 1, x 2 ) x 3 h(x 1,, x 2 ), (x 1, x 2 ) U}. (4.5.21) Näytetään vielä kuvausten g, h konveksisuus. Olkoon (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) U. Silloin (x 1, x 2, g(x 1, x 2 )), (y 1, y 2, g(y 1, y 2 )) ja joukon konveksisuuden nojalla (tx 1 + (1 t)y 1, tx 2, (1 t)y 2, tg(x 1, x 2 ) + (1 t)g(y 1, y 2 )) Yhtäpitävyyden (4.5.21) nojalla g(tx 1 + (1 t)y 1, tx 2, (1 t)y 2 ) tg(x 1, x 2 )) + (1 t)g(y 1, y 2 ). Täten g on konveksi funktio. Vastaava tulos saadaan funktiolle h.

4 Lemma Olkoon R 2 konveksi ja f : R konveksi funktio. Tällöin f on jatkuva joukon sisäpisteissä. Todistus. Sivuutetaan (katso esim. Proposition 2.32 kirjasta Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye: Course in Multivariable Calculus and nalysis. Springer (2010) Lemma Olkoon R 2 kompakti konveksi joukko. Silloin on nollajoukko. Todistus. Edetään samoin kuin lemman todistuksessa. Projektiosuuntia vaihdellen nähdään, että voidaan lokaalisti esitää konveksin funktion kuvaajana. Myös yhden muuttujan konveksit funktiot ovat jatkuvia välien sisäpisteissä. Täten reuna on lokaalisti tarkasteltuna jatkuvan funktion kuvaaja. Koska on kompakti, se voidaan esittäää äärellisen monen jatkuvan funktion kuvaajan yhdisteenä. Erityisesti se on nollajoukko. Seuraava lause pätee myös heikommilla oletuksilla joukon suhteen, mutta tällöin tarvitaan monimutkaisempia käsitteitä määrittelemään joukon reunan ominaisuuksia (esim. ns. C 1 - tai Lipschitz-reuna tai äärellisen perimetrin reuna). Palautetaan mieleen, että ulkonormaali osoittaa alueesta ulospäin. Lause (Divergenssilause). Olkoon R 3 sellainen avoin konveksi rajoitettu joukko, jonka reuna on paloittain yksinkertainen pinta ja olkoon f : R 3 C 1 -vektorikenttä. Tällöin f(x)dx = n(x) f(x)dσ(x), missä n(x) on pinnan ulkonormaali.

5 Todistus. Olkoon f = (f 1, f 2, f 3 ) : R 3 C 1 -vektorikenttä. Näytetään, että f i (x)dx = n i (x)f i (x)dσ(x) (4.5.22) x i kaikilla i = 1, 2, 3. Lauseen väite saadaan silloin summaamalla yhtälöt (4.5.22) puolittain. Olkoon i = 3. Lemman nojalla löytyy sellaiset konveksit funktiot g ja h, että = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : g(x 1, x 2 ) x 3 h(x 1,, x 2 ), (x 1, x 2 ) U}. Olkoon Q = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] sellainen suorakulmainen särmiö, että Q. Määritellään funktio { { f3 x F (x 1, x 2, x 3 ) = 3 (x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) f3 x = 3 (x), g(x 1, x 2 ) x 3 h(x 1, x 2 ) 0 muulloin. 0 muulloin Funktio F on integroituva yli suorakulmaisen särmiön Q, sillä F ăon jatkuva nollamittaisen joukon ulkopuolella. Lisäksi b3 a 3 F (x 1, x 2, x 3 )dx 3 = h(x1,x 2 ) g(x 1,x 2 ) f 3 x 3 (x 1, x 2, x 3 )dx 3 = f 3 (x 1, x 2, h(x 1, x 2 )) f 3 (x 1, x 2, g(x 1, x 2 )) on olemassa jokaisella (x 1, x 2 ) [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]. Fubinin lauseen nojalla f 3 (x)dx = f 3 (x 1, x 2, h(x 1, x 2 )) f 3 (x 1, x 2, g(x 1, x 2 ))dx 1 dx 2. (4.5.23) x 3 U

6 Tarkastellaan pintaintegraalin osuus. Jaetaan pinta kolmeen osaan: kanteen (jossa h määrää reunan), pohjaan (jossa g määrää reunan) ja kaulusosaan, jossa normaalivektori on kohtisuorassa vektoriin (0, 0, f 3 ) nähden. Olkoon ψ : V R 2 parametrisesitys sellaiselle piinnan yksinkertaiselle osajoukolle S, joka sisältyy joukon pohjaan. Lemman nojalla n(x) = ψ y 1 (y) ψ y 2 (y) ψ y 1 (y) ψ y 2 (y) on pinnan S normaalivektori pisteessä x = ψ(y). Valitaan sellainen ψ, että n(x) on pohjan ulkonormaali eli ( 1 ψ1 n 3 (x) = ψ y 1 (y) ψ (y 1, y 2 ) ψ 2 (y 1, y 2 ) ψ 2 (y 1, y 2 ) ψ ) 2 (y 1, y 2 ) 0. y 2 (y) y 1 y 2 y 1 y 1

7 Tällöin n 3 (ψ(y)) ψ (y) ψ (y) y 1 y 2 = ψ 1 (y 1, y 2 ) ψ 2 (y 1, y 2 ) ψ 2 (y 1, y 2 ) ψ 2 (y 1, y 2 ) y 1 y 2 y 1 y 1 = det(j (ψ1,ψ 2 ),(y 1,y 2 )) 0 Sijoitetaan tämä pintaintegraalin lausekkeeseen f 3 (x)n 3 (x)dσ(x) = f 3 (ψ(y))n 3 (ψ(y)) ψ (y) ψ (y) S V y 1 y 2 dy = f 3 (ψ 1 (y), ψ 2 (y), g(ψ 1 (y), ψ 2 (y)) det(j (ψ1,ψ 2 ),y)dy V = f 3 (ψ 1 (y), ψ 2 (y), g(ψ 1 (y), ψ 2 (y))) det(j (ψ1,ψ 2 ),y) dy V muuttujanvaihto = f 3 (x 1, x 2, g(x 1, x 2 ))dx 1 dx 2, U P (S) missä P on projektio 1. ja 2. muuttujalle. Vastaavasti käsitellään pinnan S muut yksinkertaiset osajoukot. Mahdollisessa pohjan ja kannen väliin jäävässä kaulusjoukossa (0, 0, f 3 ) n. Havaitaan, että funktion f 3 n 3 pintaintegraalien summa yli pinnan yksinkertaisten pistevieraiden osajoukkojen on täsmälleen tilavuusintegraalin arvo (4.5.23).

8 Huomautus Pinnan normaalivektorin voi määrätä helpoimmalla menetelmällä. Esimerkiksi parametriesityksestä tai pinnan yhtälöstä Esimerkki Testataan divergenssilauseen tulosta pallon tapauksessa. Olkoon f(x 1, x 2, x 3 ) = (0, 0, x 3 ) jokaisella x 1, x 2, x 3 R 3 ja olkoon = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x x x 3 3 < c 2 }. Tällöin f(x)dx = 1dx on pallon tilavuus. Pallopinnan ulkonormaali on n(x) = x x. (kuten esimerkissä 2.7.8). Jakamalla pintaintegraali yli puolipallojen nähdään, että x n(x) f(x)dσ(x) = x f(x)dσ(x) Harjoitustehtävä = 2π π 0 0 c 2 cos 2 (θ) c 2 sin(θ)dφdθ = 4 c 3 πc3.

9 Divergnessilauseen avulla eräiden pintaintegraalien laskeminen yksinkertaistuu. Esimerkki Laske pintaintegraali S (x 2 z 3, 2xyz 3, xz 4 ) n(x, y, z)dσ(x, y, z), missä S muodostuu sellaisen suorakulmaisen särmiön Q kaikista tahkoista, että särmiön kärjet ovat pisteissä (±1, ±2, ±3) ja n(x, y, z) on särmiön ulkonormaali pisteessä (x, y, z) S. Ratkaisu: Lasketaan pintaintegraali käyttämällä divergenssilausetta. S (x 2 z 3, 2xyz 3, xz 4 ) n(x, y, z)dσ(x, y, z) = = Fubini = [ 1,1] [ 2,2] [ 3,3] [ 1,1] [ 2,2] [ 3,3] xdx 2 dy (x 2 z 3, 2xyz 3, xz 4 )dxdysz 2xz 3 + 2xz 3 + 4xz 3 dxdysz 3 z 3 dz = 0. Divergenssilauseella on suuri merkitys osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa. Monia perustuloksia näytetään divergenssilauseen avulla. Divergenssilause on tärkeä fysiikassa esim. sähköja magneettikenttien käsittelyssä.

10 4.5.2 Greenin lause Lemma (Jordanin käyrälause) Olkoon C R 2 yksinkertainen suljettu käyrä. Tällöin joukko R 2 \C koostuu kahdesta erillisestä joukosta: käyrän C sisään sulkemasta rajoitetusta joukosta U ja ulkopuolisesta rajoittamattomasta joukosta V. Lisäksi käyrä C on joukon U ja joukon V reuna. Todistus. Väite vaikuttaa intuitiivisesti selvältä. Tarkempi todistus on hämmentävän syvällinen, eikä tämä kurssi kata sen sisältöä. Todistus sivuutetaan! Tiedonjanoisia kehotetaan tarttumaan Googleen hakusanoilla Jordan curve theorem nice proof. Kiinnitetään suljetun käyrän suunnistus standardilla tavalla. Määritelmä Olkoon C R 2 yksinkertainen suljettu käyrä ja U sen sisäänsä sulkema joukko. Suljettu käyrä C on positiivisesti suunnistettu (merk. C + ), jos joukko U jää vasemmalle puolelle käyrää pitkin kuljettaessa. Käyrä C on negatiivisesti suunnistettu (merk. C ), jos joukko U jää oikealle puolelle käyrää pitkin kuljettaessa.

11 Määritelmä Sanotaan, että joukko toteuttaa ehdon (1), jos löytyy sellaiset yksinkertaiset suljetut käyrät C 0 ja C 1,..., C k, että 1. C 1,..., C k ovat käyrän C 0 sisäpuolella, 2. C 1,..., C k ovat pareittain toistensa ulkopuolella, 3. joukko koostuu niistä käyrän C 0 sisään sulkemista pisteistä, jotka ovat käyrien C 1,..., C k ulkopuolella. Tällöin käyriä C 0,..., C k nimitetään reunan komponenteiksi. Määritelmä Olkoon R 2 sellainen joukko, joka toteuttaa ehdon (1). Sanotaan, että on positiivisesti suunnistettu, jos sen reunan jokainen komponentti on positiivisesti suunnistettu. Tällöin merkitään +. Lause (Greenin lause) Olkoon R 2 sellainen kompakti joukko, joka toteuttaa ehdon (1). Olkoon f = (f 1, f 2 ) C 1 (; R 2 ). Tällöin f 2 f ds = (x 1, x 2 ) f 1 (x 1, x 2 )dx 1 dx 2 + x 1 x 2

12 Todistus. Näytetään lause vain erikoistapauksessa, missä voidaan kirjoittaa sekä muodossa = {(x 1, x 2 ) R 2 : a x 1 b, g 1 (x 1 ) x 2 h 1 (x 1 )}, että muodossa = {(x 1, x 2 ) R 2 : c x 2 d, g 2 (x 2 ) x 1 h 2 (x 2 )}, missä g i, h i ovat jatkuvia kun i = 1, 2. Oletetaan ensin, että = {(x 1, x 2 ) R 2 : a x 1 b, g(x 1 ) x 2 h(x 1 )}, ja f = (f 1, 0). Tällöin + on yksinkertaisten kaarien B 1 +, B+ 2, B+ 3 ja B+ 4 yhdiste.

13 Kaari-integraali jaetaan osiin + f ds = B + 1 f ds + B + 2 f ds + B + 3 f ds + B + 4 f ds Olkoon γ : [t 1, t 2 ] R 2 kaaren B 1 + C1 -parametriesitys. Tällöin B + 1 f ds = t2 t 1 f 1 (γ(t))γ 1(t)dt = t2 t 1 f 1 (γ 1 (t), g(γ 1 (t))γ 1(t)dt. Sijoittamalla x 1 = γ 1 (t) saadaan B + 1 f ds = b a f 1 (x 1, g(x 1 ))dx 1. Vastaavasti B + 3 f ds = b a f 1 (x 1, h(x 1 ))dx 1 ja lisäksi (f 1, 0) (0, t) = 0 jokaisella t R, jolloin f ds = B + 2 B + 4 f ds = 0.

14 Kokoamalla yhtälöt, nähdään että f ds = + b = = f 1 (x 1, g(x 1 ))dx 1 a b h(x1 ) a g(x 1 ) b f 1 x 2 (x 1, x 2 )dx 2 dx 1 f 1 x 2 (x 1, x 2 )dx 2 dx 1 a f 1 (x 1, h(x 1 ))dx 1 Vastaavasti voidaan näyttää tapaus = {(x 1, x 2 ) R 2 : c x 2 d, g 2 (x 2 ) x 1 h 2 (x 2 )}. Kirjoittamalla f = (f 1, 0) + (0, f 1 ) nähdään ylläolevan nojalla, että f 1 f 2 f ds = (x 1, x 2 )dx 2 dx 1 + (x 1, x 2 )dx 2 dx 1. + x 2 x 1 Esimerkki Olkoon = [ 1, 0] [ 1, 0] ja f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2, 0). Silloin f 2 f 1 (x 1, x 2 )dx 2 dx 1 (x 1, x 2 )dx 2 dx 1 = x 1 dx 1 dx 2 = 1 x 1 x 2 2. Kaaren B + 1 parametriesitys on γ(t) = (t 1, 1), t [0, 1], jolloin 1 f ds = (1 t, 0) (1, 0)dt = 1 2. B + 1 0

15 Kaaren B + 2 Kaaren B + 3 Kaaren B + 4 parametriesitys on γ(t) = (0, t 1), t [0, 1], jolloin 1 f ds = (0, 0) (0, 1)dt = 0. B + 2 parametriesitys on γ(t) = ( t, 0), t [0, 1], jolloin 1 f ds = (0, 0) ( 1, 0)dt = 0. B + 3 parametriesitys on γ(t) = ( 1, t), t [0, 1], jolloin 1 f ds = (t, 0) (0, 1)dt = 0. B Siis + f ds = 1 2.

16 4.5.3 Klassinen Stokesin lause Lause Olkoon S R 3 yksinkertainen pinta, jonka parametriesitys ψ : V R 3 on C 2 -funktio ja reuna V + on suljettu yksinkertainen positiivisesti suunnistettu käyrä, jonka kuvaa merkitään C + = ψ( V + ). Jos f : S R 3 C 1 -vektorikenttä, niin n(x) ( f(x))dσ(x) = f ds, C + S missä n(x) on pinnan S normaalivektori pisteessä x S. Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 2, x 3, x 1 ) kaikilla x 1, x 2, x 3 R ja olkoon C = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 = 0, x 2 0, x 3 0, x x 2 3 = 1}. ja valitaan suljetun yksinkertaisen käyrän C suunnistus positiiviseksi. Laske C + f ds käyttämällä Stokesin lausetta. Ratkaisu: Käyrä C sulkee sisäänsä neljännesympyrän S = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 = 0, x 2 0, x 3 0, x x 2 2 1}.

17 Joukko S R 3 on yksinkertainen pinta ja sen parametriesitys on γ(r, θ) = (0, r cos(θ), r sin(θ)) jokaisella (r, θ) V = [0, 1] [0, π/2]. Erityisesti γ( V + ) = C + ja γ on C 2 -funktio. Lasketaan vielä f(x 1, x 2, x 3 ) = ( 1, 1, 1) jokaisella x 1, x 2, x 3 R. Tällöin n(x) f(x)dσ(x) = S = = [0,1] [0,π/2] [0,1] [0,π/2] [0,1] [0,π/2] ( ψ r ) ψ (r, θ) (r, θ) θ ( 1, 1, 1)dθdr ((0, cos(θ), sin(θ)) (0, r sin(θ), r cos(θ))) ( 1, 1, 1)drdθ rdrdθ = π 4.