Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,

Transkriptio

1 7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0 < a < 1, 0 < b < 1. Muodosta tähän jakoon p liittyvä alasumma S p ja yläsumma S p. Määritä sup p S p ja inf p S p tällaisille jaoille. Seuraako lukujen erisuuruudesta, että funktio ei ole integroituva ko. neliössä? 206. Olkoot T 1 ja T 2 kaksi perussuorakulmiota, joille pätee T 1, T 2. Osoita, että jos funktion f nollajatko f 0 on integroituva yli joukon T 1, niin se on integroituva myös joukon T 2 yli ja integraalit ovat yhtä suuret: f 0 = f 0. T 1 T Tasointegraalin perusominaisuudet 207. Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus λ f = λ f, missä λ on vakio Todista funktioiden nollajatkoille: ( f + g) 0 = f 0 + g Olkoon joukko jaettu kahteen osaan = 1 2, missä 1 2 = /0. Osoita: f 0 = f f Osoita vastaesimerkillä, että tasointegraalin väliarvolauseen oletusta integrointijoukon yhtenäisyydestä ei voida jättää pois.

2 7.3. Tasointegraalin laskeminen 211. Funktio f (x,y) olkoon jatkuva joukossa {(x,y) a 1 x a 2, b 1 (x) y b 2 (x)}, missä funktiot b 1 (x) ja b 2 (x) ovat jatkuvia välillä [a 1,a 2 ]. Todista, että funktio on jatkuva välillä [a 1,a 2 ]. b2 (x) g(x) = f (x,y)dy b 1 (x) 212. Laske kun on suorakulmio [a,b] [c,d]. f xy (x,y)dxdy, 213. Laske seuraavat integraalit: a) x 2 da, = {(x,y) x + y 1}; x b) da, = {(x,y) x 1, 1 y 2}. y a) 3 1 ; b) Laske xyda, kun on a) kolmio, jonka kärjet ovat (0,0), (1,1), (1,2); b) kuvio, jonka määrittelevät ehdot x [0,1], 0 y x; c) segmentti, jota rajoittavat suora y = 2(x p) ja paraabeli y 2 = 2px Etsi funktion f : R 2 R, f (x,y) = 1 1 suhteelliset ääriarvot. Ovatko nämä maksimeja vai minimejä? 0 0 (10 xu yv 2 ) 2 dudv, 216. Laske integraali y 1 + 2x dxdy, = {(x,y) 0 x y 1 x 2 }

3 7.4. varuusintegraali 217. Olkoon V = {(x,y,z) x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}. Laske a) V (1 x y)5 dv, b) V xyz4 dv. a) 1/56; b) 1/ Tutki, millä muuttujan t arvoilla funktio saa pienimmän arvonsa. 2 2 t f (t) = xy(z 1)ln(1 + z 4 )dxdydz x=0 y=0 z= Muuntaminen sijoituksella 219. Laske integraali (x + 2y) 4 (x 2y) 6 dxdy, kun integroimisjoukkona on tasoalue = {(x,y) x + 2y 1, x 2y 2}. 128/ Laske sopivan muuttujanvaihdon avulla integraali (2x + 3y) 2 (x 5y) 2 dxdy, missä = {(x,y) 2x + 3y 4, x 5y 3}. 768/ Laske käyrien y 3 = ax 2, y 3 = bx 2, x 4 = cy 3, x 4 = dy 3 (0 < a < b, 0 < c < d) ensimmäisessä neljänneksessä rajoittaman alueen pinta-ala. Valitse uusiksi muuttujiksi u ja v, jotka määräytyvät yhtälöistä y 3 = ux 2, x 4 = vy Laske muotoa x = ascost, y = bssint (a ja b vakioita) olevaa muunnosta käyttäen tasointegraali ) ln (1 + x2 4 + y2 da, = {(x,y) x 0, y 0, 9x 2 + 4y 2 36}. 9

4 223. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat xy-tason yläpuolella pinnat a) x 2 + y 2 = a 2, x 2 + y 2 = az, z = 0 (a > 0); b) z = x 2 y 2, x 2 + y 2 = 1, z = Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat paraboliset lieriöt z 2 = y, z 2 = 2y, x 2 = z, x 2 = 2z, y 2 = x, y 2 = 2x. Siirry aluksi yhtälöiden x = uy 2, y = vz 2, z = wx 2 määräämiin uusiin muuttujiin u,v,w Laske V x2 ydv, kun V = {(x,y,z) z 2 x 2 + y 2 1} Laske V xyzdv, kun V on pallon oktantti {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0} Muunna integraali f (x,y,z)dxdydz pallokoordinaatteihin, kun funktio f oletetaan integroituvaksi ja integroimisjoukko on R-säteinen origokeskinen pallo. Laske sovellutuksena R-säteisen pallon tilavuus Laske sekä pallon x 2 +y 2 +z 2 = R 2 että kartion 3z = x 2 + y 2 sisään jäävän avaruuden osan tilavuus avaruusintegraalina siirtymällä a) lieriö-, b) pallokoordinaatistoon Pisteen P 0 = r 0 keskietäisyys kappaleen B pisteistä on integraali 1 r r 0 dv. v(b) B Laske pisteen (0,0,c) keskietäisyys pallon r R pisteistä, kun c > R.

5 230. Laske pallokoordinaateissa integraali dv f (t) = B r 2 2tr cosϑ +t, t > 0, 2 missä B on origokeskinen R-säteinen pallo. Piirrä funktion f kuvaaja Laske tasa-arvokäyrien avulla integraali sin(x 2 + y 2 )dxdy, = {(x,y) 1 x 2 + y 2 4} nna differentiaaligeometrinen perustelu a) lieriökoordinaatiston tilavuusalkiolle dv = ρ dρdϕdz, b) pallokoordinaatiston tilavuusalkiolle dv = r 2 sinϑdrdϕdϑ Integraali avaruudessa R n 233. Olkoon B n (r) avaruuden R n r-säteinen pallo: B n (r) = {x R n x r }. Olkoon µ(b n (r)) tämän mitta (pituus, pinta-ala, tilavuus, etc.). Johda yksikköpallojen B n (1) = B n mitoille seuraava rekursio: µ(b 1 ) = 2, µ(b 2 ) = π, µ(b n ) = 2π n µ(b n 2), n = 3,4, Tutki, minkä ulotteisen avaruuden yksikköpallo on mitaltaan suurin. Millainen tilanne on r-säteisen pallon tapauksessa? 5-ulotteisen; riippuu säteestä r.