Talousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 16 Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä

2 Integraalin käsite Tarkastellaan auton nopeusmittarilukemaa v(t) ajan t funktiona aikavälillä klo Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut viidessä tunnissa? Matka (km) = Nopeus (km/h) Aika (h) Kokonaismatka = nopeusmittarikäyrän v(t) ja t-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä [0,5] 3/5/2018 2

3 Integraalin käsite 4 t = 1: v(i t) t 352 km i=0 9 t = 0.5: v(i t) t 351 km i=0 Kokonaismatkaa voidaan arvioida jakamalla aikaväli 0-5h t:n pituisiin osioihin (5/ t kpl) ja laskemalla niistä ja funktion arvoista muodostuvien suorakaiteiden yhteenlaskettu pinta-ala: 5 t 1 v(i t) t i=0 v(0) t v( t) t 5 න v t dt = 350 km 0 Tarkka arvo saadaan pienentämällä väliä t äärettömän eli infitesimaalisen pieneksi dt, jolloin summasta tulee määrätty integraali: 5 න v t dt

4 Derivaatta- ja integraalifunktio Kuljettua matkaa ajanhetkeen t mennessä kuvaa nopeusfunktion v(t) epämääräinen integraali eli integraalifunktio v t dt Yleisesti: Jos funktio f(x) kuvaa funktion F(x) muutosnopeutta eri muuttujan arvoilla x, f on F:n derivaattafunktio: f x = F (x) F on f:n (eräs) integraalifunktio: F x = f x dx Derivointi ja integrointi ovat siis toisilleen käänteisiä toimenpiteitä Derivointi: Esim. D x 2 = 2x Derivointi: Esim. D 2x = 2 Taso f(x) Muutosnopeus f (x) Kiihtyvyys f (x) Integrointi: Esim. 2x = x 2 (eräs ratkaisu) Integrointi: Esim. 2 = 2x (eräs ratkaisu) 3/5/2018 4

5 Integrointisääntöjä I1: Derivaatan integraali Olkoon funktio f funktion F derivaatta eli f(x) = F (x). Tällöin න f x dx = F x + c, missä c on mikä tahansa vakio. Integrointivakio c merkitään vain silloin, kun sitä tarvitaan jatkolaskuissa esim. jonkin alkuehdon täyttämiseksi Esim. Kuinka paljon matkaa oli jo kertynyt klo 12 (eli ajanhetkeen t=0) mennessä? c = 360 c = 160 c = 60 c = 10 3/5/2018 5

6 Presemo-kysymys Funktion f(x) kuvaaja on kuvassa A. Mikä kuvista 1-3 on integraalifunktion F(x) = f x dx kuvaaja? Kuva A Kuva 1 Kuva 2 Kuva 3 Laitoksen nimi 3/5/2018 6

7 Integrointisääntöjä I2: Yksinkertaisen polynomifuktion integraali Olkoon f: R R, f x = x n, n N. Tällöin න f x dx = න x n dx = xn+1 n + 1 Esim. x 2 dx = x3 Esim. x 4 dx = x /5/2018 7

8 Integrointisääntöjä I3: Vakiolla kerrotun funktion integraali Olkoon funktio f integroituva pisteessä x. Tällöin funktion a f x integraalifunktio න af x dx = a න f x dx Esim. 3x 2 dx = 3 x 2 dx = 3 x3 3 = x3 Esim. 5x 4 dx = 5 x 4 dx = 5 x5 5 = x5 3/5/2018 8

9 Integrointisääntöjä I4: Summan integrointi Jos funktiot f ja g ovat integroituvia pisteessä x, niin න f x + g(x) dx = න f x dx + න g x dx Esim. 3x 2 + 5x 4 dx = 3x 2 dx + 5x 4 dx = x 3 + x 5 3/5/2018 9

10 Polynomifunktion integrointi Sääntöjen I1-I4 perusteella saadaan kaikkien polynomifunktioiden f: R R, f x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n integraalifunktiot. Esim. Hypermarketin lähiympäristöönsä levittämän suoramainonnan kustannuksista halutaan tehdä malli (funktio) f: R R, y = f x, joka kuvaa jakelukustannusten y ( /jakelukerta) riippuvuutta jakeluetäisyydestä x (km) Havaintojen perustella jakelukustannukset ovat noin: 5300 /kerta 2 km säteellä 3000 /kerta 1 km säteellä 1700 /kerta aivan marketin luona Lisäksi arvioidaan, että kustannusten kasvuvauhti kiihtyy tasaisesti jakelusäteen x suhteen 3/5/

11 Polynomifunktion integrointi Kiihtyvyys on tasaista: f x = a, missä a on jokin vakio Kustannuksen muutosnopeus saadaan integroimalla: f x = a dx = ax + b, missä b on jokin vakio Kustannuksen taso saadaan integroimalla uudelleen: f x = ax + b dx = a x2 2 + bx + c, missä c on jokin vakio Vakiot a, b ja c voidaan määrittää havainnoista: f 0 = a b 0 + c = c = 1700 f 1 = a 12 + b = 3000 a + b = f 2 = a b = a + 2b = 3600 a = 1000, b = 800 Jakelukustannusten malliksi saadaan siis f: R R, f x = 500x x

12 Presemo-kysymys Määritä funktion f x = 3x x2 + 1 integraalifunktio F x. 1. F x = 1 2 x x3 + x 2. F x = 3 5 x x3 + x 3. F x = 15x 6 + x

13 Presemo-kysymys Määritä funktion f x = 3x x2 + 1 se integraalifunktio F x, joka kulkee pisteen (1,2) kautta. 1. F x = 1 2 x x3 + x F x = 1 2 x x3 + x F x = 1 2 x x3 + x

14 Integrointisääntöjä I5: Potenssifunktion integraali Olkoon f: R R, f x = x n, n R. Tällöin න f x dx = න x n dx = xn+1 n + 1 Sääntö toimii siis aivan kuten yksinkertaisen polynomifunktion tapauksessa Erikoistapaus f x = 1 x : න 1 dx = ln x x 3/5/

15 Integrointisääntöjä Esim. Määrää funktion f: R R, f x = x se integraalifunktio, joka kulkee pisteen (1,1) kautta F x = න(x )dx = න x 1.5 dx + න 2dx = x x + c F 1 = c = c = 1 c = 1.4 F x = x x

16 Integrointisääntöjä I6: Eksponenttifunktion integraali Olkoon f: R R, f x = a x. Tällöin න f x dx = න a x dx = ax ln a Erityisesti න f x dx = න e x dx = e x 3/5/

17 Integrointisääntöjä Esim. Määrää funktion f: R R, f x = 2 x + x se integraalifunktio, joka kulkee pisteen (0,0) kautta F x = න(2 x + x)dx = 2x ln 2 + x2 2 + c F 0 = 20 ln c = c = 0 c = ln 2 ln 2 F x = 2x 1 ln 2 + x

18 Presemo-kysymys Määritä 3 ) x + 6x 3 )dx x ln x x ln x x ln x

19 Presemo-kysymys Määritä funktion f x = 1 x + 2x se integraalifunktio, joka kulkee pisteen (1,0) kautta. 1. ln x + 2 x ln 2 2 ln x 2 + 2x ln 2 2 ln ln x + 2x ln 2 2 ln

20 Yhteenveto Integrointi on käänteinen toimenpide derivoinnille: f x = F (x) f x dx = F x + c Perussäännöt: Vakion voi ottaa ulos integraalista: af x dx = a f x dx Summan integraali on integraalien summa: f x + g(x) dx = f x dx + g x dx Tavallisten funktiotyyppien integrointisäännöt: Potenssifunktio: x n dx = xn+1 ; erikoistapaus n+1 1 dx = ln x x Eksponenttifunktio: a x dx = ax ln a ; erityisesti ex dx = e x

21 Harjoittele verkossa! Calculus Basic integrals (Beginner & Intermediate) Huom! Problem generator katsoo integrointivakiottoman tuloksen vääräksi muista siis lisätä se