SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5 x e 5 5( e = + = Esplisiiinen Euler: ( dx x + = x + Trapesimeneelmä: ( ( x( + dx d x + = x + + Käyeään solmupisemeneelmää: u( du ( u + = d u u / = (a Implisiiinen Euler: du ( + ( + = + ( + / u u u u + = u + u ( + u ( + + u ( + = u ( + u ( + = (b Trapesimeneelmä: ( + du du u ( + = u ( + + u ( / u ( + / u ( + = u ( + + u ( + u ( / u ( + + = u ( + +
u ( + = u u / + 3 Tämän ehävän idea on näyää, mien numeerisia inegroinimeneelmiä äyeään oreamman eraluoan differeniaaliyhälöiden (DY raaisemisessa Lisäsi ässä on äyännön esimeri normaaliryhmän (joa Piirianalyysi II:ssa myös ilamuuujaesiysesi usuaan hyödynämisesä Tavoieena on raaisa ondensaaorin yli oleva jännie y( Sisi y(:lle on ensin muodoseava differeniaaliyhälö, joa saadaan Kirchhoffin jännielain avulla: di i ( + L + y ( = u ( Ylimääräisesä muuujasa i( on pääsävä vielä eroon, joa differeniaaliyhälön ainoa unemaon muuuja on y( Tämä onnisuu ondensaaorin vira-jännieyhälön avulla: dy i ( = = y ( Täen araselavasi DY:si saadaan: + + = y ( + y ( + y ( = u ( y Ly y u Tehävä on aroius raaisa rapesimeneelmällä: ( + dy dy y ( + = y ( + + L L L Kosa rapesimeneelmän lauseeessa esiinyy vain y(:n ensimmäisen eraluoan derivaaaa, araselavaa oisen eraluoan DY:ä ei voida suoraan rapesimeneelmällä raaisa, vaan DY:lle on ensin ehävä normaaliryhmä Normaaliryhmän idea on, eä oreampaa eraluoaa oleva DY saadaan palaueua useasi ensimmäisen eraluoan DY:si Muodoseaan normaaliryhmä apumuuujien avulla Kosa araselava DY on oisa eraluoaa, apumuuujia arviaan asi appalea (x ( ja x (: = x = y x y
Ny saadaan irjoieua aluperäisen oisen eraluoan DY:n peruseella asi ensimmäisen eraluoan yhälöä, joa voidaan raaisa rapesimeneelmällä: x = y = x x y u y y u x x L L L L L L x ( = x ( x ( = u ( x ( x ( L L L = = = Muodoseaan lausee x (:n, eli ysyyn y(:n, raaisemisesi rapesimeneelmällä: x ( + = x ( + x ( + x ( + x ( + = x ( + u ( x ( x ( + u ( + x ( + x ( + L L L L L L Huomaa, eä yllä olevassa yhälöparissa ainoasaan ermi x ( + ja x ( + ova unemaomia Kaii muu yhälöparin ermi unneaan aaisaan alemmasa yhälösä x ( +, joa se voidaan myöhemmin sijoiaa ylempään yhälöön: x ( + + x ( u ( x ( x ( u ( x ( L = + + + + L L L L L x ( x ( + u ( x ( x ( u ( x ( + + + L L L L L + = L Sijoiusen jäleen saadaan: x x x x u x x u x + + ( + ( + L L L L L ( + = + + L Ny äsä lauseeesa piäisi vielä raaisa x ( + : x ( + u ( x ( x ( + u ( + 4L L L L L x ( + x ( x ( + = + + + L L 3
x ( + u ( x ( x ( + u ( + L L L L x ( + x ( + L x + = ( ( 4L L Ensimmäisellä lasenaierrosella arviaan seä x (:n eä x (:n arvo ajanheellä = 0 s Tehävänannon peruseella iedeään y(0 = 0, josa saadaa x (0 = 0 oa saadaan selville x (:n alueho, arviaan ondensaaorin vira-jännie-yhälöä: = y ( i ( = x ( x i i 0 = 0 = 0 Aluarvosi ulee nolla, osa piirin vira on nolla vielä ajanheellä nolla, osa ällöin piirin yin vasa suleuuu Homma jauoon Malabilla 4 aaisaan ensin aluperäisesä differeniaaliyhälösä y(:n aiaderivaaan lausee, osa siä arviaan rapesimeneelmässä: dy y + = e y e dy y( = e e y Trapesimeneelmän avulla voidaan ny irjoiaa: ( + dy dy y ( + = y ( + + y y + + y + = y + e e y + e e y + y( y( + ( + y + = y + e e y ( e e y + + + y + y y + e e y e e y + 0 = ( Huomaa, eä yhälössä ( ainoasaan ermi y( + on unemaon Kaii muu ermi ova unneuja Mua osa yhälö ( on epälineaarinen, ermiä y( + ei saada analyyisesi raaisua aaisaan sisi yhälö ( Newon-aphsonalgorimilla Kyse on ny siis siiä, eä inegroidaan numeerisesi ehävänannon differeniaaliyhälöä, joa saadaan selville y ajan funiona Kosa joaisella inegroiniaseleella ulee raaisavasi epälineaarinen yhälö, äyeään joaisella inegroiniaseleella Newon-aphson-algorimia oa N--algorimia voidaan f y + = Yhälö ( on äyää, araselava yhälö on saaeava muooon ( 0 juuri ässä muodossa Täen siis N--algorimia varen voidaan irjoiaa: 4
( + y( + y( f ( y ( + = y ( + e e y ( e e y ( + Taraselavalle ilaneelle N--algorimi saadaan muooon: ( ' ( + f y + + y ( + = y ( + f y, jossa edusaa ieroiniierrosa Algorimin nimiäjässä oleva f '( y ( + saadaan, un f ( y ( + derivoidaan y( + :n suheen Täen saadaan: ( + y( + f '( y ( + = e + e Ny arviava yhälö ova valmiina, joen Malab hoiaoon väänämisen 5