Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017
|
|
- Jyrki Tuominen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 AEAKKA aeaiikkaa piakäsielijöille Ogelarakaisu so Jokie 207 SSÄLÖ. aeaaise ogelie rakaisu laskukaaoilla 2. ekijäyhälö 3. Laskukaaoje yhdisäie 4. Yhälöide uodosaie aeaaisee ogelaa Käyöoikeus opeuksessa ekijä lualla Siu
2 AEAASEN ONGELEN AKASU LASKUKAAOLLA aeaiika aulla oidaa rakaisa luooieeisii ja ekiikkaa liiyiä ogelia. Usei ogelia oidaa rakaisa aliide laskukaaoje aulla. Ogelie rakaiseie aaii kuieki perusieäysä suureisa ja iide yksiköisä ja keroiisa. oki äide ieoje puue oidaa koraa uusualla kaaasoje sisälöö. iedo löyyä iisä. Laskukaaa oa ise asiassa ekijäyhälöiä. Usei kysyää eri ei ole se joka o yksi laskukaaassa yhälö asealla puolella. ällöi ariaa ekijäyhälö rakaisu. Laskeie laskukaaoilla o usei helpopaa ku oudaaa seuraaaa rakaisuapaa:. iei iä kysyää ja erkise se oalla suureuuksella. Esi. ku kysyää assaa erkise se seuraaasi: =? ässä kohaa piää ieää eä assa suureuus o. 2. Kaso ehääsä iä iedeää ja erkise e oilla uuksilla. Esi. ku iedeää oia ja kiihyyys erkise e seuraaasi: F = 500 N ja a=5 /s2. ässä piää ieää eä oia suureuus o F ja kiihyyyde a. Saoi iide yksikö N ja /s2. 3. Seliä ikä laskukaaa sopia laskeisee. Ne oa sellaisia joissa esiiyy kysyy eri ( ) ja iedey eri ( F ja a). 4. Jos laskukaaoissa o ehää ekijä yhälö uokkausa ee se. Jos ariaa eri laskukaaoje yhdisäisä, ii ee seki. 5. ee ariaessa laauuuokse ( esi. /s / k/ h ). Joa ulos oidaa saada oikei o käyeää oikeia yksiköiä. Käyä laskuje äliaiheissa aia yksiköiä. Näi yksiköiä supiseaessa ähdää oko ulos oikei. Jos yksiköksi ulee kysyysä asaaa yksikkö o lasku yleesä aia laskeu oikei. 6. Sijoia aro ja rakaise ehää EKJÄYHÄLÖN AKASENEN Esierkki. ekijäyhälöiä: a z F ( ) 0 U s Käyöoikeus opeuksessa ekijä lualla Siu 2
3 Käyöoikeus opeuksessa ekijä lualla Siu 3 ekijä yhälösä piää rakaisa se ekijä joa kysyää ehäässä. Esierkiksi jos kysyää asusa ( ), o yhälösä rakaisaa se. Jos yhälössä o pelkkiä kero- ja jakolaskuja oidaa erejä siirää yhälö puolila oisii ku iide paika aihdeaa iiäjäsä osoiajaa ja päiasoi. ää asaa puoliai keroisa ja jakaisa, ua o yksikeraisepaa ehdä. ekisessä laskeassa laskukaaa oa oleassa, ua iisä jouduaa usei rakaiseaa kysyy ekijä. Esierkki 2. erie siiroa yhälöide puolisa oisille. akaisaa,,, ja. Esierkki 3. erie siiroa ku laskukaaasa haluaa rakaisa. Laskukaaa o uooa: Ku rakaisaa o kaikki uu ekijä paisi siirreää yhälö oiselle puolelle. Saadaa: ää jälkee sijoieaa lukuaro,z,f, ja : paikoille ja rakaisaa ehää. Jos ekijäyhälössä o yhee- ja äheyslaskua o eri äheeää ai lisäää puoliai. Esierkki 4. Kiihyyyde yhälösä rakaisaa loppuopeus 2 U U U F z F z F z a a a
4 LASKUKAAAN SJOANEN OSEEN LASKUKAAAAN Usei ogelaa rakaisaessa ullaa ilaeesee jossa kaaasosa löyyy laskukaaoja, ua ikää iisä ei soi suoraa laskeisee. Esierkki 3. ehää o seuraaalaie: oa graaa 4 liraa eä o liuoeaa kiieää NaOH:a, joa se koseraaioksi ulee 0, ol/l. Käyäällä syseeiä rakaisu eeee seuraaasi:. =? 2. c=0, ol/l ; =4 l 3. Kaaasosa löyyy laskukaaa: c, joka aulla ehäää ei oida rakaisa koska aieäärää ei iedeä. Kaaasosa löyyy yös kaaa: josa siiäkää ei iedeä ekijää, ua se oidaa aia laskea. Sijoiaalla kaaa kaaaa c saadaa laskukaaa jolla ehää oidaa rakaisa: Sijoiaisessa ilalle sijoieaa kaaaa jolloi laskukaaaksi saadaa: laskea. c. Ny käyössä o kaaa jolla ehää oidaa 4. Kaaa aaii kuieki uokkausa, koska kysyy eri kassa yhälö saalla puolella o uia ekijöiä ( ja ). Ku ää siirreää yhälö oiselle puolelle saadaa: c. ää kaaaa sijoieaa lukuaro yksiköiee ja lasku laskeaa. ol g 5. 0, 4l 40 6g ; ÄSSÄ KOHAA ÄÄ AKSAA EÄ l ol YKSKKÖ ON OKEA. JOS E OLE NN JOAN ON ENNY ÄÄN. YHÄLÖDEN UODOSANEN AEAASN ONGELN Usei aeaaisi keioi rakaisaa ogela oa sellaisia, eä iihi ei löydy aliia laskukaaoja. ällöi ogela rakaisaa luoalla ise yhälö joka aulla ogela rakeaa. Yhälöide luoie o seläsi aaiapaa kui aliide laskukaaoje käyö. Esierkissä 4 aaii osuus o yhälö luoie. Se jälkee yhälö rakaiseie o ekaaisa laskeisa ouuje laskusääöje ukaa. Käyöoikeus opeuksessa ekijä lualla Siu 4
5 Esierkki 4. akaisaaa ogelaa o laieuee hapo äkeöiäie haluuu pioisuuee. Koska lisäää happo ei ole 00%:sa, ii laskeisee ariaa yhälö. Suolahappoliuosa o 8 kg ja se pioisuus o 2 p-%. aljoko siihe ulee lisää 36 p-%:sa suolahappoa joa saadaa 20 p-%:e suolahappoa? ehää rakaisaa seuraaa yhälö aulla: 8kg 0,2 x 0,36 (8kg x) 0,2 Yhälö koosuu kolesa osasa: 8kg 0,2; ää osa o alkuperäie happo joka äärä ja pioisuus iedeää x 0,36 ; ää osa o lisäää happo joka pioisuus iedeää, ua äärää ei. äärä erkiää X:ksi. ( 8kg x) 0,2 ; ää osa o aliseaa happoseos. ässä 8 kg o alkuperäise happoliuokse äärä, X lisäää happoliuokse äärä ja 0,2 alii seokse pioisuus. ää jälkee yhälö rakaisaa: Laskuoiiukse arkasus: alii seokse suolahapo kokoaisäärä o: 8kg0,2+4kg0,36=2,4 kg alii seokse ede kokoaisäärä o: 8kg0,88+4kg0,64=9,6 kg ioisuus proseeia o: Käyöoikeus opeuksessa ekijä lualla Siu 5
6 Esierkki 5. aias, Jaia ja Aapo jakaa 200 euro rahasua seuraaasi: Jaia saa 67 euroa äheä kui Aapo ja aias 83 euroa äheä kui Aapo. Kuika paljo kuki rahaa saa? Ogela oidaa rakaisa yhälö aulla. Aluksi o pääeää ikä aliaa uuujaksi X. ässä o luoeaa, eä se o Aapo saaa rahasua. ällöi Jaia saaa rahasua o X-67 euroa ja aiakse saaa rahasua X-83 euroa. Saadaa yhälö: X X 67e X 83e 200e akaisealla yhälösä X saadaa Aapo rahasua ja se aulla oidaa laskea uu. X X X 200e 67e 83e 3X e X 450e 3 Jaia sua o 450e-67e=383e aiakse sua o:450e-83e=367e arkisus: 450e+383e+367e=200e Esierkki 6. Ku kole peräkkäisä parillisa lukua laskeaa yhee saadaa ulokseksi 32. ikä ää luu oa? Olkoo esiäie luku X. ällöi yhälöksi saadaa: X 3X X X 2 X uu luu oa ällöi 44 ja 46 arkisus: =32 Käyöoikeus opeuksessa ekijä lualla Siu 6
7 Esierkki 7. Jaa luku 360 kahee osaa ii, eä oie luku o ¼ osa oisesa. X X 4 X X X o suurepi luku. ieepi luku o 288/4 = 72 arkisus: =360. Esierkki 8. ikä o se luku, joka kerroua kuudella o 4 erra suurepi kui kerroua eljällä? 6 X 6X 2X X 4X 4 7 Esierkki 9. 4 X 4 4 Neliö siuihi lisäää 2, jolloi se pia-alaksi saadaa ikä oli alkuperäise eliö siu piuus? Uude eliö siu piuus o: X Alkuperäise eliö siu piuus oli 30. Käyöoikeus opeuksessa ekijä lualla Siu 7
8 Esierkki 0. Yriyksellä ekee kahdelaisia kärryjä. oisessa allissa o yksi pyörä ja oisessa kaksi. arasossa o 70 pyörää ja e piäisi käyää 46 kärry alisuksee: oako yksi- ja kaksi pyöräisä kärryä oidaa alisaa? ää kalaie ogela oidaa rakaisa yhälöpari aulla. Olkoo yksipyöräise kärryje äärä X kpl ja kaksipyöräise kärryje äärä Y kpl. ällöi oidaa kirjoiaa yhälö. X+Y=46 ( = aliide kärryje äärä ) X+2Y=70 (=pöyrie kokoaisäärä ) Yhälöpari rakaisuu käyeää sijoiuseeelää, jossa yleäsä yhälösä rakaisaa X ja ää jälkee saau lauseke sijoieaa alepaa yhälöö. X:ksi saadaa: X=46-Y sijoius 46-Y+2Y=70 Y: rakaiseie: -Y+2Y=70-46 Y=24 X: rakaiseie X+Y=46 ; Y=24 jolloi X+24=46 X=46-24=22 Käyöoikeus opeuksessa ekijä lualla Siu 8
MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
LisätiedotJuuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia
LisätiedotKULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN
KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa
Lisätiedot1. Matemaattinen heiluri, harmoninen värähtelijä Fysiikka IIZF2020
1. Maeaainen heiluri, haroninen värähelijä Fysiikka IIZF Juha Jokinen (Selosuksesa vasaava) Janne Kiviäki Ani Lahi Miauspäivä:..9 Laboraorioyön selosus 9..9 Pendulu is a ass hanging fro a pivo poin which
LisätiedotLVM/LMA/jp 2012-12-17. Valtioneuvoston asetus. ajoneuvojen käytöstä tiellä annetun asetuksen muuttamisesta. Annettu Helsingissä päivänä kuuta 20
LVM/LMA/jp 2012-12-17 Valioneuvoson aseus ajoneuvojen käyösä iellä anneun aseuksen uuaisesa Anneu Helsingissä päivänä kuua 20 Valioneuvoson pääöksen ukaisesi, joka on ehy liikenne- ja viesinäiniseriön
LisätiedotETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET
TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL
LisätiedotLVM/LMA/jp 2013-03-27. Valtioneuvoston asetus. ajoneuvojen käytöstä tiellä annetun asetuksen muuttamisesta. Annettu Helsingissä päivänä kuuta 20
LVM/LMA/jp 2013-03-27 Valioneuvoson aseus ajoneuvojen käyösä iellä anneun aseuksen uuaisesa Anneu Helsingissä päivänä kuua 20 Valioneuvoson pääöksen ukaisesi uueaan ajoneuvojen käyösä iellä anneun aseuksen
Lisätiedot( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt
SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte
4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli.
LisätiedotA-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!
MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)
Lisätiedot6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA
Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,
Lisätiedot(x) (tasaisesti suppeneva sarja)
6.3 MATEMAATTISET OPERAATIOT SARJOIE Jos srjss o äärellie äärä erejä, void derivoii i iegroii suori huole ereiäi. Ääreöä srj puksess ereiäi operoii o slliu, jos srj suppeee sisesi. Esi. Trksell ääreöä
LisätiedotPALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA
PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA Tieokonesimulaaio ja siihen liiyä kokeellinen ukimus Joosa Kurinen ja Heidi Juuinen Mikkelin Lyseon lukio ysiikka 30..007 TIIVISTELMÄ Viksu-iedekilpailuprojekimme aiheena
Lisätiedot( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
Lisätiedot( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
Lisätiedotjoka on separoituva yhtälö, jolla ei ole reaalisia triviaaliratkaisuja. Ratkaistaan: z z(x) dx =
HY / Maemaiikan ja ilasoieeen laios Differeniaalihälö I kevä 09 Harjois 4 Rakaisehdoksia. Rakaise differeniaalihälö = (x + + Rakais: Tehdään differeniaalihälöön lineaarinen mnnos z(x = x + (x + jolloin
LisätiedotÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/2010 LOPULLISET EHDOT
ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/200 LOPULLISET EHDOT Ålandsbanken Debenuurilaina 2/200 (ISIN: FI400003875) lopullise ehdo on 9. heinäkuua 200 vahviseu seuraavasi: - Lainan pääoma 9 980 000 euroa Maarianhamina
Lisätiedot4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY
Väähelyekaiikka 4. 4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY 4. Johdao Mekaaise syseei ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä saoaa akkoväähelyksi. Jos syseeissä o vaieusa, o kyseessä vaieeva akkoväähely,
LisätiedotJÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINEMATIIKKA
JÄYKÄN KLEEN TSKINEMTIIKK TSLIIKKEEN LUKITTELU Liikkee yyppi Esimerkki ( Suoriiie rslio (b Käyräiiie rslio (c Roio (d Yleie soliike TRNSLTI Trslioss kikki pisee liikku smll ll eli kpplee liikeil uemisee
LisätiedotKiinteätuottoiset arvopaperit
Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät
LisätiedotF E . 1. a!? # % b &., @ $ c + ± = e < > [ \ ] ^ g λ Ø ø φ " 1 / 2 h Á á É. j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï. o à ã Ñ ñ Õ õ F` = 6mm = 9/12mm = 19mm
: A ➎ C ➎ B D = 6mm = 9/12mm = a!? # % b &., @ $ c + ± = d * / : ; ( ) e < > [ \ ] ^ f { } ~ µ ß Ω g λ Ø ø φ " 1 / 2 h Á á É i é Í í Ó ó Ú ú j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï l ï Ö ö Ü ü ÿ Â m â Ê ê î ô
LisätiedotDynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä
Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä
LisätiedotCopyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Peruslaskutoimitukset Isto Jokinen 2015
Coprigh so Jokie MATEMATKKA Memiikk pikäsielijöille Peruslskuoimiukse so Jokie 0 SSÄLTÖ. Lskujärjess. Muroluuill lskemie. Suuree j miksikö. Poessi. Juuri. Tekijähälöide rkisemie Käöoikeus opeuksess ekijä
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille
Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial
Lisätiedot1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1
KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5,
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset
D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,
LisätiedotOPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2
OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9
LisätiedotPK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd
PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa
LisätiedotDiskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:
DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase
Lisätiedot2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23
LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotIlmavirransäädin. Mitat
Ilmairransäädin Mia (MF, MP, ON, MOD, KNX) Ød nom (MF-D, MP-D, ON-D, MOD-D, KNX-D) Tuoekuaus on ilmairasäädin pyöreälle kanaalle. Se koosuu sääöpellisä ja miaaasa oimilaieesa ja siä oidaan ohjaa huonesääimen
LisätiedotOH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11.
Kemian laieekniikka 1 Koilasku 1 4.4.28 Jarmo Vesola Tuoee ja reakio: hiilimonoksidi, meanoli, meyyliformiaai C HC (1) vesi, meyyliformiaai, meanoli, muurahaishappo HC CH (2) hiilimonoksi, vesi, muurahaishappo
LisätiedotKULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN
1 KULMMODULOITUEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN Mie laskea eroaa lieaarise odulaaioide apauksesa? Milä spekri äyää epälieaarise prosessi jälkee? 51357 Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015 SPEKTRIN
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus
6/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 6: Yhde vpussee vimeev poväähely, yleie jsollie uomius YLEINEN JAKSOLLINEN KUORMITUS Hmois heäeä vsv pysyvä poväähely lusee löyyy helposi oeilemll. Hmoise heäee eoi void hyödyää
LisätiedotRATKAISUT: 15. Aaltojen interferenssi
Physica 9. paios (6) : 5. a) Ku kaksi tai useapia aaltoja eteee saassa äliaieessa, aaltoje yhteisaikutus issä tahasa pisteessä o yksittäiste aaltoje sua. b) Ku aallot kohtaaat, haaitaa iide yhteisaikutus.
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
LisätiedotToistoleuanvedon kilpailusäännöt
1.0 Yleisä Toisoleuanvedossa kilpailija suoriaa häjaksoisesi mahdollisimman mona leuanveoa omalla kehonpainollaan. Kilpailijalla on käössään ksi kilpailusuorius sekä asauloksen sauessa mahdollise uusinakierrokse
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 12: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, harmoninen
/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO : Yhden vapausaseen vaieneaon pakkoväähely, haoninen kuoiusheäe JOHDANTO Ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä sanoaan pakkoväähelyksi. Jos syseeissä on vaiennusa, on kyseessä
LisätiedotKOHINA KULMAMODULAATIOISSA
OHI ULMMOULIOISS ioliikkiikka I 559 ai äkkäi Osa 4 7 ulaoulaaio ouloii kohia vallissa iskiiaaoi koosuu ivaaoisa ja vhokäyäilaisisa. ivaaoi suaa -sigaali vaihkula uuosopua aajuu uuosa kskiaajuu C ypäillä.
LisätiedotLasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:
Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie
LisätiedotYLEINEN TOIMINTATILASTO
YLEINEN TOIMINTATILASTO Tällä lomakkeella t ilast oidaa kaikki oleelliset t oimepit eet ja tilaisuudet. Tilastoiti kaattaa tehdä heti tilaisuude tai toimepitee jälkee. Jatkuvat toimiot, kute ryhmät tilastoidaa
Lisätiedot3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA
S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas
LisätiedotKuljetuskanavat. Lindab 1. Yleistä tietoa ja teoriaa 2. Safe 3. Äänenvaimentimet 4. Säätöpellit ja mittalaitteet 5. Fire dampers & Smoke evaquations
Kujeuskanava Lindab Yeisä ieoa ja eoriaa Safe Äänenvaienie Sääöpei ja iaaiee Fire dapers & Soke evaquaions veniii Kaojärjeseä Muu pyöreä uoee Kujeuskanava 0 Suorakaide Fexibe ducing Erisys Duc access Sar
LisätiedotTietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
LisätiedotNPV. Laskukaavojen sparrauspaketti tenttiä varten (päivitetty ) Nettonykyarvo (NPV) - kirjan sivu 927
Laskukaavojen sparrauspakei eniä varen (päiviey 16.11.2016) Neonykyarvo (NPV) - kirjan sivu 927 Invesoinnin uoo ja pääoman uoo (ROI ja ROA) s. 926 Asiakkaan elinkaariarvo (CLV) s. 931 Hinnoielu s. 666
LisätiedotXII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA
II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =
Lisätiedotẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.
Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak
LisätiedotYKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus ja vikaantumisprosessit
Tkll korkakoulu ysmaalyys laboraoro Luo 6 Luoavuus a vkaaumsrosss Ah alo ysmaalyys laboraoro Tkll korkakoulu PL 00, 005 TKK Tkll korkakoulu ysmaalyys laboraoro Määrlmä Tarkaslava ykskö luoavuus o s odäkösyys,
LisätiedotOSALLISTUJAT Eerola Aila puheenjohtaja Päätöksentekijät Eerola Anja varapuheenjohtaja. Muut osallistujat Hirvonen Pasi kaupunginhallituksen edustaja
-1, SOTELA 24.9.2014 17:30 OSALLISTUJAT Eerola Aila puheenjohaja Pääöksenekijä Eerola Anja arapuheenjohaja Hakala Kirsi jäsen Hokkanen Riso Holmroos Anna Kujamäki Kari Leskinen Pirkko Nuora Irma Pakarinen
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 5 / vko 12
Diskreetin ateatiikan perusteet Esierkkiratkaisut 5 / vko 1 Tuntitehtävät 51-5 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 55-56 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 53-54 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotNotor Upotettava. 6 www.fagerhult.fi
Upoeavan Noor-valaisimen avulla kaoon voidaan luoda joko huomaamaomia ai ehokkaan huomioa herääviä ja yhenäisiä valaisinjonoja ilman minkäänlaisia varjosuksia. Pienesä koosaan huolimaa Noor arjoaa hyvin
LisätiedotSanomalehtien kysyntä Suomessa Sanomalehtien kysynnän kehittymistä selittävä ekonometrinen malli
Sanomalehien kysynä Suomessa Sanomalehien kysynnän kehiymisä seliävä ekonomerinen malli Heikki Nikali, Iella BI Research series - Tukimussarja 7/2014 12.3.2014 FOR INTERNAL USE ONLY VAIN SISÄISEEN KÄYTTÖÖN
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotOSALLISTUJAT Eerola Aila puheenjohtaja Päätöksentekijät Eerola Anja varapuheenjohtaja. Puittinen Marko Vornanen Timo
-1, SOTELA 28.1.2015 17:00 OSALLISTUJAT Eerola Aila puheenjohaja Pääöksenekijä Eerola Anja arapuheenjohaja Hakala Kirsi jäsen Hokkanen Riso Holmroos Anna Kujamäki Kari Leskinen Pirkko Nuora Irma Pakarinen
Lisätiedot53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ
53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka
LisätiedotMittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta
Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä
LisätiedotHuomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).
DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4
LisätiedotYRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY 1 YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISPOTENTIAALIN MITTAAMINEN
ENERGIAMARKKINAVIRASTO 1 Le 2 Säkön jakeluverkkoomnnan yryskoasen eosamsavoeen määrely YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY Asanosanen: Vaasan Säköverkko Oy Lyy pääökseen dnro 491/424/2007 Energamarkknavraso
Lisätiedot9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotPuolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017
OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotSopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen
Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen
LisätiedotLasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1
Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole
LisätiedotRATKAISUT: Kertaustehtäviä
Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien
Lisätiedot8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY
Värähelymeaa 8. 8 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEMIN VAIMENEMAON PAKKOVÄRÄHELY 8. Normaalmuoomeeelmä Usea vapausasee syseem leyhälöde (7.) raaseme vaa aava (7.7) a (7.8) homogeese yhälö ylese raasu { } lsäs paovomaveora
Lisätiedot6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia
6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön
LisätiedotLUKU 6 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN
LUKU 6 KOHINN VIKUUS NLOGISEN MOULIOIEN SUORIUSKYKYYN ieoliikeeekiikka I 5359 Kari Kärkkäie Osa 6 Luku 6 Kohia vaikuus aalogisii odulaaioihi Johdao aalyysieeelii Sigaali-kohiasuhee ääriäie Kaaaajuie järjeselä
Lisätiedota) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p).
LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II: 9.9.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,
LisätiedotY m p ä r i s t ö k a t s a u s
Y m p ä r i s ö k a s a u s 2007 Finavia ja ympärisö vuonna 2007 Ympärisölupia vireillä ympäri maaa Vuonna 2007 Länsi-Suomen ympärisölupaviraso anoi pääöksen ympärisönsuojelulain mukaisesa luvasa Tampere-
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotKeskijännitejohdon jännitteen alenema
Keskijäitejohdo jäittee aleea Kiviraa johtolähtö Ei ole ieltä laskea jäittee aleeaa pääuutajalta asti vaa lasketaa se P097: ltä. Xpoweri ukaa jäite uutaolla P097 o 0575,8V. Jäitteealeea uutao P097-P157
LisätiedotPARTIKKELIN KINEMATIIKKA
PRTIKKELIN KINEMTIIKK Pikklill li msspisllä koi kppl, jok mi o päolllis pi ksl hää kl. Kimiik häää o sliää, mi oid määiää pikkli sm, opus j kiihyyys s liikkuss käyääsä piki. z τ P y R z φ x y Rkäyä x Tkslu
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 15: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, roottorin epätasapaino ja alustan liike
15/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 15: Yhde vapausastee vaieeva pakkovärähtely, roottori epätasapaio ja alusta liike ROOTTORIN EPÄTASAPAINO Kute sessiossa VMS13 tuli esille, aiheuttaa pyörivie koeeosie epätasapaio
LisätiedotMÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010
MÄNÄ-VLPPULAN KAUPUNK Musalahden asemakaava Liikenneselviys yö: E ampere 8..00 ARX Ympärisö Oy PL 0 ampere Puhelin 00 000 elefax 00 00 www.airix.fi oimiso: urku, ampere, Espoo ja Oulu Mänä-Vilppulan kaupunki,
LisätiedotS Signaalit ja järjestelmät Tentti
S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ
LisätiedotSuunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017)
1 Suunnieluharjoius s-2016 (...k-2017) HAKKURITEHOLÄHDE Seuraavan push-pull-yyppisen hakkurieholäheen komponeni ulisi valia (muunajaa lukuunoamaa). V1 iin 230 V ± 10 % 50 Hz V3 Perusieoja kykennäsä Verkkoasasuunauksen
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40
Diskreetin ateatiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Tuntitehtävät 31-32 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 35-36 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 33-34 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotKäyttövarmuuden ja kunnossapidon perusteet, KSU-4310: Tentti ma
KSU-430/Ten 4..2008/Prof. Seppo Vranen /3 Käyövarmuuden ja kunnossapdon perusee, KSU-430: Ten ma 4..2008 Huom. Vasaus van veen kysymykseen. Funko- ja/a ohjelmoavan laskmen, musnpanojen, luenomonseden ja
LisätiedotLASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA TOIMINTAA HARJOITTAVILLE ELÄKESÄÄTIÖILLE
LEE LASKUPEUSEE YÖNEKJÄN ELÄKELAN MUKASA OMNAA HAJOALLE ELÄKESÄÄÖLLE Kokooma..007. iimeisin perustemuutos on ahistettu 7..007. SSÄLLYSLUEELO LE : LASKUPEUSEE YÖNEKJÄN ELÄKELAN MUKASA OMNAA HAJOALLE ELÄKESÄÄÖLLE
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013
7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaisut 5 Keät 23. Aberraatio suhteellisuusteoriassa Tulkoon alo kuten tehtään kuassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: u u x ˆx + u y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. ()
Lisätiedotb) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p)
LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II:.5.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,
LisätiedotTehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.
POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää
LisätiedotValtion eläkemaksun laskuperusteet
VALTIOKONTTORI PÄÄTÖS Dnro 62/30/2005 Valtion eläkemakn lakperteet Valtiokonttori on 2262005 hyäkynyt nämä lakperteet nodatettaaki lakettaea Valtion eläkerahatolaia tarkoitettja työnantajan eläkemakja
LisätiedotTasaantumisilmiöt eli transientit
uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
Lisätiedot3. Differen-aalilaskenta
//. Differen-aalilaskenta Differen-aali "yvin pieni uutos" Derivaa
LisätiedotTV13 Integraalimunnokset Tentti Metropolia/AK Vastauksia
3 Igrlimuoks i 7.4.5 Mropoli/K suksi. Jokiss kohds oss iää pisä. Kiroi kuki suks prää lyhy pruslu. Jksollis sigli ksopiuus o 8 ms. Kuik suuri o sigli prusuus hrsiä? sus: 5 Hz li ksopiuud kääisluku. b Shrällo
LisätiedotSISÄLLYS. N:o 1247. Valtioneuvoston asetus. poliisikoulutuksesta annetun valtioneuvoston asetuksen muuttamisesta
SUOMEN SÄÄDÖSKOKOELMA 2007 Julkaistu Helsingissä 20 päiänä joulukuuta 2007 N:o 1247 1248 SISÄLLYS N:o Siu 1247 altioneuoston asetus poliisikoulutuksesta annetun altioneuoston asetuksen muuttamisesta 4831
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
LisätiedotTiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus
Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotF Y S I I K K A KERTAUSTEHTÄVIÄ 1-20
F Y S I I K K A KERTAUSTEHTÄVIÄ - 0 Oalla eieyiä kyyykiä vaauke ova huoaavai pidepiä kuin iä eierkiki kokeea vaaukela vaadiaan. Kokeea on oaava vain olennainen aia per ehävä. . Muua SI järjeelän ykiköihin
Lisätiedot