Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 6, mllivstukset Syksy 016 Tehtävä 3 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä. Vlmistudu esittelemään rtkisusi keskiviikon 19.10. hrjoitustilisuudess, jos hlut pisteet tehtävästä. Tehtävän rtkisseiden nimet kerätään tilisuuden luss j yksi opiskelij rvotn esittelemään vstuksens tulull. Hyväksyttävän rtkisun ei trvitse oll täydellisesti oikein. Muut hrjoituskierroksen tehtävät käydään läpi demotehtävinä ssistentin johdoll eikä niitä rvioid. Vinkit tulutehtävään: -koht: käytä diffuusioyhtälöä. Mieti vuon pikkriippuvuutt, mitä derivtlle tphtuu? b-koht: rtkise homogeeninen yhtälö (1-dimensioinen j sitten etsi yksittäisrtkisu. Vkioiden rtkisu: vuon on oltv äärellinen kikkill, lähdeehto. 1. Äärettömän tsorektorin sydän koostuu 39 Pu:n j veden seoksest, joss plutoniumkonsentrtio on 8,5 g/l. Sydämen molemmill puolill on äärettömän pksu vesiheijstin. Lske heijstinsäästö, b sydämen kriittinen pksuus, c kriittinen mss yksiköissä g/cm. Rtkisu Yksiryhmädiffuusioteoriss ei riitä ennustuskyky vesimoderoiduille heijstimille (Lmrsh s. 98. Tässä viheess teoreettinen rtkisutp olisi siirtyä kuljetusteorin käyttöön j rtkist ongelm trkemmin, jolloin ennustuskyky riittäisi. Tälle kurssille riittää mm. ln pioneerien käyttämä empiirinen lähestymistp: rkennetn rektori j mittn heijstinsäästö. Lmrshin korreltio (6.107, δ = 7, + 0,10(M T 40,0 (cm, (1 on sovitettu joihnkin koetuloksiin. Sydämen migrtiol MT yksiköissä. Riittää siis lske sydämen migrtiol. Migrtioln voi esittää muodoss on tässä neliösentin M T = L T + τ T. ( Kosk sydämessä on vrsin vähän rsksmetlli τ T = τ TM. Termisen diffuusioln voi esittää muodoss D M Σ M L T = D = = D M Σ Σ F + Σ M Σ M Σ F + Σ M = L T M(1 f, (3 missä L T M viitt moderttorin eli veden diffuusioln. 1
Tulukoist sdn seurvt rvot: L TM = 8,1 cm (Lmrsh s. 54 τ TM = 7 cm. (Lmrsh s. 59 Terminen käyttösuhde f sdn lusekkeest f = Σ F Σ F + Σ M = π g N F σ F π g N F σ F + π N, (4 Mσ M missä g on ei-1/v-tekijä, jot trvitn, kosk plutoniumin vikutusl ei ivn trkkn ole kääntäen verrnnollinen nopeuteen. Kertoimell π/ sdn tulukoiduist 00 m/s -vikutusloist termisiä vikutusloj. Tulukoist löytyy Atomitiheydet sdn kvoist Vielä joitkin lukurvoj: g = 1,073 (Lmrsh s. 75; 93,6 K σ F = 100 b (Lmrsh s. 738 σ M = 0,664 b. (Lmrsh s. 74 N F = N Aρ F M F j N M = N Aρ M M M. (5 ρ F = 8,5 g/l = 8,5 10 3 g/cm 3 M F = 39 g/mol ρ M = 1 g/cm 3 M M = 18 g/mol. (nnettu (vesi Sijoittmll lukurvot sdn termiseksi käyttösuhteeksi f = 1,073 8,5 10 3 100 10 4 39 0,5133, (6 1,073 8,5 10 3 100 10 39 4 + 1 0,664 10 4 18 Terminen diffuusiol on puolestn L T = L TM(1 f 3,94 cm. (7 Heijstinsäästö on siis δ 6,940 cm. (8 b Lsketn sekä pljn rektorin koko j vähennetään tästä heijstinsäästö. Pljn rektorin diffuusioyhtälö on φ + B φ = 0. (9 Kyseessä on tsorektori, joten voidn korvt derivtll d dx : φ (x + B φ(x = 0 (10
Yhtälön rtkisu on φ(x = A cos Bx + C sin Bx, missä täytyy symmetrin vuoksi sett C = 0. Reunehdoist seur ( ( Bã 0 = φ ±ã = A cos (11 = B n = n π, n = 1,3,5,... (1 ã Kriittisen rektorin stedy stte tilnnett vstv lin ominisrvo B = B 1 = π/ã. Pljn rektorin pksuus on siis = π/b d, missä d on ekstrpoltioetäisyys. Arvioiden jälleen D = D M sdn d =,13D M = 0,340 80 cm, (13 missä diffuusiovkion rvo on otettu Lmrshin sivult 54. Arvioidn kupevuutt migrtiol-pproksimtion (Lmrsh s. 90-91 vull: B = k 1 M T = η Tfpɛ 1 L T + τ. (14 T Kosk sydämessä on vrsin vähän rsksmetlli, oletetn p = ɛ = 1. Lisäksi löydetään η( 39 Pu =,035 (Lmrsh s. 87 j muut suureet lskettiinkin jo iemmin. Rektorin kupevuus on siis B =,035 0,5133 1 (3,94 + 7 cm 1,440 10 3 cm = B = 0,0380 cm 1. (15 Kriittinen pksuus pljlle rektorille on nyt = 8,333 cm (16 j heijstetulle rektorille δ = 76,039 cm. (17 c Kriittinen plutoniummss on m Pu = b ρ Pu = 76,0 cm 8,5 10 3 g/cm 3 0,646 g/cm. (18 3
. Johd yksiryhmäteorin mukinen kriittisyysehto sivusuuntiin äärettömälle tsorektorille, jok käsittää kolme os: sydän: x <, k > 1 vipp: < x < b, 0 < k < 1 heijstin: x > b, k = 0. Rtkisu Tehtävän geometri on esitetty ll olevss kuvss. 1 3 x Yksiryhmäyhtälöt eri lueiss ovt 0 b φ 1 + k,1 1 φ L 1 = 0 lue 1 (k,1 > 1 (19 1 φ 1 k, φ L = 0 lue (0 < k, < 1 (0 φ 3 1 L 3 φ 3 = 0 lue 3 (k,3 = 0. (1 Kyseessä on tsorektori eli ongelm on yksiulotteinen. Siispä = d i = 1,, 3. Merkitään B = k,1 1 L 1 K = 1 k, L dx j φ i = φ i (x, ( (3 jolloin yksiryhmäyhtälöt tulevt muotoon K3 = 1, (4 L 3 φ 1(x + B φ 1 = 0 (5 φ (x Kφ = 0 (6 φ 3(x K3φ 3 = 0. (7 4
Rtkistn yhtälöt: φ 1 (x = A 1 cos(bx (sin(bx ei kelp symmetrisyistä (8 φ (x = A e Kx + C e K x (9 φ 3 (x = A 3 e K 3 x (e K3 x ei kelp äärellisyyssyistä. (30 Reunehdot: { φ1 (± = φ (± D 1 φ 1(± = D φ (± { φ (±b = φ 3 (±b D φ (±b = D 3 φ 3(±b. Reunehdoist syntyy yhtälöryhmä A 1 cos B A e K C e K = 0 A 1 D 1 B sin B + A D K e K C D K e K = 0 A e K b + C e K b A 3 e K 3b = 0 A D K e K b + C D K e K b + A 3 D 3 K 3 e K 3b = 0 Yhtälöryhmä voidn esittää mtriisimuodoss A x = 0, missä x = (A 1 A C A 3 T. Homogeenisell yhtälöryhmällä on ei-trivili rtkisu, jos j vin jos det(a = 0. Kriittisyysehto on siis cos B e K e K 0 D 1 B sin B D K e K D K e K 0 0 e K b e K b e K 3b = 0. 0 D K e K b D K e K b D 3 K 3 e K 3b 5
3. Monoenergeettinen neutronilähde (voimkkuus S neutroni/cm 3 s 1 on jkutunut tsisesti äärettömään hidstinineeseen. Määrää neutronivuo hidstinineess tspinotilss. b Ääretön, ohut levymäinen bsorbttori setetn väliineeseen kohtn x = 0. Mikä vuon tspinomuoto on nyt? Käsittele bsorboiv levyä lähde-ehdon lim J(x = x 0 Σ tφ(0/ vull, missä Σ on levyn bsorptiovikutusl j t levyn pksuus. Rtkisu Diffuusioyhtälö: D φ }{{} diffuusio/virt Σ φ }{{} bsorptio + }{{} S = 0 φ 1 L φ + S D lähde = 0. (31 Nyt meillä on ääretön hidstinine, joss on tsisesti jkutunut neutronilähde (S neutroni/cm 3 s. Kosk tilnteess ei ole mitään pikkriippuv, ei vuokn voi riippu pikst, eli sen on oltv vkio: D φ Σ }{{} φ + S = 0 = φ = S. (3 Σ =0 b Lisätään -kohdn tilnteeseen ohut levymäinen bsorbttori kohtn x = 0. Kosk levy on y- j z-suuntiin ääretön, vuoll voi oll jälleen vin x-riippuvuus. Kyseessä on ts efektiivisesti 1-dimensioinen ongelm: jonk yleinen rtkisu on d φ dx 1 L φ + S D = 0, (33 φ(x = A e x/l + C e x/l + S Σ, (34 missä yksittäisrtkisun toimii -kohdn vkiovuo. Vuon on oltv kikkill äärellinen, joten rvoill x < 0 on oltv C = 0 j rvoill x > 0 on oltv A = 0. Hoidetn tämä ottmll itseisrvo: Neutronivirt sdn Fickin list: φ(x = S Σ + Ae x /L. (35 J(x = D dφ(x dx = D L Ae x /L. (36 (Tässä täytyisi oikestn oll edessä vielä sign(x, mutt tämä menee oikein, jos oletetn, että x > 0 Lähde-ehton käytetään tehtäväpperiss nnettu lim x 0 J(x = 6
Σ tφ(0/ (jok voitisiin joht smn tpn kuten iemmin tehtiin pistelähteen tpuksess. Lähde-ehdon vsemmst puolest sdn j oikest D lim J(x = lim x 0 x 0 L Ae x /L = D L A (37 Σ tφ(0/ = 1 ( S Σ t + A. (38 Σ Vkio A sdn settmll oike j vsen puoli yhtäsuuriksi: ( D S L A = 1 Σ t + A Σ = A = Σ t Σ t + D L S Σ, (39 j rtkisu on tällöin ( φ(x = S 1 Σ te x /L. (40 Σ Σ t + D L Vuon muoto on siis seurvnlinen: φ(x S/Σ.............................................. x 7
4. Pljss -särmäisessä moderttorikuutioss on sen keskipisteessä isotrooppinen pistelähde, jonk voimkkuus on S neutroni/s. Lske tspinovuo j johd luseke neutronien kuutiost pkenemisen todennäköisyydelle. Ohje: Etsi rtkisu vuolle ominisfunktiokehitelmän muodoss φ = ( lπx ( nπz A lmn cos cos cos. Rtkisu Pljs -särmäinen moderttorikuutio, keskipisteessä pistelähde (S neutroni/s. Diffuusioyhtälö: D φ Σ φ + S = 0. (41 Käytetään ohjeen mukn vuon rtkisun ominisfunktiokehitelmää: φ(x,y,z = ( lπx ( nπz A lmn cos cos cos. (4 ( Tällöin sdn φ = + + φ myös ominisfunktiokehitelmänä x y z φ(x,y,z = ( ] lπ ( mπ ( nπ A lmn [ ( lπx ( nπz cos cos cos. (43 Pitäisi vielä sd lähdetermi muutettu vstvksi kehitelmäksi. Yritetään muoto S(x,y,z = ( lπx ( nπz C cos cos cos, (44 missä C on vkio. Pistelähde voidn esittää deltfunktioll seurvsti: S(x,y,z = Sδ(xδ(yδ(z = S(x,y,z dv = S, (45 joten vditn ko. integrlin olevn voimss srjkehitelmälle: S = S(x,y,z dv V / / / ( lπx ( nπz = C cos cos cos dx dy dz / / / [ / ( ] [ lπx ] / = C cos dx cos dy l / m / [ ] / ( nπz cos dz n / [ / ( 3 lπx = C cos dx]. (46 l / 8 V
Kosinin integrlist sdn / / ( lπx cos dx = lπ Jäljelle jää summn lskeminen: ( 1 (l 1/ π l l=1,3,... = / / / ( lπx sin = lπ sin ( lπ { 0, kun l on prillinen lπ ( 1(l 1/, = π l =0 kun l on priton. (47 ( 1 l l + 1 = π π 4 =. (48 Tämän tuloksen osoittminen menisi ylikurssiksi, joten se täytyy vin usko. Kyseessä on eräs π:n lskemiseksi käytetyistä srjoist, tosin vrsin heikosti suppenev sellinen. Sdn siis S = Lähdetermi stiin muotoon V ( 3 S(x,y,z dv = C = C = S S(x,y,z = 8S 3 cos ( lπx cos ( 3 = 8S. (49 3 ( nπz cos. (50 Kiken tämän lgebrllisen mnipuloinnin tuloksen diffuusioyhtälö on stu muotoon {[ ( (lπ ] } ( mπ ( nπ D + + + Σ A lmn 8S 3 ( lπx ( nπz cos cos cos = 0. (51 Tässä viheess voidn unoht kosinit j siirtyä lskemn pelkästään srjn kertoimill: [ ( (lπ ] ( mπ ( nπ D + + + Σ A lmn 8S = 0 3 A lmn = 8S [D(l 3 + m + n ( ] π = + Σ missä Blmn = (l + m + n (π/ (kupevuus. Vuon rtkisu: φ(x,y,z = ( 8S lπx 3 Σ (1 + Blmn L cos cos 8S 3 Σ (1 + B lmn L, (5 cos ( nπz. (53 Sitten pitäisi vielä lske pkenemistodennäköisyys. Symmetrin vuoksi riittää lske yhden thkon läpi tphtuv vuoto j kerto se kuudell: Vuoto = J = 6 J x (/,y,z dy dz. (54 S 9 S(x=/
Fickin lki soveltmll sdn joten vuoto on Vuoto = 6 J x = D φ x = D / / / / A lmn lπ sin DA lmn lπ sin = 6 lπ DA lmn ( 1(l 1/ π = 6 = ( lπx ( lπ cos cos ( 1 (m 1/ m 4DA lmn l ( 1 (l+m+n+1/ ( 1 4/ πmn 4D π l 8S mn 3 Σ (1 + Blmn L ( 1(l+m+n+1/, ( nπz cos, (55 ( nπz cos dy dz ( 1 (n 1/ π n l, m, n prittomi. Yllä on toisen yhtäsuuruuden kohdll käytetty pun yhtälöä (47. Pkenemistodennäköisyydeksi sdn lopult P = Vuotneiden neutronien lkm Syntyneiden neutronien lkm = Vuoto S = 19L π (56 1 l 1 + Blmn L mn ( 1(l+m+n+1/, l, m, n prittomi. (57 10