Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 4, mallivastaukset Syksy 2016
|
|
- Hilkka Lehtonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos ipilä/heikinheimo PHY-E0460 Rektoifysiikn peusteet Hjoitus 4, mllivstukset yksy 2016 Tehtävä 1 on tämän hjoituskieoksen tulutehtävä lmistudu esittelemään tkisusi tiistin 510 hjoitustilisuudess, jos hlut pisteet tehtävästä Tehtävän tkisseiden nimet keätään tilisuuden luss j yksi opiskelij votn esittelemään vstuksens tulull Hyväksyttävän tkisun ei tvitse oll täydellisesti oikein Muut hjoituskieoksen tehtävät käydään läpi demotehtävinä ssistentin johdoll eikä niitä vioid inkit tulutehtävään: Aloit luennolt tutust pistelähteen vuost diffusoivss väliineess: e / φ( = (1 4πD Neutonivin st puolestn Fickin list Huom, että neutonivuo on sklisuue, mutt neutonivit on vektoisuue, mikä vikutt niiden summutumiseen Tehtävän johdnnoksi knntt ktso luentoklvoj j/ti mshin sivut (Hjoituksen vuoksi voit myös hlutesssi joht nnetun pistelähteen vuon stvt johtotehtävät ovt kussin knnlt oleellisi, vikk johto ei vditkn tässä tehtävässä 1 Kksi isotooppist pistelähdettä, jotk kumpikin emittoivt neutoni/s, sijitsevt ääettömässä modettoiineess ll olevn kuvn mukisesti Määää diffuusioteoin mukinen vuo j neutonivit tspinotilss pisteessä P x P Rtkisu Rtkistn pistelähteen iheuttm neutonivuo ääettömässä modettoiineess tedy-stte -diffuusioyhtälö (msh (518: D 2 φ Σ φ + = 0 (2 Pistelähteellä on kyseessä pllogeometi Kosk lisäksi lähde on isotooppinen, neutonivuoll ei ole kulmiippuvuutt, inostn -iippuvuus plce-opettoi on siis 2 = 1 ( d 2 d = d2 2 d d d + 2 d 2 d (3 1
2 oveltmll tätä funktioon φ sdn 2 φ = d2 φ d = 1 dφ d = 1 ( d dφ d d + φ d 2 (φ (4 d2 Tämän peusteell tehdään muuttujnvihdos w = φ, jolloin sdn yksinketisempi yhtälö D d 2 w d Σ w 2 + = 0 = w 1 2 w + D D 1 = 0, (5 missä = (D/Σ 1/2 on diffuusiopituus Muull pitsi lähteessä pätee Yhtälön (6 yleinen tkisu on muoto w 1 2 w = 0 0 = w 1 w = 0 (6 2 w( = Ae / + Ce /, (7 kuten mtikn peuskusseilt ehkä muistetnkin uon yleinen tkisu on siis muoto φ( = A e / + C e/ (8 Kosk jälkimmäinen temi menee ääettömäksi kukn lähteestä, täytyy vlit C = 0 (ääetön vuo ei ole fysiklisesti jäkevä kio A sdn lähde-ehdost, jok voidn joht Fickin lin j Gussin luseen vull All esitetty mtemttinen johto ei kuitenkn kuulu kussin oleellisimpiin sioihin, joten hlukkt voivt hypätä suon lopputulokseen (15 J = D φ (Fick (9 J d = Jd (Guss (10 Fickin lki määää neutonivin J j neutonivuon φ välisen yhteyden Kosk φ = φ(, on neutonivit muoto J = J( e Olkoon pint oigokeskinen R-säteinen pllonkuoi (0,R Tällöin yhtälön (10 vsemmst puolest sdn J(d = 4πR 2 J(R (11 (0,R Oikell puolell integoidn tällöin oigokeskisen pllon B(0,R yli: (9 Jd = D 2 φd (2 = (( Σ φ d (12 B(0,R B(0,R 2 B(0,R
3 Tässä pistelähde ( on deltfunktionli jok on pllokoodinteiss muoto ijoittmll tämä päästään jtkmn: Jd = B(0,R Yhdistämällä yhtälöt (11 j (14 sdn ( = δ( 4π 2 (13 R π 2π 0 0 R = 4πAΣ e / d 0 0 Σ φ 2 sin θddθdφ = + 4πAΣ e R/ ( R + 2 2] (14 4πR 2 J( = + 4πAΣ ( e R/ R + 2 2] lim R 0 = lim 4πR 2 J(R = (15 R 0 Tämä on hettu lähde-ehto Edellä olevn pitkähkön lskelmn jtus on ympäöidä lähde pllonkuoell, jonk sädettä letn pienentää Kun pllonkuoen säde lähestyy noll, täytyy sen läpi tulevn vituksen oll lähteen voimkkuus (yhtään neutoni ei ehdi bsoboitu eikä yksikään neutoni sio tkisin ääettömän pienen pllon lueelle, j pllonkuoen läpi tulee 4πR 2 J( neutoni ikyksikössä Neutonivin suuuus sdn nyt Fickin list deivoimll: J = D d ( 1 d φ = DA + 1 e /, (16 2 joten lähde-ehdost sdn 4π 2 DA = lim 0 kioksi A sdn j vuo on siis ( e / ] A = φ( = ( = lim 4πDA 1 + e / = 4πDA (17 0 4πD 4πD e / (18 (19 Edellä johdettiin yhden pistelähteen iheuttm vuo, käytetään tätä tieto pun Neutonivuo φ on sklisuue uo tietyssä pisteessä määitellään kikist suunnist tulevien neutonivuoiden summn (msh: s Neutonivit J on puolestn vektoisuue, jok määää tietyssä pisteessä nettovituksen suuuuden j suunnn (msh: s 233 Oheisest kuvst (kuv 1 voidn suon päätellä, että pisteessä Q neutonivuo on φ Q = 2φ(, j neutonivit smss pisteessä on J Q = 0 Nyt kysyttiin kuitenkin näiden suueiden voj pisteessä P, joten ei päästykään näin helpoll Neutonivuo on edelleen helppo lske: φ P = φ 1 (d + φ 2 (d = 2φ( 2 + x 2 = 3 e 2 +x 2 / 2πD 2 + x (20 2
4 Q x α P d Kuv 1: Neutonivit on hiukn kinkkisempi Neutonivin suunt voidn määittää symmetipeustein: Kosk neutonilähteet ovt yhtä voimkkt, niiden x-suunt vstn kohtisuot neutonivin komponentit kumovt toisens Näin ollen jäljelle jää vin x-suuntinen komponentti, jonk voidn vielä päätellä osoittvn positiiviseen x-suuntn (eli ls Yhdestä pistelähteestä syntyvä neutonivit on Fickin lin peusteell J( = Dφ ( e = ( 1 4π + 1 e / e 2, (21 missä e on :n suuntinen yksikkövektoi Neutonivin x-komponentti sdn tun- 2 P J 2 J 1x J1 7 e e x 7 α J Kuv 2: netusti pistetuloll J x = J e x, missä e x on x-suunnn yksikkövektoi Nyt kuvn 2 geometiss e e x = cos α, missä kulm α on sm kuin kuvn 1 kulm α Kuvst 1 sdn cos α = x d = x 2 + x (22 2 ymmetisyistä kummnkin neutonivin x-komponentti on yhtä suui, joten sdn ( 1 J Px = 2 4π d + 1 ] e d/ ( e 2 e x e x d = x ( d 2πd e d/ e x ( 2 +x x 2 / e x (23 = x 2π ( 2 + x 2 e 3/2 4
5 2 R-säteisessä plloss on tsisesti jkutunut isotooppinen neutonilähde ske neutonien kkmistodennäköisyys pllost, eli se os lähteen tuottmist neutoneist, jok lopult joutuu pllon ulkopuolelle Käytä yksiyhmädiffuusioteoi Rtkisu Rtkistn ensin diffuusioyhtälö D 2 φ Σ φ + = 0 (24 pllokoodinteiss (ilmn kulmiippuvuutt Aloitetn vstvst homogeeniyhtälöstä: d D 2 2 φ φ Σ φ = D d + 2 ] ] dφ 1 d 2 Σ 2 φ = D d d (φ Σ 2 φ = 0 (25 Käytetään muuttujnvihdost w = φ (vt pistelähdelsku: d 2 w d 1 w = 0 ( Tämän yleinen tkisu on (tällä ket hypebolisill funktioill kijoitettun ( ( w( = A cosh + C sinh, (27 j vuo on siis φ( = A cosh ( + C sinh ( (28 Täydellisen yhtälön (24 yksittäistkisu vten vlitn yitteeksi vkio φ = E ijoittmll sdn uon yleinen tkisu on siis φ( = 1 ( A cosh = A cosh ( Σ E + = 0 = E = Σ (29 ( + C sinh ] + C sinh ( + Σ + Σ (30 uon on oltv ääellinen kikkill, eityisesti oigoss Kosk cosh-temi menee oigoss ääettömäksi, on vlittv A = 0 1 kio C sdn määättyä vtimll vuon häviävän ekstpoltioetäisyyden päässä pllon pinnst: φ(r + d = C sinh ( R+d R + d + = 0 C = R + d Σ Σ sinh ( (31 R+d 1 Jos vlitsi esittää tkisun exponentilifunktioiden vull, huom tässä kohdss kummnkin temin yksinään lähestyvän ääetöntä Tästä selviää tkstelemll vuon j-vo oigoss, j vtimll sen olevn ääellinen Tästä sdn ehto keointen välille Jäljelle jää vin yksi tuntemton, jok voidn tkist smoill toimenpiteillä kuin hypebolisille funktioille 5
6 Neutonivuo plloss on siis φ( = Σ Kkmistodennäköisyys määitellään: P = 1 R + d vuotneet neutonit syntyneet neutonit = sinh ( sinh ( R+d ] (32 J d A (33 dv Kosk vuo pllon pinnll on vkio, myös neutonivit pinnll on vkio j voidn lske ( dφ J d = J( = R A = D 4πR 2 (34 d A ähdetiheys on myös vkio, joten dv = = 4 3 πr3 (35 Kkmistodennäköisyydelle sdn siis P = 3D R missä neutonivuon deivtt pllon pinnll on ( dφ = R + d d =R Σ sinh ( cosh ( R R+d R Kkmistodennäköisyydeksi sdn siis P = 3D R + d R Σ sinh ( R+d = 3(R + d sinh ( R R 2 sinh ( R+d =R ( dφ, (36 d =R cosh ( R R coth + sinh ( R R 2 R 2 ] + sinh ( ] R ( R R (37 ] (38 6
7 3 Pljn kiittisen kuutioektoin sivu on 1 m, keskimäääinen teminen vuo on 10 5 cm 2 s 1 j diffuusiovkio on 0,1 cm Määää ektoist tphtuv teminen vuoto diffuusioteoin mukisesti (vstus: 3, s 1 inkki: msh tulukko 62 + Gussin luse uon eksplisiittistä muoto ei tvit Rtkisu uoto on neutonivin integli ektoin pinnn yli uoto = J d (msh s 236 (39 A uodon määittämiseksi tvitn Fickin lki j Gussin luse (divegenssiluse, A J = D φ (Fick (40 J d = J d (Guss (41 Näiden vull vuoto tulee muotoon uoto = (D φ d = D 2 φ d (42 Pljlle homogeeniselle ektoille (diffuusioteoin mukisen vuon sptilinen jkum kikiss enegiyhmissä on sm Kiittisessä konfigutioss kokonisvuo, smoin kuin kunkin enegiyhmän vuo toteutt yksiyhmäektoiyhtälön 2 φ + B 2 gφ = 0, (43 missä B g on geometinen kupevuus 2 Geometinen kupevuus iippuu vin ektoin geometist, j pljlle kuutiomiselle ektoille se on (msh, tulukko 62 ( π 2 Bg 2 = 3, (44 missä on kuution sämä Kijoittmll yhtälö (43 temiselle vuolle φ T j sijoittmll tähän kupevuus (44 sdn ( π 2 ( π 2 2 φ T + 3 φt = 0 = 2 φ T = 3 φt (45 Yhtälön (42 mukn temiseksi vuodoksi tulee siis ( π 2 ( π 2 Tem vuoto = 3D T φt d = 3D T φ T d (46 2 Peitteess yhtälö (43 pätee myös ei-kiittisille tpuksille kun B g kovtn mteilisell kupevuudell B m Mteilinen kupevuus on kuitenkin usemmn kuin yhden enegiyhmän knss vähän monimutkisempi juttu, sillä on käytettävä yksiyhmäkupevuutt Yksiyhmäkupevuus sdn (fomlisti esim sopivsti vuopinottmll yksittäisten yhmien diffuusioketoimi j bsoptiovikutusloj uopinotus onnistuu ilmn ylimäääisiä kompliktioit kosk sptilinen jkum kusskin yhmässä on sm Kiittisessä konfigutioss B g = B m 7
8 uon integli yli ektoin tilvuuden voidn ilmoitt keskimäääisen vuon φ j ektoin tilvuuden vull Eityisesti siis temiselle vuolle φ T d = φ T (47 Yhtälöistä (46 j (47 sdn Tem vuoto = 3D T ( π 2 φ T d = 3D T ( π 2 φt = 3π 2 D T φ T, (48 missä on lopuksi otettu huomioon, että kuution tilvuus on = 3 ijoitetn vielä lukuvot D T = 0,1 cm, = 1 m, φ T = 10 5 cm 2 s 1 : Tem vuoto = 3π 2 0,1 cm 100 cm 10 5 cm 2 s 1 3, s 1 (49 8
9 4 Ääettömässä väliineess, jonk bsoptiovikutusl on Σ j diffuusiokeoin D, sijitsee ääettömän pitkä R-säteinen sylintein kuoen muotoinen temisten neutonien lähde, jonk voimkkuus pituusyksikköä kohti on Määää temisen vuon jkutum tspinotilss sylintein sisä- j ulkolueess Rtkisu Tilnne on ll olevss kuvss esitetty j tehtävänä on lske vuo sylintein sisällä (1 j ulkopuolell (2 z R 2 1 ähde voidn esittää deltfunktion vull eli kyseessä on singulinen lähde Hlutn lähteen voimkkuus pint-lyksikköä kohti (: ( = δ( R (50 2π Tkistus: ( d = z, kun on säteeltään ääetön z kokuinen sylintei] Tutuksi käynyt diffuusioyhtälö D 2 φ Σ φ + = 0 s sylinteikoodinteiss muodon ( d 2 d + 1 d φ 1 2 d φ = 2 D, (51 sillä tilnteess ei voi oll kulm- eikä z-iippuvuutt Kosk lähde on singulinen, diffuusioyhtälö on homogeeninen sekä sisä- että ulkolueess: (1 < R: φ φ φ 1 = 0 (52 (2 > R: φ φ φ 2 = 0 (53 Tässä on oletettu, että ulko- j sisäpuolell on sm väliine, jolloin 1 = 2 = Näitä diffeentiliyhtälöitä ei voi tkist lkeisfunktioiden vull 9
10 Yleisempää muoto 2 d2 olevn yhtälön tkisut ovt d φ n(k + d 2 d φ n(k (k n 2 φ n (k = 0 d2 d φ n(k + 1 d 2 d φ n(k (k 2 + n2 φ 2 n (k = 0 (54 φ n = AI n (k + CK n (k, (55 missä I n j K n ovt n:nnen ketluvun modifioituj Besselin funktioit Näillä funktioill on seuvi mielenkiintoisi ominisuuksi: { In (x = I n (x I n 1 (x + I n+1 (x = 2I n(x = I 0(x = I 1 (x (56 { Kn (x = K n (x K n 1 (x + K n+1 (x = 2K n(x = K 0(x = K 1 (x (57 I 1 (xk 0 (x + I 0 (xk 1 (x = 1 x (58 Funktiot I 0, I 1, K 0 j K 1 käyttäytyvät kuvn 3 mukisesti K 0 K I 0 I 1 x Kuv 3: Nyt nähdään, että diffuusioyhtälömme ovt yo muoto voill n = 0 j k 2 = 1/ 2 Rtkisumme ovt siis ( ( φ 1 = AI 0 + CK 0 (59 ( ( φ 2 = A I 0 + C K 0 (60 10
11 Ääellisyysehdoist seu ( lim K 0 = = C = 0 (61 0 ( lim I 0 = = A = 0 (62 Jtkuvuusehdost sdn ( ( R R φ 1 (R = φ 2 (R AI 0 = C K 0 (63 Tvitn vielä lisäehto, jott A j C sdn yksikäsitteisesti määättyä Käytetään lähde-ehto J 2 (R J 1 (R = 2πR, (64 jok voidn joht Gussin luseest käyttämällä integointilueen ohutt sylinteikuot, jonk pksuuden nnetn mennä nolln siten, että säteeksi tulee R Neutonivit sdn määitettyä Fickin list: J i = D dφ i d e, i = 1, 2 (65 Modifioitujen besselin funktioiden ominisuuksist (56 j (57 seu J 1 = DA ( ( R I 1 j J 2 = DC R K 1, (66 eli lähde-ehto on DA I 1 Rtkistn A yhtälöstä (63, ( R + DC K 1 ( R = 2πR (67 A = C K ( R 0 ( I R, (68 0 j sijoitetn se yhtälöön (67: ( DC K R ( R ( 0 I1 ( I R + DC R 0 K 1 = ( R I 0 2πR ( ( ( ( ] = DC R R R R K 0 I 1 + K 1 I 0 = I ( R 0 2πR Besselin funktioiden kolmnnest ominisuudest (yhtälö (58 j yllä olevst yhtäsuuuudest seu nyt DC R = I ( R 0 2πR = C = I ( R 0 2πD = A = K ( R 0 2πD 11
12 Rtkisu on näin ollen φ 1 ( = φ 2 ( = φ( ( R ( 2πD K 0 I 0 ( R ( 2πD I 0 K 0, < R (69, > R (70 R 12
Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 5, mallivastaukset Syksy 2016
Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 5, mllivstukset Syksy 2016 Tehtävä 2 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä Vlmistudu esittelemään
LisätiedotAalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 6, mallivastaukset Syksy 2016
Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 6, mllivstukset Syksy 016 Tehtävä 3 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä. Vlmistudu esittelemään
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
LisätiedotJakso 7. Lorentz-voima
Jkso 7. Loentz-voim Mgnetismi-ilmiö on monelle mysteei. Siksi sen vull voidn helposti huijt ihmisiä j myydä kiken milmn polttoineen säästäjiä utoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimst eli
Lisätiedot766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen
76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan
A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Lisätiedot.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
Lisätiedot. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä
766319A Sähkömgnetismi, 7 op Vnhoj tenttitehtäviä 1. Puoliympyrän muotoon tivutettu suv on vrttu tsisesti siten, että vrus pituusyksikköä kohti on λ. Puoliympyrän säde on. Lske sähkökenttä puoliympyrän
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli
1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Lisätiedot40 LUKU 3. GAUSSIN LAKI
Luku 3 Gaussin laki 3.1 Coulombin laista Gaussin lakiin Takastellaan pistemäisen vaauksen q aiheuttamaa sähkökenttää, joka noudattaa yhtälöä (1.1). Tämän sähkökentän vuo etäisyydellä olevan pienen pintaelementin
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotSATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima
ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen
LisätiedotPintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotTässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen.
Tässä on vnhoj Sähkömgnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentttorin on ollut näissä tenteissä sm henkilö kuin tänä vuonn eli Hnn Pulkkinen. 766319A Sähkömgnetismi, kesäkurssi 2012 Päätekoe 11.6.2012 1. Esitä
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 6 Laskuharjoitus 7 / Kapasitanssi ja eristeaineet
SATE0 Stttinen kenttäteoi kevät 07 / Lskuhjoitus 7 / Kpsitnssi j eisteineet Tehtävä. All olevss kuvss sisimmän johteen ( = mm) potentilieo uloimpn johtimeen ( = 00 mm) nähen on 40 V. Alueell < < 50 mm
Lisätiedotmissä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min
S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotSATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi
ATE.1xx tttisen kenttäteorin ljentminen ähkömgneettiseksi kenttäteoriksi syksy 212 1 / 5 skuhrjoitus 1: iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. Määritä tjuus, millä johtvuusvirrn tiheys
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Lisätiedot601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Lisätiedot3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A
3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion
LisätiedotKuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?
TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 6 Laskuharjoitus 7 / Kapasitanssi ja eristeaineet
ATE0 tttinen kenttäteoi kevät 06 / 6 Lskuhjoitus 7 / Kpsitnssi j eisteineet Tehtävä. Kuvss esitetyn kpelin sisimmän johteen ( =,5 mm) potentilieo uloimpn johtimeen ( = 00 mm) nähen on 00. Alueell,5 <
Lisätiedotellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.
KEPLERIN LAI: (Ks. Physic 5, s. 5) Johnnes Keple (57-60) yhtyi yko Bhen (546-60) hintoineiston pohjlt etsimään tinmekniikn linlisuuksi. Keple tiiisti tutkimustyönsä kolmeen lkiins (Keplein lit). I LAKI
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotL 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )
76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotLYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotSATE1050 Piirianalyysi II syksy kevät / 8 Laskuharjoitus 12 / Siirtojohdot taajuusalueessa, ketjumatriisi
SAT5 Piirinlyysi syksy 6 kevät 7 / 8 Tehtävä. Lske kuvss esitetyssä piirissä sisäänmenoimpednssi siirtojohdon ketjumtriisin vull, kun ) johdon loppupää on voin ) johdon loppupää on oikosuljettu c) johto
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotKirjallinen teoriakoe
11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1
LisätiedotMATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Hrjoitustehtävien rtkisut Ari Tuomenlehto - 0 - Hrjoitustehtävien rtkisut 1.
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotVinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
Lisätiedotjärjestelmät Jatkuva-aikaiset järjestelmät muunnostason ratkaisu Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineiet jäjetelmät Jtkuv-ikiet jäjetelmät muunnoton tkiu Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen Lplce-muunno Aikton DY Aikton tkiu Lplcemuunno Käänteimuunno Rtkiu -to 2 Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8
Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotVastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
LisätiedotVakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle
Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht
LisätiedotKurssikoe, FY5 Pyöriminen ja gravitaatio,
Kussikoe, FY5 Pöiinen j gittio, 5.4.6 Vst in iiteen tehtäään. Jokisess tehtäässä ksii pisteäää on kuusi pistettä. Voit psti tehdä ekintöjä ös tehtääppeiin, niitä ei huoioid ioinniss. Plut ös tehtääppei..
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
Lisätiedotfunktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.
I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
LisätiedotSATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 5 Laskuharjoitus 1: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima
ATE.1 Dynminen kenttäteori syksy 11 1 / 5 Lskuhrjoitus 1: iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. Määritä tjuus, millä johtvuusvirrn tiheys on kksinkertinen verrttun siirrosvirrn tiheyteen
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotSähkökentät ja niiden laskeminen I
ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotS Fysiikka IV (ES) Tentti RATKAISUT. 1,0*10 m. Kineettinen energia saadaan kun tästä vähennetään lepoenergia: 2
S-11436 ysiikk V (ES) Tentti 175001 RATKASUT 1 Tutkittess pieniä kohteit on tutkimukseen käytettävien ltojen llonpituuden oltv yleensä enintään 1/10 os kohteen ulottuvuudest (esim hlkisijst) Lske trvittv
Lisätiedot4.1 Sähkökentän vaikutus atomeihin ja molekyyleihin
Luku 4 Eristeet 4.1 Sähkökentän vikutus tomeihin j molekyyleihin Eristeet ovt ineit, joiss kikki elektronit ovt sitoutuneit tomeihin ti molekyyleihin, eivätkä voi liikku vpsti kuten johde-elektronit johteiss.
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
Lisätiedot6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot