Luku 4 Eristeet 4.1 Sähkökentän vikutus tomeihin j molekyyleihin Eristeet ovt ineit, joiss kikki elektronit ovt sitoutuneit tomeihin ti molekyyleihin, eivätkä voi liikku vpsti kuten johde-elektronit johteiss. Sähkökenttä vikutt eristetomeihin siten, että se siirtää tomien elektroniverhoj ytimien suhteen. Sirtymät ovt ytimen hlkisijn suuruusluokk, siis hyvin pieniä. Tästä kuitenkin seur, että tomist muodostuu sähködipoli, jok osoitt sähkökentän suntn (kuv 4.1). Dipolimomentti on p = Ze, (4.1) missä Z on tomin vrusluku j on vektori elektroniverhon keskipisteestä ytimeen. Snotn, että tomi on polrisoitunut. E = 0 E elektronipilvi (-Ze) ydin (+Ze) R el 0 R nuc Kuv 4.1: Sähkökentän iheuttm tomin polrisoituminen. Molekyylillä stt oll dipolimomentti jop ilmn ulkoist sähkökenttää. Esimerkkejä tällisist molekyyleistä ovt H 2 O j HCl (kuv 4.2). Tällinen dipolimomentti syntyy molekyylin ytimien j elektronien välisistä vuorovikutuksist j sen selittämiseen trvitn kvnttimekniikk. Kun tällinen dipolimomentti joutuu c Tuomo Nygrén, 2010 49
50 LUKU 4. ERISTEET - - + + + + + - H Cl Kuv 4.2: Molekyylin dipolimomentti. - - - sähkökenttään, yhtälön (2.38) mukinen vääntömomentti pyrkii kääntämään dipolin kentän suuntiseksi. Jos ine on nestemäisessä ti ksumisess olomuodoss, törmäilevät molekyylit lämpöliikkeen vikutuksest toisiins j häiritsevät dipolien orientoitumist kentän suuntisiksi. Käytännössä lämpöliikkeen energi on niin suuri, että se kykenee häiritsemään merkittävästi sähkökentän vikutust. Seuruksen on, että dipolimomenteille syntyy suuntjkutum, jok voidn lske sttistisen mekniikn vull. Suuntjkutumst seur, että ineess on enemmän sellisi dipolimomenttej, joill on sähkökentän suuntinen komponentti kuin dipoleit, joill on kentälle vstkkissuuntinen komponentti. Nettoefekti on, että ine polrisoituu kentän suuntisesti. 4.2 Polrisoitum j indusoituneet vrukset Jos dipolimomenttien lukumäärätiheys ineess on N, on ineen polrisoitum (dipolimomenttitiheys) P = Np, (4.2) missä p on yksittäisen molekyylin dipolimomentti (jos lämpöliike häiritsee yksittäisten dipolimomenttien suuntutumist, p on trksti otten molekyylien keskimääräinen dipolimomentti). Yhtälö (4.2) on polrisoitumn määritelmä. Polrisoitumn!S+!S- E Kuv 4.3: Polrisoitumn iheuttm pintvrus.
4.2. POLARISOITUMA JA INDUSOITUNEET VARAUKSET 51 yksikkö on [P ] = [N][p] = 1 m 3 Cm = C m 2. (4.3) Kuvss 4.3 on setettu eristekpple sähkökenttään siten, että kppleen pinnt ovt kohtisuorss sähkökenttää vstn. Aineen polrisoitumist kuvtn kentän suuntn orientoituneill dipoleill. Nähdään, että dipolien positiiviset päät iheuttvt kppleen toiselle pinnlle positiivisen vruksen j negtiiviset päät toiselle pinnlle negtiivisen vruksen. Näitä snotn indusoiduiksi vruksiksi ti polristiovruksiksi. Kuvn merkittyjen ltikoiden sisältämät vrukset ovt δq + = NδS + j δq = NδS. Pinnoille siis syntyy indusoituneet vrusktteet (polristiovrusktteet) σ P + = δq + δs + = N = Np = P j σ P = δq δs = N = Np = P. (4.4) Kosk δs + j P ovt smnsuuntisi j δs j P ovt vstkkissuuntisi, yhtälöt (4.4) voidn kirjoitt myös muotoon σ P + δs + = P δs + j σ P δs = P δs. (4.5) Kummllkin pinnll on siis voimss σ P δs = P δs. Jos pint ei ole kohtisuorss sähkökenttää vstn (kuv 4.4), on pintvrus ohuemmss kerroksess, jonk pksuus on d. Ilmeisesti d = cos α, missä α on sähkökentän E j pintvektorin δs välinen kulm. Silloin kuvn piirretyn ltikon sisään jää vrus Q = NdδS = N cos αδs = P δs cos α = P δs, (4.6) joten vrusktteelle on voimss σ P δs = P δs eli σ P = P n, (4.7) d "!S E Kuv 4.4: Polrisoitumn iheuttm pintvrus.
52 LUKU 4. ERISTEET missä n = δs/δs on pinnn normlin suuntinen yksikkövektori. Tämä yhtälö on sm kuin yhtälöt (4.5), joten tulos on voimss riippumtt siitä, onko pint kohtisuorss sähkökenttää vstn vi ei. Aineen polrisoituminen sähkökentän vikutuksest ei muut kppleen kokonisvrust; sähköisesti neutrli kpple pysyy neutrlin joutuessn sähkökenttään. Jos polrisoitum ei ole vkio, voi syntyä tilnne, joss pintvrusten summ ei ole noll. Näin käy esimerkiksi kuvn 4.3 tpuksess, jos polrisoitum on eri suuruinen vstkkisill pinnoill. Tämä voi iheutu ineen epähomogeenisuudest ti sitä, että sähkökenttä riippuu pikst. Tällisess tilnteess eristeen sisälle syntyy polristion vikutuksest vrustiheys ρ P. Tämä nähdään seurvsti. Kppleen neutrlisuus edellyttää että kokonisvrus on noll, eli Yhtälön (4.7) vull tämä sdn muotoon σ P ds + ρ P dτ = 0. (4.8) S S V P ds + ρ P dτ = 0, (4.9) V mistä edelleen Gussin luseen vull P dτ + V V ρ P dτ = 0. (4.10) Pitsi, että tämä on voimss koko eristekppleelle, se on myös erikseen voimss kikille eristeen sisällä oleville tilvuuksille V. Tällisen kuvitellun tilvuuden pinnlle nimittäin voidn ktso muodostuvn pintvrus smll peritteell kuin koko kppleen pinnlle. Tällöin ino mhdollisuus on, että yhtälössä (4.10) integrndien summ on noll. Näinollen polristiovruksen tiheys on ρ P = P. (4.11) Yhtälöt (4.7) j (4.11) kertovt, kuink polristio synnyttää indusoituneit vruksi eristeineeseen. 4.3 Eristeen vikutus sähkökenttään Kun sähkökenttä siirtää elektroniverho tomiytimen suhteen, positiivisen ytimen j negtiivisten elektronien välinen vetovoim vstust tätä siirtymää. Kosk siirtymä on hyvin pieni (ytimen suuruusluokk), erittäin hyvä pproksimtio on, että siirtymä on verrnnollinen sähkökentän voimkkuuteen. Tällöin syntyvä dipolimomentti j sen myötä polrisoitum on verrnnollinen sähkökentän voimkkuuteen. Näin käy polrisoitumlle myös pysyvien dipolimomenttien tpuksess. Silloin sähkökenttä kykenee vstustmn lämpöliikkeiden vikutust sitä premmin
4.3. ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN 53 mitä voimkkmpi kenttä on. Sttistisen mekniikn vull voidn osoitt, että tässäkin tpuksess syntyvä polrisoitum on verrnnollinen sähkökenttään. Sähkökenttä siis iheutt indusoituj vruksi eristeineeseen. Nämä vrukset puolestn muuttvt sähkökenttää. Toislt indusoidut vrukset riippuvt siitä, millinen sähkökenttä on. Näin on syntynyt noidnkehä: Jos eristekpple setetn sähkökenttään, jok iheutuu esim. eristeen ulkopuolisist vruksist, syntyy indusoituneit vruksi, jotk muuttvt sähkökenttää. Jott indusoituneet vrukset stisiin selville, täytyisi tietää, mikä on lopullinen sähkökenttä, sillä indusoitujen vrusten suuruus j jkum riippuu tästä sähkökentästä. Näinollen eristeineen vikutuksen lskeminen näyttää mhdottomlt. Ongelmn löytyy kuitenkin rtkisu, kun jetn kokonisvrustiheys khteen osn, vpseen vrustiheyteen ρ f j indusoituneeseen vrustiheyteen ρ P. Tässä on määritelty vp vrustiheys siten, että se on se os kokonisvrustiheydestä, jok ei ole ineen polrisoitumisen seurust; ts. sellinen vrustiheys, jok on stu ikn tuomll ineeseen elektronej ti poistmll niitä ineest (termi vp ei tässä trkoit sitä, että vrukset välttämättä pääsisivät liikkumn vpsti ineess). Gussin lki voidn nyt kirjoitt muotoon E = ρ f + ρ P ε 0 missä on käytetty tulost (4.11). Tästä sdn On siis olemss vektorikenttä jok toteutt yhtälön = ρ f P ε 0, (4.12) (ε 0 E + P) = ρ f. (4.13) D = ε 0 E + P, (4.14) D = ρ f (4.15) j näinollen riippuu vin vpist vruksist. Kentän D nimi on sähkövuon tiheys j sen yksikkö on [D] = [ρ] [s] = C m 3 m = C m 2. (4.16) Sähkövuon tiheys ei näe ollenkn polrisoituv väliinett j sihen syntyviä induktiovruksi. Kosk sähkövuon tiheys noudtt smnlist Gussin lki kuin sähkökenttä, se voidn lske smoill menetelmillä. Eron on, että indusoituneit vruksi ei trvitse tietää. Kun sähkövuon tiheys tunnetn, sähkökenttä voidnkin yllättäen lske. Tämä perustuu siihen, että polrisoitum on verrnnollinen sähkökenttään, mikä kirjoitetn tvllisesti muotoon P = χ E ε 0 E. (4.17) Tässä χ E on väliineen sähköinen suskeptiivisuus. Sähkövuon tiheyden määritelmän (4.14) vull D = ε 0 E + χ E ε 0 E = (1 + χ E )ε 0 E = εε 0 E, (4.18)
54 LUKU 4. ERISTEET missä kerroin ε = (1 + χ E ) (4.19) on väliineen suhteellinen permittiivisyys. Jos siis tunnetun vpn vrustiheyden iheuttm sähkövuon tiheys on lskettu, sähkökenttä sdn kvst E = 1 εε 0 D. (4.20) Ongelmn löytyi siis yksinkertinen rtkisu, jok perustuu siihen, että polrisoitum on verrnnollinen sähkökenttään. Jos näin ei olisi, tilnne olisi pljon hnklmpi. 4.3.1 Eristeineiden rjpinnt Trkstelln khden eristeen välistä rjpint j oletetn, että pinnll ei ole vpit vruksi. Asetetn z-kseli vlittuun pisteeseen kohtisuorn pint vstn (kuv 4.5 ). Vlitn suorn sylinterin muotoinen Gussin pint siten, että sylinterin pohjt ovt kohtisuorss z-kseli vstn j sylinteri leikk pinnn δs eristeiden 1 j 2 välisestä rjpinnst. Tällöin sylinterin pohjt ovt δs 1 = δsu z j δs 2 = δsu z. Gussin lin perusteell D:n vuo sylinteripinnn lävitse on noll. Jos nnetn δs 1 :n j δs 2 :n lähestyä kummltkin puolelt eristeiden välistä rjpint, lähenee sylinterin vipn pint-l noll j D:n vuo koostuu pelkästään sylinterin pohjien läpi kulkevist voist. Siis D 1 δs 1 + D 2 δs 2 = D 1z δs + D 2z δs = 0, (4.21) jost D 1z = D 2z, (4.22) ) ) z!s 1!S # 1 x E 2!l 2 # 2!S 2 " 2 D 1 # 2 " 1!S 2 " 2 z D 2!l1!S 1 # 1 E 1 " 1 Kuv 4.5: Sähkökentän tittuminen khden eristeen välisellä rjpinnll.
4.3. ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN 55 eli sähkövuon tiheyden normlikomponentti on jtkuv khden eristeen välisellä rjpinnll. Seurvksi trkstelln sähkökentän käyttäytymistä rjpinnll käyttäen hyväksi tieto, jonk mukn sähkökentän integrli pitkin suljettu tietä on noll. Vlitn integroimistieksi kuvss 4.5 esitetty suorkide, jonk sivut δl 1 j δl 2 ovt pinnn suuntisi j toiset kksi sivu pint vstn kohtisuori. Kun nnetn sivujen δl 1 j δl 2 lähestyä pint kummltkin puolelt, muiden sivujen pituudet lähestyvät noll, joten myös niistä tulev osuus sähkökentän integrliin lähestyy noll. Ilmeisesti kuvn 4.5 merkinnöillä δl 1 = δlu x j δl 2 = δlu x. Näinollen jost C E ds = E 1 δl 1 + E 2 δl 2 = E 1x δl + E 2x δl = 0, (4.23) E 1x = E 2x. (4.24) Siis sähkökentän tngentilikomponentti on jtkuv khden eristeen välisellä rjpinnll. Tulokset (4.22) j (4.24) trkoittvt sitä, että sähkökentän kenttäviiv tittuu khden eristeen välisessä rjpinnss. Kosk D 1 = ε 1 ε 0 E 1 j D 2 = ε 2 ε 0 E 2, voidn yhtälö (4.22) kirjoitt muotoon Kun yhtälö (4.24) esitetään muodoss ε 1 E 1 cos θ 1 = ε 2 E 2 cos θ 2. (4.25) E 1 sin θ 1 = E 2 sin θ 2 (4.26) j yhtälöt (4.26) j (4.25) jetn puolittin, sdn kenttäviivn tittumist kuvv yhtälö tn θ 1 = ε 1. (4.27) tn θ 2 ε 2 Nähdään siis, että sähkökentän kenttäviiv tittuu khden eristeineen välisellä rjpinnll. Tämä iheutuu rjpinnlle indusoituneist polristiovruksist. 4.3.2 Gussin lin soveltminen eristeissä Tso-, sylinteri- j pllosymmetrisissä tpuksiss sähkövuon tiheys voidn lske smoill menetelmillä kuin sähkökenttä kppleess 3.2. Yhtälö (4.15) on sm muoto kuin Gussin lin differentilimuoto (3.8) sähkökentälle, joten myös sähkövuon tiheydelle Gussin lki on voimss. Näinollen on myös voimss Gussin lin integrlimuoto D ds = Q f, (4.28) missä Q f on suljetun pinnn S sisään jäävä vp vrus. S
56 LUKU 4. ERISTEET S S Kuv 4.6: Eristeen vikutus pistevruksen kenttään. Trkstelln kuvn 4.6 mukist tilnnett, joss onton eristepllon keskipisteeseen on sijoitettu pistevrus. Pllosymmetrist seur, että sähkövuon tiheydellä on vin pllokoordintiston rdilikomponentti; siis D = D r (r)u r. Ilmeisesti D on kikkill kohtisuorss eristekuoren pintoj vstn, joten D on jtkuv eristekuoren pinnoill. Siksi eristekuorell ei ole mitään vikutust sähkövuon tiheyteen, joten D r (r) = (4.29) 4πr 2 kikill etäisyyksillä r keskipisteessä sijitsevst vruksest. Tämä tulos sdn soveltmll Gussin lki sähkövuon tiheydelle r-säteisellä pllopinnll. Kosk E r = D r /(εε 0 ), sähkökenttä on E r (r) = E r (r) = E r (r) = kun r < (4.30) 4πε 0 r 2 kun < r < (4.31) 4πεε 0 r 2 kun r >. (4.32) 4πε 0 r 2 Tästä nähdään, että eristekuori ei vikut sähkökentäään sen sisä- j ulkopuolell, mutt eristeen sisällä kenttä on heikompi kuin se olisi ilmn eristettä. Syynä ovt tietenkin polristiovrukset, jotk pyrkivät suojmn eristettä ulkoiselt kentältä. Kun eriste on homogeeninen eikä vpit vruksi ole, on polristiovruksen tiheys noll, vikk sähkökenttä onkin epähomogeeninen. Sen sijn pinnoille indusoituu vruksi. Kosk indusoitunut vruskte on σ P = n P, j eristekuoren normli kuoren sisäpinnll on n = u r j ulkopinnll n = u r, ovt vrusktteet σ P () = ( 1 1 ) j (4.33) 4π 2 ε
4.3. ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN 57 σ P () = ( 1 1 ). (4.34) 4π 2 ε Tästä nähdään, että indusoitu kokonisvrus sisäpinnll on P () = 4π 2 σ P () = (1 1/ε) j ulkopinnll P () = 4π 2 σ P () = (1 1/ε). Siis nämä vrukset kumovt toisens, joten eriste kokonisuudessn pysyy neutrlin, kuten tuleekin oll. Potentili voidn nyt lske integroimll sähkökenttää. Kun potentili setetn nollksi äärettömyydessä, sdn lueess r > pistevruksen potentiliksi φ(r) = 4πε 0 r, (4.35) sillä sähkökenttä tässä lueess on pistevruksen kentän muotoinen. Alueess < r < on voimss r φ(r) = φ() E r (r)dr = 4πε 0 4πεε 0 ( 1 = 4πε 0 εr + 1 ε) 1 = ( 1 4πεε 0 r + ε 1 Lopuksi, lueess r < sdn φ(r) = φ() = = 4πεε 0 4πε 0 r r E r (r)dr = ( 1 + ε 1 ) r dr r 2 = 4πε 0 + 4πεε 0 r 4πεε 0 ). (4.36) ( 1 4πεε 0 + ε 1 ) 4πε 0 + 4πε 0 r 4πε 0 (ε 1)( ). (4.37) 4πεε 0 Siis potentili sisältää kikkill termin, jok on kääntäen verrnnollinen etäisyyteen. Vkiot huolehtivt potentilin jtkuvuudest rjpinnoill. Jos tilnne olisi sellinen, että vruksen ympärillä olisi lj eriste, joss olisi ilmrko välillä < r <, sähkökenttä lskettisin smll peritteell. Alueiss r < j r > olisi käytettävä suhteellist permittivisyyttä ε, mikä pienentäisi kentän rvo kertoimell 1/ε j lueess < r < suhteellinen permittiivisyys olisi ykkönen, mikä voimistisi kenttää kertoimell ε. Suurjännitesovelluksiss tällinen ilmrko voi oll vrllinen, mikäli kenttä ylittää ilmn läpilyöntikestävyyden, jok on noin 3 kv/mm. Tällöin syntyy kipinä, jok voi sytyttää lähellä olevi plvi ksuj j iheutt räjähdyksen esimerkiksi öljytnkiss. r dr r 2