Luento 4: Ekstensiiviset pelit, horisontaalinen yhteistyö & vertikaaliset rajoitteet Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA6m Luento 4 2016 1 / 53
Esitietoja: Game Theory by Ben Polak (Open Yale) "Sequential Games"(luento 13, kokonaan) ja "Repeated Games"(luento 21, kokonaan) Kirjallisuutta: OR luvut 6.1 ja 6.2 sekä MM 8.3 ja 8.4 MM s. 175 Ñ, s. 309 Ñ ja s. 316 Ñ
Ekstensiiviset pelit ja takaperin induktio
Wikipedia.
Ekstensiivisen pelin määritelmä Täydellisen informaation ekstensiivinen peli G pi,h,p,pu i q ipi q koostuu seuraavista neljästä elementistä 1. Pelaajat: Äärellinen joukko I. 2. Historiat: Joukko H jonoja siten, että 2.1 tyhjä jono kuluu historioihin: H P H 2.2 osajonot kuuluvat historioihin: jos pa k q k 1,...,K P H, niin pa k q k 1,...,L P H kaikilla L ă K. 2.3 rajajonot kuuluvat historioihin: jos pa k q k 1,...,L P H kaikilla L P N, niin pa k q k 1,2,... P H. Historiat koostuvat valinnoista a. Ne voidaan osittaa loppuhistorioihin Z ja välihistorioihin X: Jono pa k q k 1,...,K P Z jos ja vain jos ei ole jonoa pa k q k 1,...,K`1 P H. 3. Pelaajafunktio p : X Ñ I liittää jokaiseen välihistoriaan pelaajan. 4. Hyötyfunktio u i : Z Ñ R liittää jokaiseen loppuhistoriaan tuoton. TA6m Luento 4 2016 6 / 53
Ekstensiiviset pelit: huomioita 1 Vuorovaikutusmalli, joka kuvaa tarkasti pelin vaiheittaisen rakenteen mahdollistaen sen, että pelaaja voi muuttaa strategiaansa pelin edetessä. Täydellinen informaatio: pelaajat tietävät kaiken, mitä pelissä on tapahtunut aikaisemmin. Vain yksi pelaaja liikkuu kerrallaan. On kaksi erilaista tapaa määritellä ekstensiivinen peli: historioiden tai pelipuitten avulla. TA6m Luento 4 2016 7 / 53
Ekstensiiviset pelit: esimerkki "Markkinoilletulopeli" E ulkona sisään I p0, 10q taistele sopeudu p 1, 0q p4,5q TA6m Luento 4 2016 8 / 53
Ekstensiiviset pelit: huomioita 2 Historia on jono pelaajien peräkkäisiä valintoja: h pa k q k 1,...,K P H. Jokaiseen historiaan h P X liittyy pelaaja pphq P I, jonka on määrä tehdä seuraava valinta a. Kyseinen valinta tehdään joukosta Aphq ta ph, aq P Hu. Tästä valitusta historiasta ph,aq jatkaa seuraava pelaaja pph,aq P I. Tuotot määräytyvät viimeisen saavutetun historian h P Z perusteella. Voidaan tarkastella myös laajennuksia, (i) joissa useampi pelaaja liikkuu samaan aikaan, pphq Ă I, (ii) joissa nollapelaaja tekee satunnaisia valintoja, 0 P pphq, tai epätäydellisen informaation pelejä, (iii) joissa kaikki pelaajat eivät tiedä, mitä ennen heidän vuoroaan on pelissä tapahtunut ("informaatiojoukot"ovat silloin samassa roolissa kuin historiat ovat tässä). TA6m Luento 4 2016 9 / 53
"Markkinoilletulopeli", osa 1.2 Ekstensiivinen muoto Pelaajat: I te,iu Historiat: H th,ulk,sis,psis,sopq,psis,taiqu Pelaajafunktio: pphq E ja ppsisq I Hyötyfunktiot: u E pulkq 0,u I pulkq 10, u E psis,taiq 1,u I psis,taiq 0, u E psis,sopq 4,u I psis,sopq 5. TA6m Luento 4 2016 10 / 53
Ekstensiiviset pelit: strategiat Strategioiden määrittelyyn täytyy kiinnittää erityistä huomiota, koska pelaaja voi muuttaa strategiaansa millä tahansa vuorollaan pelin edetessä. Pelaajan i strategia s i : H i Ñ A i on luettelo, joka kuvaa, minkä valinnan a i P Aph i q ta ph i,aq P Hu pelaaja tekisi jokaisen sellaisen historian h i P H i th P H pphq iu kohdalla, jossa hänellä on vuoro liikkua, mikäli peli etenisi siihen asti. Yllä A i Ť h i PH i Aph i q. Eräänlainen ehdollinen toimintasuunnitelma: "jos peli enenee historiaan h 1 P h i, valitsen a 1 :n, mutta, jos peli enenee historiaan h 2 P h i, valitsen a 2 :n". Osa näistä valinnoista ei koskaan toteudu, koska kyseisen palaajan tai jonkun toisen aikaisemmat valinnat estävät pelin etenemisen asianomaiseen historiaan asti. On kuitenkin olennaista täsmentää, mitä pelaaja tekisi kussakin tapauksessa, koska odotukset pelin tulevasta kulusta vaikuttavat pelin aiempaan kulkuun. TA6m Luento 4 2016 11 / 53
Ekstensiivisen pelin Nash-tapapaino (NE) Merkitään pelaajan i strategiajoukkoa A i :llä. Strategiaprofiili s ps 1,...,s n q P A generoi tuleman h P X, johon liittyy tuotto u i phq P R. Yhdistämällä saadaan hyötyfunktio u 1 i : A Ñ R. Ekstensiivisille peleille voidaan näitten avulla määritellä tavallinen Nash-tasapaino: Ekstensiivisen pelin G pi,h,p,pu i q ipi q Nash-tasapaino on strategisen pelin G 1 pi,pa i q ipi,pu 1 i q ipiq Nash-tasapaino. Koska Nash-tasapaino ei kuitenkaan toimi tässä erityisen hyvin, yleensä käsittellään osapelitäydellisiä tasapainoja. Tämä ratkaisukäsite vaatii, että odotukset pelaajien tulevista valinnoista ovat rationaalisia myös niitten historioiden kohdalla, joita ei pelata ehkä koskaan. Näin pyritään estämään se, että pelin kulku perustuisi epäuskottaviin uhkauksiin, joita pelaajilla ei ole motiivia toteuttaa tositilanteen tullessa vastaan. TA6m Luento 4 2016 12 / 53
"Markkinoilletulopeli", osa 1.3 Strateginen muoto I tai sop 10 10 ulk 0 0 E 0 5 sis 1 4 TA6m Luento 4 2016 13 / 53
Osapelitäydellinen tasapaino (SNE), osa 1 Osapelit ovat "pelipuun sisäisiä pelipuita". Ekstensiivisen pelin G pi,h,p,pu i q ipi q historiaa h seuraava osapeli G h pi,h h,p h,pu h,i q ipi q on ekstensiivinen peli, jossa 1. h 1 P H h jos ph,h 1 q P H, 2. p h ph 1 q pph,h 1 q kaikille h 1 P H h ja 3. u h,i ph 1 q ě u h,i ph 2 q jos ja vain jos u i ph,h 1 q ě u i ph,h 2 q. On luontevaa edellyttää, että "ulommaisen pelipuun tasapaino on johdettavissa sisempien pelipuiden tasapainoista". Ekstensiivisen pelin G pi,h,p,pu i q ipi q osapelitäydellinen tasapaino on sellainen strategiaprofiili s, että s h on vastaavan osapelin G h pi,h h,p h,pu i q ipi q Nash-tasapaino jokaisella historialla h P X, missä s h ph 1 q sph,h 1 q kaikilla h 1 P H h. NäinTA6m peli siis ratkaistaan "oksista Luento 4juureen". 2016 14 / 53
Osapelitäydellinen tasapaino (SNE), osa 2 Saadaan (i) ratkaisumenetelmä ja (ii) olemassaolotodistus: takaperin induktio (Kuhn) Jokaisella äärellisellä täydellisen informaation ekstensiivisellä pelillä G on osapelitäydellinen tasapaino h ÞÑ a, joka löydetään takaperin induktion avulla: 1. Olkoon G 0 G. Toistetaan seuraavaa algoritmia peleille G 0,G 1,..., kunnes viimeisimmän pelin G n pituus on 0: 1.1 Ratkaistaan kaikki ne pelin G n osapelit G n,hp1q, joiden pituus on 1. Olkoon löydetty osapelin G n,hp1q tasapaino a. 1.2 Määritellään uusi ekstensiivinen peli G n`1 : poistetaan historiat php1q,aq P X ja määritellään u i php1qq u i php1q,a q. Peli G on äärellinen, jos joukko H on äärellinen. Pelin G pituus on sen pisimmän historian pituus. "Koska pelaajat katsovat eteenpäin, peli ratkaistaan taaksepäin." TA6m Luento 4 2016 15 / 53
"Markkinoilletulopeli", osa 1.4 Tavalliset Nash-tasapainot ps E,s I q pulk,taiq ps E,s I q psis,sopq Osapelitäydellinen tasapaino ps E,s I q psis,sopq TA6m Luento 4 2016 16 / 53
Ekstensiiviset pelit: laajennus I "Kauppaketjuparadoksi" E 1 E 2 E 3 ulkona sisään I ulkona sisään I ulkona p0, 10q taistele p0, 10q sopeudu taistele p0, 10q sopeudu taistel p 1, 0q p4,5q p 1, 0q p4,5q p 1 TA6m Luento 4 2016 17 / 53
"Kauppaketjuparadoksi" Kauppaketjulla on n eri toimipistettä eri maissa. Kussakin paikallinen kilpailija voi tulla markkinoille koska vain. Kauppaketju vastaa näihin tilanteisiin yksi kerrallaan. Kauppaketju tietää, että muut kilpailijat havaitsevat sen reaktion. Kilpailijan kannattaa valita "sisään", jos se odottaa kauppaketjun sopeutuvan, ja "ulkona", jos se odottaa kauppaketjun taistelevan. Kysymys: Voiko kauppaketju saada myöhemmät kilpailijat pysymään ulkona taistelemalla alussa? Vastaus: Ei voi. Ainoa SNE tässä on psis,...,sis,psop,...;sopqq, pe 1,...,E n ;Iq. Helpompi ymmärtää, jos n on pieni, vaikeampi, jos n on suuri. TA6m Luento 4 2016 18 / 53
Ekstensiiviset pelit: laajennus II.1 "Markkinoilletulo ja laatuvalintapeli" E I ulkona sisään I matala korkea matala korkea p0,2q p0,4q matala E korkea matala korkea p 1, 0q p3,1q p1,3q p 1, 0q TA6m Luento 4 2016 19 / 53
"Markkinoilletulo ja laatuvalintapeli" Tämä on "melkein täydellisen informaation peli", joka voidaan myös ratkaista takaperin induktiolla. Katkoviiva merkitsee, että valinnat ovat samassa informaatiojoukossa: E ei siis valitessaan laadun vielä tiedä, mitä I on valinnut (eikä I tietysti vielä tiedä, mitä E tulee valitsemaan). Voidaan tulkita, että E:n markkinoilletulon jälkeen E ja I valitsevat tuotteensa laadun samaan aikaan. TA6m Luento 4 2016 20 / 53
Ekstensiiviset pelit: laajennus II.2 "Markkinoilletulo ja laatuvalintapeli" E I ulkona sisään E matala korkea matala korkea p0,2q p0,4q matala I korkea matala korkea p 1, 0q p1,3q p3,1q p 1, 0q TA6m Luento 4 2016 21 / 53
"Markkinoilletulo ja laatuvalintapeli" Käytännössä voidaan ajatella, että viimeinen osapeli onkin tavallinen strateginen peli (alla). Tällä osapelillä on kaksi tasapainoa pmat, korq ja pkor, matq. Koko pelillä on siten kaksi osapelitäydellistä tasapainoa: ps E,s I q ppsis,korq,pkor,matqq ja ps E,s I q ppsis,matq,pkor,korqq E tulee aina markkinoille ja sen jälkeen seuraa koordinaatiopeli, jossa toinen valitsee korkean laadun ja toinen matalan laadun. Jos E ei tulisi markkinoille, I yksin valitsisi aina korkean laadun. mat E kor I 1 3 mat 0 1 1 1 kor 3 0 TA6m Luento 4 2016 22 / 53
Horisontaalinen yhteistyö ja kolluusio: Green & Porter
Kolluusio 1 "Vuonna 2006 Kone sai Saksan ja Hollannin hissikartellista komissiolta ennätyssakot, 142 miljoonaa euroa." "Asfalttiyritykset, esimerkiksi Lemminkäinen, perivät hintakartellin avulla ylihintaa kuntien asfaltointiurakoissa pääosin vuosina 1994 1995 ja 1998 2002. Tuomion mukaan ylihinnan määrä on yli 37 miljoonaa euroa." "Metsäliitto, Stora Enso ja UPM tuomittiin markkinaoikeudessa vuonna 2009 puukaupan kilpailun rajoittamisesta." Wikipedia. TA6m Luento 4 2016 25 / 53
Kolluusio 2 Kolluusio on tilanne, jossa yritysten hinnat ovat korkeammat kuin kilpailullisella verrokkitasolla. Tämä ei aina ole hyvinvointia laskevaa mutta usein kyllä. Kolluusio voi perustua yritysten väliseen kartellisopimukseen tai hiljaiseen yhteisymmärrykseen. Kollusioon liittyy yrityksen kannalta hyötyjä ja haittoja: Pitkällä tähtäimellä tuotot voivat olla korkeammat pysyttäessä kolluusiossa. Lyhyellä tähtäimellä yritys voisi kasvattaa kysyntää poikkemalla kolluusiosta. Hiljaisen kolluusion koordinointi voi olla vaikeaa. Kartellit ovat laittomia. TA6m Luento 4 2016 26 / 53
Kolluusiopeli: Green & Porter (1984) n yritystä myy homogeenista hyödykettä yli ajan t 1,2,... Pelaavat Bertrand-peliä toistuvasti äärettömän monta kertaa. Joka periodilla tila voi olla joko matala tai korkea tω m,ω k u todennäköisyydellä α markkinat ovat tilassa ω m ja D 0 todennäköisyydellä 1 α markkinat ovat tilassa ω k ja D ą 0 Joka periodilla t jokainen yritys i valitsee hinnan p i. Yritykset eivät havaitse tilaa ω eivätkä muiden hintoja p j. Yritys i havaitsee ainoastaan oman kysyntänsä D i. Erityisesti: jos D i 0, yritys i ei havaitse, johtuuko se siitä, että tila on matala ω ω m, vai siitä, että kilpailijalla on matalampi hinta p i ą p j. Kilpailijat eivät voi rankaista toisiansa suoraan poikkeavasta hinnasta, ainoastaan reagoida matalaan kysyntään. Tämä vaikeuttaa kolluusiota. TA6m Luento 4 2016 27 / 53
Kolluusiopeli: Green & Porter Ensimmäinen mahdollinen ajatus tällaisessa pelissä on, että yritykset voivat ylläpitää monopolihintaa p M "grim-trigger" -strategian avulla: valitse p i p M (p M monopolihinta) niin kauan, kunnes D 0, minkä jälkeen valitse p i c (c rajakustannus) ikuisesti. Tämä johtaa kuitenkin lopulta aina monopolivoittojen häviämiseen, koska matala kysyntä realisoituu ennemmin tai myöhemmin; kolluusio ei kestä kauan. Katsotaan, voisivatko yritykset keksiä jotain "parempaa". TA6m Luento 4 2016 28 / 53
Kolluusiopeli: Green & Porter Tasapainokandidaatti: valitse p i p M (p M monopolihinta) niin kauan, kunnes D 0, minkä jälkeen valitse p i c (c rajakustannus) T:n periodin ajan ja vaihda sitten jälleen hintaan p i p M. "Rangaistusjakson"pituus on T ă 8. Oletetaan, että tämä on tasapaino. Katsotaan myöhemmin, onko todella näin. Tarkastellaan ensin yrityksen voittojen nykyarvoa V ennen rangaistusjaksoa, V `, ja rangaistusjakson alussa, V. Nämä lasketaan rekursiivisesti: ˆ V ` πpp M q p1 αq ` δv ` ` αδv n V δ T V ` Tämä on yhtälöpari, josta voidaan pienellä vaivalla ratkaista V ` ja V : V ` V p1 αq πppm q n 1 p1 αqδ αδ T`1 δ T p1 αq πppm q n 1 p1 αqδ αδ T`1 TA6m Luento 4 2016 29 / 53
Kolluusiopeli: Green & Porter Kannattaako yrityksen poikeata tästä hinnoittelutavasta? Rangaistusjakson aikana ei hyötyä, koska muiden hinnat vastaavat rajakustannuksia p c. Ennen sitä kolluusiosta poikkeaminen tuo välittömän palkkion ja myöhemmän rangaistuksen. Jos yritys poikkeaa hieman alaspäin kolluusiohinnasta ja valitseekin p M ε, sen voittojen nykyarvo on V d p1 αq πpp M q ` δv ` αδv p1 αqπpp M q ` δv Kuvatunlainen kollusiivinen hinnoittelutapa on tasapaino, jos tämä poikkeama ei ole kannattava eli jos V ` p1 αq πppm q n 1 p1 αqδ αδ T`1 ě V d p1 αqπpp M δ T p1 αq πppm q n q ` δ 1 p1 αqδ αδ T`1 ðñ rδnp1 αq pn 1qs ` pαn 1qδ T`1ı ě 0. TA6m Luento 4 2016 30 / 53
Vertikaaliset rajoitteet ja yhteistyö
Vertikaaliset tuotantoketjut Alkutuottajat eivät yleensä myy suoraan kuluttajille. Välissä saattaa olla pitkä ketju välituottajia, jälleenmyyjiä, välittäjiä ja kauppiaita. Usein myyntitapahtumat näiden eri portaiden välillä perustuvat pitkäaikaisiin sopimuksiin. Sopimusten tehtävänä on mm. parantaa toimitusvarmuutta ja madaltaa transaktiokustannuksia. Sopimuksia nimitetään vertikaalisiksi rajoitteiksi. TA6m Luento 4 2016 33 / 53
Vertikaaliset rajoitteet ja yhteistyö Näiden sopimusten avulla käytännössä säädellään ja yhteinäistetään eri osapuolten insentiivejä, esimerkkejä vertikaalisista rajoitteista: Yksinoikeuslausekkeet. Epälineaarinen hinnoittelu. Jälleenmyyntihinnan säätely. Toimiakseen tuottajan on voitava havaita, jos sopimusta rikotaan tai kierretään. Ääriesimerkki vertikaalisesta yhteistyöstä on yritysten vertikaalinen yhdistyminen; rajoitteiden substituutti. Joskus vaikutukset ovat positiviisia (ulkoisvaikutus sisäistyy), joskus negatiivisia (markkinavoima lisääntyy). TA6m Luento 4 2016 34 / 53
Vertikaaliset rajoitteet: kaksoismarginalisaatio
Yläjuoksun yritys: tuottaja Alajuoksun yritys: kauppias Kuluttajat
Kaksoismarginalisaatio (Spengler, 1950) Esiintyy tilanteessa, jossa yritykset toimittavat toisilleen väli- tai lopputuotteita vertikaalisessa ketjussa. Jos kaikilla yrityksillä on markkinavoimaa, kukin lisää hintaansa oman marginaalin. Tästä nimi kaksoismarginalisaatio. Johtaa koko ketjun kannalta liian korkeisiin hintoihin ja liian matalaan kysyntään. Yritysten yhdistyminen voi auttaa. Vertikaaliset rajoitteet ja yhteistyö mahdollistavat sen, että yritysten toisilleen aiheuttama ulkoisvaikutus tulee otettua paremmin huomioon. "Esimerkki, lentokoneen moottorit: United Technologies, General Electric Ñ Boeing, Aerbus Ñ kuluttajat: lentoyhtiöt." TA6m Luento 4 2016 37 / 53
Kaksoismarginalisaatio: malli Valmistaja U myy tuottamansa höydykkeen kaupan D kautta kuluttajille. Valmistaja teke kauppiaalle ota tai jätä -tarjouksen w tuottajahinnasta. Valmistajan yksikkökustannus on c. Kauppias valitsee kuluttajahinnan p tuntien markkinoitten kysynnän q a p. Kauppiaan yksikkökustannus on w. Oletetaan, että a ą c, jotta malli ratkeaa nätisti. TA6m Luento 4 2016 38 / 53
Kaksoismarginalisaatio: malli Peli ratkaistaan lopusta alkuun, takaperin induktion avulla. Kauppiaan ongelma on Ensimmäisen kertaluvun ehto maxpp wqpa loomoon pq p a p p ` w 0 ðñ p a ` w 2 Valmistajan ongelma on Ensimmäisen kertaluvun ehto pa wq 2 q pa wq maxpw cq w loomoon 2 pw cq 2 q 0 ðñ w pa ` cq 2 TA6m Luento 4 2016 39 / 53
Kaksoismarginalisaatio: malli Yhdistämällä p a`w 2 ja w pa`cq 2 saadaan siis, että kuluttajahinta on p 3pa`cq 4. Tätä voidaan verrata tilanteeseen, jossa tuottaja ja kauppias joko yhdistyvät tai käyttävät muuntyyppisiä vertikaalisia rajoitteita "sisäistääkseen ulkoisvaikutuksen", jonka tuottavat toisilleen hintavalinnoillaan. Valmistaja-kauppiaan ongelma on Ensimmäisen kertaluvun ehto on maxpp cqpa loomoon pq p pa ` cq a p p ` c 0 ðñ p 2 Nähdään, että kuluttajahinnat ovat matalampia ja tuottajan ylijäämä korkeampi, jos yritykset yhdistyvät vertikaalisesti. Vastaava efekti saadan aikaan, jos valmistaja edellyttää kauppiasta käyttämään ohjehintaa p pa`cq 2 tai ostamaan täyden määrän q pa cq 2, franchise-sopimuksen avulla jne. q TA6m Luento 4 2016 40 / 53
Vertikaaliset rajoitteet: palveluitten alitarjonta
Yläjuoksun yritys: tuottaja Alajuoksun yritys: kauppias 2 Alajuoksun yritys: kauppias 1 Kuluttajat
Palveluitten alitarjonta (Telser, 1960) Esiintyy tilanteessa, jossa toimittaja myy tuotteitaan kilpailevien jälleenmyyjien välityksellä. Kysynnän lisäämiseksi kauppojen on tärkeää investoida mainontaan, palveluun, tuote-esittelyyn jne. Jos kauppiaat kuitenkin kilpailevat keskenänsä, osa investoinneista valuu toisen taskuun. Näin kauppiailla on pienempi kannustin informoida kuluttajia kuin yksittäisellä kaupalla olisi. Tämä laskee tuotteen kysyntää ja kuluttajien saatavilla olevaa tuoteinformaatiota ja palvelutasoa. "Vapaamatkustusongelma. Investointi mainontaan ja myyntityöhön on tässä vähän niin kuin julkishyödyke; toista firmaa ei voi estää nauttimasta siitä myös." TA6m Luento 4 2016 44 / 53
Palveluitten alitarjonta: malli Valmistaja U myy tuottamansa höydykkeen kaupan D 1 ja kaupan D 2 kautta kuluttajille. Kauppojen kustannus on Cpq i,e i q wq i ` e2 i 2, jossa w tuottajahinta, q i kysyntä ja e i myyntipanostus. Markkinoitten kokonaiskysyntä riippuu molempien kauppojen myyntipanostuksesta q v ` e i ` e j p. Oletetaan, että kauppiaat kilpailevat à la Bertrand: ostajat valitsevat halvemman kaupan. TA6m Luento 4 2016 45 / 53
Palveluitten alitarjonta: malli Kaupan valinta on nyt siis pari pp i,e i q. Koska kaupat kilpailevat hinnoilla eikä myyntityö auta niitä tässä erottautumaan, hintojen täytyy vastata rajakustannusta p 1 p 2 w samalla logiikalla kuin aiemminkin. Katsotaan kuitenkin mitä käy, jos hinnat ovat vähän korkeammat p 1 p 2 e i ` w ja yritykset valitsevat korkeamman palvelutason ja e i ą 0. Selvästi kumman tahansa kaupan kannattaa poiketa tarjoamalla matalampaa hintaa p i ε ja mahdollisesti vähentämällä palvelutasoa e i 2ε. Tämä tuottaa positiivisen voiton nollavoiton sijaan. TA6m Luento 4 2016 46 / 53
Palveluitten alitarjonta: malli Sopiva vertailukohta saadaan tilanteesta, jossa kauppoja on vain yksi. Nyt yksittäinen kauppias valitsee max p,e pv ` e pqpp wq e2 i 2 Ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat BΠ pv ` e pq pp wq 0 ðñ v ` e ` w 2p, Bp BΠ pp wq e 0 ðñ e p w, Be mistä tulee p v ja e v w. Oletetaan, että v w ą 0 (milloin järkevä oletus?). Tässä tapauksessa kauppias panostaa myyntiin, koska se hyötyy siitä myös itse. TA6m Luento 4 2016 47 / 53
Kysymyksiä ja vastauksia à la Robert Frank
Kysymys 1 Miksi Washington D.C.:n lähiöihin syntyi runsaasti uusia golf-driveja 1990-luvun alkupuolella? TA6m Luento 4 2016 49 / 53
Kysymys 2 Miksi viiriäisen munat maksavat enemmän kuin tavalliset kananmunat? TA6m Luento 4 2016 50 / 53
Kysymys 3 Mikseivät top10-yliopistot nosta lukukausimaksujaan selvästi ylemmäs kuin vähemmän arvostetut yliopistot? TA6m Luento 4 2016 51 / 53
Bonuskysymys Miksi omistusoikeuksia rajoitetaan mahdollistamalla pakkolunastus? TA6m Luento 4 2016 52 / 53