Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari
|
|
|
- Hannes Pentti Uotila
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari
2 Konsensusongelma Päätöksen muodostaminen hajautetussa järjestelmässä Prosessien välinen viestintä on epäluotettava Esimerkiksi: koordinoidun hyökkäyksen järjestäminen Kenraalit yrittävät nujertaa yhteisen vihollisen Taistelu on voitettavissa vain, jos kaikki hyökkäävät Jokaisen kenraalin tulisi päättää: hyökätä vai ei? Kenraali voi hyökätä vain, jos oma armeija on valmiina Aluksi tiedetään vain oman armeijan tilanne Kenraalien välinen yhteydenpito on epäluotettava
3 Konsensusongelma: tietojenkäsittelytieteessä Hajautettu tietokantajärjestelmä Kun tietokantaan tehdään muutoksia, prosessien tulee joko hyväksyä tai hylätä muutokset Muutokset tulisi hyväksyä aina, kun mahdollista...ja vastaavasti hylätä aina, jos jokin prosesseista ei hyväksy muutoksia Tietokantojen sisältö pysyy yhtenäisenä vain, jos lopputulos on yksimielinen
4 Konsensusongelma: hajautettu järjestelmä Täydellinen, suuntaamaton verkko, jossa n prosessia Toimii myös yleisemmässä tapauksessa Jokaisella prosessilla alkutila alku i {0,1} 1 hyväksyvä tila, 0 hylkäävä tila Suoritus etenee synkronisesti: jokaisella kierroksella suoritetaan seuraavat kaksi askelta 1. Jokainen prosessi lähettää viestinsä 2. Prosessit vastaanottavat saapuvat viestit ja muuttavat tarvittaessa nykyistä tilaansa Prosessien väliset viestit voivat kadota
5 Konsensusongelma: esitelmän rakenne Deterministinen algoritmi Ratkeamattomuustodistuksen idea Satunnaistettu algoritmi Lähes optimaalinen ratkaisu Teoreettinen alaraja
6 Deterministinen algoritmi: ehdot Määritellään seuraavat ehdot, joiden tulee täyttyä: (a) Prosessit tekevät lopullisen päätöksen, tulos i {0,1}, äärellisen monen kierroksen kuluessa (b) Kaikki prosessit päätyvät samaan lopputulokseen tulos i (c) Kaikkien alkutilojen ollessa 0 myös kaikki tulos i = 0 (d) Kaikkien alkutilojen ollessa 1 myös kaikki tulos i, jos kaikki viestit on toimitettu onnistuneesti Triviaalit ratkaisut, joissa tulos i on aina joko 1 tai 0, poissuljetaan ehdoilla (c) ja (d)
7 Ratkeamattomuustodistus: vastaoletus On olemassa algoritmi A, joka ratkaisee konsensusongelman Tarkastellaan kahden prosessin verkkoa Prosessien alkutilat: alku 1 = alku 2 Suoritus on jono järjestelmän tiloja (algoritmilla A) Riippuu alkutiloista ja järjestelmässä toimitetuista viesteistä Olkoon suoritus α sellainen, että kaikki prosessien väliset viestit toimitetaan onnistuneesti Vastaoletuksen ja ehdon (d) perusteella tulos 1 = tulos 2
8 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α Prosessi 1 alku 1 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 tulos 2 Suoritus etenee kuvassa vasemmalta oikealle Nuolet kuvaavat onnistuneesti toimitettuja viestejä
9 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α Prosessi 1 alku 1 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 tulos 2 Kierros r Kiinnitetään r siten, että molemmat prosessit päättävät r kierroksen kuluessa Vastaoletuksen ja ehdon (a) mukaan r on olemassa
10 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α 1 Prosessi 1 alku 1 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 tulos 2 Kierros r Olkoon suoritus α 1 muuten sama kuin suoritus α, mutta kierroksen r jälkeen kaikki viestit katoavat Tulokset eivät muutu, koska päätökset tehtiin r kierroksen aikana
11 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α 2 Prosessi 1 alku 1 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 tulos 2 =? Kierros r Olkoon suoritus α 2 muuten sama kuin suoritus α 1, mutta prosessin 1 kierroksella r lähettämä viesti katoaa tulos 1 ei muutu, koska prosessi 1 ei tiedä viestinsä kadonneen Suoritukset α 1 ja α 2 ovat prosessin 1 kannalta samat!
12 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α 2 Prosessi 1 alku 1 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 tulos 2 Kierros r Prosessin 2 kannalta suoritukset α 2 ja α 1 ovat erilaisia Prosessi 2 ei vastaanota kierroksen r viestiä Vastaoletuksen ja ehdon (b) perusteella kuitenkin tulos 2
13 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α 3 Prosessi 1 alku 1 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 tulos 2 Kierros r Olkoon suoritus α 3 muuten sama kuin suoritus α 2, mutta prosessin 2 kierroksella r lähettämä viesti katoaa tulos 2, koska prosessi 2 ei tiedä viestinsä kadonneen tulos 1 vastaoletuksen ja ehdon (b) perusteella
14 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α 3 vs. α 1 Ainoa ero suoritusten α 3 ja α 1 välillä on viestien katoaminen kierroksella r Ei vaikuta lopputulokseen: molemmissa tulos 1 = tulos 2 Jatkamalla edellä kuvatulla tavalla prosessien väliset viestit voidaan kadottaa jokaisella kierroksella r 1, r 2,... Päädytään suoritukseen α', jossa prosessit eivät vastaanota yhtäkään viestiä Vastaoletuksen ja ehtojen mukaan edelleen tulos 1 = tulos 2
15 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α' Prosessi 1 alku 1 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 tulos 2 Kierros r Prosessit eivät vastaanota yhtäkään viestiä Prosessien alkutilat edelleen alku 1 = alku 2
16 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α'' Prosessi 1 alku 1 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 = 0 tulos 2 Kierros r Olkoon suoritus α'' muuten sama kuin suoritus α', mutta prosessin 2 alkutila on alku 2 = 0 tulos 1, koska prosessin 1 kannalta α'' ja α' ovat samat tulos 2 vastaoletuksen ja ehdon (b) perusteella
17 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α''' Prosessi 1 alku 1 = 0 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 = 0 tulos 2 Kierros r Olkoon suoritus α''' muuten sama kuin suoritus α'', mutta prosessin 1 alkutila on alku 1 = 0 tulos 2, koska prosessin 2 kannalta α''' ja α'' ovat samat tulos 1 vastaoletuksen ja ehdon (b) perusteella
18 Ratkeamattomuustodistus: suoritus α''' Prosessi 1 alku 1 = 0 tulos 1... Prosessi 2 alku 2 = 0 tulos 2 Kierros r Suorituksesta α''' seuraa ristiriita ehdon (c) kanssa: alku 1 = alku 2 = 0, mutta silti tulos 1 = tulos 2 Konsensusongelma ei ratkea deterministisellä algoritmilla
19 Satunnaistettu algoritmi Ratkaisee konsensusongelman, kun sallitaan virhetilanne todennäköisyydellä ε Virhetilanne: päätös ei ole yksimielinen ( tulos i tulos j ) Algoritmin parametrina kierrosten lukumäärä r Prosessit tekevät päätöksen kierroksella r Todennäköisyys ε riippuu r :n valinnasta Vastustaja (adversary) yrittää hankaloittaa tilannetta valitsemalla Alkutilat alku i jokaiselle i Prosessien välillä onnistuneesti toimitetut viestit
20 Satunnaistettu algoritmi: ehdot Määritellään seuraavat ehdot, joiden tulee täyttyä: (a) Pr B [ i, j [ 1, n ] : tulos i =0 tulos j =1 ] (b) Kaikkien alkutilojen ollessa 0 myös kaikki tulos i = 0 (c) Kaikkien alkutilojen ollessa 1 myös kaikki tulos i, jos kaikki viestit on toimitettu onnistuneesti Pr B on todennäköisyys vastustajalla B Ehto (a) tulee olla voimassa mille tahansa vastustajalle B
21 Satunnaistettu algoritmi: määritelmiä Viestinvälitystä (communication pattern) kuvaa osajoukko γ { i, j, k i, j [ 1, n ] 1 k r } i, j, k γ, jos ja vain jos prosessi j vastaanotti prosessin i kierroksella k lähettämän viestin Esimerkiksi: γ = { (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2) } Prosessi 1 Prosessi 2 Kierros 2
22 Satunnaistettu algoritmi: informaation virtaus Määritellään järjestys γ seuraavasti 1. i, k γ i, k ' kaikille i [1, n] ja kaikille 0 k k ' 2. Jos i, j, k γ, niin i, k 1 γ j, k 3. Jos i, k γ i ', k ' ja i ', k ' γ i ' ', k ' ', niin myös i, k γ i ' ', k ' ' Järjestys on refleksiivinen ja transitiivinen (kohdat 1 ja 3) Kohta 2 kuvaa informaation kulkua: Prosessi j vastaanottaa prosessin i kierroksen k viestin
23 Satunnaistettu algoritmi: informaatiomäärä Informaatiomäärä (information level) prosessille i kierroksella 0 k r on taso γ (i, k): 1. Jos k =0, niin taso γ i, k =0 2. Jos k 0 ja on olemassa j i s.e. j, 0 γ i, k, niin taso γ i, k =0 Prosessin informaatiomäärä on aluksi nolla Kohdan 2 mukaan prosessin informaatiomäärä on nolla kunnes se saa tiedon kaikista muista prosesseista Informaatio voi kulkeutua useamman prosessin läpi, koska järjestys γ on transitiivinen
24 Satunnaistettu algoritmi: informaatiomäärä Informaatiomäärä (information level) prosessille i kierroksella 0 k r on taso γ (i, k): 3. Jos k 0 ja j, 0 γ i, k kaikille j i, niin taso γ i, k =1 min { l j j i }, missä l j =max {taso γ j, k ' j, k ' γ i, k } l j on suurin informaatiomäärä, jonka prosessi i tietää prosessin j saavuttaneen Toisin sanoen: Kun prosessi i saa tietää, että kaikki muut prosessit ovat saavuttaneen informaatiomäärän t, prosessin i informaatiomäärä on t + 1
25 Satunnaistettu algoritmi: informaatiomäärä Esimerkki: γ = { (2, 1, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 2, 4), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (1, 2, 6) } Prosessi Prosessi Kierros 1
26 Satunnaistettu algoritmi: informaatiomäärä Esimerkki: γ = { (2, 1, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 2, 4), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (1, 2, 6) } Prosessi Prosessi Kierros 2
27 Satunnaistettu algoritmi: informaatiomäärä Esimerkki: γ = { (2, 1, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 2, 4), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (1, 2, 6) } Prosessi Prosessi Kierros 3
28 Satunnaistettu algoritmi: informaatiomäärä Esimerkki: γ = { (2, 1, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 2, 4), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (1, 2, 6) } Prosessi Prosessi Kierros 6
29 Satunnaistettu algoritmi Informaatiomäärän avulla voidaan vihdoin määritellä satunnaistettu algoritmi konsensusongelmaan: Kiinnitetään kierrosten lukumäärä r Prosessi 1 arpoo raja-arvon väliltä [1, r ] Aluksi raja-arvo on vain prosessin 1 tiedossa Jokainen prosessi pitää kirjaa omasta informaatiomäärästään r kierroksen ajan Vaatii, että seurataan kaikkien prosessien informaatiomääriä...sekä tiedossa olevista alkutiloista alku j, kaikille j
30 Satunnaistettu algoritmi: viestien sisältö Prosessien lähettämät viestit sisältävät: Oman, edellisen kierroksen informaatiomäärän taso γ (i, k - 1) Kaikkien muiden prosessien suurimman tiedossa olevan informaatiomäärän Kaikki tiedossa olevat alkutilat alku i Raja-arvon, jos se on prosessin tiedossa Viesti lähetetään verkon kaikille muille prosesseille jokaisella kierroksella 0 k r
31 Satunnaistettu algoritmi: päätöksen tekeminen Kierroksen r lopuksi valitaan tulos i {0,1} Jos taso γ (i, r) = 0, valitaan aina tulos i = 0 Jos taso γ (i, r) > 0, niin kaikki alkutilat alku j ja raja-arvo ovat prosessin i tiedossa Tarkistetaan ylittääkö oma informaatiomäärä taso γ (i, r) prosessin 1 arpoman raja-arvon väliltä [1, r ] Jos ylittää ja kaikki alku j, niin valitaan tulos i Muutoin aina tulos i = 0 Toisin sanoen: Jos yksikin alku j = 0, valitaan aina tulos i = 0
32 Satunnaistettu algoritmi: viestin vastaanotto Algoritmi saapuva i (L, V, k) Aluksi taso i [j] = -1 kaikilla j i 1 if k tuntematon then raja i k 2 for all j i do 3 if V[ j] tuntematon then alku i [ j] V[ j] 4 if L[ j] > taso i [ j] then taso i [ j] L[ j] 5 taso i 1 + min { taso i [ j] j i } 6 if kierros = r then 7 if taso i raja i and alku i [ j] kaikille j then tulos i 1 8 else tulos i 0
33 Satunnaistettu algoritmi: yhteenveto Prosessi 1 arpoo raja-arvon väliltä [1, r ] Ainut epädeterministinen osa algoritmissa! Muu suoritus riippuu vastustajasta B Kierroksella r tarkistetaan onko prosessin informaatiomäärä vähintään yhtäsuuri kuin raja-arvo Jos lisäksi kaikki alku j, niin valitaan tulos i Muutoin aina tulos i = 0 Osoittautuu, että konsensusehto rikkoutuu korkeintaan todennäköisyydellä r Pätee kaikille vastustajille B
34 Satunnaistettu algoritmi: esimerkki Tarkastellaan tilannetta kierroksen r = 6 päättyessä Jos raja-arvo on pienempi kuin 4, niin tulos 1 = tulos 2 alku 1 Prosessi Prosessi 2 0 alku Kierros 6
35 Satunnaistettu algoritmi: esimerkki Tarkastellaan tilannetta kierroksen r = 6 päättyessä Jos raja-arvo on pienempi kuin 4, niin tulos 1 = tulos 2 Jos raja-arvo on suurempi kuin 4, niin tulos 1 = tulos 2 = 0 alku 1 Prosessi Prosessi 2 0 alku Kierros 6
36 Satunnaistettu algoritmi: esimerkki Tarkastellaan tilannetta kierroksen r = 6 päättyessä Jos raja-arvo on pienempi kuin 4, niin tulos 1 = tulos 2 Jos raja-arvo on suurempi kuin 4, niin tulos 1 = tulos 2 = 0 Jos raja-arvo on 4, niin tulos 1 = 0 ja tulos 2 X - Todennäköisyys, muilla alkutiloilla todennäköisyys 0 6 alku Prosessi 1 3 Prosessi 2 0 alku Kierros 6
37 Satunnaistettu algoritmi: teoreettinen alaraja Kuinka hyvä tulos on kyseessä? Pr B [ i, j [ 1, n ] : tulos i =0 tulos j =1 ] 1 r Mikä tahansa r kierrosta toimiva satunnaistettu algoritmi rikkoo konsensusehtoa vähintään todennäköisyydellä 1 r 1
38 Satunnaistettu algoritmi: tiukennetut ehdot Myös seuraavat, tiukemmat ehdot pätevät: (a) Jos jokin alkutiloista on 0, kaikki prosessit valitsevat tulos i = 0 (b) Kaikkien alkutilojen ollessa 1 pätee kaikilla B Pr B [ kaikki prosessit valitsevat tulos i ] l r missä l on pienin informaatiomäärä kierroksella r Esimerkiksi yhden viestin kadotessa todennäköisyys Pr B on vähintään r 1 r
39 Konsensusongelma: yhteenveto Konsensusongelma hajautetussa järjestelmässä Useita variaatioita Tarkasteltiin tilannetta, jossa alku i, tulos i {0,1} ja prosessien välinen viestintä on epäluotettava Deterministinen lähestymistapa ei toimi! Satunnaistetulla algoritmilla Virheen todennäköisyys on mahdollista saada lähelle teoreettista alarajaa Kiitos!
Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä
Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki Helsinki 29.10.2007 Seminaarityö HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö i 1 Johdanto 1 2 Konsensusongelma 2 2.1 Ratkeamattomuustodistus........................
7.4 Sormenjälkitekniikka
7.4 Sormenjälkitekniikka Tarkastellaan ensimmäisenä esimerkkinä pitkien merkkijonojen vertailua. Ongelma: Ajatellaan, että kaksi n-bittistä (n 1) tiedostoa x ja y sijaitsee eri tietokoneilla. Halutaan
9.5. Turingin kone. Turingin koneen ohjeet. Turingin kone on järjestetty seitsikko
9.5. Turingin kone Turingin kone on järjestetty seitsikko TM = (S, I, Γ, O, B, s 0, H), missä S on tilojen joukko, I on syöttöaakkosto, Γ on nauha-aakkosto, I Γ, O on äärellinen ohjeiden joukko, O S Γ
Jaetun muistin muuntaminen viestin välitykseksi. 15. lokakuuta 2007
Jaetun muistin muuntaminen viestin välitykseksi Otto Räsänen 15. lokakuuta 2007 1 Motivaatio 2 Valtuuden välitys Peruskäsitteitä 3 Kolme algoritmia Valtuuden välitys käyttäen laskuria ilman ylärajaa Valtuuden
Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
Itsestabiloivabysanttilainen yhteisymmärrys. Timo Virkkala
Itsestabiloivabysanttilainen yhteisymmärrys Timo Virkkala Ongelma Päätöksenteko Yksi lähettää arvon Kaikki yrittävät päästä yhteisymmärrykseen Transientit virheet Ratkaisu: Itsestabilointi Bysanttilaiset
Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
Turingin koneen laajennuksia
Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen määritelmään voidaan tehdä erilaisia muutoksia siten että edelleen voidaan tunnistaa tasan sama luokka kieliä. Moniuraiset Turingin koneet: nauha jakautuu k
A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
Hajautetut algoritmit. seminaari syksyllä 2007 vastuuhenkilö Jyrki Kivinen toinen vetäjä Timo Karvi
58307301 Hajautetut algoritmit seminaari syksyllä 2007 vastuuhenkilö Jyrki Kivinen toinen vetäjä Timo Karvi 1 Seminaarin suorittaminen kirjoitelma (10-15 sivua) 50% esitelmä (n. 45 min) 40% muu aktiivisuus
Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
Itsestabilointi: perusmääritelmiä ja klassisia tuloksia
Itsestabilointi: perusmääritelmiä ja klassisia tuloksia Jukka Suomela Hajautettujen algoritmien seminaari 12.10.2007 Hajautetut järjestelmät Ei enää voida lähteä oletuksesta, että kaikki toimii ja mikään
Jaetun muistin muuntaminen viestinvälitykseksi
Jaetun muistin muuntaminen viestinvälitykseksi Otto Räsänen Helsinki 10.10.2007 Hajautetut algoritmit -seminaarin kirjallinen työ HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö i 1 Johdanto
f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))
Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia
verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista
Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Antti-Juhani Kaijanaho 15. maaliskuuta 2012 1 Apumääritelmä Määritelmä 1. Olkoon Σ merkistö, jolla on olemassa täydellinen järjestys ( ) Σ 2.
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,
Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.
Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin
Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.
= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia
Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lause: Pysähtymättömyysongelma H missä H = { w111x w validi koodi, M w ei pysähdy syötteellä x } ei ole rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Pysähtymisongelman komplementti
Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 6. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. Pinoautomaatit.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. kesäkuuta 2013 Sisällys Aikataulumuutos Tämänpäiväinen demotilaisuus on siirretty maanantaille klo 14:15 (Ag Delta).
6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)
Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
Kokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
Harjoitustyön testaus. Juha Taina
Harjoitustyön testaus Juha Taina 1. Johdanto Ohjelman teko on muutakin kuin koodausta. Oleellinen osa on selvittää, että ohjelma toimii oikein. Tätä sanotaan ohjelman validoinniksi. Eräs keino validoida
Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio
Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio Esitelmä algoritmiikan tutkimusseminaarissa 17.2.2003 Kimmo Palin Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto Skedulointi, kuormituksen tasaus,
Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
Kielenä ilmaisten Hilbertin kymmenes ongelma on D = { p p on polynomi, jolla on kokonaislukujuuri }
135 4.3 Algoritmeista Churchin ja Turingin formuloinnit laskennalle syntyivät Hilbertin vuonna 1900 esittämän kymmenennen ongelman seurauksena Oleellisesti Hilbert pyysi algoritmia polynomin kokonaislukujuuren
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Tehtävä 2: Tietoliikenneprotokolla
Tehtävä 2: Tietoliikenneprotokolla Johdanto Tarkastellaan tilannetta, jossa tietokone A lähettää datapaketteja tietokoneelle tiedonsiirtovirheille alttiin kanavan kautta. Datapaketit ovat biteistä eli
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely)
Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely) Riku Hyytiäinen 23.02.2015 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa
Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}.
42 Turingin koneiden laajennuksia 1 oniuraiset koneet Sallitaan, että Turingin koneen nauha koostuu k:sta rinnakkaisesta urasta, jotka kaikki kone lukee ja kirjoittaa yhdessä laskenta-askelessa: Koneen
Kanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
Luonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
T : Max-flow / min-cut -ongelmat
T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko
Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma
Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelmalla tarkoitetaan laskentaongelmaa Annettu: yhteydetön kielioppi G, merkkijono w Kysymys: päteekö w L(G). Ongelma voidaan periaatteessa
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
Matemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin. Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto
Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto Suomalainen Tiedeakatemia Nuorten Akatemiaklubi 18.10.2010 Sisältö Mitä tietojenkäsittelytieteessä
Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus
Luku 6 Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Proseduurit Olkoon A aakkosto. Proseduuri aakkoston A sanoille on mikä hyvänsä prosessi (algoritmi) P, jolle annetaan syötteeksi sana w A, ja joka etenee
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen
Kertausta 1. kurssikokeeseen
Kertausta. kurssikokeeseen. kurssikoe on to 22.0. klo 9 2 salissa A (tai CK2). Koealueena johdanto ja säännölliset kielet luentokalvot 3 ja nämä kertauskalvot harjoitukset 6 Sipser, luvut 0 ja Edellisvuosien.
2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen:
Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: S A S B Samaan jäsennyspuuhun päästään myös johdolla S AB Ab ab: S A S B Yhteen jäsennyspuuhun liittyy aina tasan yksi vasen
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
![Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]](/thumbs/59/42645644.jpg "Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]")
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
vaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 13. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 13.10.2016 klo 9:42 passed waiting redo submitters
Pinoautomaatit. Pois kontekstittomuudesta
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. joulukuuta 2015 Sisällys Pinoautomaatti NFA:n yleistys automaatilla on käytössään LIFO-muisti 1 eli pino Pino
Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
T Privacy amplification
T-79.4001 Privacy amplification Ari Nevalainen ajnevala@cc.hut.fi T-79.4001Privacy amplification 1/25 ALKUTILANNE Alkutilanne. Kaksi erikoistapausta. Yleinen tapaus. Yhteenveto. T-79.4001Privacy amplification
811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018, Harjoitus 2 ratkaisu Harjoituksen aiheena on algoritmien oikeellisuus. Tehtävä 2.1 Kahvipurkkiongelma. Kahvipurkissa P on valkoisia ja mustia kahvipapuja,
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi
Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Panu Luosto 23. marraskuuta 2007 3 4 putki 1 2 α α+1 α+2 α+3 0 K 1 kehä K 2 K 3 K 4 Lähdeartikkeli Boulinier, C., Petit, F. ja Villain, V., When graph
11. Javan toistorakenteet 11.1
11. Javan toistorakenteet 11.1 Sisällys Laskuri- ja lippumuuttujat. Sisäkkäiset silmukat. Tyypillisiä ohjelmointivirheitä: Silmukan rajat asetettu kierroksen verran väärin. Ikuinen silmukka. Silmukoinnin
Luento 9. June 2, Luento 9
June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 6. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS
.. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. lokakuuta 2016 Sisällys. Harjoitustehtävätilastoja Tilanne 6.10.2016 klo 8:28 passed potential redo submitters
isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Avaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Esimerkki: Tietoliikennekytkin
Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen
MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 14 Ke 3.5.2017 Timo Männikkö Luento 14 Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke 3.5.2017 2/30 Ositus Tehtävän esiintymä ositetaan
Sisällys. 11. Javan toistorakenteet. Laskurimuuttujat. Yleistä
Sisällys 11. Javan toistorakenteet Laskuri- ja lippumuuttujat.. Tyypillisiä ohjelmointivirheitä: Silmukan rajat asetettu kierroksen verran väärin. Ikuinen silmukka. Silmukoinnin lopettaminen break-lauseella.
Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista
Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
S BAB ABA A aas bba B bbs c
T-79.148 Kevät 2003 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S) tuottama
1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:
Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja
582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja 1. Esitä tilakaaviona NFA N = (Q, Σ, δ, q 0, F ), missä Q = { q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7 }, Σ = { a, b, c }, F = { q 4 } ja δ on
T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut
T-79.148 Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S tuottama
UML -mallinnus TILAKAAVIO
UML -mallinnus TILAKAAVIO SISÄLLYS 3. Tilakaavio 3.1 Tilakaavion alku- ja lopputilat 3.2 Tilan nimi, muuttujat ja toiminnot 3.3 Tilasiirtymä 3.4 Tilasiirtymän vai tilan toiminnot 3.5 Tilasiirtymän tapahtumat
Harjoitus 1 (20.3.2014)
Harjoitus 1 (20.3.2014) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Hämeenlinna 4 = Imatra 5 = Jyväskylä. 5 2 149(5) 190(4) 113(1)
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan
58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen)
58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Lisäysjärjestämisessä järjestetään ensin taulukon kaksi ensimmäistä lukua, sitten kolme ensimmäistä lukua, sitten neljä ensimmäistä
Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
7. Satunnaisalgoritmit (randomized algorithms)
7. Satunnaisalgoritmit (randomized algorithms) Satunnaisuudella on laskentaongelmien ratkaisemisessa moninaisia käyttötapoja. Tässä tarkastellaan lähinnä perinteisten algoritmien nopeuttamista, ja sitäkin