Toistetut pelit Elmeri Lähevirta. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
|
|
- Päivi Lehtinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Toistetut pelit MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Elmeri Lähevirta The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto University. All other rights are reserved.
2 Toistetut pelit Staattiset eli yhden kerran pelattavat pelit kuvaavat tosielämän tapahtumia huonosti Harvat tilanteet tosielämässä tapahtuvat vain kerran Käytännön kannalta staattisia pelejä mielenkiintoisempia ovat toistetut pelit Staattisen pelin muuntaminen toistetuksi ei tarkoita sitä, että toistetun pelin tasapaino olisi aina sama kuin staattisen pelin Pelin luonne usein muuttuu paljonkin toistetuissa peleissä Tärkeä tekijä toistetuissa peleissä on se, että pelaajat voivat tehdä pelin aikana valintansa vastustajan aikaisempiin valintoihin perustuen
3 Toistetut pelit Toistetussa pelissä jotakin peliä pelataan useita kertoja samojen pelaajien toimesta. Peliä, jota toistetaan kutsutaan vaihepeliksi (engl. stage game) Vaihepeli on yleensä normaalimuotoinen Tyypillisessä toistetussa pelissä: 1. Pelaajat pelaavat normaalimuotoista peliä (vaihepeliä) 2. Pelin jälkeen he näkevät, mitä tapahtui (ja saavat sen pelin tuotot) 3. Tämän jälkeen peliä pelataan uudestaan 4. Jne.
4 Toistetut pelit Toistettua peliä voidaan pelata: 1. Rajallinen ja tunnettu määrä kertoja 2. Rajallinen, mutta tuntematon määrä kertoja 3. Rajaton määrä kertoja Seuraavaksi katsotaan esimerkkejä kaksi kertaa toistetusta vangin dilemmasta
5 Esimerkki Kahdesti pelattu vangin dilemma normaalimuodossa
6 Esimerkki Kahdesti pelattu vangin dilemma normaalimuodossa Normaalimuoto on intuitiivinen esitysmuoto, mutta jättää monta asiaa epäselväksi Näkevätkö agentit, mitä toinen pelaaja on pelannut aikaisemmin? Muistavatko agentit, mitä he tiesivät aikaisemmin? Mikä on koko toistetun pelin tuotto? Täydellisempi esitystapa on esittää rajallinen toistettu peli epätäydellisen informaation pelinä laajennetussa muodossa
7 Esimerkki 2 Kahdesti pelattu vangin dilemma laajennetussa muodossa
8 Esimerkki 2 Kahdesti pelattu vangin dilemma laajennetussa muodossa Huomioitavia seikkoja: 1. Jokaisen vaihepelin aikana pelaajat eivät tiedä toisen pelaajan toimintoa, mutta jälkikäteen tietävät 2. Agenttien tuottofunktio on additiivinen Toistetun pelin tuotto on yksittäisten vaihepelien tuottojen summa
9 Esimerkki 2 Kahdesti pelattu vangin dilemma laajennetussa muodossa Huomataan myös, että toistetun pelin strategia-avaruus on vaihepelin strategia-avaruutta paljon suurempi Selvästi yksi strategia olisi pelata samalla strategialla jokaisessa yksittäisessä vaihepelissä Tällaista muistitonta strategiaa kutsutaan stationaariseksi strategiaksi (engl. stationary strategy)
10 Esimerkki 2 Kahdesti pelattu vangin dilemma laajennetussa muodossa Induktiolla takaperin voidaan todistaa, että rajallisesti toistetun vangin dilemman osapelitäydellinen Nashin tasapaino on aina vasikoida Vasikointi on myös vaihepelin Nashin tasapaino Toistetun pelin yksi osapelitäydellinen tasapaino on aina pelata jotakin vaihepelin Nashin tasapainoa Rajallisesti toistetun pelin tapauksessa nämä ovat myös ainoat tasapainot (induktion perusteella) Rajattomasti toistetuissa peleissä on myös muita tasapainoja (katsotaan niitä myöhemmin)
11 Rajattomasti toistetut pelit Rajattomasti toistetuissa peleissä vaihepeliä pelataan äärettömän monta kertaa Rajattomasti toistetun pelin esittäminen laajennetussa muodossa johtaa äärettömään puuhun Toistetun pelin tuottoja ei voida kiinnittää mihinkään päätössolmuun Eikä niitä voida laskea vaihepelien tuottojen summana (olisi yleensä ääretön) On olemassa kaksi yleisesti tunnettua tapaa esittää pelaajan tuotto äärettömästi toistetussa pelissä: 1. Keskiarvotuotto (engl. average reward) 2. Diskontattu tuotto (engl. discounted reward)
12 Keskiarvotuotto (engl. average reward) Olkoon r i (1), ri (2), ääretön jono pelaajan i vaihepelien tuottoja Pelaajan i keskiarvotuotto on tällöin: k (j) σ j=1 r i lim k k Keskiarvotuotto olettaa, että pelaaja pitää kaikkia tulevaisuuden tuottoja yhtä arvokkaina verrattuna lähitulevaisuuden tuottoihin Aina ei ole järkevää tehdä tällaista oletusta Eikä keskiarvotuottoa aina välttämättä pystytä laskemaan
13 Diskontattu tuotto (engl. discounted reward) Olkoon r i (1), ri (2), ääretön jono pelaajan i vaihepelien tuottoja ja β on diskonttauskerroin, 0 β 1 Pelaajan i diskontattu tuotto on tällöin σ j=1 β j r i (j) Pelaajan i tulevaisuuden diskontattu tuotto (engl. future discounted reward) jossakin pelin vaiheessa on pelaajan i saama välitön tuotto sen hetkisestä vaihepelistä summattuna tulevaisuuden kierroksien diskontatulla tuotolla
14 Diskontattu tuotto (engl. discounted reward) Diskonttauskerroin voidaan tulkita kahdella eri tavalla: 1. Pelaajat välittävät hyvinvoinnistaan enemmän lähitulevaisuudessa kuin kauempana tulevaisuudessa 2. Pelaajat arvostavat yhtä paljon tulevaisuutta kuin nykyhetkeä, mutta jollakin todennäköisyydellä peli loppuu millä tahansa kierroksella 1 β kuvaa tuota todennäköisyyttä Pelin analyysi on sama molemmilla tulkinnoilla
15 Kansanteoreemat (engl. folk theorems) Kansanteoreemat auttavat ymmärtämään toistettujen pelien Nashin tasapainojen avaruutta Kansanteoreemat eivät luokittele tasapainojen strategiaprofiileja vaan niillä saavutettuja tuottoja Miten äärettömästi toistetun pelin Nashin tasapainoille voidaan antaa mitään vaadittavia ominaisuuksia? Vaaditaanko osapelitäydellisyys? Käytetäänkö keskiarvo- vai diskontattua tuottoa? Helpoin tapaus: Ei osapelitäydellisyyttä, keskiarvotuotolla Käydään tämä seuraavaksi läpitte
16 Kansanteoreema(t) (engl. folk theorem(s)) Määritetään, mitä keskiarvotuottoja (r 1, r 2,, r n ) pelaajat voivat saada Nashin tasapainossa: Keskiarvotuottojen (r 1, r 2,, r n ) täytyy olla käypiä (engl. feasible) Keskiarvotuottojen on oltava sellaisia, että ne on saavutettavissa jollakin sekastrategialla (keskiarvoisesti) vaihepelin tuotoista Yleisesti, vaihepelin tuottojen konveksit kombinaatiot ovat käypiä Keskiarvotuottojen (r 1, r 2,, r n ) pitää olla rangaistavissa olevia (engl. enforceable) Keskiarvotuotoille r i pitää päteä: r i v i i = 1 n, missä v i on pelaajan i minmax-arvo Pelaajan i minmax-arvo = Pelaajan i saama hyöty, kun muut pelaajat pelaavat minmax-strategiaa häntä vastaan ja hän pelaa parhaimman vasteen. Rangaistavissa olevuus takaa sen, että poikkeamiset tasapainostrategiasta voidaan muiden pelaajien toimesta rankaisemalla tehdä kannattamattomiksi
17 Esimerkki - Käypyys Tutkitaan oikealla olevaa äärettömästi toistettua vangin dilemman peliä Esimerkiksi keskiarvotuotto (-1,-1) on käypä, koska se saavutettaisiin sillä, että molemmat pelaisivat aina (C,C) (-2, -2) on käypä, koska se saavutettaisiin sillä, että vuoroteltaisiin strategioita (C,C) ja (D,D) (= pelattaisiin kumpaakin 50% kerroista) (-4, -1) ei ole käypä, koska pelaajan 1 keskiarvotuotto -4 voitaisiin saavuttaa vain pelaamalla aina strategiaa (C,D), mutta tässä tapauksessa pelaajan 2 keskiarvotuotto olisi 0
18 Esimerkki Rangaistavissa olevuus Tutkitaan taas samaa äärettömästi toistettua vangin dilemman peliä Esimerkiksi keskiarvotuotto -4 pelaajalle 1 ei ole rangaistavissa oleva, koska pelaaja 1 voi taata itselleen vähintään hyödyn -3 vasikoimalla -2 pelaajalle 1 on rangaistavissa oleva, koska pelaaja 2 voi taata pelaajalle 1 korkeintaan hyödyn -3 vasikoimalla
19 Kansanteoreema(t) (engl. folk theorem(s)) Kansanteoreema: Keskiarvotuotot (r 1, r 2,, r n ) voidaan saavuttaa jollakin Nashin tasapainostrategialla, jos ja vain jos ne ovat sekä käypiä että rangaistavissa olevia Tämä on siis vain yksi kansanteoreema kokonaisesta joukosta kansanteoreemia Pätee Nashin tasapanoille äärettömästi toistetuissa täydellisen informaation peleissä, joissa käytetään keskiarvotuottoa Kansanteoreemia on olemassa myös rajattomasti toistetuille peleille, joissa käytetään diskontattua tuottoa, osapelitäydellisille tasapainoille sekä epätäydellisen informaation toistetuille peleille Kaikissa kuitenkin pohjimmiltaan rajoittavana tekijänä tuottojen käypyys ja rangaistavissa olevuus
20 Tit-for-tat strategia (suom. silmä silmästä -strategia) Tit-for-tat strategia yksinkertaisesti: Pelaa ensimmäisellä kierroksella yhteistyötä Ensimmäisen kierroksen jälkeen pelaa sitä, mitä toinen pelaaja pelasi viime kierroksella Tit-for-that strategiat perustuvat välittömään Rangaistukseen huonosta käyttäytymisestä Anteeksiantoon hyvästä käyttäytymisestä Kannustavat tämän takia pelaamaan yhteistyötä Tutkitaan seuraavaksi äärettömästi toistettua vangin dilemman peliä, jossa vastustaja pelaa TfT-strategiaa
21 Tit-for-tat strategia kahden pelaajan äärettömästi toistetussa vangin dilemman pelissä Tiedetään, että vastustaja pelaa TfT-strategiaa Verrataan kolmea vaihtoehtoa: 1. Petetään vastustaja kerran ja jatketaan sen jälkeen yhteistyötä koko loppupelin ajan 2. Petetään vastustajaa koko loppupelin ajan 3. Jatketaan yhteistyötä koko loppupelin ajan Meidän saamat hyödyt eri tapauksissa: AR(-1) (AR = average reward) AR(-3) AR(-1) Meille paras vaihtoehto on jatkaa yhteistyötä (3.)
22 Tit-for-tat strategia kahden pelaajan äärettömästi toistetussa vangin dilemmassa Edellinen esimerkki oletti, että arvostamme tulevaisuuden tuottoja yhtä paljon kuin nykyisiä (diskonttauskerroin β = 1) Tapauksessa, jossa 0 β < 1 voidaan kuitenkin laskea, että diskonttauskertoimen β pitäisi vähintään olla 1/3, että pelaajan kannattaa jatkaa yhteistyötä, jos hän tietää, että toinen pelaaja pelaa TfT-strategiaa
23 Muita strategioita Trigger strategy, grim trigger (suom. (armoton) kostostrategia) Aluksi aloitetaan yhteistyöllä Jos vastustaja pettää kerrankin yhteistyön, yhteistyötä ei pelata sen jälkeen enää koskaan Tit-for-two-tats (suom. silmä kahdesta silmästä) Aloitetaan yhteistyöllä ja yhteistyötä oletusarvoisesti jatketaan Jos vastustaja on pettänyt kaksi edellistä kertaa peräkkäin, petetään. Muuten pelataan yhteistyötä Ei ole niin tehokas kuin TfT-strategia, mutta sillä voidaan yrittää välttää kahden TfTstrategiaa pelaavan pelaajan kuoleman kierre
24 Terminologia Vaihepeli (stage game) peli, jota toistetuissa peleissä pelataan toistetusti. Stationaarinen strategia (stationary strategy) Strategia, jossa jokaisessa toistetun pelin yksittäisessä vaihepelissä pelataan samalla strategialla. On täysin muistiton strategia ja ei ota huomioon mitenkään pelin sen hetkistä historiaa. Keskiarvotuotto (average reward) Pelaajan saama keskiarvoinen tuotto yhdestä vaihepelistä äärettömästi toistetussa pelissä. Diskontattu tuotto (discounted reward) Summa pelaajan tulevaisuuden kierroksien tuotoista diskontattuna jollakin vakiolla β, 0 β 1 Kansanteoreemat (folk theorems) Ovat joukko teoreemia mahdollisista Nashin tasapainojen tuotoista toistetuissa peleissä
25 Kotitehtävä Tit-for-tat-strategian esimerkissä laskettiin, että pelaajan kannattaa jatkaa yhteistyötä koko loppupelin ajan, jos hän tietää, että vastustaja pelaa TfTstrategiaa. Esimerkin tehtävässä kuitenkin oletettiin, että diskonttauskerroin β = 1 Näytä laskemalla, jos käytetään keskiarvotuoton sijaan diskontattua tuottoa ja β < 1, että samassa äärettömästi toistetussa pelissä diskonttauskertoimen pitää olla vähintään 1/3, että sinun on kannattavaa jatkaa peliä muiden vaihtoehtojen sijaan. Eli vertaa millä β:n arvolla vaihtoehdon 3. hyöty on suurin. Vihje: Muodosta jokaiselle vaihtoehdolle tulevaisuuden diskontattu tuotto (samalla tavalla kuin esimerkissä, mutta käyttäen diskontattua tuottoa keskiarvotuoton sijaan) Vihje 2: Ensimmäisen vaihtoehdon odotettu tuotto on muotoa (perustele miksi): β + σ j=2 1β j (Petetään kerran ja jatketaan yhteistyötä loppupelin ajan)
Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
LisätiedotOpettaminen ja oppiminen
Opettaminen ja oppiminen MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 19.10.2016 Nina Gunell The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto
LisätiedotKommunikaatio Visa Linkiö. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Kommunikaatio MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 2.11.2016 Visa Linkiö The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto University.
LisätiedotPohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset
Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset Sanna Hanhikoski 24.3.2010 Sisältö Pohdiskeleva ajattelu Nashin tasapainotarkennukset Täydellinen tasapaino Täydellinen bayesiläinen tasapaino Vaiheittainen
LisätiedotJohdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2
Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 1 Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Ilkka Leppänen 20.1.2010 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 2 Aiheet Laajennettu
LisätiedotYhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen
LisätiedotLAAJENNETUN MUODON RATIONALISOITUVUUS. S ysteemianalyysin. Arno Solin Laboratorio. Aalto-yliopiston Teknillinen korkeakoulu
LAAJENNETUN MUODON RATIONALISOITUVUUS 3.3.2010 Pähkinänkuoressa: Laajennetun muodon rationalisoituvuus Laajennetun muodon peli (Extensive Form Game) Laajennetun muodon pelin tasapainokäsitteitä. Tosimaailman
LisätiedotDynaaminen hintakilpailu ja sanattomat sopimukset
Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat sopimukset Pasi Virtanen 12.3.2003 Johdanto Hintakilpailu jossa pelaajat kohtaavat toisensa toistuvasti Pelaajien on otettava hintaa valittaessa huomioon hintasodan
LisätiedotYhteistyötä sisältämätön peliteoria
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jarkko.murtoaro@hut.fi Optimointiopin seminaari Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Käsitteistö Työkalut Nashin tasapaino Täydellinen tasapaino Optimointiopin seminaari
LisätiedotLuento 8. June 3, 2014
June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa
LisätiedotSekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus
Sekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus Petteri Räty 2010-03-14 God does not play dice with the universe Albert Einstein Agenda Intensiiviyhteensopivuuden käsite Yrittää vastata kysymykseen, mitä sekastrategiat
LisätiedotTasapaino epätäydellisen tiedon peleissä
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Tasapaino epätäydellisen tiedon peleissä Marja Hassinen Helsinki 9..2006 Peliteoria-seminaarin esitelmä HESINGIN YIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö Johdanto
LisätiedotPelien teoriaa: tasapainokäsitteet
Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet Salanién (2005) ja Gibbonsin (1992) mukaan Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Jukka Luoma 1 Sisältö Staattinen Dynaaminen Staattinen Dynaaminen Pelityyppi Täydellinen
LisätiedotNollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
LisätiedotSEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena
LisätiedotRationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta
Rationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta Keskeiset termit: Rationalizability rationalisoituvuus ratkaisukonsepti peliteoriassa Rationalizable rationalisoituva Rationality rationaalisuus pelaajat
LisätiedotPELITEORIAN PERUSTEITA
PELITEORIAN PERUSTEITA Matti Estola 29. marraskuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peliteoreettisen analyysin vaiheet 2 3 Staattiset pelit täydellisen informaation vallitessa 3 4 Pelin ratkaiseminen 4 4.1
LisätiedotSekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen
May 24, 2016 Sekastrategia Monissa peleissä ei ole Nash-tasapainoa puhtaissa strategioissa H T H 1, 1 1, 1 T 1, 1 1, 1 Ratkaisu ongelmaan löytyy siitä, että laajennetaan strategiat käsittämään todennäköisyysjakaumat
LisätiedotEvolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen
Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Janne Laitonen 8.10.2008 Maynard Smith: s. 54-60 Johdanto Käytös voi usein olla opittua perityn sijasta Tyypillistä käytöksen muuttuminen ja riippuvuus aikaisemmista
LisätiedotPeliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi
Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Helsinki 11.09.2006 Peliteoria Tomi Pasanen HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö
LisätiedotEpätäydellisen tiedon jatkuvat pelit. Mika Viljanen Peliteorian seminaari
Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Peliteorian seminaari Erityispiirteitä Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista
LisätiedotLuento 7. June 3, 2014
June 3, 2014 Peli, jossa on kaksi Nash-tasapainoa. Yksi tasapaino on (1; 2) ja toinen (2; 1); P1:n valinta on ilmoitettu ensin. Ensimmäinen tasapaino ei vaikuta hyvältä; se perustuu epäuskottavaan uhkaukseen.
LisätiedotY56 laskuharjoitukset 6
Y56 Kevät 00 Y56 laskuharjoitukset 6 Palautus joko luennolle/mappiin tai Katjan lokerolle (Koetilantie 5, 3. krs) to.4. klo 6 mennessä (purku luennolla ti 7.4.) Ole hyvä ja vastaa suoraan tähän paperiin.
LisätiedotVangin dilemma häiriöisessä ympäristössä Markov-prosessina (valmiin työn esittely) Lasse Lindqvist
Vangin dilemma häiriöisessä ympäristössä Markov-prosessina (valmiin työn esittely) Lasse Lindqvist 21.01.2013 Ohjaaja: Kimmo Berg Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
LisätiedotPelit matematiikan opetuksessa
Pelit matematiikan opetuksessa Vadim Kulikov Helsingin Yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Epsilonit kirjaa tutkimassa, 28.01.2012 Millaisia pelejä? pärjääminen edellyttää ongelmanratkaisukykyä,
LisätiedotHintakilpailu lyhyellä aikavälillä
Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä Virpi Turkulainen 5.3.2003 Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Bertrandin ristiriita ja sen lähestyminen Bertrandin ristiriita Lähestymistavat:
LisätiedotLuento 5: Peliteoria
Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,
LisätiedotSignalointi: autonromujen markkinat
Signalointi: autonromujen markkinat Mat-.414 Optimointiopin seminaari Klaus Mattila 1.0.008 1 Esityksen rakenne Johdanto Autonromujen markkinat: Akerlofin malli Kustannuksellinen signalointi: Spencen malli
LisätiedotLuku 29 Peliteoria. Käsittelemme aluksi peliteorian peruskäsitteitä ja sanastoa, sitten katsomme itse pelejä.
Y56 Kevät 2010 1 Luku 29 Peliteoria Tässä luvussa tarkastellaan peliteorian perusteita. Tavoitteena on, että opit muodostamaan itsenäisesti kutakin peliä kuvaavat osat, ratkaisemaan erilaisten pelien tasapainon
LisätiedotLuento 9. June 2, Luento 9
June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
Lisätiedot11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)
11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan
LisätiedotStrateginen kanssakäyminen. Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki
Strateginen kanssakäyminen Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki Johdanto Viime viikolla tilanteet joissa valinnat eivät riipu muiden valinnoista Tänään aloitamme valintojen vuorovaikutuksen tutkimisen
LisätiedotStrateginen kanssakäyminen Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki
6/9/8 Johdanto Strateginen kanssakäyminen Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki Viime viikolla tilanteet joissa valinnat eivät riipu muiden valinnoista Tänään aloitamme valintojen vuorovaikutuksen tutkimisen
LisätiedotPeliteoria luento 3. May 27, Peliteoria luento 3
May 27, 2015 Dominanssi Mitkä ovat uskottavia tulemia? Ja miksi? Yksi päätösteoreettinen periaate on dominanssi. Kuten lähes kaikkia taloustieteessä kiinnostavia käsitteitä niitä on kahta lajia. Aito ja
LisätiedotPeliteoria ja kalatalous YE4
Peliteoria ja kalatalous YE4 Kansainväliset kalastussopimukset Tarve kansainväliselle yhteistyölle: Vain kestävillä kansainvälisillä sopimuksilla voidaan taata biologinen ja taloudellinen tehokkuus. Neuvottelujen
LisätiedotInformaatio ja Strateginen käyttäytyminen
Informaatio ja Strateginen käyttäytyminen Nuutti Kuosa 2.4.2003 Sisältö Johdanto Duopoli ja epätietoisuutta kilpailijan kustannuksista Kilpailijan tietämyksen manipulointi Duopoli ja epätietoisuutta kysynnästä
LisätiedotHex-pelin matematiikkaa
Solmu 3/2013 1 Hex-pelin matematiikkaa Tuomas Korppi Johdanto Hex on kahden pelaajan strategiapeli, jonka ovat keksineet toisistaan riippumatta matemaatikot Piet Hein ja taloustieteen Nobelinkin saanut
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
Lisätiedotx+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan
19.1. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ ÐÓÔÔÙ ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 2018 1. Eevalla ja Martilla on kokonaislukumäärä euroja. Martti sanoi Eevalle: Jos annat minulle kolme euroa, niin minulla on n-kertainen määrä rahaa sinuun
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotStrategiset valinnat Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki. A. Peliteorian alkeet. Johdanto. Johdanto 15/09/19
Johdanto Strategiset valinnat Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki Viime viikolla tilanteet joissa valinnat eivät riipu muiden valinnoista Tänään aloitamme valintojen vuorovaikutuksen tutkimisen peliteorian
LisätiedotPeliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely)
Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely) Riku Hyytiäinen 23.02.2015 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa
LisätiedotPeliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1
May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotJOHDATUSTA PELITEORIAAN
JOHDATUSTA PELITEORIAAN Satu Adel Pro gradu -tutkielma Heinäkuu 2019 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO Turun yliopiston laatujärjestelmän mukaisesti tämän julkaisun alkuperäisyys on
LisätiedotPELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA
PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA Matti Estola 29 marraskuuta 2013 Sisältö 1 Cournot'in duopolimalli 2 2 Pelin Nash -tasapainon tulkinta 3 3 Cournot'in mallin graanen ratkaisu 4 4 Bertrandin duopolimalli
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu
LisätiedotStrategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta
Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta Johdantoa peliteoriaan - ka ytetyt termit Peliteoria tutkii pelaajien toimintaa peleissa. Mika on peli? Mika on pelaaja? Peli tarkasti
LisätiedotEpätäydellisen tiedon jatkuvat pelit
Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Helsinki 4..2006 Peliteorian seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö Johdanto 2 Epätäydellisen tiedon jatkuva peli 2. Jatkuvan
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotStrategiset valinnat. Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki
Strategiset valinnat Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki Johdanto Viime viikolla tilanteet joissa valinnat eivät riipu muiden valinnoista Tänään aloitamme valintojen vuorovaikutuksen tutkimisen peliteorian
LisätiedotINTERVALLIPÄÄTÖSPUUT JANNE GUSTAFSSON 45433E. Mat Optimointiopin seminaari Referaatti
12.11.1999 INTERVALLIPÄÄTÖSPUUT JANNE GUSTAFSSON 45433E Mat-2.142 Optimointiopin seminaari Referaatti Syksy 1999 1. JOHDANTO Thomas M. Stratin artikkeli Decision Analysis Using Belief Functions käsittelee
LisätiedotEvolutiivinen stabiilisuus populaation
Antti Toppila sivu 1/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evolutiivinen stabiilisuus populaation määrittämisessä Antti Toppila 24.9.2008 Antti Toppila sivu 2/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Sisältö
LisätiedotJohdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet
Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotProf. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen
Mallivastaukset 9. 2. (a) Dominoiva strategia on tarjota oman arvostuksensa verran, eli tässä e 10 miljoonaa. Tarjoamalla yli oman arvostuksen tekisi vain mahdolliseksi sen, että joutuu maksamaan yli oman
LisätiedotYleinen tietämys ja Nashin tasapaino
Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino 24.3.2010 Nashin tasapaino Ratkaisumalli kahden tai useamman pelaajan pelille. Yleisesti: Jos jokainen pelaaja on valinnut strategiansa eikä yksikään pelaaja voi hyötyä
LisätiedotPeliteoria luento 2. May 26, 2014. Peliteoria luento 2
May 26, 2014 Pelien luokittelua Peliteoriassa pelit voidaan luokitella yhteistoiminnallisiin ja ei-yhteistoiminnallisiin. Edellisissä kiinnostuksen kohde on eri koalitioiden eli pelaajien liittoumien kyky
LisätiedotLyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2
Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Ilkka Männistö Esitelmä 10 - Ilkka Männistö Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Kilpailun aste Markkinahinta ei kerro mitään kilpailun asteesta jos kustannusrakennetta
LisätiedotD1 YA-joukkue Palaute pelaajilta ja vanhemmilta
D1 YA-joukkue Palaute pelaajilta ja vanhemmilta Tässä esityksessä on kaudella 2011-2012 Kiva HT D1 nimellä pelanneen seurayhteistyöjoukkueen palauteyhteenveto Joukkue pelasi kaudella 2011-2012 aluekarsinnan
LisätiedotToistetun haukka-kyyhky -pelin numeerinen analysointi
AALTO YLIOPISTON PERUSTIETEIDEN KORKEAKOULU Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma Toistetun haukka-kyyhky -pelin numeerinen analysointi Kandidaatintyö 28.11.2012 Joonas Tarpila Työn saa
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotDeterminoiruvuuden aksiooma
Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta
LisätiedotGeneettiset algoritmit
Geneettiset algoritmit Evoluution piirteitä laskennassa Optimoinnin perusteet - Kevät 2002 / 1 Sisältö Geneettisten algoritmien sovelluskenttä Peruskäsitteitä Esimerkkejä funktion ääriarvon etsintä vangin
LisätiedotValintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
6A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, milloin satunnaisprosessi on martingaali annetun informaatioprosessin suhteen ja milloin satunnaishetki on
LisätiedotLaskelmointia mielen evoluutiosta
VIRPI KAUKO Laskelmointia mielen evoluutiosta ihmisen ja muiden eläinten yhteistyö- ja kilpailustrategioiden, sukulaisaltruismin yms. vuorovaikutusten tarkastelua luonnonvalinnan kannalta [SKEPSIS RY:N
LisätiedotDynaaminen hintakilpailu ja sanattomat (epäsuorat) sopimukset osa II
Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat (epäsuorat) sopimukset osa II Olavi Toivainen 12.3.2003 Sanattomien sopimusten mallintaminen ja kontrollointi, miksi? EU Artikla 81 yritysten välisistä kilpailua
Lisätiedot1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.
Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotFuusio vai konkurssi? Hintakilpailun satoa
Fuusio vai konkurssi? Hintakilpailun satoa Pia Kemppainen-Kajola 02.04.2003 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Johdanto Yrityskaupat ilmoitetaan kaupparekisteriin. Kauppa kiinnostaa kilpailuviranomaisia,
LisätiedotHaitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu
Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotInformaation arvo. Ohjelmistotekniikan laitos OHJ-2550 Tekoäly, kevät
259 Informaation arvo Öljykenttään myydään porausoikeuksia, palstoja on n kappaletta, mutta vain yhdessä niistä on C euron edestä öljyä Yhden palstan hinta on C/n euroa Seismologi tarjoaa yritykselle tutkimustietoa
LisätiedotHaitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli
Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotMikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017
Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C1 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 17 Mallivastaukset 7. 1. Kaupungissa on kaksi suurta taidemuseoa (pelaajat) ja 5 asukasta. Taidemuseoilla on
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
LisätiedotProjektin arvon aleneminen
Projektin arvon aleneminen sivut 99-07 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Arvon aleneminen Jatketaan projektin arvon tutkimista. Nyt huomioidaan arvon aleneminen. Syitä esimerkiksi: kaluston vanheneminen
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotPaljonko maksat eurosta -peli
Paljonko maksat eurosta -peli - Ajattele todellinen tilanne ja toimi oman näkemyksesi mukaisesti - Tee tarjous eurosta: * Korkein tarjous voittaa euron. * Huonoimman tarjouksen esittäjä joutuu maksamaan
LisätiedotLuento 6. June 1, 2015. Luento 6
June 1, 2015 Normaalimuodon pelissä on luontevaa ajatella, että pelaajat tekevät valintansa samanaikaisesti. Ekstensiivisen muodon peleissä pelin jonottaisella rakenteella on keskeinen merkitys. Aluksi
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotTrafficars - Ruuhkaara
760104 Trafficars - Ruuhkaara 2 5 pelaajaa Ikäsuositus 5+, 8+ Peliaika 10 15 minuuttia Pelipaketin sisältö 50 autokorttia 12 erikoiskorttia ohjevihko Pelissä: Opitaan liikkumaan lukualueella 0 50. Harjoitellaan
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
LisätiedotBackgammonmatkailua Georgiassa
Backgammonmatkailua Georgiassa Yksi tärkeimmistä syistä viime aikojen backgammonbuumiin ja pelin arvostuksen nousuun on Georgia ja ennen kaikkea Nino Tevzadzen vetämä Georgian Backgammon Club. Nino Tevzadze
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
LisätiedotHaitallinen valikoituminen
Haitallinen valikoituminen Regulointi Verotus Vakuuttajamonopoli Kertausta Hyötyfunktiot Päämies: W(q,t) Agentti: U(q,t,ө) - q hyödykkeen määrä - t hinta (kassavirta, tms) - ө agentin tyyppi Päämies ei
LisätiedotKäytetään SEUL overwatch sääntöjen ingame asetuksia. Kotijoukkueen kapteeni on vastuussa lobbyn tekemisestä.
Turnauksessa sovelletaan yleisesti SEUL:in OW sääntöjä (http://seul.fi/wpcontent/uploads/2014/01/seul_ow_v1.pdf), poislukien eettinen osuus sekä kohdat jotka eroavat alla jäljempänä mainituista (joukkue
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
Lisätiedot