TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus. Olkoo x(t) = cos(πt)+cos(8πt). a) Poimi sigaalista x äytepisteitä taajuudella f s = 8 Hz. Suodata äi saamasi äytejoo x[] FIR-suotimella, joka suodikertoimet ovat a =.6, a =.45, a =.45 ja a 3 =.6. b) Piirrä äytejoo x[], suodatustulos y [] sekä suotime impulssivaste h[]. c) Piirrä suotime lohkokaavio. d) Määritä suodatuksessa tarvittava lasketakapasiteetti- ja muistivaatimus. e) Pohdi mitä suodatuksessa sigaalille tapahtui ja arvioi suodatuksessa sytyvä viive. a) Lasketaa äyteväli: t s = /f s = /8 s. Lasketaa sigaaliarvo /8 sekui välei alkae ajahetkestä t =. Koska sigaali muodostuu kahdesta kosiisigaalista joide taajuudet ovat Hz [cos(π t)] ja 4 Hz [cos(π 4 t)], ii lasketaa äytepisteitä 8 kappaletta (N = 8), jolloi kumpaaki taajuutta äytteistetää vähitää jakso: = t = t s = : x[] = cos(π ) + cos(8π ) = = t = t s = /8: x[] = cos(π /8) + cos(8π /8) -.9 = t = t s = /8: x[] = cos(π /8) + cos(8π /8) = =3 t = 3 t s = 3/8: x[3] = cos(π 3/8) + cos(8π 3/8) -.7 =4 t = 4 t s = 4/8: x[4] = cos(π 4/8) + cos(8π 4/8) = =5 t = 5 t s = 5/8: x[5] = cos(π 5/8) + cos(8π 5/8) -.7 =6 t = 6 t s = 6/8: x[6] = cos(π 6/8) + cos(8π 6/8) = =7 t = 7 t s = 7/8: x[7] = cos(π 7/8) + cos(8π 7/8) -.9 Huomaa, että tässä laskettii siis yksittäisiä sigaaliarvoja (äytteistys), jotka sitte pyöristettii valittuu esitystarkkuutee (kvatisoiti). Tuloksea saatii sigaali x[] {, -.9,, -.7,,..7,, -.9}, =,,, 3, 4, 5, 6, 7 Kirjoitetaa FIR-suotime differessiyhtälö (= suodatukse määrittelevä kaava): y [] = a x[] + a x[-] + a x[-] + a 3 x[-3] =.6x[] +.45x[-] +.45x[-] +.6x[-3] Lasketaa kaavalla jokaista tulosigaali x[] arvoa kohti yksi lähtösigaali y [] arvo: = : y [] =.6x[] +.45x[-] +.45x[-] +.45x[-3] =.6 +.45 +.45 +.45 =.3 Jyrki Laitie
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus Tässä luettii muistista tulosigaali arvot x[] =, x[-] =, x[-] = ja x[-3] =. Arvot x[-], x[-] ja x[-3] ovat ollia, koska iitä ei ole mitattu (e ovat joossa x[] arvoa x[] edeltäviä arvoja) ja ee äytteistystä kaikki muistipaikat ollataa. Lasketaa vastaavasti muut lähtöarvot: = : y [] =.6x[] +.45x[] +.45x[-] +.45x[-].85 = : y [] =.6x[] +.45x[] +.45x[] +.45x[-].93 = 3: y [3] =.6x[3] +.45x[] +.45x[] +.45x[].37 = 4: y [4] =.6x[4] +.45x[3] +.45x[] +.45x[] -.37 = 5: y [5] =.6x[5] +.45x[4] +.45x[3] +.45x[] -.88 = 6: y [6] =.6x[6] +.45x[5] +.45x[4] +.45x[3] -.88 = 7: y [7] =.6x[7] +.45x[6] +.45x[5] +.45x[4] -.37 Suodatustulokseksi saadaa siis lähtösigaali y [] {.3,.85,.93,.37, -.37, -.88, -.88, -.37}, =,,, 3, 4, 5, 6, 7 b) Piirretää tulo x[] ja lähtö (suodatustulos) y []: x[] - - 3 4 5 6 7.5 y[] -.5-3 4 5 6 7 FIR-suotime tapauksessa impulssivastee arvot = suodikertoimet. Piirretää impulssi ja impulssivaste: Jyrki Laitie
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus.8.6 δ.4 h[]. 3 4 5 6 7.5.4.3.. 3 4 5 6 7 Kuvasta ähdää, että hetkellä = aettu impulssi tuottaa vastee, jossa impulssi o leviyt eljä äyttee mittaiseksi. Samalla vastee huippu o viivästyyt herätteesee verrattua.. äyteväliä. c) x[].6 y[] z -.45 z -.45 z -.6 d) Jyrki Laitie 3
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus Lohkokaaviosta (tai differessiyhtälöstä) ähdää suoraa, että yhde pistee suodatus vaatii eljä kertolaskua, kolme yhteelaskua sekä aiaki kolme muistihakua (x[-], x[-], x[-3]). Tällöi siis kertoimet a, a, a ja a 3 sekä x[] oletetaa jo luetuiksi prosessori rekistereihi. Sekuissa vaadittavie lasku- ja muistioperaatioide lukumäärä saadaa kertomalla edellä esitetyt arvot kahdeksalla (f s = 8). e) Hz + 4 Hz x[] - - 3 4 5 6 7 Hz.5 Nollavaiheie kosiisigaali y[] -.5 Viive = äyteväliä =.5 s - 3 4 5 6 7 Lähtösigaali muodosta voidaa päätellä, että suodatuksessa läpi tulee vai Hz: taajuie sigaali (eli 4 Hz suodattuu pois). Tämä perusteella o ilmeistä (vaikkakaa tässä asiaa ei tarkemmi tutkita), että kyseessä o alipäästösuodi (LPF), joka rajataajuus o välillä.. 4 Hz. Nollavaiheisee Hz: taajuisee kosiii vertaamalla havaitaa, että sigaali o suodatuksessa viivästyyt. äyteväliä eli.5 s (huomaa, että tämä vastaa hyvi impulssivasteesta tehtyä päätelmää!). Jyrki Laitie 4
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus. a) Suodata tehtävässä muodostamasi äytejoo x[] IIR-suotimella, joka kertoimet ovat a =, a = -.53, a =, b =.96 ja b =.58. b) Piirrä suodatustulos y []. c) Piirrä suotime lohkokaavio (suora muoto II). d) Määritä suodatuksessa tarvittava lasketakapasiteetti- ja muistivaatimus. e) Määritä suotime siirtofuktio ja hahmottele amplitudispektri. a) Tulo: x[] {, -.9,, -.7,,..7,, -.9}, =,,, 3, 4, 5, 6, 7 Kirjoitetaa IIR-suotime differessiyhtälö (= suodatukse määrittelevä kaava): y[] = a x[] + a x[-] + a x[-] b [y[-] b y[-3] Nyt siis y [] = x[].53x[-] + x[-].96y [-].58y [-] Lasketaa kaavalla jokaista tulosigaali x[] arvoa kohti yksi lähtösigaali y [] arvo: = : y [] = x[].53x[-] + x[-].96y [-].58y [-] =.53 +.96.58 = Tässä luettii muistista tulosigaali arvot x[] =, x[-] =, x[-] = sekä lähtösigaali y [] kaksi edellistä arvoa y [-] = ja y [-] =. Arvot x[-] ja x[-] ovat ollia, koska iitä ei ole mitattu (e ovat joossa x[] arvoa x[] edeltäviä arvoja) ja vastaavasti arvoja y [-] ja y [-] ei ole laskettu. Lasketaa vastaavasti muut lähtöarvot: = : y [] = x[].53x[] + x[-].96y [].58y [-] -3.7 = : y [] = x[].53x[] + x[].96y [].58y [] 5.4 = 3: y [3] = x[3].53x[] + x[].96y [].58y [] -5.56 = 4: y [3] = x[4].53x[3] + x[].96y [3].58y [] 4.7 = 5: y [5] = x[5].53x[4] + x[3].96y [4].58y [3] -4.8 = 6: y [6] = x[6].53x[5] + x[4].96y [5].58y [4] 3.54 = 7: y [7] = x[7].53x[6] + x[5].96y [6].58y [5] -3.45 Suodatustulokseksi saadaa siis lähtösigaali y [] {, -3.7, 5.4, -5.56, 4.7, -4.8, 3.54, -3.45}, =,,, 3, 4, 5, 6, 7 b) Jyrki Laitie 5
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus Piirretää tulo x[] ja lähtö (suodatustulos) y []: x[] - - 3 4 5 6 7 5 y[] -5-3 4 5 6 7 Kuva perusteella vaikuttaa siltä, että lähtösigaali sisältää vai 4 Hz taajuutta (huomaa: sigaalissa vierekkäiste äytepisteide välillä o suuri vaihtelu, mikä viittaa taajuutee f s / = 4 Hz). Ilmeisesti kyseessä o ylipäästösuodi, joka rajataajuus o välillä.. 4 Hz. c) x[] w[] y[] -.96 z - -.53 z - -.58 d) Lohkokaaviosta ähdää yt, että yhde pistee suodatus vaatii viisi (tai käytäössä kolme) kertolaskua, eljä yhteelaskua sekä aiaki kaksi muistihakua (w[-] ja Jyrki Laitie 6
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus w[-]). Tällöi siis kertoimet a, a, a, b ja b sekä x[] oletetaa jo luetuiksi prosessori rekistereihi. Sekuissa vaadittavie lasku- ja muistioperaatioide lukumäärä saadaa taas kertomalla edellä esitetyt arvot kahdeksalla (f s = 8). e) Siirtofuktio o yt: H a + a z + b z [] z = = + a z + b z.53z + z +.96z +.58z Tästä voidaa ratkaista ollat (osoittaja ollakohdat) ja avat (imittäjä ollakohdat). Nollat vastaavat taajuusvastee ollakohtia ja avat puolestaa maksimikohtia. Nollat:.53z z + z.53z + =.53 ± z = = (.53) 4.7 ± j.96 Navat: +.96z z +.58z +.96z +.58 =.96 ± z = Nollaapakartta: =.96 4.58.48 ± j.59 f s / Nollaa vastaava kulma o yt arcta(.96/.7).3 (rad) ja tätä vastaa puolestaa taajuus f s /.3/π.4 f s /. Jyrki Laitie 7
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus Vastaavasti apaa vastaava kulma o π - arcta(.59/.48).5 (rad) ja tätä vastaa puolestaa taajuus f s /.5/π.7 f s /. Hahmotellaa tämä perusteella amplitudispektri: Amplitudi -f s / -4 Hz f s / 4 Hz f Kyseessä o siis ylipäästösuodi, joka siirtymäkaista o välillä.4 4 Hz....7 4 Hz. Jyrki Laitie 8