II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä myöskään määritelty pisteessä =, mutt tämä olisi tietysti helppo tehdä). Tilnnett voidn trkstell täsmällisesti seurvsti: Vlitn < <. Kosk f on integroituv välillä [, ], niin on olemss tätä merkitään f() = / = = lim = ; + j snotn epäoleelliseksi integrliksi. Olkoon R, < b, b R { }. Trkstelln funktioit [, b[ R, jotk ovt integroituvi välin [, b[ jokisell suljetull osvälillä (esim. jtkuvi välillä [, b[, eivät välttämättä rjoitettuj). Siis mm. Riemnnin integrli.. Määritelmä. Jos on olemss rj-rvo lim b f suppenee j sen rvo on f( R) on olemss, kun < b. f R, niin epäoleellinen integrli lim b f ( voisi merk. f ). Jos rj-rvo ei ole olemss, niin joskus Siis b f hjntuu esimerkiksi, jos (ti ). f hjntuu. (Jos b =, niin b trkoitt.) lim b.. Esim. Millä s:n (s R vkio) rvoill (ti ). Tässä tilnteess merkitään 47 = s suppenee?
Olkoon R. = s = / / s+ s + = s ( s ), kun s, ln = ln, kun s =. Kun, niin ln j s, kun s < eli s >, j s, kun s > eli s <. Siis suppenee s >. Seurv luse osoitt, että epäoleellinen integrli on Riemnnin integrlin yleistys..3. Luse. Olkoon f integroituv välillä [, b] (j siis rjoitettu). Tällöin Tod. L I.4.8 mukn funktio lim b f. f on jtkuv kohdss = b, joten lim b f. Määritelmän. integrlin lähellä : f suppeneminen riippuu vin f:n käyttäytymisestä pisteen b.4. Luse. Olkoon < b j f: [, b[ R integroituv jokisell välillä [, ], < < b. Tällöin integrlit f j f yhtik suppenevt ti hjntuvt. Suppenemistpuksess f + f. Tod. Olkoon ], b[. Väite seur rj-rvoin yhtälöstä f + f. Huom. Voi siis puhu integrlin f() suppenemisest, kosk lrj ei vikut sin..5. Luse. Jos f suppenee, niin lim b 48.
Tod. Olkoon < b. L.4 mukn f suppenee j f f b f..6. Luse. Jos integrlit (αf + βg) suppenee j sen rvo = α Tod. Seur rj-rvotuloksist. f j f + β g suppenevt j α, β R ovt vkioit, niin.7. Määritelmä. Olkoon R { }, b R, < b. Jos funktio f: ], b] R on integroituv välin ], b] jokisell suljetull osvälillä (esim. jtkuv välillä ], b]) j jos on olemss rj-rvo lim + f R, niin epäoleellinen integrli lim + (Jos =, niin + trkoitt.) Tällisiss tilnteiss pätevät Luseit.4.6 vstvt tulokset..8. Esim. Millä s:n rvoill = g. f. s suppenee? f suppenee j sen rvo on. o s : s on välillä [, ] jtkuv j rjoitettu, joten on kyseessä tvllinen integrli Jos s, < <, niin s = / s+ s + = s ( s ).. o < s < : lim + s = = integrli suppenee j sen rvo = s. 3. o s > : lim + s = = 4. o s = : = / s +, joten integrli hjntuu. ln = ln +, joten integrli hjntuu. Tulos: suppenee s <. Epäoleellisuus voi oll myös sekä ylä- että lrjn suhteen:.9. Määritelmä. Olkoon R { }, b R { }, < b, j olkoon f: ], b[ R integroituv välin ], b[ jokisell suljetull osvälillä. Vlitn (kiinteä) d ], b[. Jos integrlit d f j f molemmt suppenevt, epäoleellinen integrli d d f + d 49 f. f suppenee j sen rvo on
f suppenee f suppenee j vs- d d tvsti Lemm. Eo. määritelmä ei riipu pupisteen d ], b[ vlinnst. Tod. Olkoon < d < d < b. L.4 perusteell d f suppenee d f suppenee. Kun nämä suppenevt, pätee integrlien rvoille d f + d d ( d ) f + f + d d ( d f + d d ) f + d d f + f. d.. Esimerkkejä. ). j.8 mukn Siis Siis j ) Kun < < < b <, niin on ei suppene millään vkion s R rvoll, kosk esimerkkien eivät molemmt suppene millään s R. s / b = r sin = r sin b r sin = b, / = r sin = r sin r sin( ) = +. suppenee j sen rvo on = + =. 3) Kun m < < M, niin on m + = + = M/ r tn = r tn M / m r tn = r tn m + suppenee j sen rvo on = + =. M, ( ) = m. + 4) Tutki integrlin ( ) suppenemist s:n eri rvoill. Rtk. Kun ], ], niin + = +. o. Jos s <, niin s < <, joten summ ( ) suppenee. j o. Olkoon sitten s. Kun < <, niin hjntuu. Tulos: ( ) suppenee s <. 5 suppenevt (Esim..8). Siis näiden s +, joten ( ) +
II.. Positiivisen funktion epäoleellinen integrli Olkoon R, b R { }, < b j f, g,... : [, b[ R integroituvi välin [, b[ suljetuill osväleillä j trkstelln tähän tilnteeseen liittyviä epäoleellisi integrlej (muuntyyppiset käsitellään vstvsti)... Luse. Jos f() kikill [, b[, niin f suppenee M R s.e. Tod. Määritellään F () = < b, niin Siis F ( ) F ( ) = M R s.e. f f M [, b[. f, g,... f kikill [, b[. Tällöin F : [, b[ R on ksvv: jos f, kosk f. f suppenee on olemss lim F () = b Huom. Tässä F () M kikill [, b[. f hjntuu. f R F ylhäältä rjoitettu Ei-negtiivisen funktion epäoleellisen integrlin tutkimisess tärkeä tulos on.. Mjorntti-/minornttiperite. Olkoon f() g() kikill [, b[. ) Jos (mjorntti) b) Jos (minorntti) Tod. ) Oletetn, että g suppenee, niin f hjntuu, niin [, b[, niin väite seur Luseest.. b) Seur ):st epäsuorll päättelyllä. Esim. Suppeneeko f suppenee j g hjntuu. g suppenee. Olkoon < b. Kosk e? f() Epäoleellisuus on sekä l- että ylärjll, joten tutkitn erikseen o. e j o. e o. = < e < e. Olkoon M >. f g(). g g kikill e = M/ e = e e M Mjornttiperitteen mukn M e = e suppenee. e suppenee. 5
o. Kikill ], ] pätee < e j suppenee (Esim..8), joten mjornttiperitteell e suppenee. Siis o :n j o :n nojll trksteltv integrli suppenee. Esim. Osoit, että I = suppenee. Lske myös sen rvo. + 4 Väleillä ], ] j [, [ on < + 4 < 4. Nyt suppenee, j kosk sijoittmll 4 = t on 4 = dt, niin myös t4 4 suppenee. Siis mjornttiperitteen mukn I suppenee (välillä [, ] integroitv funktio on jtkuv j siis integroituv). Kosk 4 + = 4 + + = ( + ) ( ) = ( + + )( + ), niin Siis + 4 = ( + + )( + ) = A + B + + + C + D + = (A + C) 3 + ( A + B + C + D) + (A B + C + D) + B + D R A + C = C = A A = /4 ( A + C) + B + D = ( A) + = A + C + B = (D B) = D B = C = /4 B + D = B + D = D = + 4 = ( /4) + + + ( /4) + ( + = 8 + + + ( + ) ) + + + ( ) + ( + = 8 + + + ( + ) + ) + + ( ) + = + 4 = M/ = [ln( + + ) + r tn( + ) ln( + ) + r tn( )] 8 ( ( M + M + ) = ln 8 M + r tn( M + ) + r tn( ) M ) M + ( ln + M 8 + ) = 8 = 4 = + 4 = 4. Vstvsti (ti prillisuuden mukn) on + 4 =, joten I = 4. 5
.3. Seurus (Vertilutesti). Olkoon f(), g() > kikill [, b[, j oletetn, että on olemss f() lim = L ], [. b g() Tällöin f suppenee g suppenee. f() Tod. Kosk lim = L, < L <, niin on olemss sellinen d [, b[, että b g() L < f() g() < 3 L kikill [d, b[ (vlitn rj-rvon määritelmässä ε = L). Siis Nyt nojll g suppenee = d Vstvsti L g() < f() < 3 L g() kikill [d, b[. f suppenee j siis g suppenee = d f suppenee = f suppenee. d g suppenee. Esim. Millä vkion s R rvoill integrli ( ) o. s > : Kosk lim s =, niin + : = s + = 3 L g suppenee, jolloin mjornttiperitteen + suppenee? (/ ) +,. Vertilutestin mukn ( ) suppenee suppenee s > (Esim..). s o. s = : Nyt + = kikill j hjntuu. 3 o. s < : lim s = = : + = + s,. Kosk hjntuu, niin ( ) hjntuu vertilutestin mukn. Vstus: ( ) suppenee s >. / Esim. Millä s:n rvoill ( ) (sin ) s suppenee? (Epäoleellisuus on lrjll; jos s, on kyseessä kuitenkin jtkuvn funktion integrli.) : ( sin ) s (sin ) s = s = ], [, + sin sillä lim = j t ts on jtkuv kohdss t =. Siis vertilutestin mukn ( ) suppenee / suppenee s < (Esim..8). s 53
Esim. Millä vkion s R rvoill integrli suppenee? + Kuvus f() = s + on jtkuv, kun >. Lisäksi huomtn: jos s <, niin s ei ole määritelty :ss; jos s, niin on jtkuv välillä [, [. [, ] = + ; siis s f(), kun ], ]. Täten supp. + = supp. s < s >. s niin Kun on suuri, niin f() s = s = g(). Kosk f() g() = s + s = + = (/ ) +,, f() supp. g() = supp. s > s <. s Vstus: suppenee < s <. + II.3. Integrlin itseinen suppeneminen Trkstelln jälleen epäoleellisi integrlej f, missä R, b R { }, < b j f: [, b[ R on integroituv välin [, b[ suljetuill osväleillä (muut tyypit vstvsti). 3.. Määritelmä. Epäoleellinen integrli f suppenee itseisesti, jos Huom. L I.4.5 = f on integroituv [, b[:n suljetuill osväleillä. 3.. Luse. Jos f suppenee itseisesti, niin f f suppenee j tällöin f. f suppenee. Tod. Kosk f() f() f() kikill [, b[, niin f() + f() f() kikill [, b[. Siis mjornttiperitteen mukn.6 nojll [(f + f ) f ] suppenee. Tällöin f = lim b f = lim b f L I.4.5 lim b Seurv esimerkki osoitt, että Luse 3. ei rtkise kikke: 54 (f + f ) suppenee, joten oletuksen j L f = f.
3.3. Esim. M > : sin sin = os.int. suppenee, mutt ei suppene itseisesti. M/ os os = os M M Kosk os kikill, niin mjornttiperitteen mukn os joten I = suppenee (ts. I R). Tällöin sin os I, kun M, joten Toislt n sin = = n k= n k= k (k ) k = sin n k= (ks. srjteorist hrmoninen srj). Siis n k= k n k sin (k ) sin suppenee. + os os os suppenee, sin n k = k sin k (k ) k= ei suppene itseisesti. Huom. Itseistä suppenemist voi tutki esim. mjorntti-/minornttiperitteen vull. 3.4. Esimerkkejä. ) Osoit, että epäoleellinen integrli suppenee. Kosk sin(/) niin mjornttiperitteen nojll suppenee itseisesti j siis myös tvllisess mielessä. = sin(/) sin(/) ) Osoit, että epäoleellinen integrli sin(/) kikill ], ] j suppenee (Esim..8), e in suppenee. Kosk > = > = e < e, niin e in = e sin e < e kikill. Jos M >, niin e = M/ e = e M + e 55 M e
eli e suppenee. Mjornttiperitteen mukn e in suppenee. e in suppenee, joten myös 3) Osoit, että lim y e y sin =. Kun y R, määritellään f y () = e y sin, kun >, j f y() =, jolloin f y : [, [ R on jtkuv. Siis e y sin = f y () on epäoleellinen vin ylärjll. Olkoon y >. Tällöin f y () e y kikill j M/ ( e y = y e y) = y ( e My ), kun M, y ts. e y suppenee. Mjornttiperitteen mukn f y () f y () f y () suppenee itseisesti, j e y = y y. 56