7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn funktioist u k : I R, k N, muodostettu srj. Srj on tietenkin määritelty välillä I. Srjn ossummst käytetään merkintää S n (x) n. Ossumm S n (x) vstvst jäännöstermistä käytetään merkintää R n (x) kn+. Numeeristen srjojen tpn nytkään ei ole oleellist, millä kirjimell srjn indeksiä merkitään ti loitetnko srjn indeksointi nollst, ykkösestä ti jostkin muust kokonisluvust. Ei myöskään ole oleellist, käytetäänkö jäännöstermistä merkinnän R n (x) sijst esimerkiksi merkintää R n+ (x) kn+ kn+. Jos piste x kuuluu srjn määrittelyväliin j srjn indeksointi loitetn nollst, törmätään toisinn epämääräiseen muotoon. Tällöin noudtetn sopimust, että srjn terminä. Määritelmä 7.. Funktioist u k : I R muodostettu srj suppenee (eli suppenee pisteittäin ti tvllisess mielessä) välillä I kohti summfunktiot S : I R, jos S(x) jokiselle yksittäiselle pisteelle x I. 54
Huomutus 7.. Srj suppenee kohti summfunktiot S(x) välillä I täsmälleen silloin, kun kikill x I. lim S n(x) S(x) n Huomutus 7.2. Kvnttoreit käyttäen srjn suppeneminen välillä I trkoitt, että x I : ε > : n ε N siten, että R n (x) < ε n > n ε. Jos srjn ossumm on S n (x) j summ S(x), niin yllä olev ehto voidn ilmist myös muodoss x I : ε > : n ε N siten, että S n (x) S(x) < ε n > n ε. Esimerkki 7.. Esimerkissä 6.8 (s. 89) osoitettiin, että geometrinen srj x k suppenee välillä I ], [. Srjn supetess x k x. Jos x, niin geometrinen srj ei suppene vn hjntuu. Esimerkki 7.2. Esimerkissä 6.29 (s. ) osoitettiin, että srj suppenee kikill x R. Srjn summ määritetään esimerkissä 7.5 (s. 73). x k k! 55
Esimerkki 7.3. Olkoon c R. Tutkitn, milloin srj (x c) n n suppenee. Kun x c j n, niin (x c) n+ /(n + ) n x c n+ (x c) n /n (n + ) x c n n x c n + x c. Täten suppenemisen trkstelu voidn nyt jk seurviin tpuksiin. n : Jos x c, niin (x c) n n joten srj suppenee. 2 : Jos < x c <, niin srj n, n (x c) n n suppenee osmäärätrkstimen nojll. 3 : Jos x c >, niin srj n (x c) n n hjntuu osmäärätrkstimen nojll. 4 : Jos x c, niin (x c) n n joten srj hjntuu (esimerkki 6.5, s. 94). n n n n, 5 : Jos x c, niin kyseessä on vuorottelev srj n ( ) n n, jok suppenee Leibnizin luseen nojll (esimerkki 6.33, s. 3). Kohdist 5 seur, että srj (x c) n suppenee täsmälleen silloin, kun x c [, [ eli x [c, c + [. n n 56
Esimerkki 7.4. Vstvll tvll kuin esimerkissä 7.3 voidn osoitt, että srj (x 2) n n 2 2 2n suppenee täsmälleen silloin, kun x [ 2, 6] (hrjoitustehtävä). n Todistetn vielä luvun lopuksi pri sinänsä ilmeistä myöhemmissä todistuksiss trvittv putulost. Luse 7.3. Jos srjt S(x) suppenevt välillä I j j T (x) w k (x) niin S(x) T (x) kikill x I. Todistus. Luseen oletusten perusteell w k (x) x I, k N, S n (x) n n w k (x) T n (x) kikill x I j kikill n N. Kosk srjt suppenevt välillä I, niin lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll S(x) n lim S n (x) n lim T n (x) T (x) x I. Seurus 7.4. Jos srjt S(x) j T (x) suppenevt välillä I, niin S(x) T (x) kikill x I. Todistus. Kosk kikill x I j kikill k N, niin luseen 7.3 (j srjn suppenemisen perusominisuuksien) nojll T (x) S(x) T (x) kikill x I. Täten väite seur itseisrvon perusominisuuksist. 57
Huomutus 7.5. Luseen 7.3 j seuruksen 7.4 tulokset ovt tietysti voimss myös, jos srjn indeksointi lk jostkin muust luvust kuin noll. 58
7.2 Srjojen tsinen suppeneminen Olisi mukv, jos funktiosrjn termien ominisuudet (esimerkiksi jtkuvuus, derivoituvuus j integroituvuus) periytyisivät srjn supetess srjn summfunktiolle. Yleisesti näin ei kuitenkn välttämättä tphdu (ks. esimerkki 7.8, s. 63). Siksi on trpeen tutki srjn pisteittäistä suppenemist vhvemp ominisuutt. Määritelmä 7.2. Srj suppenee tsisesti välillä I, jos ε > : n ε N siten, että R n (x) < ε x I, n > n ε, missä R n (x) on srjn jäännöstermi (ks. s. 54). Huomutus 7.6. Jos srjn ossumm on S n (x) j summ S(x), niin määritelmän 7.2 ehto voidn ilmist myös muodoss ε > : n ε N siten, että S n (x) S(x) < ε x I, n > n ε. Huomutus 7.7. Srj ei suppene tsisesti välillä I, jos ε > : n ε N: x I : n > n ε siten, että R n (x) ε eli jos ε > : n ε N: x I : n > n ε siten, että S n (x) S(x) ε, missä S n (x) on srjn ossumm j S(x) srjn summ. Huomutus 7.8. Jos srj suppenee tsisesti välillä I, se suppenee tsisesti myös jokisell välin I osvälillä. Huomutus 7.9. Jos srj suppenee tsisesti välillä I, se suppenee myös pisteittäin välillä I. Huomutus 7.. Jos funktiosrj ei suppene josskin välin I pisteessä, srj ei tietenkään suppene tsisesti (eikä myöskään pisteittäin) välillä I. 59
Huomutus 7.. Olkoon c R. Jos srjt j suppenevt tsisesti välillä I, myös srjt w k (x) c j ( + w k (x)) suppenevt tsisesti välillä I (hrjoitustehtävä). Esimerkki 7.5. Osoitetn, että geometrinen srj (ks. esimerkki 7., s. 55) x k x suppenee tsisesti jokisell välin ], [ suljetull osvälillä [, b]. Vlitn (mielivltinen) ε >. Merkitään c mx{, b }, jolloin < c <. Hyödyntämällä geometrisen srjn summkv sdn jäännöstermille rvio R n (x) kn+ kikill x ], [. Täten x n+ R n (x) x kikill x [, b]. Lisäksi x k x n+ x k x n+ x lim n joten on olemss sellinen n ε N, että Täten Siis srj suppenee tsisesti välillä [, b]. x x n+ c cn+ c cn+, c cn+ < ε n > n ε. R n (x) < ε x [, b], n > n ε. x k 6
Esimerkki 7.6. Osoitetn, että geometrinen srj (ks. esimerkki 7., s. 55) x k ei suppene tsisesti välillä I ], [. x Vlitn ε. Olkoon n ε N mielivltinen j n > n ε jokin joukon Z + lkio. Olkoon lisäksi x ( ) n+ n+. 2 2 Tällöin x I sekä Täten esimerkin 7.5 nojll x n+ R n (x ) x x n+ 2 j x 2. x x n+ 2 2. Siis srj ei suppene tsisesti välillä I. x k Esimerkki 7.7. Olkoon >. Tällöin srj ( ) k k suppenee tsisesti välillä I [, [ (hrjoitustehtävä). Huom. Jos, niin piste x kuuluu väliin I. Tällöin ( ) k k, k x joten tsist suppenemist ei voi osoitt Weierstrssin M-testiä (ks. luse 7.4, s. 64) käyttäen. Tehtävä on siis rtkistv suorn määritelmää käyttäen eli rvioimll srjn jäännöstermiä. k x Huomutus. Esimerkistä 7.7 nähdään, että srjn tsinen suppeneminen ei tk, että srj suppenisi itseisesti. Seurvksi osoitetn, että vikk srjn termien jtkuvuus jollkin välillä ei srjn supetess välttämättä periydy srjn summfunktiolle, näin tphtuu, jos srjn suppeneminen on tsist. 6
Luse 7.2. Jos välillä I tsisesti suppenevn srjn termit ovt jtkuvi välillä I, myös srjn summfunktio on jtkuv välillä I. Todistus. Todistetn jtkuvuus tpuksess, joss trksteltv piste on välin I sisäpiste. Tpukset, joiss kyseessä on (esimerkiksi suljetun) välin päätepiste, todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Vlitn (mielivltinen) ε >, j oletetn nyt, että I on välin I sisäpiste. Olkoon lisäksi S n (x) tsisesti suppenevn srjn ossumm j S(x) summ (välillä I). Kosk srj suppenee tsisesti välillä I, on huomutuksen 7.6 nojll olemss sellinen n ε N, että S n (x) S(x) < ε 3 x I, n > n ε. Olkoon nyt n > n ε. Kosk srjn termit ovt jtkuvi välillä I, srjn (äärellinen) ossumm S n (x) on jtkuv pisteessä x. Täten jtkuvuuden määritelmän nojll on olemss sellinen δ >, että 2 S n (x) S n () < ε 3 in, kun x < δ. Jos siis x < δ (j x I), niin S(x) S() S(x) S n (x) + S n (x) S n () + S n () S() -ey S(x) S n (x) }{{} < ε 3 + S n (x) S n () }{{} < ε 3 + S n () S() }{{} < ε 3 < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε. Siis funktio S(x) on jtkuv pisteessä x. Kosk oli mielivltinen välin I piste, niin S on jtkuv välillä I. Huomutus. Srjn summfunktio voi tietenkin oll jtkuv välillä I, vikk srjn suppeneminen ei olisikn tsist välillä I (ks. esimerkki 7.6, s. 6). Tällöin on trksteltv vsemmlt ti oikelt jtkuvuutt. 2 Todistuksen yleisyyttä rjoittmtt voidn olett luvun δ olevn niin pieni, että jos x < δ, niin x I. 62
Seurus 7.3. Jos srjn termit ovt jtkuvi välillä I, mutt srjn summfunktio ei ole jtkuv välillä I, niin srj ei suppene tsisesti välillä I. Esimerkki 7.8. Tutkitn srjn tsist suppenemist välillä [, ]. Kosk ( x 2 )x k ( x 2 )x k ( x 2 ) x k, niin geometrisen srjn suppenemisen nojll trksteltv srj suppenee (pisteittäin) j ( x 2 )x k ( x 2 ) x + x kikill x ], [. Lisäksi srj suppenee, kun x ±, sillä tällöin ( x 2 )x k. Siis srj suppenee välillä [, ] j ( x 2 )x k x +, kun x <,, kun x. Nyt srjn termit ovt jtkuvi välillä [, ]. Srjn summfunktio sen sijn ei ole (vsemmlt) jtkuv pisteessä x. Täten seuruksen 7.3 nojll srj ei suppene tsisesti välillä [, ]. ( x 2 )x k Srjn tsisen suppenemisen tutkiminen suorn määritelmään perustuen on melko hnkl. Seurvksi esitettävä Weierstrssin M-testi trjo joskus helpon tvn osoitt, että srj suppenee tsisesti. Testiä ei kuitenkn voi käyttää sen osoittmiseen, että srj ei suppene tsisesti. 63
Luse 7.4 (Weierstrssin M-testi). Olkoot M, M, M 2,... ei-negtiivisi relilukuj j I jokin relilukuväli. Jos (i) k N siten, että M k x I, k > k, (ii) srj M k suppenee, niin srj suppenee tsisesti välillä I. Todistus. Vlitn (mielivltinen) ε >, j oletetn, että n > k. Luseen oletusten j mjornttiperitteen nojll srjt kn+, kn+ j M k kn+ suppenevt kikill x I. Käyttämällä seurust 7.4 (s. 57) sekä oletust (i) j lusett 7.3 (s. 57) sdn täten kikill x I. R n (x) kn+ Lisäksi oletuksen (ii) perusteell lim n kn+ kn+ M k, M k kn+ joten rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen n N, että kn+ M k < ε n > n. Täten R n (x) M k kn+ < ε in, kun n > n ε mx{k, n } j x I. Siis srj suppenee tsisesti välillä I. 64
Huomutus 7.5. Weierstrssin M-testin nojll myös srj suppenee tsisesti välillä I. Weierstrssin M-testissä trksteltvn srjn termejä mjoroidn jonkin suppenevn numeerisen srjn termeillä. Tällöin myös trksteltvn srjn jäännöstermiä voidn rvioid koko välillä tämän yhden suppenevn numeerisen srjn jäännöstermillä. Kosk numeerisen srjn jäännöstermi lähestyy suppenemisen vuoksi noll termien lukumäärän ksvess, sdn riittävä rvio myös trksteltvn funktiosrjn jäännöstermille (vrt. esimerkki 7.5, s. 6). Esimerkki 7.9. Osoitetn, että jos s >, niin srjt k sin(kx) k s j k cos(kx) k s suppenevt tsisesti joukoss R. Olkoon siis s >. Tällöin : sin(kx) k s j k s cos(kx) k s x R, k Z k s +, 2 : srj k suppenee (esimerkki 6.5, s. 94). ks Siis srjt k sin(kx) k s j k cos(kx) k s suppenevt Weierstrssin M-testin nojll tsisesti joukoss R. Esimerkki 7.. Käyttämällä Weierstrssin M-testiä voidn osoitt, että srj ( x)x k k k suppenee tsisesti välillä [, ] (hrjoitustehtävä). 65
Esimerkki 7.. Osoitetn, että srj x k k! suppenee tsisesti jokisell äärellisellä välillä [, b]. Käytetään mjornttisrjn välin [, b] päätepisteessä stv srj. Olkoon siis c mx{, b }. Tällöin x k : k! ck k! x [, b], k N, 2 : srj Täten srj c k k! suppenee (esimerkki 6.29, s.). suppenee tsisesti välillä [, b] Weierstrssin M-testin nojll. x k k! Esimerkki 7.2. Vstvsti kuin esimerkissä 7. voidn osoitt, että srjt ( ) k x 2k (2k)! j ( ) k x 2k+ (2k + )! suppenevt tsisesti jokisell äärellisellä välillä [, b] (hrjoitustehtävä). 66
7.3 Srjojen integrointi j derivointi Osoitetn ensin, että funktiosrj voidn integroid termeittäin, jos srj suppenee tsisesti j srjn termit ovt jtkuvi. Luse 7.6. Oletetn, että (i) funktiot u k ovt jtkuvi välillä [, b] (kikill k N), (ii) srj S(x) suppenee tsisesti välillä [, b]. Tällöin termit integroimll muodostettu srj suppenee j b ( ) } {{ } S(x) dx b dx. Todistus. Vlitn (mielivltinen) ε >, j merkitään n S n (x), n N. Kosk funktiot u k ovt jtkuvi j srjn suppeneminen on tsist välillä [, b], niin luseen 7.2 (s. 62) nojll summfunktio S on jtkuv j siten myös integroituv välillä [, b]. Myös srjn yksittäiset termit j ossummfunktiot S n (n N) ovt jtkuvin funktioin integroituvi välillä [, b]. Kosk srj suppenee tsisesti välillä [, b], on huomutuksen 7.6 (s. 59) nojll olemss sellinen n ε N, että S n (x) S(x) < ε x [, b], n > n ε. b Jos siis n > n ε, niin b b b S n (x) dx S(x) dx (S n (x) S(x)) dx < b b S n (x) S(x) dx ε b dx 67 ε.
Siis b (7.) lim S n (x) dx n b S(x) dx j edelleen b dx lim n n b dx b ( n ) n lim dx b lim S n (x) dx n (7.) b S(x) dx b ( ) dx. Seurus 7.7. Oletetn, että c I j (i) funktiot u k ovt jtkuvi välillä I (kikill k N), (ii) srj S(t) u k (t) suppenee tsisesti välillä I. Tällöin yhtälön (7.2) oikell puolell olev srj suppenee j (7.2) kikill x I. x c S(t) dt x ( c u k (t) ) dt x c u k (t) dt Huomutus. Yhtälö (7.2) ei välttämättä päde (mutt voi päteä), jos srjn suppeneminen ei ole tsist. 68
Esimerkki 7.3. Osoitetn, että log( + x) ( ) k x k k k x ], [. Otetn lähtökohdksi geometrinen srj ( t) n, t ], [, n + t j integroidn srj termeittäin. Srj suppenee trksteltvll välillä, mutt suppeneminen ei ole tsist koko välillä (esimerkki 7.6, s. 6). Sen sijn välillä [, ], missä < <, suppeneminen on tsist (esimerkki 7.5, s. 6). Olkoon nyt x [, ]. Kosk trksteltvn geometrisen srjn termit ovt jtkuvi välillä ], [, niin seuruksen 7.7 nojll x + t dt x ( n ( t) )dt n n x ( t) n dt ( ) n n / x t n+ n + ( ) n xn+ n n +. Toislt x + t dt / x log( + t) log( + x) log log( + x), joten (7.3) log( + x) ( ) n xn+ n n + k ( ) k x k. k Kosk < < j x [, ] olivt mielivltisi, yhtälö (7.3) pätee kikill x ], [. 69
Esimerkki 7.4. Lsketn srjn k k2 k summ. Aluksi hvitn, että k2 ( ) k k k 2 / 2 k xk 2 x k dx. Edelleen srj x k k x k suppenee tsisesti välillä [, ] (esimerkki 7.5, s. 6) j termit 2 xk (k Z + ) ovt jtkuvi välillä [, ]. Täten luseen 7.6 perusteell 2 k k2 k k 2 2 2 / 2 2 ( x k dx ) x k dx k ( ) x k dx x dx log( x) log 2 + log log 2. 7
Trkstelln sitten srjn derivointi termeittäin jollkin välillä. Nyt srjn tsinen suppeneminen ei voi oll srjn suppenemiselt vdittv (riittävä) ehto, sillä esimerkiksi srj sin(kx) k 2 k suppenee tsisesti joukoss R (esimerkki 7.9, s. 65), mutt srjn termit derivoimll muodostettu srj cos(kx) k k hjntuu hrmonisen srjn esimerkiksi pisteessä x. Riittävä ehto onkin nyt derivoimll sdun srjn tsinen suppeneminen. Itse srjst riittää olett tsisen suppenemisen sijst suppeneminen pelkästään yhdessä trksteltvn välin pisteessä. Luse 7.8. Oletetn, että (i) funktiot u k j u k ovt jtkuvi välillä I (kikill k N), (ii) srj u k (c) suppenee inkin yhdessä pisteessä c I, (iii) srj u k(x) suppenee tsisesti välillä I. Tällöin srj S(x) suppenee (pisteittäin) kikill x I j srjn summfunktio S on derivoituv välillä I sekä S (x) d u dx k(x) x I. Todistus. Luseen 7.2 (s. 62) nojll funktio f(x) u k(x) on jtkuv j siten integroituv välillä I. Olkoon nyt x I. Merkitään F (x) x c f(t) dt. 7
Tällöin seuruksen 7.7 nojll F (x) x c f(t) dt x ( c u k(t) x c ) u k(t) dt dt / x c u k (t) ( u k (c)). Siis srj ( u k (c)) suppenee (sen summfunktio on F (x)). Täten myös srj ( u k (c) + u k (c)) ( u k (c)) + u k (c) suppenee khden suppenevn srjn summn (seurus 6., s. 9). Lisäksi S(x) F (x) + S(c). Kosk f on luseen 7.2 (s. 62) nojll jtkuv välillä I, niin F on luseen 3.2 (s. 46) nojll derivoituv välillä I j F (x) d x f(t) dt f(x) dx c u k(x) kikill x I. Täten myös S on derivoituv välillä I j S (x) d dx (F (x) + S(c)) F (x) u k(x) kikill x I. 72
Esimerkki 7.5. Srj f(x) x k k! + x + x2 2! + x3 3! + suppenee kikill x R (esimerkki 7.2, s. 55). Määritetään srjn summfunktio f. Merkitään Kosk u (x) j xk k! (k N). niin u k(x) k xk k! u k(x) + k xk (k )! x k (k )! x k k! k Z +, kikill x R. Siis srj j siitä termit derivoimll stu srj ovt sm srj. Esimerkin 7. (s. 66) nojll tämä srj suppenee tsisesti jokisell äärellisellä välillä [, b]. Kosk lisäksi termit j u k(x) ovt jtkuvi kikill x R j kikill k N, niin luseen 7.8 nojll f (x) d dx u k(x) f(x) jokisell äärellisellä välillä [, b]. Täten Kosk f (x) f(x) x R. d {}}{ dx (f(x)e x ) ( f (x) f(x)) e x x R, niin integrlilskennn perusluseen nojll on olemss sellinen C R, että Siis Kosk f(), niin C. Täten f(x)e x C x R. f(x) C e x x R. f(x) x k k! e x x R. 73
Huomutus. Siis e x + x + x2 2! + x3 + x R. 3! 74