(DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015
2
Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103 Differentili- j integrlilskent 1 (ELEC1) j MS-A0105 Differentilij integrlilskent 1 (ENG1). Monisteen runkon on käytetty Pekk Alestlon tiivistelmää iemmilt vuosilt. Tvoitteeni on ollut kirjoitt tulevi kurssitoteutuksi vrten kehityskelpoinen mterili, jok näyttää pikoitellen enemmän kurssimonisteelt kuin tiivistelmältä. Kiitän Pekk tiivistelmän luovuttmisest käyttööni. Kurssin pituus on kuusi viikko (24+24) j ljuus 5 op. Kurssill käydään läpi krkesti koko yhden muuttujn differentili- j integrlilskent muknlukien srjt j differentiliyhtälöt. Kurssin luennot ovt olleet kndikeskuksen sliss B, joss ei ole liitu- eikä tussitulu, vn pelkkä vlkokngs. Luennoill on ktsottu verkkoluentoj selimell j lskettu esimerkkejä ipdin Note Tker HD -ohjelmll. Verkkoluennot ovt Pennsylvnin yliopiston kurssist Clculus: Single Vrible (Prof. Robert Ghrist), jok löytyy osoitteest https://www.courser.org/course/clcsing j jonk järjestystä tässä monisteesskin pyritään noudttmn. Verkkokurssin luennot ovt mielestäni loistvi j muodostvt hyvän pohjn, jolle kurssin voi rkent siten, että sitä voi opiskell myös etäältä (hyödyntäen myös esimerkiksi Khn Acdemyn verkkoluentoj). Lj suomenkielinen kirjllinen esitys kurssill esiintyvistä iheist on Professori Juhni Pitkärnnn kirj Clculus Fennicus, jok löytyy osoitteest https://github.com/voimet-oppimterilit-ry/clculus-fennicus/. Lisäksi opiskelijoit on kehotettu tutustumn ljsti muihin verkkomterileihin j Clculus-kirjoihin. Kurssin toteutunut luentorunko (seurvll sivull, suluiss verkkoluennon numero): 3
Esipuhe ti 8.9. Funktiot j Tylor-srjt, yleiskuv kurssist, kurssin käytännöt. Verkkoluennot: Introduction (0), Functions (1), Exponentils (2). to 10.9. Eksponenttifunktio, sini, kosini, Tylor-srjn lskeminen. Verkkoluennot: Exponentils (2), Tylor Series (3), Computing Tylor Series (4). ti 15.9. Suppeneminen, rj-rvo, l Hôpitlin sääntö. Verkkoluennot: Derivtives (10), Limits (7), l Hôpitl (8). to 17.9. Derivtt, linerisointi, differentili. Verkkoluennot: Derivtives (10), Differentition rules (11), Lineriztion (12), Differentils (15). ti 22.9. Antiderivtt, differentiliyhtälöitä. Verkkoluennot: Indefinite Integrls (17), A Simple O.D.E. (18), More O.D.E.s (19). to 24.9. Integroimismenetelmiä. Verkkoluennot: Integrtion by Substitution (21), Integrtion by Prts (22), Prtil Frctions (24). ti 29.9. Määrätty integrli, nlyysin perusluse. Verkkoluennot: Definite integrls (25), The F.T.I.C. (26), Improper Integrls (27). to 1.10. Integrlin sovelluksi. Vlittuj ploj verkkoluennoist 30-38. ti 6.10. Numeerist integrointi. Verkkoluennot: Numericl Integrtion (49), Approximtion nd Error (56). to 8.10. Srjteori. Verkkoluennot: Infinite Series (50), Convergence Tests I (51), Convergence Tests II (52). ti 13.10. Lisää srjteori. Verkkoluennot: Absolute & Conditionl (53), Power Series (54), Tylor Series Redux (55). to 15.10. Differentiliyhtälöiden rtkiseminen potenssisrjmenetelmällä j differentiliyhtälöiden linerisointi. Verkkoluennot: Indefinite Integrls (17), O.D.E. lineriztion (20). 4
Esipuhe Kiitän sydämellisesti luennoille osllistuneit opiskelijoit hyvästä tunnelmst j idosti kehittävästä plutteest. Suuri kiitos kuuluu myös kurssin henkilökunnlle eli ssistenteille, jotk ovt pyyteettömästi uhrutuen neuvoneet opiskelijoit kädestä pitäen j trkistneet heidän kirjllisi opinnäytteitään. Espoo, 16. lokkuut 2015, Hrri Vrpnen 5
Esipuhe 6
Sisältö Esipuhe 1 Sisältö 5 1. Johdnto 7 2. Funktioist 9 2.1 Merkintöjä............................. 9 2.2 Funktion määrittely....................... 10 2.2.1 Yhdistetty funktio..................... 11 2.2.2 Käänteisfunktio...................... 11 2.3 Alkeisfunktiot........................... 12 2.3.1 Polynomit j rtionlifunktiot............. 12 2.3.2 Trigonometriset funktiot................. 13 2.3.3 Arkusfunktiot....................... 14 2.3.4 Eksponentti- j logritmi................. 15 2.3.5 Eulerin kv....................... 16 2.3.6 Hyperboliset funktiot................... 17 3. Tylor-srjoist 19 3.1 Tylor-srjn lskeminen.................... 20 3.2 Tylor-srjn yksikäsitteisyys j mnipulointi........ 22 4. Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt 25 4.1 Funktion jtkuvuus........................ 25 4.2 Jtkuvien funktioiden ominisuuksi............. 27 4.3 Funktion rj-rvo........................ 28 4.4 Derivtt............................. 30 4.4.1 Määritelmä j perusominisuudet........... 30 4.4.2 L Hôpitlin sääntö..................... 32 7
Sisältö 4.4.3 Äärirvotehtävät..................... 32 4.4.4 Kuperuus, toiset derivtt j äärirvotehtävät... 32 4.4.5 Linerisointi j Newtonin menetelmä......... 33 5. Integrli 35 5.1 Antiderivtt........................... 35 5.2 Differentiliyhtälöitä...................... 36 5.2.1 Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöt.... 36 5.2.2 Toisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö.. 37 5.3 Integrlin määritelmä...................... 37 5.4 Integrlin ominisuuksi.................... 38 5.5 Epäoleellinen integrli..................... 39 5.6 Integroimismenetelmiä...................... 40 5.6.1 Osittisintegrointi.................... 40 5.6.2 Sijoitusmenetelmä.................... 40 5.6.3 Osmurtohjotelm.................... 40 5.7 Integroinnin sovelluksi..................... 41 5.7.1 Numeerinen integrointi................. 42 6. Srjteori 45 6.1 Tylor-srjn pluu........................ 45 6.2 Srjn suppeneminen....................... 48 6.3 Positiiviset srjt......................... 50 6.3.1 Suppenemistestejä positiivisille srjoille........ 50 6.4 Vihtuvmerkkiset srjt.................... 51 6.4.1 Vuorottelevt srjt.................... 51 6.5 Potenssisrjt........................... 52 7. Liite: lukujonot 53 7.1 Lukujonot............................. 53 7.1.1 Induktioperite*..................... 53 7.1.2 Lukujonot......................... 54 7.1.3 Lukujonon suppeneminen................ 55 7.1.4 Jtkuvuus j jonot.................... 57 8
1. Johdnto Tämän kurssin kntv teem on Tylor-polynomi. Iden on pproksimoid funktiot (lähtökohtisesti monimutkinen) polynomill (in verrten yksinkertinen). Tylor-polynomeill on sovelluksi kikkill, esim: mtemttiset ohjelmistot (tietokone os lske vin polynomeill) fysiikn differentiliyhtälöt (trkkoj rtkisuj hrvoin trjoll) optimointi (mm. äärirvokohdn ldun selvittäminen). Tylor-polynomiin liittyy kiinteästi myös Tylor-srj, joss Tylor-polynomin steluku ksvtetn rjtt. Tylor-polynomiin j -srjn liittyvä ihepiiri on keskeinen myös usen muuttujn vektorirvoisill funktioill, joit käsitellään jtkokursseill. Esimerkki 1.1. Sovitetn funktion f(x) = sin(x) kuvjn { (x, y) R 2 : x R, y = f(x) } pisteeseen (x, y) = (2π/3, 3/2) polynomej, joiden steluku ksv yhdestä seitsemään (MATLAB R -komennot ll): syms x f=sin(x) =[-2*pi 2*pi -5 5] figure fplot(chr(f),, k ) hold on for m=2:8 puse(1) 9
Johdnto t=tylor(f,x,2*pi/3, Order,m) fplot(chr(t),, b ) end Tehtävä 1.2. Tutustu MATLAB R -ohjelmn yllä olevn koodin j ll olevien kysymysten vull. Voit toimi tietokoneluokss ti ldt MATLAB R - ohjelmn ilmiseksi omlle koneellesi osoitteess downlod.lto.fi. 1. Syötä komento f=sin(x) ilmn edeltävää syms x -komento. Mikä on komennon syms x trkoitus? (Komenn myös: help syms.) 2. Syötä kikki Esimerkin 1.1 komennot (järjestyksessä). Jos kikki menee hyvin, näet nimtion polynomipproksimtiost. 1 Missä mielessä väittämä funktion polynomipproksimtio trkentuu polynomin steluvun ksvess ei pidä pikkns? 3. Miksi polynomin steluku ksv yhdestä seitsemään eikä khdest khdeksn, vikk koodiss komennetn for m=2:8? Etsi vstus sopivn help-komennon vull. Millä help-komennoll vstus löytyi? 4. Mitä merkit b j k tekevät komennoiss fplot(chr(f),, b ) j fplot(chr(f),, k )? Etsi vstus sopivn help-komennon vull. Millä help-komennoll vstus löytyi? 1 Komennon figure vm piirtoikkun siirtyy piiloon tustlle heti, kun komentoj syötetään lisää. Eräs rtkisu: pienennä syöttöikkun niin, että syöttö- j piirtoikkun näkyvät in ruudullsi smnikisesti. 10
2. Funktioist 2.1 Merkintöjä Relilukujen joukko R. Tällä kurssill pisteellä trkoitetn reliluku (mielikuvn piste lukusuorll). Alkion kuuluminen joukkoon: esimerkiksi 2 R, mutt 2 / Q (tässä Q = rtionlilukujen joukko). Osjoukkous: Q R, mutt R Q. Huomio 2.1. Osjoukko merkitään usein myös symbolill, jot tällä kurssill ei käytetä linkn. Tällä kurssill käytetään merkintää sllivss merkityksessä (joukkojen yhtäsuuruus sllitn), esimerkiksi väittämä {x R x 2 2} {x R 2 x 2 } on tosi (joukot ovt smt). Jos hlutn korost tilnnett, joss kyseessä on ito osjoukko, voidn merkitä esimerkiksi Q R ti Q R, Q R. Huomio 2.2. Ilmistess joukkoj kuten yllä voidn pystyviivn semest käyttää myös kksoispistettä, esimerkiksi {x R : x = 2} = { 2, 2}. Avoin väli (, b) ti (, ) ti (, b) ti (, ). Suljettu väli [, b]. 11
Funktioist Puolivoimet välit: muoto [, b) ti (, b]. Huomio 2.3. Avoint väliä merkitään usein myös ], b[ j puolivoint [, b[ ti ], b]. Tässä monisteess suosimme normlej sulkuj, sillä ne ovt typogrfisesti mukvmpi. Asiyhteydestä käy ilmi, trkoitetnko merkinnällä (, b) voint väliä vi tson R 2 pistettä. Joukkojen A j B yhdiste A B, leikkus A B j erotus A \ B: ks. erillinen symbolit-moniste. 2.2 Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen joukon A lkioon täsmälleen yhden joukon B lkion b. Merkitään b = f(). Tässä A = M f on f:n määrittelyjoukko j B on f:n mlijoukko. Funktion f rvojoukko eli kuvjoukko on B:n osjoukko f[a] = {f() A}. Esimerkki 2.4. Funktion f : R R, f(x) = x 2, mlijoukko on R, mutt sen rvojoukko on [0, ). Edellisen esimerkin funktio voidn toki määritellä suorn muodoss f : R [0, ), f(x) = x 2, jolloin rvojoukko on sm kuin mlijoukko. Näin voidn peritteess menetellä kikkien funktioiden kohdll, mutt se ei yleensä ole käytännöllistä. Tehtävä 2.5. Mikä on funktion f : R R, f(x) = x 6 + x 2 + x rvojoukko? Miksi rvojoukon ilmiseminen on tässä hnkl? Jos funktion määrittelyjoukko A R, niin kyseessä on yhden muuttujn funktio, joit tällä kurssill käsitellään. Usen muuttujn funktioit (A R n, n 2) käsitellään mm. kursseill Differentili- j integrlilskent 2 3. 12
Funktioist 2.2.1 Yhdistetty funktio Khden funktion f, g säännöllä yhdistetty funktio merkitään f g, määritellään (f g)(x) = f ( g(x) ) j lusutn f pllo g. Yhdistetyn funktion ljin mhdollinen määrittelyjoukko (jok yleensä oletetn, ellei toisin minit) on M f g = {x M g g(x) M f }. Jos yllä M f g = (tyhjä joukko), ei yhdistettyä funktiot void määritellä. Esimerkki 2.6. Olkoon f(x) = 2 x j g(x) = x 3. Tällöin (f g)(x) = 2 2 x 3 j (g f)(x) = x 3. Kosk M f = (, 2] j M g = [3, ), niin M f g = {x [3, ) x 3 (, 2] } = {x R x 3 j x 3 2} = {x R x 3 j x 3 4} = {x R x 3 j x 7} = {x R 3 x 7} = [3, 7]. Tehtävä 2.7. Määritä yllä olevss esimerkissä 2.6 joukko M g f. 2.2.2 Käänteisfunktio Funktio f : A B on injektio, jos eri pisteissä sdn eri rvot: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) eli yhtäpitävästi f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. surjektio, jos rvojoukko on sm kuin mlijoukko, ts. f[a] = B. bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. 13
Funktioist Funktiost tulee surjektio, jos mlijoukko kutistetn mhdollisimmn pieneksi eli jätetään pois kikki ne pisteet, jotk eivät ole funktion rvoj. Toinen tp määritellä nämä käsitteet perustuu yhtälön rtkisujen lukumäärän tutkimiseen: Jos nnettun on funktio f : A B j lkio y B, niin yhtälöllä y = f(x) on korkeintn yksi rtkisu x A, jos f on injektio vähintään yksi rtkisu, jos f on surjektio täsmälleen yksi rtkisu, jos f on bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin se on kääntyvä eli sillä on käänteisfunktio f 1 : B A, jok määräytyy ehdost y = f(x) x = f 1 (y). Käänteisfunktiolle pätee f 1( f() ) = kikill A j f ( f 1 (b) ) = b kikill b B. Tehtävä 2.8. Miksi käänteisfunktion kuvj on lkuperäisen funktion 1 kuvjn peilikuv suorn y = x suhteen? Jos A R j f : A R on idosti monotoninen (ts. idosti vähenevä ti idosti ksvv), niin funktio f : A f[a] on kääntyvä. 2.3 Alkeisfunktiot 2.3.1 Polynomit j rtionlifunktiot Polynomit P (x) = 0 + 1 x + 2 x + + n 1 x n 1 + n x n n = k x k, k=0 1 Tässä puhutn funktion f : R R kuvjst {(x, y) R 2 y = f(x)}. 14
Funktioist missä n N j 0, 1,..., n 1, n R ovt nnettuj lukuj. Luku n on polynomin ste j luvut 0,..., n ovt polynomin kertoimet. Polynomi voidn in määritellä koko R:ssä; sen sijn rtionlifunktiot R(x) = P (x) Q(x), missä P j Q ovt polynomej, voidn määritellä vin joukoss {x R Q(x) 0}. 2.3.2 Trigonometriset funktiot Kulmn yksikkö rdini = rd: kulm vstvn yksikköympyrän osn krenpituus. Vstvuus steiden knss: π rd = 180 stett, 1 rd = 180/π 57,3 stett. Rdinit smistetn relilukuihin j useimmiten rd jätetään merkitsemättä. Esimerkiksi ilmisuiss cos π = 1 j sin( π/2) = 1 kulmt π j π/2 ovt rdinej (relilukuj). Funktiot sin x j cos x määritellään yksikköympyrän ( = origokeskinen j 1-säteinen ympyrä tsoss R 2 ) vull niin, että (cos 0, sin 0) = (1, 0) R 2 piste (cos x, sin x) R 2 on yksikköympyrän prmetrisointi krenpituuden x R vull Krenpituus x > 0 kiertää ympyrää vstpäivään lähtien pisteestä (1, 0); vstvsti negtiivinen krenpituus kiertää myötäpäivään. Edelleen j tn x = sin x cos x cot x = cos x sin x (x π + nπ, n Z) 2 (x nπ, n Z). 15
Funktioist Jksollisuus: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, tn(x + π) = tn x. Ominisuuksi (nähdään yksikköympyrästä / määritelmistä): sin 0 = 0, sin(π/2) = 1, cos 0 = 1, cos(π/2) = 0, sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, tn( x) = tn x, sin 2 x + cos 2 x = 1. Yhteenlskukvt: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y Derivtt: D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x Edellisestä seur, että molemmt funktiot y(t) = sin ωt j y(t) = cos ωt toteuttvt differentiliyhtälön y (t) + ω 2 y(t) = 0, jok kuv ns. hrmonist värähtelyä. Tässä muuttuj t on ik j vkio ω > 0 on värähtelyn kulmtjuus. Kuten myöhemmin nähdään, differentiliyhtälön kikki rtkisut ovt muoto y(t) = A cos ωt + B sin ωt, joss A, B ovt vkioit. Ne määräytyvät yksikäsitteisesti, jos tunnetn esimerkiksi lkutil y(0) j lkunopeus y (0). Kikki rtkisut ovt jksollisi j niiden jksonik on T = 2π/ω. 2.3.3 Arkusfunktiot Huom. tässä kppleess voimi välejä merkitään hksulkeill, jott vältytään seknnuksilt. Trigonometrisill funktioill on käänteisfunktiot, jos funktioiden määrittelyj mlijoukkoj rjoitetn sopivll tvll. 16
Funktioist Funktio sin: [ π/2, π/2] [ 1, 1] on idosti ksvv bijektio. Funktio cos: [0, π] [ 1, 1] on idosti vähenevä bijektio. Funktio tn: ] π/2, π/2 [ R on idosti ksvv bijektio. Käänteisfunktiot (rkusfunktiot): rctn x ] π/2, π/2 [, kun x R, rcsin x [ π/2, π/2], kun x [ 1, 1], rccos x [0, π], kun x [ 1, 1] Siis: x = tn α α = rctn x, kun α ] π/2, π/2[ x = sin α α = rcsin x, kun α [ π/2, π/2] x = cos α α = rccos x, kun α [0, π] Huom: rkusfunktioiden rvot nnetn in rdineiss eikä steiss, ellei erikseen toisin minit. Käänteisfunktioiden derivtt (näihin pltn vielä) D rctn x = D rcsin x = D rccos x = 1 1 + x 2, x R 1, 1 < x < 1 1 x 2 1, 1 < x < 1. 1 x 2 2.3.4 Eksponentti- j logritmi (All esiintyy rj-rvo- j srjmerkintöjä, joihin plmme myöhemmin.) 17
Funktioist Neperin luku e = ( lim 1 + 1 ) n = 1 + 1 + 1 n n 2! + 1 3! + 1 4! +... 2,718281828459... Eksponenttifunktio ( f(x) = e x = lim 1 + x ) n x k = n n k!. n=0 Eksponenttifunktio voidn määritellä myös ominisuuden f (x) = f(x) vull (ks. Clculus Fennicus, luku VI.2), jonk vuoksi eksponenttifunktio on tärkeä differentiliyhtälöiden rtkisemisess. Erilisten määritelmien välinen yhtäpitävyys sivuutetn tällä kurssill (ks. esim. Clculus Fennicus). Ominisuuksi: e 0 = 1, e x > 0 kikill x, D(e x ) = e x, e x = 1/e x, (e x ) y = e xy, e x e y = e x+y Logritmifunktio = eksponenttifunktion käänteisfunktio: ln x, x > 0 Ominisuuksi e ln x = x, ln(e x ) = x, ln 1 = 0, ln e = 1, ln( b ) = b ln, ln(b) = ln + ln b, D ln x = 1/x, x 0 Eksponenttifunktion vull voidn rtkist täydellisesti differentiliyhtälö y = ky, kun k on vkio: Kikki funktiot y = y(x), joille on voimss y (x) = ky(x) kikill x R, ovt muoto y(x) = Ce kx, joss C on vkio. Vkio C kiinnittyy, jos funktion y rvo tunnetn josskin pisteessä x 0. Tällöin differentiliyhtälön rtkisu on yksikäsitteinen. 2.3.5 Eulerin kv Imginriyksikkö i: luku, jok toteutt i 2 = 1. Kompleksiluvut muoto z = x + iy, joss x, y R. 18
Funktioist Kun ensponenttifunktion srjkehitelmään sijoitetn muuttujn piklle ix j ryhmitellään termit sopivll tvll, niin sdn Eulerin kv e ix = cos x + i sin x. Seuruksen on kv e iπ + 1 = 0, jot jotkut pitävät mtemtiikn hienoimpn kvn. Se sitoo toisiins tärkeimmät luvut 0, 1, i, e j π sekä kolme lskutoimitust. 2.3.6 Hyperboliset funktiot Hyperbolinen sini sinus hyperbolicus sinh, hyperbolinen kosini cosinus hyperbolicus cosh j hyperbolinen tngentti tnh: sinh x = 1 2 (ex e x ) cosh x = 1 2 (ex + e x ) tnh x = sinh x cosh x Ominisuuksi: cosh 2 x sinh 2 x = 1; kikill trigonometrisill kvoill on hyperbolinen vstine, jok seur yhteyksistä sinh(ix) = i sin x, cosh(ix) = cos x. Kvoiss sin 2 -termien merkki vihtuu, muut pysyvät smoin. Derivtt: D sinh x = cosh x, D cosh x = sinh x. Käänteisfunktiot; lyhenne r viitt snn re, sillä käänteisfunktioill on geometrinen tulkint eräänä hyperbeliin liittyvänä pint-ln: sinh 1 x = r sinh x = ln(x + 1 + x 2 ), x R cosh 1 x = r cosh x = ln(x + x 2 1), x 1. 19
Funktioist 20
3. Tylor-srjoist Pltkmme luksi eksponenttifunktioon. Määrittelemme kikille x R eksponenttifunktion e x srjn e x x k = k! = 1 + x + x2 2! + x3 3! +.... (3.1) k=0 Toistiseksi sivuutmme kysymyksen srjn suppenemisest j otmme sen uskon vrss. Nämä sit trkentuvt myöhemmin kurssill. Sitävstoin miellämme srjn (3.1) mielivltisen pitkänä polynomin, missä mielivltinen viitt hluttuun trkkuuteen. Esimerkki 3.1. Lsketn määritelmän (3.1) vull likirvoj Neperin luvulle e = e 1 = ll MATLAB R -koodi: k=0 1 k! = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! +... ; formt long; sum=1; for m=1:10 puse(1) sum=sum+1/fctoril(m) end exp(1) Nähdään, että kymmenennen steen pproksimtio on khdeksn desimlin trkkuudell oikein. Itse siss jokinen lkeisfunktio j yleisemmin jokinen riittävän sileä funktio f : R R voidn esittää potenssisrjn f(x) = c k x k = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 +... (3.2) k=0 21
Tylor-srjoist jollekin relilukujonolle (c k ) k=0 = (c 0, c 1, c 2,...). Tässä viheess sivuutmme jälleen sen, mitä riittävän sileällä trkoitetn j keskitymme kertoimien c k lskemiseen. 3.1 Tylor-srjn lskeminen Oletetn, että yhtälö (3.2) pätee, j että funktio f yhtälössä (3.2) on mielivltisen mont kert derivoituv. Oletetn myös, että yhtälössä (3.2) säilyy yhtäsuuruus, kun yhtälön molempi puoli derivoidn (srj derivoidn termeittäin). Sijoittmll x = 0 yhtälöön (3.2) sdn heti c 0 = f(0). Derivoimll kertlleen yhtälön (3.2) molemmt puolet sdn f (x) = c 1 + 2c 2 x + 3c 3 x 2 +... = kc k x k 1, (3.3) j sijoittmll tähän x = 0 sdn c 1 = f (0). k=1 Derivoidn edelleen kertlleen yhtälön (3.3) molemmt puolet: f (x) = 2c 2 + 2 3 c 3 x + 3 4 c 4 x 2 +... = (k 1) k c k x k 2, (3.4) johon sijoittmll x = 0 sdn c 2 = f (0). 2 Derivoimll vielä kerrn yhtälön (3.4) molemmt puolet sdn f (x) = 2 3 c 3 +2 3 4 c 4 x+3 4 5 c 5 x 2 +... = (k 2) (k 1) k c k x k 3, johon sijoittmll x = 0 sdn k=2 k=3 c 3 = f (0) 2 3 = f (0) 1 2 3 = f (3) (0). 3! Jtkmll smn tpn ( köyhän miehen induktiotodistus ) sdn 22 tulos c k = f (k) (0) k!
Tylor-srjoist mielivltiselle k N. Kootn vielä edellinen lsku oletuksineen luseeksi: Luse 3.2. Jos mielivltisen mont kert derivoituv funktio f : R R on esitettävissä potenssisrjn f(x) = niin potenssisrjn kertoimille pätee kikille k N. c k x k, k=0 c k = f (k) (0) k! Huomio 3.3. Luseess 3.2 riittää olett, että funktio on määritelty j esitettävissä srjn vin origon ympäristössä. Oletust funktion f derivoituvuudest ei itse siss trvit, vn derivoituvuus seur oletuksest potenssisrjesityksen olemssolost. Vstvll lskull sdn myös Luse 3.4. Jos relimuuttujn relirvoinen funktio f on pisteen R ympäristössä esitettävissä potenssisrjn f(x) = c k (x ) k, k=0 niin potenssisrjn kertoimille pätee kikille k N. c k = f (k) () k! Huomio 3.5. Luseiden 3.2 j 3.4 mukisi funktoiden potenssisrjesityksiä kutsutn Tylor-srjoiksi. Origon ympäristössä Tylor-srj kutsutn joskus myös Mclurin-srjksi. Esimerkki 3.6. Joitin tunnettuj Tylor-srjoj origon ympäristössä: 1 1 x = x k, x < 1 e x = sin x = cos x = k=0 k=0 k=0 k=0 (1 + x) r = 1 + 1 k! xk, x R ( 1) k (2k + 1)! x2k+1, x R ( 1) k (2k)! x2k, x R k=1 r(r 1)(r 2)... (r k + 1) x k, x < 1 k! 23
Tylor-srjoist Viimeinen on nimeltään binomisrj j se on voimss kikill r R. Jos r N, niin srjn kertoimet ovt nolli summusindeksistä k = r + 1 lähtien j tuloksen on binomikv. Tehtävä 3.7. Vrmist derivoimll, että yleisen n:nnen steen polynomin n f(x) = c k x k k=0 Tylor-srj (origon ympäristössä) on polynomi itse. Tehtävä 3.8. Määritä funktiolle f(x) = 3 1 + x kertluvun Tylor-polynomit origon ympäristössä. ensimmäisen j toisen 3.2 Tylor-srjn yksikäsitteisyys j mnipulointi Tylor-srjojen mnipulointi (yhteen- j vähennyslsku, kertominen j jkminen, derivointi j integrointi) plutuu polynomien mnipulointiin, sillä vdittv trkkuus kiinnitetään ensin j sen jälkeen kikki riittävän korke-steiset termit voidn unoht. 1 Tylor-srjn lskemisess voidn usein yllä olevn filosofin ohell hyödyntää Tylor-srjn yksikäsitteisyyttä. Edellä luseet 3.2 j 3.4 snovt nimittäin myös: Seurus 3.9. Jos funktio on esitettävissä Tylor-srjn, niin srjn kertoimet määräytyvät yksikäsitteisesti. Toisin snoen funktioll ei voi (smn pisteen ympäristössä) oll kht erilist Tylor-srj. Esimerkki 3.10. Lsketn funktion f(x) = 1 (1 x) 2 toisen steen Tylor-polynomi origon ympäristössä. Kosk 1 1 x = 1 + x + x2 + O(x 3 ), missä x < 1 j merkintä O(x 3 ) luetn vähintään kolmnnen steen 1 Virheen rviointi eli mikä riittää on om (vike, mutt etenkin insinöörille tärkeä) titeenljins j sitä tulln hrjoittelemn myöhemmin kurssill. 24
Tylor-srjoist termejä, niin lueess x < 1 pätee myös 1 (1 x) 2 = ( 1 + x + x 2 + O(x 3 ) ) 2 = ( 1 + x + x 2 + O(x 3 ) )( 1 + x + x 2 + O(x 3 ) ) = ( 1 + x + x 2 + O(x 3 ) ) + ( x + x 2 + x 3 + O(x 4 ) ) + ( x 2 + x 3 + x 4 + O(x 5 ) ) + ( O(x 3 ) + O(x 4 ) + O(x 5 ) + O(x 6 ) ) = 1 + 2x + 3x 2 + O(x 3 ). Stu srj (jost emme tiedä kuin lkupään) on potenssisrj. Kosk funktioll voi (nnetun pisteen ympäristössä) oll vin yksi potenssisrj, niin kysytyn toisen steen Tylor-polynomin on oltv 1 + 2x + 3x 2. Tehtävä 3.11. Vrmist Esimerkin 3.10 tulos khdell eri tvll: ) käyttämällä Luseen 3.2 kv b) derivoimll yhtälön 1/(1 x) = 1+x+x 2 +x 3 +O(x 4 ) molemmt puolet muuttujn x suhteen. Smoin esimerkiksi tngenttifunktion Tylor-polynomej (eri pisteiden ympäristöissä) on hnkl lske suorn Luseiden 3.2 j 3.4 vull. Helpomp on jk sinin Tylor-polynomi kosinin Tylor-polynomill (hlutull trkkuudell). Tehtävä 3.12. Ot selvää miten polynomej jetn jkokulmss j j polynomi 2x 4 + 6x 2 + 2 polynomill x 2 + x + 1. Tehtävä 3.13. J srj jkokulmss srjll sin x = x x3 6 + x5 120 + O(x7 ) cos x = 1 x2 2 + x4 24 + x6 720 + O(x8 ) j päättele, että tn x = x + 1 3 x3 + 2 15 x5 + O(x 7 ). 25
Tylor-srjoist 26
4. Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt 4.1 Funktion jtkuvuus Funktion jtkuvuus määritellään usein rj-rvon vull. Jtkuvuus on kuitenkin rj-rvo yksinkertisempi käsite, joten loitmme sillä. Huomio 4.1. Jos, b R, niin luseke b on pisteiden j b välinen etäisyys. Määritelmä 4.2. Olkoon A R j f : A R funktio. Funktio f on jtkuv pisteessä A, kun pätee: Jokist ε > 0 vst sellinen δ > 0, että f(x) f() < ε in kun x A j x < δ. Tässä ε j δ (reli- ti rtionlilukuj) mielletään pieniksi. Määritelmän voi mieltää pelinä: vstustj nt luvun ε, jonk sisään etäisyyden f(x) f() on mhduttv kunhn etäisyyttä x pienennetään riittävästi. Jos pystyn ntmn miten pienelle ε:lle thns luvun δ siten, että x < δ = f(x) f() < ε, niin voitn j funktio on jtkuv pisteessä. Jos ts löytyy yksikin sellinen ε > 0, jolle f(x) f() ε vikk x olisi miten pieni thns, niin häviän j funktio on epäjtkuv pisteessä. Ide käy hyvin ilmi esimerkiksi verkkoluennost Lecture 7: Limits osoitteess https://clss.courser.org/clcsing-005/lecture/preview. Esimerkki 4.3. Todistetn, että funktio f : R R, f(x) = x 2, on jtkuv mielivltisess pisteessä x 0 R. Olkoon ε > 0 nnettu. Hlutn voimn epäyhtälö f(x) f(x 0 ) < ε, 27
Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt joten kirjoitetn sitä uki: f(x) f(x 0 ) < ε x 2 x 2 0 < ε (x x 0 )(x + x 0 ) < ε x x 0 x + x 0 < ε. Viime kädessä hlutn siis löytää luku δ > 0 siten, että x x 0 < δ = x x 0 x + x 0 < ε. Nyt x x 0 < δ = x x 0 x + x 0 < δ x + x 0, (4.1) joten riittäisi jos δ < ε x + x 0. Tässä on kuitenkin ongelmn, että etsitty luku δ s riippu vin luvust ε j pisteestä x 0, ei pisteestä x. 1 Siten on vielä rvioitv termiä x + x 0. Kolmioepäyhtälön mukn x x 0 x + x 0, j termiä x (pisteen x etäisyys origost) voi rvioid käyttämällä tieto x x 0 < δ (pisteen x etäisyys pisteestä x 0 on enintään δ). Jos x 0 0 j δ < x 0, niin x x 0 < δ = x < 2 x 0. Sijoittmll yhtälöön (4.1) sdn x x 0 < δ = x x 0 x + x 0 < δ x + x 0 δ( x + x 0 ) < 2δ x 0, jolloin etsityksi luvuksemme δ kelp mikä thns epäyhtälön δ < ε 2 x 0 toteuttv luku, esimerkiksi δ = ε/(4 x 0 ). Tehtävä 4.4. Todist, että funktio f(x) = x 2 on jtkuv pisteessä x 0 = 0. Usein funktion määrittelyjoukko A on jokin väli. Tällöin jtkuvuutt voidn tutki määritelmän vull myös väliin kuuluvss päätepisteessä; ehto x A on olenninen. Jos f on jtkuv jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, niin se on jtkuv joukoss A (ti lyhyesti: jtkuv). 1 Vert lukujonon rj-rvon määritelmään ll: etsitty indeksi N ei s oll funktio N(n). 28
Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt Funktion jtkuvuus voidn määritellä myös jonojen vull. 2 Funktio f : A R on jtkuv pisteessä A täsmälleen silloin, kun lim f( n) = f( lim n) n n kikill jonoill { n } n=0 A, joille lim n n =. Edellä jonon { n } n=0 rj-rvo määritellään seurvsti: lim n n = täsmälleen silloin, kun jokiselle ε > 0 löytyy N N siten, että n N = n < ε. (GeoGebr-pplet: http://tube.geogebr.org/student/m157948) Määrittelyjoukoissn jtkuvi funktioit ovt esim. polynomit rtionlifunktiot juurifunktiot: f(x) = x p/q, kun x 0 trigonometriset funktiot jtkuvien funktioiden summt, tulot j osmäärät jtkuvien funktioiden yhdistetyt funktiot. 4.2 Jtkuvien funktioiden ominisuuksi Määritelmä 4.5. Olkoon f : A R. Funktioll f on mksimi eli suurin rvo pisteessä 0 A, jos f() f( 0 ) kikill A. Vstvsti f:llä on minimi eli pienin rvo pisteessä 1 A, jos f() f( 1 ) kikill A. Muuttujn rvot 0 j 1 ovt funktion f äärirvokohti. Funktion rvot f( 0 ) j f( 1 ) ovt funktion äärirvot. Luse 4.6 (Weierstrss). Suljetull välillä määritellyllä jtkuvll funktioll on mksimi j minimi joisskin välin pisteissä. 2 Jonoist lisää luvuss X. 29
Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt Luse 4.7 (Jtkuvien funktioiden välirvoluse). Suljetull välillä I määritelty jtkuv funktio s kikki rvot, jotk ovt sen minimin j mksimin välissä. Toisin snoen: funktion rvojoukko f[i] on myös väli. Tässä muodoss väite pätee myös voimille ti puolivoimille väleille I (jolloin mksimi ti minimiä ei in ole). Erityisesti: Jos f : [, b] R on jtkuv j f()f(b) < 0, niin funktioll f on nollkoht voimell välillä ], b[. Näitä sioit käsitellään yleisemmin kurssill MS-C1540 Euklidiset vruudet, joss ne myös todistetn. 4.3 Funktion rj-rvo Jos A R j f : A R, niin f:n käyttäytymistä pisteen x 0 R lähellä voidn tutki myös funktion rvost f(x 0 ) välittämättä; ei edes trvitse oll x 0 A. Funktion rj-rvo voidn kuitenkin määritellä vin sellisiss pisteissä x 0 R, joille jokinen väli [x 0 δ, x 0 + δ] sisältää äärettömän mont joukon A pistettä, vikk δ > 0 olisi kuink pieni thns. (Tällisi pisteitä x 0 kutsutn joukon A ksutumispisteiksi.) Määritelmä 4.8. Funktioll f : A R on rj-rvo L pisteessä x 0 R, jos pätee: Jokist ε > 0 vst sellinen δ > 0, että f(x) L < ε in kun x A j 0 < x x 0 < δ. Tällöin merkitään lim f(x) = L. x x 0 Huomio 4.9. Ehdon 0 < x x 0 ino trkoitus on rjt mhdollinen funktion rvo f(x 0 ) pois käsittelystä; ts. ehto tutkitn vin tpuksess x x 0. Vstvll tvll sdn myös toispuoleiset rj-rvot lim f(x) j lim x x 0 + f(x), x x 0 kun epäyhtälö 0 < x x 0 < δ korvtn epäyhtälöllä 0 < x x 0 < δ ti 0 < x 0 x < δ. Nämä voidn tulkit myös tvllisen rj-rvon eri- 30
Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt koistpuksin, kun funktion määrittelyjoukoksi muutetn A ]x 0, [ ti A ], x 0 [. Tällöin on voimss: Rj-rvo on olemss täsmälleen silloin, kun lim f(x) = L x x 0 lim f(x) = lim f(x) = L. x x 0 + x x 0 Funktion rj-rvo toteutt seurvt lskusäännöt: Jos niin lim f(x) = j x x 0 lim (f(x) + g(x)) = + b, x x 0 lim g(x) = b, x x 0 lim f(x)g(x) = b, x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) = b ; viimeisen kohdll täytyy olett b 0 (jolloin g(x) 0 josskin pisteen x 0 ympäristössä). Jos funktion määrittelyjoukko on väli, niin jtkuvuus pisteessä x 0 M f on yhtäpitävää sen knss, että lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Jos f : A R on jtkuv, x 0 A j lim x x0 f(x) = L, niin voidn määritellä uusi funktio f : A R, A = A {x 0 }, settmll f(x), kun x A, f(x) = L, kun x = x 0. Tällöin f on jtkuv. Usein merkitään hiukn epätäsmällisesti f = f. Tyypillinen esimerkki: sin x x f(x) =, x 0, 1, x = 0, on jtkuv koko relikselill. Myös seurvt käsitteet voidn määritellä täsmällisesti: lim f(x) = ±, x x 0 lim f(x) = L, lim x ± f(x) = ±, jne. x ± 31
Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt Esimerkiksi lim f(x) =, x x 0 jos pätee: Jokist M R vst sellinen δ > 0, että f(x) > M in kun x A j 0 < x x 0 < δ. 4.4 Derivtt 4.4.1 Määritelmä j perusominisuudet Erilisi lähestymistpoj: geometrinen (käyrän tngentti seknttien rj-senton) ti fysiklinen (jst riippuvn funktion hetkellinen muutosnopeus). Funktio f määritelty josskin pisteen x 0 R ympäristössä; sen derivtt on f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) lim = lim, h 0 h x x 0 x x 0 jos rj-rvo olemss. Funktio on derivoituv, jos sillä on derivtt jokisess määrittelyjoukon (= voin väli) pisteessä. Merkintöjä: f (x) = Df(x) = df dx. Derivtn määritelmä joht pproksimtioon f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Oiken puoleinen luseke on funktion f linerisointi eli differentili pisteessä x 0. Sille käytetään merkintää df. Linerisoinnin kuvj y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) on funktion kuvjn pisteeseen (x 0, f(x 0 )) setettu tngenttisuor. Fysiklinen tulkint: x = x(t) kppleen yksiulotteisen liikeen pikkkoordintti hetkellä t, sen hetkellinen nopeus on v(t) = x (t) = ẋ(t). Näistä viimeinen on tvllinen merkintä fysiikss. Lskusääntöjä: Linerisuus 32
Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt D(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) D(cf(x)) = cf (x), kun c R on vkio Tulon derivoimissääntö D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Osmäärän derivoimissääntö ( ) f(x) D = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g(x) 2 Yhdistetyn funktion derivoiminen (Chin Rule = ketjusääntö; nimen tust liittyy osittisderivttoihin, joist lisää kurssill Differentilij integrlilskent 2) D(f(g(x)) = f (g(x))g (x) Eräitä derivttoj: D(vkiofunktio) = 0, D(x r ) = rx r 1, r 0, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x Välirvoluse: Olkoon f : [, b] R jtkuv j lisäksi derivoituv välillä ], b[. Tällöin on olemss sellinen piste c ], b[, että f (c) = f(b) f(), ts. f(b) f() = f (c)(b ). b Seurus: Jos f (x) = 0 kikiss voimen välin pisteissä x, niin funktio f on vkio tällä välillä Seurus: Jos f (x) 0 jollkin välillä, niin f on ksvv; jos f (x) 0 jollkin välillä, niin f on vähenevä Jos edellisen kohdn lisäksi f (x) = 0 inostn yksittäisissä pisteissä, niin f on idosti ksvv/vähenevä. Esim: f(x) = x 3. 33
Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt 4.4.2 L Hôpitlin sääntö Rj-rvojen lskeminen derivtn vull; erilisi versioit mm. tyyppiä "0/0" ti " / " oleville rj-rvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tpus: Oletetn, että f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 j funktiot f, g ovt derivoituvi. Jos on olemss, niin Todistus: Tylor! (Luennoll.) f (x) lim x x 0 g (x) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). 4.4.3 Äärirvotehtävät Pikllinen äärirvo = pikllinen mksimi ti minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. Pikllinen äärirvo voi tull (i) derivtn nollkohdss (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, ti (iii) kohdss joss funktio ei ole derivoituv. Jos tiedetään etukäteen, että funktioll on mksimi/minimi, niin etsitään kikki mhdolliset piklliset äärirvokohdt (vrt. edellinen), lsketn niissä funktion rvot j vlitn näistä suurin/pienin. 4.4.4 Kuperuus, toiset derivtt j äärirvotehtävät Kuper eli konveksi lue D R 2 : jos x, y D, niin myös niiden välinen yhdysjn [x, y] D Välillä I R määritelty funktio on konveksi, jos sen kuvjn yläpuolinen tsolue on konveksi; tähän riittää se että kuvjlle piirretyt sekntit ovt in kuvjn yläpuolell, kvn f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y) kikill x, y I j kikill t [0, 1]. Erityisesti: jos f (x) 0 koko välillä, niin f on konveksi 34
Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt Funktion käännepiste: koht, joss kuvjll on tngentti j funktion kuperuussuunt vihtuu. Esimerkiksi, jos f (x) viht merkkiä. Kuperuutt tutkimll päädytään seurvn tulokseen: jos funktion f derivtn nollkohdss x 0 on f (x 0 ) < 0, niin kyseessä on pikllinen mksimi; jos f (x 0 ) > 0, niin kyseessä on pikllinen minimi. Tpuksess f (x 0 ) = 0 tilnnett täytyy tutki trkemmin (esimerkiksi korkemmn kertluvun derivttojen vull). 4.4.5 Linerisointi j Newtonin menetelmä Funktion f ensimmäisen steen Tylor-polynomi pisteessä x 0 kehitettynä, P 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), kutsutn funktion f linerisoinniksi pisteen x 0 ympäristössä (ti pisteen x 0 suhteen usein jop pisteessä x 0, vikk oikestn se trkoittisi luku P 1 (x 0 ) = 0). Sitä voidn käyttää erilisiss rvioiss j numeerisiss menetelmissä. Newtonin menetelmä: Yhtälö f(x) = 0 rtkistn likimääräisesti vlitsemll lkupiste x 0 (esimerkiksi kuvion perusteell) j määrittelemällä x n+1 = x n f(x n) f (x n ), kun n = 0, 1, 2,... Näin sdn lukujono (x 0, x 1, x 2,... ), jonk termit yleensä ntvt yhä prempi likirvoj funktion f nollkohdlle. Plutuskv perustelln geometrisesti etsimällä funktion nollkoht sen linerisoinnin (tngenttipproksimtion) vull. Esimerkki 4.10. Tehdään verkkoluennon Lecture 12: Lineriztion (https: //clss.courser.org/clcsing-005/lecture/preview) kohdss 13:45 esiintyvä esimerkki MATLAB R -ohjelmll. formt long; % riittävästi desimlej epsilon = 1e-12; % virherjksi 12 desimlin trkkuus err = 1; % lustetn muuttuj virheelle 35
Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt = 100; % hluttiin luvun 100 kuutiojuuri prev = 5; % lkurvus = "edellinen" rvo k = 0; % montko itertiot on tehty kmx = 25; % montko itertiot enintään tehdään while err > epsilon & k < kmx % kunnes virherj littuu ti itertiomäärä täyttyy: k=k+1; % päivitetään itertiolskuri next = prev - (prev^3 - )/(3*prev^2); % newtonin menetelmän kv err = bs(next-prev); % virhe = edellisen j nykyisen rvon erotuksen itseisrvo puse(1); % sekunnin tuko disp(next); % näytetään nykyinen rvo prev = next; % setetn nykyinen rvo edelliseksi end % siirrytään tkisin while-testiin. Hluttu trkkuus svutetn hyvin nopesti. 36
5. Integrli Huomio 5.1. Tässä luvuss integrlill trkoitetn määrättyä integrli. Määräämätöntä integrli (ti integrlifunktiot) kutsutn ntiderivtksi. 5.1 Antiderivtt Määritelmä 5.2. Derivoituv funktio F : R R on funktion f : R R ntiderivtt, jos F (x) = f(x) kikill x R. Huomio 5.3. Kirjoitmme f : R R trkoittmn relimuuttujn relirvoist funktiot; trkempi määrittelyjoukkojen trkstelu sivuutetn. Luse 5.4. Antiderivtt on vkio ville yksikäsitteinen. Todistus. Jos F 1 (x) = F 2 (x) = f(x) kikill x R, niin d ( F1 (x) F 2 (x) ) = f(x) f(x) = 0 dx kikill x, joten F 1 (x) F 2 (x) = C = vkio, ts. F 1 (x) = F 2 (x) + C. Huomio 5.5. Jos funktio F on funktion f ntiderivtt, niin merkitään f(x) dx = F (x) + C eli merkintä f(x) dx sisältää kikki vkiot. Esimerkki 5.6. kikill r R, r 1. x r dx = xr+1 r + 1 + C 37
Integrli Esimerkki 5.7 (muuttujnvihto). Lsketn integrli x sin(x 2 ) dx. Merkitään u = x 2, jolloin du dx = 2x eli x dx = 1 du. Siten 2 x sin(x 2 ) dx = sin(x 2 )x dx = 1 sin u du 2 = 1 2 cos u + C = 1 2 cos(x2 ) + C. Tehtävä 5.8. Lske e x 1 + e x dx. Huomio 5.9. Kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, mutt sitä ei in void esittää lkeisfunktioiden vull, vikk f olisi lkeisfunktio; esim. f(x) = e x2 5.2 Differentiliyhtälöitä Esimerkissä 5.7 esiintyviä termejä dx j du kutsutn differentileiksi j niillä voidn (useimmiten) lske kuten luvuill. Trkemmin, ks. Clculus Fennicus? 5.2.1 Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöt Linerinen differentiliyhtälö y + (x)y = r(x), joss (x) j r(x) ovt jollkin voimell välillä jtkuvi funktioit. Rtkisu sdn kertomll yhtälö puolittin integroivll tekijällä e A(x), joss A (x) = (x). Yleiseksi rtkisuksi sdn y(x) = Ce A(x) + e A(x) e A(x) r(x) dx, joss C on vkio. Seproituv differentiliyhtälö y = f(x)g(y) voidn rtkist muuntmll se muotoon j integroimll. dy = f(x) dx g(y) Differentiliyhtälöistä on erillinen moniste, joss rtkisumenetelmiä selitetään trkemmin. 38
Integrli 5.2.2 Toisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Toisen kertluvun linerinen j vkiokertoiminen differentiliyhtälö on muoto y + py + qy = r(x), joss p, q ovt vkioit j r(x) on (inkin ploittin) jtkuv funktio. Differentiliyhtälö on homogeeninen, jos r(x) = 0 kikill x; muuss tpuksess se on epähomogeeninen. Yhtälön rtkisumenetelmä on esitetty erillisessä monisteess. 5.3 Integrlin määritelmä Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm n S = M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k }, j lsumm s = Ain pätee: (i) s S, k=1 n m k (x k x k 1 ), m k = min{f(x) x k 1 x x k }. k=1 (ii) Kun jko tihenee, niin s ksv j S pienenee. Funktio f on integroituv välillä [, b], jos jokist ε > 0 vst sellinen jko, joss S s < ε. Funktion f integrli I R on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle s I S kikiss joiss; merkitään b f(x) dx = I. 39
Integrli Pätee: integrli on määritelty kikille jtkuville funktioille j se voidn lske rj-rvon n lim f(x k ) x n k=1 käyttämällä tsvälisiä jkopisteitä x k = + k x, joss x = (b )/n on skelpituus j 0 k n. Määritelmä yleistyy myös ploittin jtkuville funktioille (j vieläkin yleisempään tilnteeseen) Sopimus: f(x) dx = 0, b f(x) dx = b f(x) dx 5.4 Integrlin ominisuuksi Linerisuus: j (i) b b b (c 1 f(x) + c 2 g(x)) dx = c 1 f(x) dx + c 2 g(x) dx (ii) b f(x) dx = c f(x) dx + b kikill, b, c järjestyksestä riippumtt. Lisäksi (iii) f(x) g(x) b f(x) dx c b Erityisesti ±f(x) f(x), joten b b f(x) dx f(x) dx Keskirvoperite: jos f on jtkuv, niin toisin snoen b f(c) = 1 b f(x) dx g(x) dx f(x) dx = f(c)(b ) jollkin c [, b], b f(x) dx = funktion f keskirvo välillä [, b] Anlyysin perusluse: Jos f : [, b] R on jtkuv, niin kikill x (, b). d dx x f(t) dt = f(x) 40
Integrli Seurus: Jos F (x) = f(x) kikill x, ts. F on funktion f ntiderivtt, niin b f(x) dx = b F (x) = F (x) x=b x= = F (b) F (). 5.5 Epäoleellinen integrli Kksi eri perustyyppiä: Tyyppi I: Integroimisvälinä [, [ ti ], b] ti koko R Tyyppi II: Funktio f : ], b[ R ei ole rjoitettu ti sillä ei ole toispuoleisi rj-rvoj päätepisteissä Tyyppi I: Esim. f : [, [ R jtkuv. Tällöin f(x) dx = lim R jos rj-rvo olemss j äärellinen. R f(x) dx, Jos f : R R jtkuv, niin f(x) dx = 0 f(x) dx + 0 f(x) dx, jos molemmt oiken puolen integrlit suppenevt Jos f(x) 0 kikill x R, niin pätee f(x) dx = lim R R R f(x) dx Tyyppi II: poistetn ongelmkoht j tutkitn rj-rvon; esim. f : ], b] R jtkuv, mutt sillä ei äärellistä rj-rvo, kun x +. Tällöin b b f(x) dx = lim f(x) dx, ε 0+ +ε jos rj-rvo on olemss j äärellinen. Tällöin snotn: epäoleellinen integrli suppenee; muuten se hjntuu. Jos ongelmi molemmiss päätepisteissä ti välin sisällä, jetn [, b] niin moneen osn, että kusskin osss vin yksi ongelmkoht: vditn, että jokinen erikseen nt äärellisen tuloksen, jolloin koko integrli = osien summ 41
Integrli 5.6 Integroimismenetelmiä Integrointi on usein vike: vikk kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, sen määrittäminen lkeisfunktioiden vull on usein hnkl ti mhdotont. Joissin tpuksiss niin voidn kuitenkin tehdä; ll tärkeimmät menetelmät, joill on myös teoreettist rvo. 5.6.1 Osittisintegrointi Osittisintegrointi: b ti ilmn rjoj f (x)g(x) dx = / b f(x)g(x) f (x)g(x) dx = f(x)g(x) b f(x)g (x) dx f(x)g (x) dx 5.6.2 Sijoitusmenetelmä Sijoitusmenetelmä: b f(g(x))g (x) dx = Käytännössä: Sijoitus u = g(x), jolloin g(b) g() f(u) du du dx = g (x) du = g (x) dx Rjojen muutos: x = u = g(), x = b u = g(b) Muunnos voidn kirjoitt myös käänteisfunktion vull: x = g 1 (u) dx = (g 1 ) (u) du = (1/g (x)) du, joten tulos on sm kuin ikisemmin. 5.6.3 Osmurtohjotelm Osmurtohjotelm: Rtionlifunktiot voidn integroid hjottmll ne yksinkertisempiin osiin. Tyypillinen esimerkki:, b R vkioit, x + b (x 1)(x 2) = A x 1 + B x 2, joss kertoimet A, B sdn selville kertomll puolittin lusekkeell (x 1)(x 2) j sijoittmll vuorotellen x = 1 ti x = 2. 42
Integrli Toinen tp: verrtn x-termien kertoimi yhtälön eri puolill. Tämän vull voidn lske x + b dx = A ln x 1 + B ln x 2 + C (x 1)(x 2) 5.7 Integroinnin sovelluksi Jos f(x) 0, niin b f(x) dx on funktion kuvjn j x-kselin rjoittmn tsolueen pint-l välillä [, b] Yleisemmin: jos 0 g(x) f(x), niin b (f(x) g(x)) dx on kuvjien y = f(x) j y = g(x) väliin jäävän lueen pint-l Funktion kuvjn y = f(x) krenpituus välillä [, b] on l = b 1 + f (x) 2 dx Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun pyörähdyspinnn pint-l on A = 2π b f(x) 1 + f (x) 2 dx Jos kpplett leiktn yz-tson suuntisell tsoll kohdss x j poikkileikkuksen pint-l on A(x), kun x [, b], niin kppleen tilvuus on V = b A(x) dx. Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, se rj pyörähdyskppleen, jonk tilvuus on V = π b f(x) 2 dx Yleisemmin: Jos 0 g(x) f(x) j kuvjien y = g(x) j y = f(x) välinen lue pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun kppleen tilvuus on V = π b (f(x) 2 g(x) 2 ) dx Huom: Tulos ei ole sm kuin π b (f(x) g(x))2 dx 43
Integrli Kun käyrä y = f(x) pyörähtää y-kselin ympäri, niin vstv tilvuus on V = 2π b xf(x) dx 5.7.1 Numeerinen integrointi (Ks. verkkoluento 49: Numericl Integrtion.) Numeerinen integrointi: Yksinkertisin tp on puolisuunniks- eli trpetsisääntö: b ( 1 f(x) dx T n = h 2 f(x 0) + f(x 1 ) + f(x 2 ) + + f(x n 1 ) + 1 ) 2 f(x n), joss h = (b )/n on skelpituus, n N jkovälien lukumäärä j x k = + kh, 0 k n, ovt jkopisteet. Prempi pproksimtio on Simpsonin sääntö b f(x) dx S n = h 3 (f(x 0)+4f(x 1 )+2f(x 2 )+4f(x 3 )+2f(x 4 )+ +4f(x n 1 )+f(x n )), joss funktiot interpoloidn 2. steen polynomill khdell peräkkäisellä jkovälillä; luvun n täytyy oll prillinen. Esimerkki 5.10. Tiedetään, että 2 1 1 dx = ln 2 = 0, 69314718.... x Lsketn sm integrli numeerisesti trpetsoidimenetelmällä. Kirjoitetn seurv MATLAB R -koodi skriptiksi ( New Script ) j tllennetn nimellä trpez.m. function I=trpez(f,,b,n) h=(b-)/n; y=0;x=; for i=1:(n-1) % kikki pitsi päätepisteet x=x+h; y=y+f(x); % korkeudet summtn muuttujn y end I=h*((f()+f(b))/2+y) % päätepisteet lisätään 44
Integrli Skripti tllennetn in smll nimellä kuin function-määrittely. Esimerkiksi edellä tllennetn nimellä trpez.m, kosk määrittely on trpez(f,,b,n). Kun skripti on tllennettu selliseen hkemistoon, jost MATLAB R sen löytää (ks. pth-komento), niin skriptiä voidn kutsu komennoll trpez. Määritellään ensin komentorivillä nonyymi funktio 1 f(x) = 1/x komentmll f=@(x)1./x. Pistettä ennen jkoviiv trvitn erottmn pisteittäinen jkolsku mtriisijkolskust. Tämän jälkeen komennetn esimerkiksi >> formt long >> trpez(f,1,2,16) ns = 0.693391202207527 j huomtn, että 16:ll jkovälillä pproksimtio on kolmen desimlin trkkuudell oikein. Esimerkki 5.11. Korvtn edellisessä esimerkissä trpetsoidimenetelmä Simpsonin menetelmällä. Tällöin tllennetn skripti function I = simpson(f,,b,n) h=(b-)/n; k=:h:b; I=h/3*(f()+2*sum(f(k(3:2:end-2)))+4*sum(f(k(2:2:end)))+f(b)) nimellä simpson.m, komennetn esimerkiksi >> simpson(f,1,2,4) ns = 0.693253968253968 1 Google: nonymous function mtlb 45
Integrli j huomtn, että jo neljällä jkovälillä Simpsonin menetelmä nt trkemmn pproksimtion kuin trpetsoidimenetelmä 16:ll jkovälillä. 46
6. Srjteori 6.1 Tylor-srjn pluu Edellä minitut numeerisen integroinnin menetelmät ovt käteviä erityisesti mittusdtn käsittelyssä, kun integroitvn funktion lusekett ei ole olemsskn. Teoreettisiss trksteluiss luseke on usein olemss, mutt integrli ei void lske suljetuss muodoss, kosk funktioll ei ole ntiderivtt. Tällöin voidn edellä minittujen menetelmien lisäksi käyttää Tylor-pproksimtioon pohjutuv menetelmää. Todistetn ensin Tylor-pproksimtion trkempi versio, joss pproksimtion virhe otetn huomioon. Luse 6.1. Jos funktio f on n + 1 kert derivoituv j derivtt f (n+1) on integroituv pisteen ympäristössä, niin pätee missä f(x) = Pf n (x; ) + En f (x; ), P n f (x; ) = f() + n k=1 f (k) () (x ) k k! on funktion f steen n Tylor-polynomi pisteen ympäristössä j x Ef n (x; ) = (x t) n f (n+1) (t) dt (6.1) n! on steen n Tylor-pproksimtion virhe. Todistus. Anlyysin perusluse snoo f(x) = f() + Käytetään osittisintegrointi termiin u = f (t), x x f (t) dt. (6.2) dv = dt, f (t) dt: setetn 47
Srjteori jost du = f (t) dt, v = t j sdn x f (t) dt = Anlyysin perusluse snoo t=x t= [ tf (t) ] x tf (t) dt = xf (x) f () f (x) = f () + x j sijoittmll tämä yhtälöön (6.3) sdn x f (t) dt = f ()(x ) + Siten yhtälö (6.2) s muodon f(x) = f() + f ()(x ) + x f (t) dt, x x Jtketn osittisintegrointi yhtälön (6.4) termiin (x t)f (t) dt: setetn jost j x (x t)f (t) dt = u = f (t), dv = (x t) dt, du = f (3) (x t)2 (t) dt, v = 2 t=x t= Siten yhtälö (6.4) s muodon [ (x t) 2 2 = f () (x ) 2 + 2 tf (t) dt. (x t)f (t) dt. (6.3) (x t)f (t) dt. (6.4) f (t) ] x + x f(x) = f() + f ()(x ) + f () (x ) 2 + 2 x (x t) 2 f (3) (t) dt 2 (x t) 2 f (3) (t) dt. 2 x Jtketn osittisintegrointi yhtälön (6.5) termiin nt u = f (3) (t), dv = x (x t) 2 2 (x t)2 2 (x t) 2 f (3) (t) dt. (6.5) 2 x (x t) 2 f (3) (t) dt: 2 dt, du = f (4) (x t)3 (t) dt, v = 3! f (3) (t) dt = f (3) () x (x ) 3 + 3! (x t) 3 f (4) (t) dt, 3! j jtkmll osittisintegrointi (induktio) yhtälö (6.5) s muodon n f (k) () x f(x) = f() + (x ) k (x t) n + f (n+1) (t) dt. k! n! k=1 48
Srjteori Luse 6.2. Jos funktio f on n + 1 kert derivoituv j derivtt f (n+1) on jtkuv pisteen ympäristössä, niin virhetermille Ef n (x; ) pätee Ef n (x; ) f (n+1) (c) x n+1 n! jollekin c, jok on pisteiden j x välissä. Todistus. Soveltmll integrlilskennn välirvolusett virhetermiin (6.1) sdn E n f (x c)n (x; ) = f (n+1) (c)(x ) n! jollekin c, jok on pisteiden j x välissä. Kosk x c x, niin E n f x c n (x; ) = f (n+1) (c) x n! x n f (n+1) (c) x = f (n+1) (c) x n+1. n! n! Esimerkki 6.3. Lsketn 10 4. 1 e x2 0 dx siten, että virhe on pienempi kuin Funktion e x potenssisrjesitys origon ympäristössä on missä e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... + xn n! + E n(x), E n (x) e c (n + 1)! xn+1 jollekin 0 < c < x. (Oikell puolell ei trvit itseisrvoj, kosk x > 0 j e c > 0.) Kun edellä sijoitetn x:n piklle x 2, sdn missä e x2 = 1 + x 2 + x4 2! + x6 3! +... + x2n + E n (x 2 ), n! E n (x 2 ) e c (n + 1)! x2(n+1) j 0 < c < x 2. (Oltisiin voitu merkitä myös e c2, 0 < c < x.) Edelleen = 1 0 1 0 e x2 dx ) (1 + x 2 + x4 2! + x6 3! +... + x2n n! dx + 1 0 E n (x 2 ) dx. Ensimmäinen os on helppo integroid, j kysymys kuuluukin: miten suuri on luvun n oltv, jott jälkimmäinen integrli on itseisrvoltn korkeintn 10 4? Tässä 1 0 E n (x 2 ) dx e c (n + 1)! 1 0 x 2(n+1) dx = e c (n + 1)!(2n + 3). 49
Srjteori Kosk 0 x 1, kosk 0 < c < x 2 1 j kosk eksponenttifunktio on ksvv, pätee e c e 1 3. Siten 1 0 E n (x 2 ) dx 3 (n + 1)!(2n + 3), jok (kokeilemll) on pienempi kuin 10 4 silloin, kun n 6. Siispä 1 1 ) e x2 dx (1 + x 2 + x4 2! + x6 3! + x8 4! + x10 + x12 dx 5! 6! 0 0 =... 1, 46264 hlutun virherjn sisällä. 6.2 Srjn suppeneminen Tässä kppleess määrittelemme trksti srjn j sen suppenemisen. Srj määritellään lukujonon vull; lukujonoist ks. Liite. Lukujonost ( n ) n N voidn muodost sen ossummien jono (s n ): n s 1 = 1, s 2 = 1 + 2, s 3 = 1 + 2 + 3,..., s n = k. Jos ossummien jonoll (s n ) on rj-rvo s R, niin snotn, että jonost ( k ) muodostettu srj suppenee j sen summ on s. Tällöin merkitään k = s. k=1 Jos srj ei suppene, niin se hjntuu. k=1 Huomutuksi: Ossummt indeksöidään smll tvll kuin jono ( k ); esim. jonon ( k ) k=3 ossummt ovt s 3 = 3, s 4 = 3 + 4 jne. Suppenevn srjn voidn tehdä summusindeksin siirtoj: esim. k = k+1 = k 1. k=1 k=0 k=2 Geometrinen srj summ on q k suppenee, jos q < 1 (ti = 0), jolloin sen k=i qi. Jos q 1, niin srj hjntuu. 1 q 50
Srjteori Suppenevien srjojen ominisuuksi: k=1 ( k + b k ) = k=1 k + k=1 b k k=1 (c k) = c k=1 k, jos c R jos k=1 k suppenee, niin lim k k = 0; ts. jos lim k k 0, niin srj k=1 k hjntuu. Esimerkki. Hrmoninen srj k=1 hjntuu, vikk srjn yleisen termin rj-rvo on noll. PERUSTELU. Srjn khdelle peräkkäiselle termille pätee 1 k 1 k 1 + 1 k > 1 k + 1 k = 2 k kikill k 2. Ryhmitellään ossummn s 2n kksi peräkkäistä termiä yhteen toisest prist lken. Näin sdn s 2n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + + 1 2n 1 + 1 2n = 1 + 1 ( 1 2 + 3 + 1 ) ( 1 + 4 5 + 1 ) ( 1 + + 6 2n 1 + 1 ) 2n > 1 + 1 2 + 2 4 + 2 6 + 2 8 + + 2 2n = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n = s n + 1 2, kun n 2. Jos srj suppenee kohti reliluku, niin yllä olevn perusteell ( = lim s 2n lim s n + 1 ) = + 1 n n 2 2, jok on ristiriit. Srj hjntuu siis kohti ääretöntä. Huom: Kosk s 1 myös perinteinen rvio = 1, niin yllä olevst epäyhtälöstä seur suorn s 2 n 1 + n 2, jok yleensä perustelln ryhmittelemällä srjn termit luvun 2 potenssien kokoisiin ryhmiin. Molemmt epäyhtälöt voidn todist myös induktioll, kunhn vin ensin keksitään epäyhtälön oike muoto. 51
Srjteori 6.3 Positiiviset srjt Srj k=1 p k on positiivinen (ti positiiviterminen), jos p k 0 kikill k. Positiivisille srjoille suppenemisen tutkiminen on suorviivist: Positiivinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono on ylhäältä rjoitettu. Syy: Positiivisen srjn ossummien jono on nousev. 6.3.1 Suppenemistestejä positiivisille srjoille Ns. mjorntti- j minornttiperitteet: Jos 0 k b k j b k suppenee, niin myös k suppenee. Jos 0 b k k j b k hjntuu, niin myös k hjntuu. Käytännössä tärkein tp suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, joss srjn termejä verrtn sopivn geometriseen srjn: Jos jostkin indeksistä lken on voimss k+1 k Q < 1, niin srj k suppenee (j "suppenemisnopeus" vst geometrist srj Q k ti on vieläkin suurempi). Edellisen kohdn käytännöllisempi versio on: k+1 Jos on olemss rj-rvo lim = q, niin k k suppenee, jos 0 q < 1, srj k hjntuu, jos q > 1, voi oll suppenev ti hjntuv, jos q = 1. Viimeisessä kohdss ei siis sd mitään tieto suppenemisest. 52
Srjteori 6.4 Vihtuvmerkkiset srjt Srj k suppenee itseisesti, jos vstv positiivinen srj k k=1 suppenee. k=1 Pätee: srjn itseisestä suppenemisest seur sen tvllinen suppeneminen, j tällöin k k=1 k. Vihtuvmerkkisten srjojen suppenemist siis tutkitn tutkimll srjn termien itseisrvoist muodostetun positiivisen srjn suppenemist edellisen kppleen testeillä. k=1 6.4.1 Vuorottelevt srjt Jos p k > 0 kikill k, niin muoto ( 1) k+1 p k k=1 olev srj on vuorottelev. ti ( 1) k p k k=1 Suhdetestin lisäksi vuorottelevn srjn suppenemist voidn tutki Leibnizin luseen vull: Jos vuorottelevss srjss k=1 ( 1)k+1 p k pätee (i) p k+1 < p k, j (ii) lim p k = 0, niin srj suppenee. Jos lisäksi srj ktkistn kohdst n, niin vstvlle jäännöstermille on voimss r n+1 < p n+1. r n+1 = s s n = k=n+1 ( 1) k+1 p k ( 1) k+1 Leibnizin luseen perusteell esim. srj k k=1 ikisemmn perusteell se ei suppene itseisesti. suppenee, vikk 53