. Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli, se ukemissuu j ollkohtie perusteell. Tämä kurssi sisällöissä o esitelty myös prbeli huipu koordittie määrittämie derivt vull. Ku esisteise polyomifuktio yhtälö o stu esii s. rtkistuss muodoss y = k + b, ii ost yleesä ilm pitkiä miettimisikoj ilmoitt ko. fuktio kuvj olev ousev suor, jos k > 0, lskev suor, jos k < 0. Vielä käsittelemätö kulmkertoime rvo k = 0 tiedott suor olev -kseli suutise. Toise stee polyomifuktioss y = + b + c kertoime etumerki merkitys hllit yleesä hyvi iki ukemissuu suhtee. Lisäksi o hyvä oppi tuistm, että itseisrvolt suuri kertoo kuvj olev kpe j ts prbeli olev sitä leveämpi, mikä lähempää oll o. Ku ryhdytää käsittelemää korkemp stett olevi polyomifuktioit, o hyvä muist, että vstv yhtälö juurie lukumäärä voi oll eitää yhtälö steluku, mikä puolest ilmoitt kuvj j -kseli leikkuspisteide lukumäärä j sijii, jos yhtälö o osttu rtkist. Pelkkä ollkohtie tietämie (joit välttämättä ei edes ole yhtää) ei vielä pljo ut tilteess, joss kuvj tulisi hhmotell. O esiksiki syytä oppi sisäistämää se yleie tosisi, että polyomifuktioss korkeimm stee termi etumerkillä o vhv vikutus kuvj muotoo oi pääpiirteissää. Jos tähä tietoo vielä pystytää yhdistämää derivt merki yhteys fuktio itoo ksvmisee/väheemisee, sekä ymmärtämää, että derivt merki vihtuess myös fuktio ksvusuut vihtuu, jolloi void määrittää fuktio s. piklliset äärirvot, ii kuvj piirtämisee vdittv tietämys o ksss. Selvitetää esi, mikä merkitys o polyomifuktio korkeit stett olev termi kertoime etumerkillä. Oletet siis, että fuktio määrittelyjoukko o koko relilukuje joukko R j että fuktio o määritelty vi yhdellä lusekkeell, jolloi ilm muut tiedetää fuktio olev derivoituv j jtkuv. Suljet iki tässä viheess trkstelu ulkopuolelle s. ploitti määritellyt fuktiot.
****************************************************************** LAUSE 8 Tod. Olkoo P koko R:ssä määritelty polyomifuktio, joss >. Fuktioll P: P () = + +... + + 0 ei ole suurit eikä pieitä rvo, jos o prito ei ole suurit rvo, mutt o bsoluuttie miimirvo, jos o prillie j positiivie ei ole pieitä rvo, mutt o bsoluuttie mksimirvo, jos o prillie, mutt egtiivie. Olkoo prito: lim P() = lim P() = lim lim ( ( + + +... + +... + + 0 ) + = 0 ). = Rj-rvo äärettömyydessä o itseisrvolt ääretö ti miiusääretö, mutt smmerkkie kui kerroi. Smoi o rj-rvo miius-äärettömyydessä itseisrvolt ääretö, mutt vstkkismerkkie kui kerroi. Toisess päässä relikseli fuktio rvot ksvvt yli kikkie rjoje j toisess päässä e väheevät. Mitää yksikäsitteistä suurit ti pieitä rvo ei ole. Olkoo prillie j positiivie lim P() = lim ( + +... + lim P() = lim ( + +... + + 0 + ) = 0 ) = = = Ku muodostet fuktio P derivtt, tämä steluku o prito. Hyvi pieillä : rvoill P o egtiivie j P idosti väheevä. Hyvi suurill : rvoill P o positiivie j P idosti ksvv. (lusee esimmäie koht) Stt oll, että derivtt P viht
merkkiää useitki kertoj, mutt kosk P o jtkuv suljetull välillä, jok lkupiste o derivt piei j loppupiste derivt suuri ollkoht, ii fuktio P s tällä välillä suurimm j pieimmä rvos. Näistä pieimmistä rvoist yksi o fuktio bsoluuttie miimirvo. Fuktio P ei site voi sd rvo. Olkoo prillie j egtiivie lim P() = lim P() = lim lim ( ( + + +... + +... + + + 0 ) = 0 ) = = = Fuktio P ei yt voi svutt rvo +, mikä todistet vstvsti kui tpus, missä o prillie j positiivie. ****************************************************************** Esim. Fuktio P steluvu j korkeit stett olev termi kertoime etumerki muk void pääpiirtei hhmotell iv tuistettvsti polyomifuktioide kuvji: < 0 > 0 Esim. Kolme stee polyomifuktio
< 0 > 0 Esim. Neljäe stee polyomifuktio Esim. Viidee stee polyomifuktio. Oko < 0 vi > 0? Plutet mielii fuktio pikllise j bsoluuttise rvo määritelmä:
****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 9 Fuktio f svutt jollki välillä (voi oll voi ti suljettu, mhdollisesti koko R) (globlise) bsoluuttise mksimirvo pisteessä 0, jos väli jokisess pisteessä f( 0 ) > f(). Jos yhtäsuuruus suljet pois, puhut idost mksimirvost. Tällisest : rvost käytetää imitystä mksimipiste ti mksimikoht. Sot edellee, että fuktioll o pisteessä 0 pikllie mksimirvo, jos o olemss joki pistee 0 ympäristö, jok jokisess pisteessä f( 0 ) > f(). Käätämällä sopimuksiss esiityvät epäsuuruusmerkit toisi päi tull määritelleeksi bsoluuttie miimirvo j pikllie miimirvo. ****************************************************************** Edellä käsiteltyje sioide ojll o ilmeistä, että piklliste äärirvoje määrittämie o kiiteässä yhteydessä derivtt. Oh selvitetty, että jos fuktioll o pikllie äärirvo pisteessä c j fuktio o derivoituv tässä pisteessä, ii f (c) = 0. Ei kuitek ole täysi selvää, oko fuktioll tällisess pisteessä pikllie mksimi viko miimi j oko derivt ollkohdss sitte i äärirvo? Lieee kuiteki ymmärrettävissä, että jos fuktio josski pisteessä muuttuu ksvvst väheeväksi j o tässä pisteessä jtkuv, ii kyseisessä pisteessä fuktioll o pikllie mksimirvo. Vstvsti fuktio muuttuess väheevästä ksvvksi, fuktioll o tällisess pisteessä miimirvo, kuh fuktio vi o jtkuv. Tulokset void koot luseeksi: ****************************************************************** LAUSE 9 Olkoo f jtkuv fuktio välillä I. Tällöi väli I pisteessä c fuktioll f o pikllie mksimirvo f(c), jos o olemss pistee c ympäristö, joss f () > 0, ku < c f () < 0, ku > c.
Fuktioll f o pisteessä c pikllie miimirvo f(c), jos o olemss pistee c ympäristö, joss f () < 0, ku < c f () > 0, ku > c. Tod. : Jälkimmäie tpus: < c, fuktio f idosti väheevä c > c, fuktio f idosti ksvv. Pisteessä = c fuktio muuttuu idosti väheevästä idosti ksvvksi, jote f(c) o pikllie miimirvo (voi oll bsoluuttieki miimi). Huom, että pisteessä = c fuktio ei trvitse oll derivoituv, mutt pistee c ympäristössä derivoituvuus oletet. Kuiteki, jos f o derivoituv myös pisteessä c, ii f (c) = 0. Huom myös, että ellei derivtt vihd merkkiää pisteessä = c, ii f(c) ei ole äärirvo. ****************************************************************** Esim. Piirrä pääpiirtei fuktio P: P() = + 6 + 5 kuvj. P() o polyomifuktio kikkill R:ssä derivoituv j site jtkuv. Edellee P () = + 6 = ( + ). Merkitsemällä derivtt ollksi joudut kolme stee yhtälöö, mikä voi oll vike si. Kurssiss MAA o tutustuttu siihe, että jos korkemm stee ormlimuotoisell yhtälöllä o juuri, ii vsemp puole olev polyomi o jollie tutemttom j juure erotuksell. Yhtälöstä P () = 0 ( + ) = 0 + = 0
ähdää heti, että = o yksi juuri. Triomi + tulee tällöi oll ts jollie biomill. Ku jko suoritet, sd osmääräksi + + j derivtt o esitettävissä tulo P () = ( )( + + ), missä jälkimmäisellä tekijällä ei ole ollek ollkohti, sillä yhtälö + + = 0 diskrimitti D = = 8 = < 0. Derivt merki määrää tällöi tekijä yksi. Ldit kuiteki derivt merkkikvio: ( ) + + + = 0 + + P () + P() väheee idosti ksv idosti P() = + 6 + 5 = j tämä o pikllie miimi j smll io äärirvo myös bsoluuttie miimi. Piirtämistä vrte lsket vielä joiti irtopisteitä tulukkoo: 0 ½ ½ P() 5 0 6 Huom, että seurv sivu kuvj ei ole prbeli, vikk joki verr selliselt äyttää. Kuv o otettu vi hyvi kpelt -kseli väliltä, sillä fuktio rvot ksvvt hyvi jyrkästi, ku ksv (ti meee egtiivise -kseli suut).
6 5 0 0 0,5,5 Kuv Esim.
TÄSTÄ KOHTAA PUUTTUU PÄTKÄ TEKSTIÄ Yhtälölle y () = 0 8 + 6 = 0 löydetää yksi juuri väliltä [0, ], sillä y(0) = < 0 j y() = 9 > 0. Ke thtoo, voi hrukoimll etsiä tämä juure likirvo mite trksti vi hlu, j void lisäksi todist, ettei tämä juuri ole rtiolie. Tässä esimerkissä ei kyetä ollek rtkisem yhtälöä y () = 0, mutt toise derivt vull kyetää osoittm, että derivtll y () o täsmällee yksi ollkoht, missä se viht merkkisä egtiivisest positiiviseksi. Tämä ts kertoo se, että fuktioll y o täsmällee yksi pikllie äärirvo, jok smll o bsoluuttie miimi. Se suuruutt ei määritetty, mutt se likirvo voi etsiä hlutull trkkuudell, ke thtoo. Pe työkluvrstoosi i trvittess käsille otettvksi keio, derivtt (y ) voi tutki derivt derivt (y ) vull. Tällä keioll pääsee moesti rtkisuu differetililske vikeimmiss, teori syvällisempää ymmärtämistä vtiviss tehtävissä. Esim. Osoit, että yhtälöllä 6 + 9 = o täsmällee kolme rtkisu. Huom, että tehtävässä ei käsketä rtkist yhtälöä, ei keties voik, v o osoitettv kolme juure olemssolo. Tärkeä ekvivlessi: yhtälöllä 6 + 9 = 0 o juuri fuktioll P() = 6 + 9 o ollkoht. Siirrytää tutkim koko R:ssä derivoituv j site jtkuv fuktiot P(), jolle P () = + 9 = ( + ) P () = 0 + = 0 = ti =. P () = ( ) = 6( ) P () = 6( ) < 0, jote P() = o pikllie mksimi. P () = 6( ) > 0, jote P() = o pikllie miimi.
Ku lähtee ksvm :stä, ii fuktio P idosti ksv i : rvoo = skk. Alueess < ei voi oll kui yksi ollkoht. Kosk heti ähdää, että P(0) =, ii yksi ollkoht vrmsti o välillä 0 < <. Fuktio o idosti väheevä välillä < < j ku P() =, ii ko. välillä myös o täsmällee yksi ollkoht. Ku >, ii P o idosti ksvv. Kosk P() = 95 > 0, ii täsmällee yksi ollkoht löytyy vielä väliltä < <. Usempi ollkohti ei voi oll, mikä void sitovsti t tiedoksi jo yhtälö steluvu perusteell. Fuktioll P() = 6 + 9 o kolme ollkoht, mikä o yhtäpitävää se kss, että yhtälöllä 6 + 9 = 0 o kolme rtkisu. Huom, että derivtst o pu. Jos imittäi tiedettäisii, että jtkuvll fuktioll o jollki suljetull välillä erimerkkiset päätepistervot, ii tästä voi päätellä ilm tieto derivt merkistä vi se, että tällä välillä o vähitää yksi ollkoht. Toislt jolli fuktioll voivt joki väli päätepistervot oll smmerkkiset j fuktioll silti oll ollkoht tällisell välillä. Tätä voi oll vike hvit, jos väli o kovi kpe. All srjkuvi: Esim. 5 Määritä vkio site, että yhtälöllä + = 0 o täsmällee kksi rtkisu.
Yhtälöllä + = 0 o täsmällee kksi rtkisu Polyomifuktioll P() = + = 0 o täsmällee kksi ollkoht. P o derivoituv j site jtkuv koko R:ssä. Derivtt P () = s rvo oll, ku = ti =. Derivt merkkikvio P () + + P() ks väheee ks mukisesti P( ) = + o pikllie mksimirvo j P() = o pikllie miimirvo. Jott fuktioll olisi täsmällee kksi ollkoht, o joko pikllise mksimi- ti pikllise miimirvo oltv ts oll. Täte sd vkio määrittämiseksi kksi yhtälöä. = 0 ti + = 0, joist rtkisut = tikk =. Pääpiirteiset kuvjt.
Huom, että jos olisi edellytetty etulle yhtälölle vi yhtä rtkisu, tulisi piklliste äärirvoje kumpiseki oll smmerkkiset. Kolme juure tpuksess piklliste äärirvoje tulisi oll erimerkkiset. Yksi rtkisu kolme rtkisu