Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) TEKIE YTEEVETO I Otata-asetelmat ja estimoitiasetelmat Perusjouo ja muuttujat Äärellie perusjouo U = {,...,,..., } Tulosmuuttuja y tutemattomat arvot Y,,Y,,Y Apumuuttuja z tuetut arvot Z,,Z,,Z Perusjouo parametrit Äärellise perusjouo U parametrit Kooaismäärä T = = Y = Y + Y +... + Y Kesiarvo Y =T/ Suteellie osuus R = T /T Otata-asetelma ja otos Otos s o perusjouo U osajouo Perusjouo U aiie madolliste (<) ooiste otoste jouo S Toteutuut otos s= {,...,,..., }, missä s o ysi madollisista otosista jouossa S Otosysiöt poimitaa soveltuvaa arpomismeettelyä eli otatameetelmää (SRS, SYS, PPS) äyttäe Otose s poimitatodeäöisyys p(s) Perusjouo alio sisältymistodeäöisyys π (0 < π ) Otata-asetelmasi (samplig desig), p ( ), saotaa iide säätöje ja meetelmie ooaisuutta, joilla otos poimitaa määritellystä perusjouosta.
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) Perusjouo parametri θ estimaattori ˆ θ : Lasetaaava tai laseta-algoritmi Estimaattori odotusarvo E( ˆ θ ) = ( ) ˆ s S p s θs arato (ubiased) estimaattori: E( ˆ θ) θ = 0 ara (Bias): Bias( ˆ θ ) = E( ˆ θ) θ Taretuva (cosistet) estimaattori: E( ˆ θ ) läestyy parametria θ u asvaa, ja ytyy parametrii, u =. Estimaatti: Otosesta lasettu estimaattori umeerie arvo Estimaattori asetelmavariassi V ( ˆ θ ): ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V( θ ) = s S p( s)( θs E( θ)) = E( θ E( θ)) missä otose s poimitatodeäöisyys o p (s) >0 Estimaattori esieliövire (Mea squared error MSE) ˆ ˆ ˆ MSE( θ ) = E( θ θ) = V ( θ) + Bias ( ˆ θ) ˆ s Variassiestimaattori v p( ) : Otata-asetelmaspesifi aalyyttie lausee tai approsimatiivie variassiestimaattori Estimoitu esivire: s. e( θˆ) = vˆ( θˆ ) (stadard error) Estimaattori estimoitu suteellie esivire (relative stadard error) eli variaatioerroi (coefficiet of variatio): c.v( ˆ θ ) = v ˆ( θ ˆ ) /θˆ = seθ.( ˆ)/ ˆ θ Estimoitu asetelmaerroi (desig effect) deff ( θˆ) = vˆ vˆ p( s) SRS ( θˆ) ( θˆ) missä p() s viittaa äytettyy otata-asetelmaa SRS o ysiertaie satuaisotata (WR tai WOR) deff = deff < deff > Otata-asetelma o ytä teoas ui SRS Otata-asetelma o teoaampi ui SRS Otata-asetelma o teottomampi ui SRS
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) 3 Ysiertaie satuaisotata SRS Sisältymistodeäöisyys π = / o vaio Kooaismäärä T estimaattori (arato) tˆ = y = y = /, missä y o otosesiarvo ja perusjouo oo ˆ t = wy = y = y, = = π = missä w =/ o otospaio (alio sisältymistodeäöisyyde π = / ääteisluu) Asetelmavariassi (parametri) SRSWOR-poimialle missä = () ˆ V t = ( ) ( Y Y) /( ) = ( )( ) S SRS Y = = Y / o perusjouo esiarvo S = = ( Y Y ) /( ) o perusjouo variassi ( ) o äärellisyysorjaus (fpc, fiite populatio correctio) Variassiestimaattori (arato) ˆ vˆsrs () t = ( )( ) ( y y) /( ) = ( )( ) sˆ, = missä y = = y / o otosesiarvo sˆ = = ( y y) /( ) o otosvariassi UOM: SRSWR-otaassa fpc = ( ) UOM: Erioistapausea Beroulli-poimita (s. Survey samplig referece maual, s. 5 ja Appedix, atsotaa läemmi demoissa).
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) 4 Systemaattie otata SYS Sisältymistodeäöisyys π = / o vaio Kooaismäärä T estimaattori (arato) tˆ = y = / Asetelmavariassi q ˆ ˆ ˆ sys j SRS j= V () t = ( t T ) / q = V ()( t + ( ) ρ ) = SSB, missä tˆ j o j:e systemaattise otose ooaismäärä estimaattori q=/ o poimitaväli SSW ρ it = o sisäorrelaatioerroi, missä äytetää SST AOVA-eliösummaajoitelmaa SST = SSW + SSB. Asetelmaerroi (parametri) V () ˆ sys t DEFF () ˆ sys t = = + ( ) ρ V () tˆ srs Systemaattie otata o ysiertaisee satuaisotataa verrattua: - teoaampi, jos /( ) < ρ it < 0, - ytä teoas, jos ρ it = 0, - teottomampi, jos 0 < ρ it < Variassiestimaattori Kute SRS, jos oletetaa, että yseessä o satuaisjärjestysessä oleva perusjouo (jolloi sisäorrelaatio = 0) Kute STR (ositettu otata, suteellie iitiöiti), jos oletetaa implisiittie ositus (perusjouo alioide lajittelu ee SYSpoimitaa) it it
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) 5 Ositettu otata STR Ositteide oot, ositteet,,,,: + +... +... +, = missä o osittee alioide luumäärä o ositteide luumäärä o perusjouo alioide luumäärä STR-otos poimitaa ustai ositteesta itseäisesti Otosoot: + +... + +... + = Estimaattorit ovat ositeotaiste estimaattoreide paiotettuja summia, paioia ositepaiot W /. = Kooaismäärä T estimaattori tˆ str o paiotettu summa ositeesiarvoista y y / = = tˆ str = W y = tˆ = tˆ = = +... + tˆ +... + tˆ, missä t ˆ = y o ooaismäärä estimaattori ositteessa Asetelmavariassi (SRS ositteissa) V str (ˆ t str ) = V = srs (ˆ t ) Variassiestimaattori (arato) vˆ str (ˆ t str ) = vˆ = srs (ˆ t )
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) 6 Kiitiöiti (allocatio) Suteellie iitiöiti (proportioal allocatio) Tasaiitiöiti (equal allocatio) Optimaalie (optimal allocatio) eli eyma iitiöiti Baier iitiöiti (Baier or power allocatio) Suteellie iitiöiti: Lisätieto: osittee oo Otosoo ositteessa, pro = = W Sisältymistodeäöisyys o vaio π = π = / Kooaismäärä estimaattori tˆ str = tˆ = y / = = Meetelmää utsutaa itsepaiottuvasi (self-weigtig), osa ositeotaisia esiarvoja ei laseta UOM: Muissa iitiöitimeetelmissä sisältymistodeäöisyydet vaitelevat ositteide välillä (mutta ovat vaioita ositteide sisällä) Tasaiitiöiti: = / ussai ositteessa. Jos ositteide oot vaitelevat, ii sisältymistodeäöisyydet vaitelevat: π = / = /( ) aliolle ositteessa Asetelmapaiot ovat w = / Optimaalie eli eyma-iitiöiti: Ositteide otosoot määräytyvät ytälöstä S =. = S missä S (lisätieto) o muuttuja y (tuettu) esiajota ositteessa
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) 7 PPS-otata (Probability Proportioal to Size) Oletetaa, että perusjouo alio ooa mittaava muuttuja arvo Z o tuettu joaiselle perusjouo aliolle Alio suteellie oo p = Z / T, =,, missä z Tz = = Z Kriteerit estimoii teostumiselle Kooa mittaava muuttuja z oma vaitelu muistuttaa tutittava muuttuja y vaitelua (voimaas orrelaatio) Apumuuttuja z ja tutittava muuttuja y sude o madollisimma läellä vaiota Jos sude o läes vaio aiilla perusjouo ysiöillä, ii estimaattori asetelmavariassi saa piee arvo PPS-otose poimita, eri tapoja: PPS_SYS PPS_WOR PPS_WR PPS_RC PPS_Poisso Systemaattie PPS Kumulatiivise summa meetelmä (WOR) Kumulatiivise summa meetelmä (WR) Rao-artley-Cocra-poimita Poisso-poimita Sisältymistodeäöisyydet π ovat suteessa ysiöide suteellisii ooii p = Z / T. Esim PPS_WR ja PPS_SYS: π = p z UOM: SRS_WR-poimiassa p = / joaiselle. Luua / utsutaa alio ysittäise poimia poimitatodeäöisyydesi (sigle-draw selectio probability) Sisältymistodeäöisyys ooise otose aliolle o site π = p = /
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) 8 PPS_WR: Kumulatiivise summa PPS-poimita Työvaieet: ) Lase ullei aliolle apumuuttuja z umulatiivie summa: G = Z, =,,, G = T z. j= ) Perusjouo esimmäisee alioo (a ) liitetää väli [, ] G ooaisluvut Toisee alioo (a ) liitetää väli [ G ] G + ooaisluvut, Yleisesti aliolle (a ) liitetää väli [ G, ] 3) Poimi satuaisluu väliltä [ ] G + ooaisluvut,g. Se alio tulee otosee, joa poimitavälii satuaisluu uuluu 4) Toista vaie 3) ues alio otos o poimittu. Perusjouo alio suteellie oo p : Z p = = Z = Z T z. ja sisältymistodeäöisyys π : Z π = = p T z
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) 9 PPS_SYS: Systemaattie PPS-poimita Työvaieet: ) Lase poimitaväli q = Tz / ) Geeroi satuaismuuttuja suljetulta väliltä [, q] Poimitaumerot alio otosta varte ovat: q q + q, q + q,..., q + ( ) q 0, 0 0 0. Oloot se q 0. 3) Kussai poimiassa otosee otetaa esimmäie alio eiolistalta, jossa umulatiivie oo G o suurempi tai ytäsuuri ui poimitaumero. Sisältymistodeäöisyys o π = p Aliotaso paioerroi w = / π = /( p ) = T /( Z ) z UOM: Sisältymistodeäöisyyde tulee täyttää eto π. Jos Z o yvi suuri, voi sisältymistodeäöisyys olla >. Tällaiset aliot otetaa otosee s. varmoia alioia eli iille alioille sisältymistodeäöisyys π = joilla Z > = Z. Varmat aliot laitetaa ui omaa ositteeseesa (ositettu PPS). Jäljelle jäävie ysiöide sisältymistodeäöisyys π määritellää uudellee ooa mittaava muuttuja suteessa. Esim: Asetelma PPS_SYS_STR Kesi-Suome uta-aieistossa.
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) 0 Kooaismäärä estimaattorit PPS_WOR: orvitz-tompso-estimaattori T = = w y = π = tˆ y missä π o alio sisältymistodeäöisyys PPS_WR: ase-urwitz-estimaattori y ˆ t (ˆ... ˆ... ˆ = = t + + t + + t), = p missä ui t ˆ = y / p o ooaismäärä T estimaatti Asetelmavariassi V ppswr (ˆ t ) = = p Y ( p Y ) = = p ( T T ), missä T = Y / p ja Y o perusjouo esiarvo. UOM: Jos joaiselle perusjouo aliolle o voimassa sude o vaio, ii asetelmavariassi = 0 Variassiestimaattori (arato) Y / Z C eli = y vˆ (ˆ ) ( ) (ˆ ˆ ppswr t = y = t t ( ) = p ( ) = missä y o otosesiarvo ), UOM: WR-variassiestimaattoria äytetää approsimaatioa PPS_SYS-ja PPS_WOR-otaassa