ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015
Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset Maxwellin yhtälöt Vektoripotentiaali Magneettiset rajapintaehdot Induktanssi Magneettinen energia 2 (18)
Lorentzin voimalaki Kun varaus q liikkuu E- ja B-kentässä nopeudella u, siihen kohdistuu sähkömagneettinen voima F = q (E + u B) B F m q u Varaus voi magneettisen voiman F m = q u B takia esim. päätyä ympyräradalle. 3 (18)
Virtajohtimeen vaikuttava magneettinen voima A dv = A dl + + ρ v u + + I Tarkastellaan virtajohtimen pätkää ulkoisessa magneettikentässä. Virtajohtimessa on varaustiheys ρ v joka liikkuu nopeudella u. dl Varaukseen dq kohdistuu magneettinen voima J = ρ v u, I = A ρ v u df m = dq u B = ρ v A dl u B = ρ v Au dl B = I dl B. Integroimalla saadaan virtasilmukkaan kohdistuva magneettinen voima: F m = I dl B C 4 (18)
Magneettinen momentti ja vääntömomentti n Magneettinen momentti on A NI m = n m = n NIA, kun käämissä on N kierrosta. Jos käämi (tai virtasilmukka, N = 1) on tasaisessa ulkoisessa magneettikentässä, saadaan vääntömomentti T = m B Mekaaninen vääntömomentti on voima kertaa vipuvarsi: F d T = d F 5 (18)
Biot Savartin laki dh R R dl I Virtajohtimen alkio dl synnyttää magneettikenttäalkion dh = I 4π dl R R 2. (Huomaa oikean käden kiertosuunta ja etäisyysriippuvuus 1/R 2.) Integroimalla virtajohtimen yli saadaan Biot Savartin laki H = I dl R 4π l R 2 6 (18)
Suoran virtalangan magneettikenttä Biot Savartin lain avulla saadaan θ 2 H = φ I 4πr (cos θ 1 cos θ 2 ) I r H ja erikoistapauksena θ 1 = 0 ja θ 2 = π saadaan äärettömälle virtalangalle θ 1 H = φ I 2πr. 7 (18)
Magneettinen dipoli E H H + I N S (a) Electric dipole (b) Magnetic dipole (c) Bar magnet re 5-13 Sähköisen Patterns of (a) jathe magneettisen electric field of an electric dipolin dipole, kentät (b) the magnetic ovat hyvin field of asamalaiset magnetic dipole, and (c) netic field of a bar magnet. Far away from the sources, the field patterns are similar in all three cases. p E = ( R 4πεR 3 2 cos θ + θ ) sin θ, H = m ( R 4πR 3 2 cos θ + θ ) sin θ, missä R dipolin tai silmukan koko. 8 (18)
Magnetostaattiset Maxwellin yhtälöt Differentiaalimuodossa B = 0 H = J B =µh Integroimalla tilavuuden yli ja käyttämällä Gaussin lausetta saadaan integraalimuotoinen magneettinen Gaussin laki S B ds = 0 Magneettisia varauksia ei ole, joten magneettivuo on aina lähteetön. Sen sijaan magneettikentänvoimakkuus ei välttämättä ole konservatiivinen eli pyörteetön. 9 (18)
Lävistyslaki (integraalimuotoinen Ampèren laki) Integroidaan Ampèren laki mielivaltaisen pinnan S yli S H = J ( H) ds = S J ds = I Stokesin lauseen avulla saadaan lävistyslaki C H dl = I missä C on pinnan S oikean käden kiertosuunnan mukainen reunakäyrä ja I on kokonaisvirta pinnan S läpi. Milloin lävistyslailla voidaan laskea magneettikenttä? 10 (18)
Esim: ääretön suora virtajohdin Olkoon z-akselilla a-säteinen virtajohdin, jossa virtajakauma on tasainen ja kokonaisvirta +z-suuntaan on I. Symmetrian takia magneettikenttä on tällöin muotoa H = φ H(r ). (Miksi?) Valitsemalle r -säteinen ympyrä integrointipoluksi saadaan C H dl = 2π 0 πr 2 H(r ) φ φ r dφ = 2πr H(r ) = πa 2 I, r < a I, r a H I r I 2πa H = 2πa φ, I 2πr φ, r < a r a a r 11 (18)
Vektoripotentiaali Magneettivuontiheys on lähteetön, B = 0, joten se voidaan esittää vektorifunktion roottorin avulla B = A Vektoripotentiaali A on apusuure, joka ei liity potentiaalienergiaan. Vektoripotentiaalin divergenssi ei vaikuta B-kenttään, joten voidaan valita A = 0. Kun lisäksi oletetaan µ vakioksi, saadaan Poissonin yhtälö vektoripotentiaalille ( ) 1 H = J µ A = J ( A) 2 A = µ J 2 A = µ J 12 (18)
Annetun virtajakauman vektoripotentiaali Vertaamalla sähköstatiikan yhtälöihin 2 V = ρ V v ε, V = ρ v dv 4πεR, saadaan 2 A = µ J, A = V µ J dv 4πR missä R on etäisyys tarkastelu- ja integroimispisteen välillä. Kentän laskeminen vektoripotentiaalin kautta dv J A B voi olla helpompaa kuin suoraan Biot Savartin lailla. 13 (18)
Lankavirran vektoripotentiaali ja kenttä Jos virtajakauma on ohut virtajohdin, tilavuusintegraali muuttuu polkuintegraaliksi µi dl A = 4πR = µi dl 4π R, l missä R ja dl ovat kuten Biot Savartin laissa. Roottorin avulla voidaan laskea magneettikentänvoimakkuus H = 1 µ A = I 4π dl R, mistä saadaankin Biot Savartin laki H = I ( 1 ) dl = I ( 1R ) 4π R 4π 2 R dl = I 4π l l l l l dl R R 2. 14 (18)
Magneettiset rajapintaehdot Kahden väliaineen rajapinnalla Magneettivuontiheyden normaalikomponentti B norm on aina jatkuva. Magneettikentänvoimakkuuden tangentiaalikomponentti H tang on jatkuva, jos rajapinnalla ei ole pintavirtaa. (Pintavirta J s voi esiintyä vain ideaalijohteen pinnalla. Se ei ole kovin kiinnostava tapaus magnetostatiikassa.) 15 (18)
Induktanssi Tarkastellaan aluksi pintaa S, jonka reunalla C kulkee virta I, joka synnyttää magneettikentän. Laskemalla magneettivuo silmukan (pinnan S) läpi, Φ = B ds, voidaan määritellä silmukan induktanssi L = Φ/I. S Jos yksittäisen virtasilmukan sijaan on kela, jossa virta I kulkee N kierrosta, määritellään käämivuo ja itseisinduktanssi Λ = NΦ L = Λ I 16 (18)
Keskinäisinduktanssi Tarkastellaan kahden kelan järjestelmää: Kelassa 1 on N 1 kierrosta, jossa kulkee virta I 1. Tämä synnyttää magneettivuontiheyden B 1. Osa tästä magneettivuosta kulkee kelan 2 läpi, jolloin saadaan virran I 1 synnyttämä käämivuo kelassa 2: Λ 12 = N 2 Φ 12 = N 2 S 2 B 1 ds Tämän käämivuon avulla määritellään keskinäisinduktanssi L 12 = Λ 12 I 1 17 (18)
Magneettinen energia Kelaan varastoitunut energia voidaan ilmaista piirisuureiden avulla muodossa W m = 1 2 L I2 ja magneettikenttään varastoitunut energia on W m = 1 2 µ V H 2 dv Vertaa kondesaattorin sähköstaattiseen energiaan: W e = 1 2 C V 2, W e = 1 2 ε V E 2 dv. 18 (18)