ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

Transkriptio

1 ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen /IV V

2 Luentoviikko 5 Tavoitteet Magneettikenttä ja magneettiset voimat Virtajohdin magneettikentässä Virtasilmukka magneettikentässä Tasavirtamoottori Hallin ilmiö Magneettikentän lähteet Liikkuvan varauksen magneettikenttä Virta-alkion magneettikenttä Suoran virtajohtimen magneettikenttä Virtajohtimien välinen voima Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Lävistyslaki Lävistyslain sovelluksia Magneettiset materiaalit Magneettisesti leijutettu mansikka: diamagnetic/ 2 (34)

3 Luentoviikko 5 Tavoitteet Tavoitteena on oppia miten tutkitaan virtajohtimiin vaikuttavaa magneettista voimaa miten virtasilmukat käyttäytyvät magneettikentässä yksittäisen liikkuvan varauksen tuottaman magneettikentän luonne miten miten kuvaillaan virta-alkion tuottama magneettikenttä miten lasketaan pitkän suoran virtajohtimen tuottama magneettikenttä miksi samansuuntaisia virtoja kuljettavat johtimet vetävät toisiaan puoleensa ja miksi vastakkaissuuntaisia virtoja kuljettavat johtimet hylkivät toisiaan miten pyöreän virtasilmukan magneettikenttä lasketaan mikä lävistyslaki (Ampèren laki) on ja mitä se magneettikentistä kertoo miten lävistyslakia käytetään symmetristen virtajakautumien magneettikentän laskemiseen 3 (34)

4 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27(6 9)) Virtajohdin magneettikentässä Virtajohtimeen kohdistuva magneettinen voima Johtimessa positiivinen varaus ajautuu ylöspäin (nopeus v d ) ja A F = q v B Varaustiheys n = johtimen l-pituisessa osassa on nal varausta Osassa liikkuviin varauksiin kohdistuu kokonaisvoima F = (nal)(qv d B) = (nqv d A)(lB) F v d q l Virrantiheys J = nqv d = I/A, joten F = (JA)(lB) = IlB J 4 (34)

5 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27(6 9)) Virtajohdin magneettikentässä Käyräviivaiset johtimet Jos johdin ja magneettikenttä eivät ole kohtisuorassa, voima F = I l B (virran kulkusuunta = l:n suunta) Pätee myös negatiivisille virrankuljettajille (q e, v d v d ) Käyräviivainen johde jaetaan suoriin osiin d l, joten d F = I d l B (virta-alkioon kohdistuva magneettinen voima) ja kokonaisvoima saadaan integroimalla johdinta pitkin 5 (34)

6 Virtasilmukka tasaisessa magneettikentässä Ylhäältä (+z-suunnasta) F Sivulta ( y-suunnasta) z y A, µ F F a B z I x F F B φ φ b b F b = bcosφ Voimaparien ± F ja ± F nettovoima on nolla Voimapari ± F aiheuttaa vääntömomentin y-akselin suhteen

7 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27(6 9)) Virtasilmukka magneettikentässä Magneettidipoli Edellä voima F = IaB ja F = Ib B = IbBcosφ (muista: tasainen B) Voiman F aiheuttama vääntömomentti τ = 2(b/2)F sinφ = IabBsinφ ab=a = IABsinφ Vääntömomentin amplitudilla on maksimi, kun φ = 90, ja minimi, kun φ = 0 tai 180 Tulo IA def = µ on silmukan magneettinen dipolimomentti tai magneettinen momentti: τ = µbsinφ tai τ = µ B Virtasilmukka tai muu vääntömomenttia lausekkeen mukaisesti kokeva kappale magneettikentässä on magneettidipoli Magneettisen momenttivektorin µ = I A suunta (= peukalo) saadaan oikean käden säännöllä virran kiertosuunnasta (= sormet); µ on kohtisuorassa virtasilmukan tasoa vastaan 8 (34)

8 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27(6 9)) Virtasilmukka magneettikentässä Magneettidipolin potentiaalienergia Magneettikenttä pyrkii kääntämään magneettidipolin niin, että µ on samansuuntainen B:n kanssa (vääntömomentti nollaksi) Jos kenttä kääntää dipolia, se tekee työtä Sähkökentän sähködipoliin aiheuttaman vääntömomentin lauseke ( τ = p E) on samannäköinen magneettikentän magneettidipoliin aiheuttaman vääntömomentin kanssa, joten vuorovaikutusten symmetrian perusteella U µ = µ B (magneettidipolin potentiaalienergia) (muista: sähködipolille sähkökentässä U = p E) 9 (34)

9 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27(6 9)) Virtasilmukka magneettikentässä Yleinen virtasilmukka Edelliset tulokset (vääntömomentti ja potentiaalienergia) johdettiin suorakaiteen muotoiselle virtasilmukalle Tulokset pätevät mielivaltaiselle tasomaiselle virtasilmukalle, päättely: Jaetaan epäsäännöllinen tasosilmukka vierekkäisiin (äärettömän) kapeisiin suorakaidesilmukoihin Vain suorakaiteiden ulkoreunojen virrat vaikuttavat, sisäreunojen vaikutukset kumoutuvat pareittain Jos N-kierroksinen solenoidi (kela) on tasaisessa magneettikentässä, µ = NIA = τ = NIABsinφ Dipolimomentti on solenoidin akselin suuntainen ja magneettikenttä pyrkii kääntämään solenoidin itsensä suuntaiseksi Magneettidipolin sovelluksia: d Arsonvalin galvanometri, MRI-kuvaus (engl. magnetic resonance imaging) 10 (34)

10 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27(6 9)) Virtasilmukka magneettikentässä Virtasilmukka epähomogeenisessa magneettikentässä Tasaisessa magneettikentässä virtasilmukkaan ei kohdistu nettovoimaa Kestomagneetin S-navan epähomogeenisessa magneettikentässä virtasilmukka, jonka dipolimomentti osoittaa kohti kestomagneettia, pyrkii kohti napaa (entä pohjoisnavalla?) N S µ Elektronilla on spininsä ansiosta magneettinen momentti Rauta-atomeissa (toisin kuin useimmissa muissa aineissa) monien elektronien momentit yhdensuuntaistuvat = rauta-atomeilla on magneettinen nettomomentti = raudan voi magnetoida kestomagneetiksi ja magneetin epähomogeeninen kenttä vetää (magnetoimatontakin) rautaa puoleensa 11 (34)

11 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27(6 9)) Tasavirtamoottori Tasavirtamoottorin osat Kiertyvä virtasilmukka on roottori Silmukan päät ovat kiinni kommutaattorissa Kommutaattorin johdelohkot koskettavat johtavia harjoja Harjat on kytketty virtalähteeseen 12 (34)

12 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27(6 9)) Tasavirtamoottori Toimintaperiaate 1. Vääntömomentti τ = µ B kääntää roottorin µ:n magneettikentän suuntaiseksi 2. Harjat osuvat molempiin kommutaattorin lohkoihin (virta katkeaa) 3. Roottori jatkaa pyörimistä (kulmaliikemäärä!), kunnes virta taas kulkee 13 (34)

13 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27(6 9)) Hallin ilmiö Hallin ilmiö Asetetaan johdelevy kohtisuorasti magneettikenttää vastaan Levyn läpi ohjataan virta x-akselin suuntaan Varaukseen q (> 0) kohdistuu voima F z = qv d B y Varaukset erottuvat levyn vastakkaisiin reunoihin = sähkökenttä E z [alaspäin] Tasapainossa F z = 0 = qe z + qv d B y = 0 = E z = v d B y Virrantiheys J x = nqv d J x = nq = J xb y E z + + z B y + x Hallin ilmiö Sovelluksia: n:n, v d :n tai B y :n mittaaminen (&c.?) 14 (34)

14 Liikkuvan varauksen magneettikenttä Liikkuva pistevaraus Tähän asti magneettikenttä on otettu annettuna mutta miten magneettikenttä luodaan? Kokeellisesti on havaittu, että liikkuvan pistevarauksen aiheuttama B on verrannollinen varauksen suuruuteen ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön ja verrannollinen varauksen nopeuteen sekä varauksen etenemissuunnan ja etäisyysjanan välisen kulman siniin. (Täh?) Etäisyydellä r vakionopeudella v etenevästä pistevarauksesta q magneettikenttä µ 0 q v ˆr B = 4π r 2, missä ˆr = r/r osoittaa varauksesta kenttäpisteeseen Kenttäviivat ovat aikariippuvia ympyröitä, joiden akselina on kulkurata Pistevaraus muodostaa aina myös sähkökentän! Vakiotermi µ 0 /(4π) 10 7 Tm/A (itse asiassa 1/(ɛ 0 µ 0 ) = c 2 ) 15 (34)

15 Virta-alkion magneettikenttä Biot Savartin laki Lyhyessä virta-alkiossa dl on varaus dq = nqadl (A = johtimen poikkipinta-ala) ja alkio liikkuu nopeudella v d = dq v d = I dl Liikkuva alkio dl aiheuttaa magneettikentän db = µ 0 dq v d sinφ 4π r 2 = µ 0 I dl sinφ µ 0 I d 4π r 2 eli d l ˆr B = 4π r 2 Todellisuudessa vain suljetut virtapiirit ovat mahdollisia! Suljetun virtapiirin kokonaiskenttä saadaan integroimalla: µ 0 I d l ˆr B = 4π r 2 Biot Savartin laki Huomaa: Alkio d l osoittaa virran kulkusuuntaan ja ˆr ja r on määritelty kuten liikkuvan pistevarauksen tapauksessa (Myös Biot n ja Savartin laki; Biot = [bi:ou], Savart = [s@"var]) 16 (34)

16 Suoran virtajohtimen magneettikenttä Suora virtajohdin Tärkeä Biot Savartin lain sovellus Johtimen pituus olkoon 2a (miten virtapiiri sulkeutuu?) y a dl I ˆr r P x a µ 0 I d d l ˆr B = 4π r 2 = µ 0 I(ĵ dy) (xî yĵ) 4π (x 2 + y 2 ) x 2 + y = B = 2 a a d B = ˆk µ 0 I 4π 2a x x 2 + a 2 17 (34)

17 Suoran virtajohtimen magneettikenttä Suora virtajohdin Jatkoa Jos virtajohdin on erittäin pitkä (a x), x 2 + a 2 a = B = µ 0I 2πx Tuloksen voi yleistää (r on etäisyys johtimesta): B = µ 0I 2πr (pitkän suoran johtimen magneettikenttä) Kenttäviivat ovat johdinta kiertäviä ympyröitä, ja kentän suunnan (= sormet) saa oikean käden säännöllä virrasta (= peukalo) 18 (34)

18 Yhdensuuntaisten virtajohtimien välinen voima Kaksi johdinta vierekkäin Otetaan kaksi pitkää suoraa johdinta (pituus L), joiden virrat I ja I kulkevat samaan suuntaan Johdin (1) tuottaa etäisyydellä r olevan johtimen (2) kohdalle magneettikentän B = µ 0I 2πr Magneettikenttä kohdistaa toiseen johtimeen (2) voiman F = I L B = I LB = µ 0II L 2πr (F/L on voima pituusyksikköä kohti) = F L = µ 0II 2πr Soveltamalla oikean käden sääntöä kahdesti (kentän suunta & voiman suunta) huomataan, että samansuuntaista virtaa kuljettavat johtimet vetävät toisiaan puoleensa ja vastakkaissuuntaista virtaa kuljettavat johtimet hylkivät toisiaan Toteutuuko Newton III? 19 (34)

19 Yhdensuuntaisten virtajohtimien välinen voima Ampeerin määritelmä Voimavaikuksesta saadaan toiminnallinen määritelmä ampeerille Yksi ampeeri on tasavirta, joka aiheuttaa kahden, metrin etäisyydellä toisistaan olevan yhdensuuntaisen johtimen välille pituusyksikköä kohden voiman N/m Määritelmästä seuraa F L = µ 0(1A) 2 2π(1m) = 2 N 10 7 m = µ 0 4π 10 7 Tm A 20 (34)

20 Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Lasketaan magneettikenttä silmukan akselilla Biot Savartin lain avulla Suorien osien magneettikentät kumoavat toisensa Lisäksi d l ˆr, joten µ 0 I dl d B = db = 4π r 2 = µ 0I 4π dl x 2 + a 2 2a z I θ d l r d By Vektorin d B komponentit kuvan d l-alkion tapauksessa ovat y d Bx d B x db x = db cosθ = µ 0I 4π db y = db sinθ = µ 0I 4π dl x 2 + a 2 dl x 2 + a 2 a x 2 + a 2 x x 2 + a 2 21 (34)

21 Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Integroidaan... Kokonaismagneettikenttään ei jää yz-tason suuntaisia komponentteja symmetrian takia Kokonaismagneettikenttä on x-suuntainen µ 0 Ia B = B x = db x = 4π ( µ 0 Ia 2 x 2 + a 2) dl = 3/2 }{{} 2 ( x 2 + a 2) 3/2 =2πa µ 0 Ia 2 = B x = 2 ( x 2 + a 2) (B-kenttä virtasilmukan akselilla) 3/2 (kentän suunta akselilla [= peukalo]: oikean käden sääntö virran [= sormet] suhteen) Jos samalla akselilla on N identtistä silmukkaa, B = µ 0NIa 2 2 ( x 2 + a 2) 3/2 22 (34)

22 Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Kela N-kierroksisen kelan maksimimagneettikenttä on kelan keskellä (x = 0): B max = µ 0NI 2a (kelan keskellä) Kelan magneettinen dipolimomentti µ = NIA = NIπa 2, joten toisaalta µ 0 µ B x = 2π ( x 2 + a 2) (kelan akselilla) 3/2 (huomaa: µ 0 on tyhjiön permeabiliteetti, µ kelan magneettinen momentti) Magneettidipoli (silmukka tai kela) on magneettikentän lähde Kelan akselilla kelavirran synnyttämä B on samansuuntainen µ:n kanssa Kenttäviivat kiertävät silmukan läpi mutteivät ole ympyröitä 23 (34)

23 Lävistyslaki (Ampèren laki) Magneettikentän viivaintegraali Symmetrisen varausjakautuman sähkökenttä oli mahdollista määrittää Gaussin lakia käyttämällä Magnetismin Gaussin laissa ei näy lähteitä (virtoja), joten se ei käy magneettikentän määrittämiseen Magnetostatiikassa tarjolla on lävistyslaki eli [integraalimuotoinen] Ampèren laki, joka perustuu magneettikentän viivaintegraaliin Integroidaan pitkän johtimen magneettikenttää suljettua r-säteistä ympyrää pitkin: B d l = B dl = B dl = µ 0I 2πr (2πr) = µ 0I Virta I on integrointitien rajoittaman pinnan läpi kulkeva virta (kun oikean käden sormet osoittavat tien suuntaan, peukalo osoittaa virran positiivisen suunnan) I r B d l 24 (34)

24 Yleinen tapaus B φ rdθ d l B φ rdθ d l dθ r dθ r I I B d l = Bdlcosφ, yllä dlcosφ = rdθ: B d l = µ0 I 2πr (rdθ) = µ 0I 2π (θ:n nettomuutos on 2π) dθ = µ 0 I Nyt integraali = 0, koska θ:n nettomuutos kierroksen aikana on nolla

25 Lävistyslaki (Ampèren laki) Lävistyslaki Tulos on riippumaton integrointitien rajaaman pinnan muodosta Jos virta I lävistää pinnan positiiviseen suuntaan, tulos on µ 0 I Jos virta ei lävistä pintaa, tulos on nolla Johtopäätös pysyy samana, vaikka virtojen määrää lisätään; voidaan korvata µ 0 I µ 0 I encl, missä I encl on integrointitien sisään jäävien virtojen summa etumerkkeineen (oikean käden sääntö tien suunnan ja virran positiivisen suunnan välillä) eli integrointitien rajaaman pinnan läpi kulkevien virtojen summa = Lävistyslaki eli [integraalimuotoinen] Ampèren laki B d l = µ0 I encl Käyttökelpoinen työkalu magneettikenttien analysoimiseen Käyttökelpoisuus edellyttää symmetriaa, vrt. Gaussin laki Huomaa: Amperèn lakia voi käyttää tässä muodossa vain statiikassa! (Ampère = [ÃpEK]) 26 (34)

26 Pitkän sylinterijohtimen kenttä Sylinterijohdin, virta I, halkaisija 2R Symmetriasta voidaan päätellä, että magneettikenttä riippuu vain etäisyydestä johtimen akselista ja että kenttä kiertää johdinta oikean käden säännön mukaisesti (peukalo virran suuntaan sormet osoittavat kentän suuntaan) I B r > R d l r < R d l B Kaikkialla B d l ja B vakio integrointitiellä = lävistyslakia kannattaa käyttää: B d l = B dl = B(2πr) Sylinterin sisällä (r < R) I encl = Jπr 2 = I πr 2 (πr2 ) = I r2 R 2 = B d l = B(2πr) = µ0 I encl = µ 0 I r2 R 2 = B = µ 0I r 2π R 2 Sylinterin ulkopuolella (r > R) I encl = I = B = µ 0I 2πr Sama tulos kuin pitkällä johtimella

27 Lävistyslain sovelluksia Solenoidin kenttä Suora, [erittäin]monikierroksinen sylinterimäinen käämi Tiheän solenoidin keskellä on tasainen, akselin suuntainen kenttä: B = vakio Pitkän solenoidin ulkopuolella B 0 Oletetaan N johdinkierrosta, solenoidin pituus L ja virta I Valitaan integrointitie ja -suunta Lasketaan B d l erikseen a 1 I osuuksilla (34)

28 Lävistyslain sovelluksia Solenoidin kenttä Jatkoa Osuus 1: B d l ja B = vakio = B d l = B dl = Ba I 2 Osuudet 2...4: sisällä B d l ja ulkopuolella B = 0 = B d l = 0 a Koska käämimistiheys n = N/L, I encl = nai Lävistyslaki: B d l = Ba = µ0 I encl = µ 0 nai = B = µ 0 ni (solenoidin sisäkenttä) 29 (34)

29 Lävistyslain sovelluksia Toroidikelan kenttä Symmetrian takia kenttäviivojen täytyy täytyy olla toroidin akselin kanssa samankeskisiä ympyröitä Solenoidin virta on I ja kierrosmäärä N Tutkitaan kolmea eri integrointitietä Tie 1: B d l = B(2πr) = 0 = B = Tie 3: I encl = 0 = B = 0 Tie 2: I encl = NI, joten 2πrB = µ 0 NI = B = µ 0NI 2πr 30 (34)

30 Magneettiset materiaalit Magnetoituminen Atomiytimiä kiertävät elektronit muodostavat virtasilmukoita = magneettinen momentti Monissa materiaaleissa virrat ovat satunnaisesti suuntautuneet eikä magneettista nettomomenttia synny Joissakin materiaaleissa ulkoinen magneettikenttä voi kääntää momentit enimmäkseen kentän suuntaisiksi, jolloin aine magnetoituu (vrt. eristeen polarisoituminen sähkökentässä) Elektroneilla lisäksi on sisäinen liikemäärämomentti eli spin (kvanttimekaanisessa mielessä) Tarkka (tarkahko) magnetoitumisen tarkastelu edellyttää kvanttimekaniikan työkaluja 31 (34)

31 Magneettiset materiaalit Magnetoitumisen lajit Paramagnetismi Joidenkin aineiden atomeilla on pieni pysyvä magneettinen dipolimomentti, joka syntyy atomien elektronien rata- ja spinliikemäärämomenteista: aine on paramagneettista Ulkoinen kenttä vääntää aineen dipolit itsensä suuntaisiksi, jolloin nettokenttä vahvistuu Tällaisessa aineessa magneettikenttä on kertoimella K m (suhteellinen permeabiliteetti) suurempi kuin tyhjiössä (K m on yksikötön kuten K) Aineen permeabiliteetti µ on suhteellisen permeabiliteetin K m ja tyhjiön permeabiliteetin µ 0 tulo: µ = K m µ 0 Esimerkiksi alumiinin K m = , mikä selittää, miksi magneetit vetävä alumiinia puoleensa erittäin heikosti (permeabiliteetti kuitenkin kasvaa lämpötilan laskiessa) 32 (34)

32 Magneettiset materiaalit Magnetoitumisen lajit Diamagnetismi Joillakin aineilla ulkoinen magneettikenttä indusoi [Faradayn induktiolain mukaisesti] atomeihin magneettisen dipolimomentin, jonka muodostama kenttä vastustaa ulkoista kenttää (kuten käy eristeelle sähkökentässä); tällainen aine on diamagneettista Indusoitunut kenttä on tyypillisesti heikko, mutta joillakin materiaaleilla se voi kumota ulkoisen magneettikentän aineen sisällä = suprajohtavuus (matalissa lämpötiloissa, vaikka diamagneettisuuden lämpötilariippuvuus on muuten vähäinen) K m (Elollinen aine on diamagneettista, joten sitä voi leijuttaa voimakkaassa magneettikentässä, vrt. sisällysluettelon kuva ja linkit) 33 (34)

33 Magneettiset materiaalit Magnetoitumisen lajit Ferromagnetismi Joissakin aineissa (esim. rauta, nikkeli) atomien magneettiset momentit vaikuttavat toisiinsa voimakkaasti ja magneettisten alkeisalueiden sisällä momentit samansuuntaistuvat Yleensä (ilman ulkoista kenttää) alkeisalueet ovat keskenään satunnaisesti suuntautuneita Ulkoisessa kentässä alkeisalueiden momentit kääntyvät kentän suuntaisiksi, kentän suuntaiset alueet kasvavat ja muunsuuntaiset alueet pienenevät = voimakas nettomagnetoituma; tällaiset aineet ovat ferromagneettisia K m Ferromagneettisen aineen K m riippuu ulkoisen kentän voimakkuudesta (vaste on epälineaarinen) ja magnetoitumahistoriasta (hystereesi; aineella on muisti, jota voi käyttää kestomagneettien tekemiseen) 34 (34)