SATE.1060 STAATTINEN KENTTÄTEORIA

Transkriptio

1 SATE.1060 STAATTINEN KENTTÄTEORIA Maarit Vesapuisto Vaasan liopisto Teknillinen tiedekunta Sähkötekniikka Luentomoniste 010

2 SISÄLLYLUETTELO 1. Vektorianalsi Vektori ja skalaari 1 Yksikkövektori Vektori karteesisessa koordinaatissa Vektorin pituus 3 Yksikkövektori 4 Vektorien hteen- ja vähennslasku 4 Skalaari- eli pistetulo 6 Vektori- eli ristitulo 8 Oikean käden- sääntö 9 Koordinaatistot 11 Koordinaatiston vaihto 13 Pituusalkiot 18 Pinta-alkiot 19 Tilavuusalkiot 1 Esim. Kahden pisteen välinen etäiss slinterikoordinaatistossa. Coulombin voimat ja sähkökentän voimakkuus Coulombin laki 3 Sähkökentän voimakkuus 5 Derivointikaavoja 6 Integrointikaavoja 7 Pistevarauksen aikaansaama sähkökentän voimakkuus 8 Varausjakaumat 9 3. Sähkövuo ja Gaussin laki Kokonaisvaraus 34 Sähkövuo 35 Sähkövuon tihes 35 Differentiaalinen sähkövuo 36 Gaussin laki 36 Pistevarauksen aikaansaama sähkövuon tihes ja sähkökentän voimakkuus 38 Gaussin pinta Divergenssi ja divergenssi teoreema Divergenssi 40 Vektorikentän divergenssi 41 Sähkövuon tiheden divergenssi 47 Mawellin 1. htälö staattisille kentille 48 Nabla 48 Divergenssiteoreema Sähköstaattinen kenttä: tö, energia ja potentiaali Varaus sähkökentässä 50 Tö ja differentiaalinen tö 51

3 Differentiaaliset etäissvektorit 51 Konservatiivisuus 5 Pisteiden välinen potentiaali 5 Pistevarauksen potentiaali 53 Varausjakauman potentiaali 53 Pisteiden (M ja N) välinen etäiss 54 Skalaarifunktio V 54 Gradientti 55 Sähkökentän voimakkuuden ja potentiaalin välinen htes 56 Staattisessa sähkökentässä oleva energia 56 Staattiseen sähkökenttään varastoitunut energia Virta, virtatihes ja johteet Sähkövirta 58 Varaus thjiössä 58 Varaus nesteessä / kaasussa 59 Liikkuvuus 59 Virtatihes 60 Johdinvirtatihes 60 Johtavuus nesteessä / kaasussa 61 Johtavuus johteissa 61 Johtavuus puolijohteissa 6 Virta 6 Kokonaisvirta johtimessa 63 Johtimen resistanssi R virtatiheden ollessa vakio 63 Johtimen resistanssi R virtatiheden ollessa ei-vakio 64 Virtatason virtatihes 64 Virran jatkuvuusehto 65 Johteen ja eristeen väliset rajapintaehdot 65 Sähkökenttä ja vuontihes johteessa 66 Sähkökentän ja vuontiheden tangentiaalinen komponentti rajapinnassa 66 Gaussin lain sovellus rajapinnassa Kapasitanssi ja eristeaineet Atomin polarisoituminen 68 Sähköinen dipolimomentti 69 Polarisaatio eristeessä 69 Polarisaatio makrotasolla 70 Polarisaatio isotrooppisessa aineessa 70 Kapasitanssi 71 Rinnan ktkett kapasitanssit 71 Sarjaan ktkett kapasitanssit 7 Sähkökenttään varastoitunut energia 7 Kapasitanssiin varastoitunut energia 73 Levkondensaattori vakiojännitteeseen ktkettnä 73 Levkondensaattorin levillä vakio varaus 74 Rajapintaehdot kahden eristeaineen rajapinnalla 74

4 8. Laplacen htälö Johdanto 76 Poissonin htälö 76 Laplacen htälö 77 Laplacen htälö eri koordinaatistoissa 77 Ainoa laatuisuus 79 Keskiarvoteoreema 79 Maksimiarvoteoreema 80 Yksi muuttuja karteesisessa koordinaatistossa 80 Integroinnit 81 Rajaehdot 81 Sähkökentän voimakkuus 8 Varaustihes johdelevillä 8 9. Amperen laki ja magneettikenttä Staattinen magneettikenttä 83 Magneettivuon tihes 84 Magneettikentän voimakkuus 84 Vektorikentän roottori 85 Roottori leisessä muodossa 85 Roottori eri koordinaatistoissa 86 Roottorin ominaisuuksia 87 Biot n ja Savartin laki 88 Amperen laki 89 Amperen lain sovelluksen ehdot 90 Magneettikentän voimakkuuden roottori 90 Magneettivuo 91 Magneettikentän vektoripotentiaali 91 Vektoripotentiaalit perusvirtajakaumille 9 Stokesin lause Magneettikentässä vaikuttavat voimat ja vääntömomentit Lorenin voimalaki 93 Magneettisen voiman riippuvuus virran suunnasta 94 Tö 94 Vääntömomentti (N / m) 95 Virtasilmukka esimerkki : voima 95 Virtasilmukka esimerkki : vääntömomentti 96 Magneettimomentti 96

5 SATE.1060 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 1. VEKTORIANALYYSI Vektori ja skalaari vektorilla A on sekä pituus (magnitude) että suunta (direction) skalaarilla A on vain pituus SATE / mv / 44 1

6 Yksikkövektori Yksikkövektorin e A (unit vector) pituus on 1. Vektorin A suuntainen ksikkövektori e A : e A = A A SATE / mv 3 / 44 Vektori karteesisessa koordinaatistossa Karteesisessa koordinaatistossa (,, ): akselien suuntaiset ksikkövektorit: e, e, e mielivaltainen vektori: vektorin A pituus: A = A e + A e + A e A = A = A + A + A SATE / mv 4 / 44

7 Vektorin pituus Olkoon vektori C = 5e + 3 e (,, -koordinaatistossa) C B A 5,83 Pthagoraan lauseen mukaisesti: C nt: A = C ja B = C = A + B C = C + C = = 34 = 5, SATE / mv 5 / 44 Vektorin pituus Olkoon vektori C = 5e + 3e + e (,, -koordinaatistossa) C = C + C C C = C + C = ( C + C ) + C C C C = C + C + C C C Pthagoraan lauseen mukaisesti: C = C + C + C = = 38 = 6, SATE / mv 6 / 44 3

8 Yksikkövektori Olkoon vektori: A = e + 3e 4 e. Vektorin A suuntainen ksikkövektori: e A = A = e + 3e 4e A ( ) = e + e e SATE / mv 7 / 44 Vektorien hteen- ja vähennslasku A ± B ( Ae Ae Ae ) ( Be Be Be ) ( A B ) e ( A B ) e ( A B ) e = + + ± + + = ± + ± + ± SATE / mv 8 / 44 4

9 Liitäntä-, osittelu- ja vaihdantalaki: A+ ( B + C ) = ( A+ B ) + C ( ) k A+ B = ka + kb ( ) k + k A = k A + k A 1 1 A+ B = B + A SATE / mv 9 / 44 Vektorien hteenlasku Olkoon vektorit: A = 4 e + e ja B = e + e C = A + B C = B + A B ( ) ( ) ( ) ( ) C SATE / mv 10 / 44 A = 4e + e + e + e = 5e + 3 e = e + e + 4e + e = 5e + 3 e 5

10 Vektorien vähennslasku Olkoon vektorit: A = 4 e + e ja B = e + e B -B C A C = A B ( B) = A + ( ) ( ) = 4e + e + e e = 3 e e SATE / mv 11 / 44 Skalaari- eli pistetulo A B = A B + A B + A B A B = AB cosθ θ on vektorien A ja B välinen pienempi kulma SATE / mv 1 / 44 6

11 Skalaari- eli pistetulo Skalaari- eli pistetulolle pätee osittelulaki ja skalaarien kertolaskusäännöt: ( ) A B + C = A B + A C A B = A B k k ( ) SATE / mv 13 / 44 Skalaari- eli pistetulo: C = A B = AB cosθ AB Olkoon vektorit: a) A = 8 e ja B = 4e + 4e B θ AB Bcosθ AB A A A = = = = A A 8 8 B = B = B + B = = 3 = 4 B 4 1 cosθ AB = = = B 4 ( ) ( ) ( ) ( ) C = A B = 8e 4e + 4e = 8* 4 + 0* 4 = 3 1 C = AB cosθ AB = 8*4 * = 3 Eli: "vektorin A pituus" kertaa "vektorin B projision pituus vektorille A" SATE / mv 14 / 44 7

12 Skalaari- eli pistetulo: C = A B = AB cosθ AB Olkoon vektorit: b) A = 8 e ja B = 4e + 4e B Bcosθ AB θ AB A A A = = = = A A 8 8 ( ) B = B = B + B = = 3 = 4 B 4 1 cosθ AB = = = B 4 ( ) ( ) C = A B = 8e 4e + 4e = 3 1 C = AB cosθ AB = 8*4 * = SATE / mv 15 / 44 Vektori- eli ristitulo ( ABsinθ ) A B = e θ on vektorien A ja B välinen pienempi kulma e n on vektorien A ja B määrittämän tason (kun ko. vektorit on piirrett samasta pisteestä) normaalin suuntainen ksikkövektori n SATE / mv 16 / 44 8

13 Oikean käden -sääntö Tason normaali valitaan oikean käden korkkiruuvisäännön mukaisesti: e n A B SATE / mv 17 / 44 Vektoritulo komponenttimuodossa A B ( Ae Ae Ae ) ( Be Be Be ) ( A B A B ) ( A B A B ) ( A B A B ) = = e + e + e A B = e e e A A A B B B SATE / mv 18 / 44 9

14 Vektori- eli ristitulo: C = A B = AB sinθ AB e n Olkoon vektorit: A = 3 e ja B = e + 3e C = A B A = = = = A A 3 3 A e n θ ΑΒ B Bsinθ AB B = B = B + B = = 10 B 3 sinθ AB = = B 10 3 C = AB sinθ AB e n = 3* 10 * e = 9e SATE / mv 19 / 44 Vektori- eli ristitulo Olkoon vektorit: A = 3 e ja B = e + 3e C = A B A B e e e e e e C = A B = A A A = = 9e B B B SATE / mv 0 / 44 10

15 Koordinaatistot Suorakulmainen (karteesinen) koordinaatisto: P (,, ) r P(,, ) r = e + e + e SATE / mv 1 / 44 Koordinaatistot Slinterikoordinaatisto: P ( ρ, ϕ, ) ρ r P(ρ,ϕ,) ϕ r = ρe + e ρ SATE / mv / 44 11

16 Koordinaatistot Pallokoordinaatisto: P( r, θ, ϕ ) θ ϕ r r P(r,θ,ϕ) r = re r SATE / mv 3 / 44 Koordinaatistot Vektorit komponenttimuodossa: karteesinen: A = A e + A e + A e slinterik.: A = Aρ eρ + Aϕ eϕ + A e pallok.: A = A e + A e + A e r r θ θ ϕ ϕ SATE / mv 4 / 44 1

17 Koordinaatistot Suunta vektorit noudattavat oikean käden sääntöä: karteesinen slinterik. pallok. e e = e ρ e e = e e e = e ϕ ϕ e e = e e e = e e e = e r θ θ ρ e e = e ϕ e e = e ϕ ϕ ρ e e = e r r ϕ θ SATE / mv 5 / 44 Karteesinen -> slinterik. r P(,, ) = P(,, ) SATE / mv 6 / 44 13

18 Karteesinen -> slinterik. P(,, ) r ρ = + ϕ ρ P(,, ) ϕ = arctan = SATE / mv 7 / 44 Slinterik. -> karteesinen ρ r ϕ P(ρ,ϕ, ) ρ = P(ρ,ϕ, ) taso SATE / mv 8 / 44 14

19 Slinterik. -> karteesinen ϕ r ρ = ρ cosϕ = ρ sinϕ = P(ρ,ϕ, ) ϕ ρ P(ρ,ϕ, ) SATE / mv 9 / 44 Karteesinen -> pallok. ( ) r = + + r = + + P(,, ) r P(,, ) r ρ ρ = + r = ρ SATE / mv 30 / 44 15

20 Karteesinen -> pallok. P(,, ) r ρ = + ϕ ρ P(,, ) ϕ = arctan SATE / mv 31 / 44 ρ = + Karteesinen -> pallok. θ P(,, ) r ρ ρ arctan arctan + θ = = P(,, ) taso SATE / mv 3 / 44 16

21 Pallok -> karteesinen θ r r P(r,θ,ϕ) θ r ρ P(r,θ,ϕ) taso ϕ = r cosθ ρ = r sinθ SATE / mv 33 / 44 Pallok -> karteesinen θ ρ = r sinθ r r ϕ P(r,θ,ϕ) ϕ ρ P(r,θ,ϕ) = ρ cosϕ = r sinθ cosϕ = ρ sinϕ = r sinθ sinϕ SATE / mv 34 / 44 17

22 Pituusalkiot Karteesinen koordinaatisto: dl = d +d + d d d d SATE / mv 35 / 44 Pituusalkiot Slinterikoordinaatisto: dl = dρ + ρdϕ + d ρ ϕ ρdϕ dρ d SATE / mv 36 / 44 18

23 Pituusalkiot Pallokoordinaatisto: dl = dr + rdθ + r sinθdϕ ϕ rsinθ θ dϕ rsinθdϕ rdθ r dr dθ dϕ SATE / mv 37 / 44 Pinta-alkiot Karteesinen koordinaatisto: ds ds ds = dd = dd = dd SATE / mv 38 / 44 19

24 Pinta-alkiot Slinterikoordinaatisto: ( ρ ϕ ) ds = d d = ρdϕd ds ρ ϕ = dρd ( ) ds = dρ ρdϕ = ρdρdϕ SATE / mv 39 / 44 Pinta-alkiot Pallokoordinaatisto: ( )( ) ( ) ( θ ) dsr = rd r sin d = r sin d d ds = dr rsinθdϕ = rsinθdrdϕ θ ds = dr rd = rdrdθ ϕ θ θ ϕ θ θ ϕ SATE / mv 40 / 44 0

25 Tilavuusalkiot Karteesinen koordinaatisto: dv = ddd Slinterikoordinaatisto: dv = dρ ρdϕ d = ρdρdϕd ( ) Pallokoordinaatisto: dv = dr rd r sin d = r sinθdrdθdϕ ( θ )( θ ϕ ) SATE / mv 41 / 44 Tilavuusalkiot Animaatiosivu pinta- ja tilavuusalkioista: SATE / mv 4 / 44 1

26 Esim. 5: Kahden pisteen välinen etäiss slinterikoordinaatistossa (1/) ( 3π ) P ( π ) Pisteiden P1 4,,0 ja 5,,10 välinen etäiss: Määritetään ensin vektorit r ja r karteesisessa koordinaatistossa: 1 1 ( 3π ) ( 3π ) = 4*cos = 0 1 = 4*sin = 4 = 0 1 ( π ) ( π ) = 5*cos = 0 = 5*sin = 5 = SATE / mv 43 / 44 Esim. 5: Kahden pisteen välinen etäiss slinterikoordinaatistossa (/) Joten r = 4 e ja r = 5e + 10e 1 Ja pisteiden välinen etäiss: ( ) r = r1 r = 4e 5e + 10e = 9e + 10e ( ) = = , SATE / mv 44 / 44

27 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA. COULOMBIN VOIMAT JA SÄHKÖKENTÄN VOIMAKKUUS Coulombin laki Kahden varauksen välillä vaikuttaa voima F [N], joka on suoraan verrannollinen varauksien (Q 1 ja Q [C]) suuruuteen ja kääntäen verrannollinen etäisden (d [m]) neliöön: Q Q F = 4πε d 1 e (väliaineen permittiiviss: ε = ε 0 ε r ; thjön permittiiviss: ε 0 = 8,854*10-1 F/m ε r = suhteellinen permittiiviss SATE / mv 46 / 44 3

28 Coulombin laki: kaksi pistevarausta Q Q Q Q = R 1 F 1 1 = e 1 3 4πε R1 4πε R1 1 F 1 on varauksen Q aiheuttaa voima varaukseen Q 1 e 1 on ksikkövektori, jonka suunta on varauksen Q (olinpaikka)pisteestä r varauksen Q 1 pisteeseen r 1 R 1 = R 1 e 1 on vektori, joka pisteestä r pisteeseen r SATE / mv 47 / 44 Coulombin laki: useita pistevarauksia F Q Q n 1 k 1 = e k1 4πε k = Rk1 F 1 on varauksien Q... Q n hteensä aiheuttama voima varaukseen Q SATE / mv 48 / 44 4

29 Coulombin laki: varaukselle Eristetn varauksen Q mpärillä voimakenttä on pallosmmetrinen (varaus pallokoord. origossa) SATE / mv 49 / 44 Sähkökentän voimakkuus Sähkökentän voimakkuus E [V/m tai N/C] on määritelt Coulombin lain avulla: t E = F Q t F t = QtQ 4πε r e r F t on varauksen Q aiheuttama voima etäisdellä r olevaan pieneen testivaraukseen Q t (Q t << Q) SATE / mv 50 / 44 5

30 Derivointikaavoja 1/ Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita d 1) 0 d A = d ) A = A d d d d 4) v u uv = u + v d d d du dv d u v u 5) = d d d v v d n n 3) A = na d SATE / mv 51 / 44 Derivointikaavoja / Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita d du 6) sin u = cosu d d d du 7) cosu = sin u d d d 1 du 8) ln u = d u d d u du 9) e = e d d u SATE / mv 5 / 44 6

31 1) A d = A Integrointikaavoja 1/3 Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita ( ) = ( ) ) Af d A f d ( ) 3) u ± v ±... d = u d ± v d ±... 4) u dv = uv v du SATE / mv 53 / 44 n+ 1 n u 5) u d u =, n 1 n ln u, u > 0 6) du = u ln u, u < 0 Integrointikaavoja /3 Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita u 7) e du = e u u ln A u u u ln A e A 8) A du = e d u =, A 0, A 1 ln A = ln A > SATE / mv 54 / 44 7

32 9) sin u du = cosu Integrointikaavoja 3/3 Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita 10) cosu du = sin u cos A 11) sin A d = A sin A 1) cos A d = A A A e 13) e d = A 14) ln d = ln SATE / mv 55 / 44 Pistevarauksen aikaansaama sähkökentän voimakkuus E P(r,θ,ϕ) E P(,, ) Q re r Q P( 1, 1, 1 ) Q Q E = e E = e r 4πε r 4πε R R=( - 1 )e +( - 1 )e + ( - 1 )e R SATE / mv 56 / 44 8

33 Varausjakaumat: tilavuusvaraus Tilavuusvaraus ρ V [C/m 3 ]: dq ρ V = dq = ρ d dv V V Sähkökentän voimakkuus: de = E = dq 4πε R V ρv 4πε R e R e d R V R dq=ρ V dv ρ V de P V SATE / mv 57 / 44 Varausjakaumat: tasovaraus Tasovaraus ρ S [C/m ]: dq ρ S = dq = ρ ds S ds Sähkökentän voimakkuus: dq de = e R 4πε R ρs E = e d s R S 4πε R dq=ρ S ds SATE / mv 58 / 44 S de P R ρ S 9

34 Varausjakaumat: viivavaraus Viivavaraus ρ l [C/m]: dq ρ l = dq = ρ l dl dl Sähkökentän voimakkuus: dq de = e R 4πε R ρl E = e d l R l 4πε R SATE / mv 59 / 44 L de P R dq=ρ l dl ρ l Varausjakaumat: pistevaraus E Q re r P(r,θ,ϕ) E = Q 4πε r e r SATE / mv 60 / 44 30

35 Varausjakaumat: ääretön viivavaraus dq ρld de = e R = e R 4πε R 4πε R ρld ρeρ + e de1 = 4πε ( ρ + ρ + ) ρld ρeρ e de = 4πε ρ + ρ + ( ( ) ) ( ) Koska jokaiselle paikassa olevalle varaukselle dq on olemassa paikassa varaus dq => -komponentti katoaa - ρ l + dq=ρ l d ρ R R 1 dq=ρ l d P de 1 de SATE / mv 61 / 44 Varausjakaumat: ääretön viivavaraus ρlρd E = e ρ ( ) 3 ρ l + 4πε ρ + ρlρ d E = 4π ρ ε e ρ + d ( ) 3 = ( ) 3 + A A + A ρlρ E = / 4πε ρ ρ ( ) 1 + e ρ ρ P E SATE / mv 6 / 44 31

36 Varausjakaumat: ääretön viivavaraus E ρ l = 4π ερ ρ ρ ( ) ( + ) + ( ) 1 1 e ρ ρ l + E ρ l = 4π ερ e ρ ρ P E E = ρ l e π ερ ρ SATE / mv 63 / 44 Varausjakaumat: ääretön tasovaraus dq ρsds de = e R = e R 4πε R 4πε R ρs ρdρdϕ ρeρ + e de = 4πε ρ + ρ + ( ( ) ) ( ) 1 d E : ρe 1 ρ d E : ρe ρ e = = + e + e e ( ) + ( ) ρ S + e de 1 de P R 1 R ρ ρ + dq=ρ l ρdρdϕ SATE / mv 64 / 44 3

37 E = π 0 0 Varausjakaumat: ääretön tasovaraus Koska jokaiselle paikassa (, ) olevalle varaukselle dq on olemassa paikassa (-, -) varaus dq => ρ-komponentti katoaa ρs E = 4πε ρ ρ dρdϕ S 4πε ρ π ( ) 3 + ρdρ e dϕ ( ) ρ + d 1 = ( ) 3 + A + A e + dq=ρ l ρdρdϕ SATE / mv 65 / 44 ρ S + de 1 de R ρ e ρ P R 1 Varausjakaumat: ääretön tasovaraus ρ π S E = / ϕ / 4πε ρ + ρs 1 1 E = *π* 4πε e e E E = ρs e ε n + ρ S e n e n SATE / mv 66 / 44 E 33

38 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 3. SÄHKÖVUO JA GAUSSIN LAKI Kokonaisvaraus Q Kokonaisvaraus Q saadaan integroimalla varaustihes ρ ko. viivan, pinta-alan tai tilavuuden li : Viivavaraus: Tasovaraus: Tilavuusvaraus: dq = ρldl Q = ρldl dq = ρsds Q = ρsds dq = ρv dv Q = ρv dv l S V SATE / mv 68 / 44 34

39 Sähkövuo Ψ Sähkövuo Ψ [C] lähtee positiivisesta varauksesta +Q ja päätt negatiiviseen varaukseen -Q (tai äärettömteen) Ψ = Q +Q -Q +Q SATE / mv 69 / 44 Sähkövuon tihes D Jos pisteen P läheisdessä vuoviivat ovat ksikkövektorin e n suuntaisia ja jos vuo dψ kulkee alan ds (ko. tason normaali e n ) läpi, niin sähkövuon tihes D [C/m ] pisteessä P: Ψ D = dψ e ds n ds P e n D SATE / mv 70 / 44 35

40 Differentiaalinen sähkövuo dψ Alan ds läpäisevä diff. sähkövuo dψ : dψ = DdS cosθ = D dse = D ds n S ds ρ V e n θ V D SATE / mv 71 / 44 Gaussin laki Kuvaa suljetun pinnan sisällä olevien lähteiden ja pinnan läpi kulkevan vektorivuon välistä htettä: D d S = Q enc SATE / mv 7 / 44 36

41 Gaussin laki: pistevaraus Q = D d S = D ds r = De dse r e n D π π = D r sinθdθdϕ 0 0 π π = Dr sinθdθ 0 0 dϕ Q ds SATE / mv 73 / 44 Gaussin laki: pistevaraus π π Q = Dr sinθdθ dϕ 0 0 π π = Dr / ( cos θ ) / ϕ 0 0 = Dr ( 1+ 1 )*π Q ds e n D ( 4π ) = D r SATE / mv 74 / 44 37

42 Pistevarauksen aikaansaama sähkövuon tihes ja sähkökentän voimakkuus Q Q D = e n = e 4πr 4πr Q E = e r 4πε r D = ε E r SATE / mv 75 / 44 Vaatimukset: Gaussin pinta Pinnan on oltava suljettu Jokaisessa pinnan pisteessä sähkövuon D on oltava suunnaltaan ko. pinnalle normaali tai tangentiaalinen D on paikallisesti vakio osissa, joissa D on suunnaltaan normaali ko. pinnalle SATE / mv 76 / 44 38

43 Gaussin pinta Q = D d S D d S + 1 D d S S S S3 = 1 + D d S 3 ρ l S 1 S + ds 1 D S S D ds = De ds e = ρ 1 S 3 ρ 3 S ( ) ds D ds = De ds e = 0 ds SATE / mv 77 / 44 D S 3 D S D ds = De ds e = S ρ S DdS L π 0 0 L = D ds = D ρ d ϕ d π = Dρ d dϕ 0 0 ( πρ ) Q = D L S Gaussin pinta ρ SATE / mv 78 / 44 ρ l + ds 1 D D ds D ds 3 39

44 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 4. DIVERGENSSI JA DIVERGENSSI TEOREEMA Divergenssi Jos vektorikentän divergenssi on positiivinen, ko. alueella on olemassa lähteitä (=> +Q). Jos vektorikentän divergenssi on negatiivinen, ko. alueella on olemassa nieluja (=> -Q). Jos vektorikentän divergenssi on nolla, ko. alueella ei ole lähteitä eikä nieluja SATE / mv 80 / 44 40

45 Vektorikentän divergenssi Vektorikentän A divergenssi pisteessä P: div A = lim V 0 A d S V SATE / mv 81 / 44 Vektorikentän divergenssi karteesisessa koordinaatistossa Vektorikenttä A pisteessä P: A = A e + A e + A e A P SATE / mv 8 / 44 41

46 vasen Vektorikentän divergenssi karteesisessa koordinaatistossa ( ) A d S A A d S A ( + ) ( ) oikea A A + vasen A ds + A ds A oikea = A () ds P 1 A ( + ) ds SATE / mv 83 / 44 Vektorikentän divergenssi karteesisessa koordinaatistossa A A A A d S = + + d div A = lim A S V 0 V A A A div A = SATE / mv 84 / 44 4

47 Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa Vektorikenttä A pisteessä P: A = Aρ eρ + Aϕ eϕ + A e ρ ϕ ρ P A SATE / mv 85 / 44 vasen Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa ( ) A d S Aρ ρ ρ ϕ oikea ( )( ) A ρ (ρ) SATE / mv 86 / 44 ds A d S Aρ ρ + ρ ρ + ρ ϕ Aρ Aρ ( ρ ) + ρ ( ρ + ρ ) ϕ ρ P A ρ (ρ + ρ) ds Aρ Aρ ( ρ ) ρ ϕ + Aρ ( ρ ) + ρ ρ ϕ ρ 43

48 vasen Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa A ds + A ds oikea Aρ Aρ ( ρ ) + ρ ρ ϕ ρ ( ρ Aρ ) ρ ϕ ρ 1 ρ ρ ( ρ Aρ ) v A ρ (ρ) ds P A ρ (ρ + ρ) ds ( ρ A ) = ρ A ( ρ ) + ρ A ρ ρ ρ ρ ρ ρ v = ρ ρ ϕ SATE / mv 87 / 44 Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa vasen ( ) A d S Aϕ ϕ ρ oikea ( ) A d S Aϕ ϕ + ϕ ρ ds Aϕ Aϕ ( ϕ ) + ϕ ρ ϕ P A ϕ (ϕ + ϕ) ds A ϕ (ϕ) SATE / mv 88 / 44 44

49 Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa vasen A ds + A ds oikea Aϕ ϕ ρ ϕ ds P A ϕ (ϕ + ϕ) ds A ϕ (ϕ) 1 Aϕ v ρ ϕ v = ρ ρ ϕ SATE / mv 89 / 44 Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa vasen ( ) A d S A ρ ρ ϕ oikea ( ) A d S A + ρ ρ ϕ A A ( ) + ρ ρ ϕ ds P ds A ( + ) A () SATE / mv 90 / 44 45

50 Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa vasen A ds + A ds A oikea A ρ ρ ϕ v ds P ds v = ρ ρ ϕ A ( + ) A () SATE / mv 91 / 44 Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) 1 A 1 A A A d S ϕ = + + v ρ ρ ρ ϕ d div A = lim A S V 0 V 1 A 1 Aϕ A div A = + + ρ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ P A SATE / mv 9 / 44 46

51 Vektorikentän divergenssi pallokoordinaatistossa ( r Ar ) ( A sinθ ) 1 1 θ 1 Aϕ div A = + + r r r sinθ θ r sinθ ϕ SATE / mv 93 / 44 Sähkövuon tiheden divergenssi Gaussin laista: D d S V = Q enc V d Q div D = lim D S = lim enc = ρ V 0 V V 0 V SATE / mv 94 / 44 47

52 Mawellin 1. htälö staattisille kentille: Jos ε on vakio : div D =ρ div E = ρ ε Jos ε ei ole vakio : div ε E = ρ E ja D-kenttien divergenssi on nolla kaikissa isotrooppisissa varauksettomissa kentissä SATE / mv 95 / 44 Nabla karteesisessa koordinaatistossa: ( ) ( ) ( ) = e + e + e Nabla (ksinään) kuvaa osittaisderivaatan ottamista jokaisesta ksikkövektorista erikseen SATE / mv 96 / 44 48

53 Karteesisessa koordinaatistossa: A = e + e + e e + e + e ( A A A ) A A A = + + = div A SATE / mv 97 / 44 Divergenssiteoreema Gaussin laista: D ds = ρ V dv = Q enc Toisaalta: ρ = D => (Gaussin) divergenssiteoreema: ( ) D d S = D dv SATE / mv 98 / 44 49

54 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 5. SÄHKÖSTAATTINEN KENTTÄ: TYÖ, ENERGIA JA POTENTIAALI Varaus Q sähkökentässä E +Q F a F E Varaukseen Q vaikuttaa sähkökentässä E voima F: F = QE Jotta varaus Q psisi paikallaan, on siihen vaikutettava ulkoinen voima F a : F a = - QE SATE / mv 100 / 44 50

55 Tö W ja differentiaalinen tö dw dw = F dl = QE dl a Jos varaus Q on positiivinen ja dl on E:n suuntaan dw < 0, eli sähkökenttä tekee tötä. Jos dw > 0, tehdään tötä sähkökenttää vastaan SATE / mv 101 / 44 Differentiaaliset etäissvektorit Karteesinen koordinaatisto: dl = de + de + de Slinterikoordinaatisto: dl = dρeρ + ρdϕeϕ + de Pallokoordinaatisto: dl = dre + rdθe + r sinθdϕe r θ ϕ SATE / mv 10 / 44 51

56 Konservatiivisuus Staattisessa sähkökentässä teht tö (siirrettäessä pistevaraus kohdasta B kohtaan A) on riippumaton kätetstä reitistä. A E d l = d 1 E l 1 1- eli E d l = SATE / mv 103 / 44 B Pisteiden välinen potentiaali Pisteen A potentiaali pisteeseen B verrattuna = tö, joka tehdään siirrettäessä positiivinen ksikkövaraus Q u pisteestä B pisteeseen A V AB A W = = d Q E l u B ( J/C tai V) Huom: Referenssipiste on viivaintegraalin alarajana SATE / mv 104 / 44 5

57 Pistevarauksen Q potentiaali Pistevarauksen Q aikaansaama sähkökenttä E on radiaalinen. A Referenssipisteen B ollessa äärettömdessä: V A A V AB = E d l A Q dr = Erer drer = Erdr = B B B 4πε r rb r Q A 1 Q 1 1 = / = 4πε rb r 4πε ra rb Q 1 1 Q = V = 4πε ra 4πε r A r SATE / mv 105 / 44 Varausjakauman ρ V potentiaali Differentiaalisen varauksen aikaansaama diff. potentiaali pisteessä P: dv dq = 4πε R Kokonaispotentiaali pisteessä P: dq dv V = V 4πε R = ρ 4πε R V V dq R dv P SATE / mv 106 / 44 53

58 Pisteiden (M ja N) välinen etäiss: r M(,, ) dr N(+d, +d, +d) r + dr dr = de + de + de SATE / mv 107 / 44 Skalaarifunktio V Funktion V muutos dv siirrttäessä pisteestä M pisteeseen N: V V V dv = d + d + d SATE / mv 108 / 44 54

59 Gradientti V V V V V = e + e + e Gradientti esittää skalaarifunktion muutosnopeutta avaruudessa (vrt. derivaatta) M V dr N V(,, ) = c V(,, ) = c 1 Gradientin suunta: funktion V ma kasvusuunta dv = V dr SATE / mv 109 / 44 Gradientti V Potentiaalifunktion gradientti on vektorikenttä, joka on kohtisuorassa vakiopotentiaalipintaa vastaan V V V V = e + e + e V V V V = eρ + eϕ + e ρ ρ ϕ V V V V = er + eθ + e r r θ r sinθ ϕ ϕ ( karteesinen koord. ) ( slinterikoord. ) ( pallokoord. ) SATE / mv 110 / 44 55

60 Sähkökentän voimakkuuden E ja potentiaalin V välinen htes V = E d l dv = E dl Toisaalta: dv = V dr Koska dl = dr E = V Sähkökentän E suunta on korkeammasta alempaan potentiaaliin SATE / mv 111 / 44 Staattisessa sähkökentässä oleva energia W E Tuotaessa varaus Q 1 paikkaan 1, on tarvittava tö nolla. Tuotaessa varaus Q paikkaan, tarvittava tö on verrannollinen varauksen suuruuteen ja varauksen 1 potentiaaliin. Kokonaistö: W = W + W + W E 1 3 ( QV,1 ) ( Q3V 3,1 Q3V 3, ) = Q 1 Q Q SATE / mv 11 / 44 56

61 Staattiseen sähkökentään varastoitunut energia W E W n 1 = Q V E m m m= 1 WE W E 1 = dv D E 1 = VVdV ρ 1 WE = ε E dv W E 1 D = dv ε SATE / mv 113 / 44 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 6. VIRTA, VIRTATIHEYS JA JOHTEET 57

62 Sähkövirta I = tietn pisteen tai tietn pinta-alan läpi kulkevan sähkövarauksen määrä aikaksikössä Yksikkö A = C/s Virtatihes J (A/m ) SATE / mv 115 / 44 Varaus Q thjössä +Q U E Thjössä olevassa sähkökentässä E varaukseen Q vaikuttava voima F = QE saa aikaan vakiokiihtvden => Varaus liikkuu E:n suuntaan kiihtvällä nopeudella U SATE / mv 116 / 44 58

63 Varaus Q nesteessä / kaasussa Nesteessä tai kaasussa varaus Q törmäilee väliaineen hiukkasiin suunta vaihtuu satunnaisesti. Vakio kentässä E ja homogeenisessa väliaineessa on keskimääräinen kentän suuntainen nopeus U (= kenttänopeus) +Q U E SATE / mv 117 / 44 Liikkuvuus µ Kenttänopeus U on suoraan verrannollinen kentänvoimakkuuteen E. U = µ E µ = liikkuvuus (m /Vs) vaihtelee lämpötilan ja kappaleen kiderakenteen mukaan SATE / mv 118 / 44 59

64 Virtatihes J Tilavuusvaraustihentmä ρ V liikkuu oikealle kenttänopeudella U. Tihentmän kulkiessa pinta-alan S lävitse, se aikaan saa konvektiovirran, jonka virtatihes on J = ρ V U U ρ V V S SATE / mv 119 / 44 Johdinvirtatihes J Aiheutuu johtimen sisällä olevasta sähkökentästä: J = ρ U ja U = µ E V J = σ E U σ = ρ µ (= johtavuus S/m) v S E SATE / mv 10 / 44 60

65 Johtavuus σ nesteessä / kaasussa Aiheuttajina positiiviset ja negatiiviset ionit: J E σ = ρ µ + ρ + µ SATE / mv 11 / 44 Johtavuus σ johteissa Aiheuttajina valenssielektronit: J E σ = ρ µ e e SATE / mv 1 / 44 61

66 Johtavuus σ puolijohteissa Aiheuttajina elektroni-aukko -parit: J E σ = ρ eµ e + ρ hµ h SATE / mv 13 / 44 Virta I Jos virrantihes J kulkee pinta-alan S lävitse ds di = J I = ds J d S S S J SATE / mv 14 / 44 6

67 Kokonaisvirta I johtimessa Kun vakiopoikkipintaiseen A pituudeltaan l olevan johtimen päiden välillä on jännite-ero U, niin E = U U ja J l = σ l E, J A olettaen, että virta on tasaisesti jakautunut pintaalalle A. l U SATE / mv 15 / 44 Johtimen resistanssi R virtatiheden ollessa vakio Em. tilanteessa kokonaisvirta: σ AU I = JA = l Ohmin lain mukaisesti: l U = RI R = Ω σ A ( ) SATE / mv 16 / 44 63

68 Johtimen resistanssi R virtatiheden ollessa ei-vakio Ohmin lain mukaisesti: U R = = I U U = J d S σ E ds Jos vain sähkökentän voimakkuus on tiedossa: R = E dl σ E ds SATE / mv 17 / 44 Virtatason virtatihes K Kun kokonaisvirta I kulkee suuntaan slinterinmuotoista (säde ρ) tasoa, niin jokaisessa ko. tason pisteessä ρ I K = e πr Yleisessä muodossa integroidaan K:n normaalikomponenttia: = I K l C n d K SATE / mv 18 / 44 64

69 Virran jatkuvuusehto Suljetulla pinnalla: J d S = I Jaetaan molemmat puolet V:llä: J ds ρ V dv = V t V Kun V V ρ 0, niin J = t dq = = V dv dt t ρ SATE / mv 19 / 44 E d l Johteen ja eristeen väliset rajapintaehdot Sähkökenttä on konservatiivinen => = E d l + E d l + E d l + E d l = Eriste 4 3 Johde SATE / mv 130 / 44 65

70 Sähkökenttä ja vuontihes johteessa Staattisessa tilanteessa kaikki varaukset ovat johtimen ulkopinnalla johtimen sisällä : ρ = 0 D = 0 E = E d l = 0 E dl + E dl + E dl = E dl = E dl = Annetaan etäisksien 3 ja 4 1 lähestä nollaa: E d l = SATE / mv 131 / 44 Sähkökentän ja vuontiheden tangentiaalinen komponentti rajapinnassa Sähkökenttä E on välillä 1 eristeen pinnalla tangentiaalinen: E dl = E dl = t Joten: sähkökentän voimakkuuden ja sähkövuontiheden tangentiaalinen komponentti johteen ja eristeen rajapinnassa on nolla: E = D = 0 t t SATE / mv 13 / 44 66

71 Gaussin lain sovellus rajapinnassa D d S = D d S + D d S + D ds läp. alap. sivu = Q enc Sähkövuon tiheden tangentiaalinen komponentti on 0 D d S = 0 sivu D ds + D ds = Qenc läp. alap. D n läp. S ds läp. Eriste Johde alap. ds alap SATE / mv 133 / 44. Gaussin lain sovellus rajapinnassa Sähkövuon tihes johteessa on 0 D d S = 0 alap. D d S = Q läp. enc Sähkövuon tiheden suunta lälaipassa on tason pinnalle normaali: D ds = D ds = ρ ds n läp. läp. A D = ρ S E = ρ ε n S n SATE / mv 134 / 44 S 67

72 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 7. KAPASITANSSI JA ERISTEAINEET Atomin polarisoituminen Sähkövuon tihes D on eristeaineessa suurempi kuin thjössä (E:n ollessa sama) => eristeaine polarisoituu sähkökentässä + + E SATE / mv 136 / 44 68

73 Sähköinen dipolimomentti p Positiivisen ja negatiiviisen varausalueen siirtminen vastakkaisiin suuntiin => Sähköinen dipolimomentti p = Qd d Q E SATE / mv 137 / 44 => Polarisaatio P Polarisaatio P eristeessä Polarisoituneella eristealueella V on N kappaletta dipolimomentteja p P = Np lim C/m V V 0 ( ) Tällöin oletetaan, että dipolimomentit noudattavat jatkuvaa jakaumaa ko. tilavuudessa, mikä ei pidä paikkaansa SATE / mv 138 / 44 69

74 Polarisaatio P makrotasolla Makroskooppisella tasolla: D = ε 0 E + P E:n ja P:n suunnat voivat erota toisistaan (tiett kristalliset eristeaineet) SATE / mv 139 / 44 Polarisaatio P isotrooppisessa aineessa Isotrooppisilla, lineaarisilla materiaaleilla E ja P ovat samansuuntaiset kaikissa pisteissä: P = χ ε e 0 E, missä χ = ε D = ε E, missä ε r = ε e ( ) D = ε 1 + χ E = ε ε E, sähköinen suskeptibiliteetti 0 e 0 missä ε = 1 + χ suhteellinen permittiiviss r e SATE / mv 140 / 44 r 70

75 Kapasitanssi C Kahden johtavan alueen, joiden välissä on thjö tai eristeainetta, välillä on kapasitanssi: Ψ Q C = V ( F) Kapasitanssin suuruus riippuu vain järjestelmän geometriasta ja eristeen ominaisuuksista SATE / mv 141 / 44 Rinnanktkett kapasitanssit A 1 A d V ε 0 ε r1 ε 0 ε r C 1 C V Kaksi kapasitanssiltaan erilaista eristeainetta on rinnakkain: ε 0ε r1a1 ε 0ε r A C1 = ja C = d d ε 0 Ckok = C + C = ε r A + ε r A d ( ) SATE / mv 14 / 44 71

76 Sarjaanktkett kapasitanssit d 1 ε 0 ε r1 A V C 1 V d ε 0 ε r C Kaksi kapasitanssiltaan erilaista eristeainetta on peräkkäin: ε ε A ε ε A C = ja C = 0 r1 0 r 1 d1 d ε r d + ε r d = + = C C C ε ε ε A 1 1 kok 1 0 r1 r SATE / mv 143 / 44 Sähkökenttään varastoitunut energia Sähkökenttään varastoitunut energia (integrointi johteiden välisessä tilavuudessa, hajavuota ei huomioida): WE 1 = dv D E D = ε ε E 0 r 1 = ε ε WE 0 re dv SATE / mv 144 / 44 7

77 Kapasitanssiin varastoitunut energia Kapasitanssiin varastoitunut energia (integrointi johteiden välisessä tilavuudessa, hajavuota ei huomioida): WE = 1 CV SATE / mv 145 / 44 Levkondensaattori vakio jännitteeseen ktkettnä => Levjen välissä vakio E E V = e d 0 n Kun levjen välissä olevan eristeen permittiiviss ε r : ε V D = ε E = e d n d E = E D = ε r 0 D 0 V ε SATE / mv 146 / 44 73

78 Levkondensaattorin levillä vakio varaus => Levjen välissä vakio D Q 1 Q D0 = en E0 = D0 = e A ε 0 ε 0 A Kun levjen välissä olevan eristeen permittiiviss ε r : D = D E = 1 ε r 0 E 0 +Q -Q n ε 0 A d SATE / mv 147 / 44 Rajapintaehdot kahden eristeaineen rajapinnalla E:n tangentiaalinen komponentti on jatkuva eristeiden rajapinnassa: Dt 1 Dt Et1 = Et = ε r1 ε r D:n normaalikomponentti on ko. rajapinnassa epäjatkuva ( ρ :n suuruuden verran): ε r E θ 1 Dn 1 Dn = ρ ε r1 s θ ρ s ε r1en1 ε r En = ε SATE / mv 148 / 44 E 1 74

79 Rajapintaehdot kahden eristeaineen rajapinnalla Tavallisesti eristeaineiden välisessä rajapinnassa ei ole varauksia, joten rajapintaehdot tulevat olemaan: E D D = E = ε ε t1 t t1 t r1 r D = D ε E = ε E n1 n r1 n1 r n SATE / mv 149 / 44 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 8. LAPLACEN YHTÄLÖ 75

80 Johdanto Sähkökentän voimakkuuden määrittäminen on vaikeaa integroimalla varausjakaumia tai Gaussin lain perusteella, koska leensä varausjakaumaa ei tunneta potentiaalifunktion gradientin kautta, koska leensä potentiaalifunktiota ei tiedetä koko alueella SATE / mv 151 / 44 D = ρ Poissonin htälö D = ε E ε E = ρ Homogeenisessa väliaineessa: ρ ε ( V ) V = E ε = ρ V = V = ρ ε SATE / mv 15 / 44 76

81 Laplacen htälö Homogeenisessa varauksettomassa väliaineessa: V = SATE / mv 153 / 44 Laplacen htälö karteesisessa koordinaatistossa V V V V = e + e + e A = + + A A A V V V V = + + = SATE / mv 154 / 44 77

82 Laplacen htälö slinterikoordinaatistossa V 1 V V V = eρ + eϕ + e ρ ρ ϕ 1 1 Aϕ A A = ( ρ Aρ ) + + ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ρ ϕ 1 V 1 V V V = ρ + + = SATE / mv 155 / 44 Laplacen htälö pallokoordinaatistossa V 1 V 1 V V = er + eθ + e r r θ r sinθ ϕ Aϕ A = ( r Ar ) ( Aθ sinθ ) + r r r sinθ θ r sinθ ϕ 1 V 1 V 1 V V r θ = + sin + = 0 r r r r sinθ θ θ r sin θ ϕ ϕ SATE / mv 156 / 44 78

83 Ainoalaatuisuus Sähköstaattisella probleemalla on vain ksi ratkaisu V 1 V V =100V SATE / mv 157 / 44 Keskiarvoteoreema Varauksettomassa alueessa: Ymprän tai pallon keskipisteessä potentiaali V on keskiarvo kaikista ko. alueella olevista arvoista SATE / mv 158 / 44 79

84 Maksimiarvoteoreema Varauksettomassa alueessa: Potentiaalilla V ei voi olla maksimi- tai minimiarvoa ko. alueessa. => Potentiaalin V maksimiarvo on alueen rajapinnassa SATE / mv 159 / 44 Yksi muuttuja karteesisessa koordinaatistossa Levjen välissä oleva tila on varaukseton. V V V V = + + = 0 Hajavuota ei huomioida. Potentiaali on vain :n funktio. V = 0 d V = 0V V =100V SATE / mv 160 / 44 80

85 Integroinnit Integroidaan kahteen kertaan: V V = = 1. integr. 0 A V. integr. = A V = A + B SATE / mv 161 / 44 Rajaehdot Kätetään apuna htälön kertoimien ratkaisussa rajaehtoja: V = 0, kun = 0 B = V = 100, kun = d A = d V = 100 ( V) d SATE / mv 16 / 44 81

86 Sähkökentän voimakkuus V V V E = V = e + e + e 100 V Nt E V = = 100 = e d e d e m ε100 C D = e d m SATE / mv 163 / 44 Varaustihes johdelevillä ε100 C ρs d m = d + ja = 0 = Dn = ± SATE / mv 164 / 44 8

87 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 9. AMPÈREN LAKI JA MAGNEETTIKENTTÄ Staattinen magneettikenttä Staattisen magneettikentän saa aikaiseksi 1. vakiovirta. kestomagneetti SATE / mv 166 / 44 83

88 Magneettivuon tihes B ksikkö T= Vs i m kuvaa avaruuteen jakautunutta magneettista voimaa, joka saa sähkövirran muutamaan suuntaansa SATE / mv 167 / 44 A i ksikkö m Magneettikentän voimakkuus H B H = B = µ H (lineaariselle väliaineelle) µ µ = µµ = permeabiliteetti 0 r 7 thjön permeabiliteetti µ 0 = 4π*10 H/m voidaan käsittää matemaattiseksi apusuureeksi E:n ja H:n välillä smmetria (dualismi) SATE / mv 168 / 44 84

89 Vektorikentän A roottori mittaa vektorifunktion pörteisttä 1. vektorifunktion muuttuminen omaa suuntaansa vastaan kohtisuorassa suunnassa. suunnan kaartuminen A A A SATE / mv 169 / 44 Roottori leisessä muodossa 1 A = h h h 1 3 h e h e h e 1 3 h A h A h A SATE / mv 170 / 44 85

90 Roottori karteesisessa koordinaatistossa e e e A = A A A A A A A A A = e + e + e SATE / mv 171 / 44 Roottori slinterikoordinaatistossa e ρe e ρ 1 A = ρ ρ ϕ ϕ A ρ A A ρ ϕ A A ϕ Aρ A 1 Aρ = ρ + ϕ + ( ρ Aϕ ) ρ ϕ e ρ e ρ ρ ϕ e SATE / mv 17 / 44 86

91 Roottori pallokoordinaatistossa A = r e re r sinθe r 1 sinθ r θ ϕ A ra r sin A r θ θ ϕ ϕ 1 Aθ 1 1 Ar = ( A sinθ ) er + ( ra ) e r sinθ θ ϕ r sinθ ϕ r 1 Ar + ( raθ ) eϕ r r θ ϕ ϕ θ SATE / mv 173 / 44 Roottorin ominaisuuksia 1. Kaikille vektorikentille A: Roottorin divergenssi on nolla (skalaari) ( A) = 0. Kaikille skalaarifunktioille f: Gradientin roottori on nolla (vektori) ( f ) = SATE / mv 174 / 44 87

92 Biot n ja Savartin laki Suoran pitkän virtajohtimen magneettikentän laki: I e e ϕ I H I H e ρ R 1. Kentän suunta saadaan oikeankäden säännön mukaisesti. Kentän voimakkuus on verrannollinen virtaan I ja kääntäen verrannollinen etäisteen R SATE / mv 175 / 44 Biot n ja Savartin laki Yleisessä muodossa: dh = Idl e 4πR R [ A/m] Id l R H = Idl e 4πR R [ A/m] d H SATE / mv 176 / 44 88

93 Ampèren laki Kahden samansuuntaisen suoran virtajohtimen välisen voiman laki: 1. Yhden suuntaiset suorat virtajohtimet vetävät toisiaan, jos virrat ovat samansuuntaiset I 1 I e e ϕ F L e ρ F I H. Johtimen osaan vaikuttava voima F on verrannollinen osan pituuteen L ja kumpaankin virtaan I 1 ja I sekä kääntäen verrannollinen johdinten välimatkaan R SATE / mv 177 / 44 Ampèren laki H d l = I alue Suljettu viivaintegraali magneettikentän voimakkuuden tangentiaalisesta komponentista = kokonaisvirta ko. viivaintegraalin sisään jäävässä alueessa SATE / mv 178 / 44 89

94 Ampèren lain sovelluksen ehdot 1. Kunkin pisteen suljetulla reitillä H tulee olla joko tangentiaalinen tai normaali reitille. H on htä suuri jokaisessa reitin pisteessä, missä H on tangentiaalinen SATE / mv 179 / 44 Magneettikentän voimakkuuden H roottori Ampèren lain mukaisesti: I di e = lim = J = 0 ds I di H e = lim = J = H = J 0 ds I di e = lim = J = 0 ds ( H ) ( ) ( H ) SATE / mv 180 / 44 90

95 Magneettivuo Φ (Wb) Φ = B d S S Gaussin laki magneettivuolle: Suljetun pinnan läpi ulos tuleva magneettivuo on nolla. Φ = 0 Magneettivuo on jatkuva SATE / mv 181 / 44 Magneettikentän vektoripotentiaali A (Wb/m) Staattinen magneettikenttä on aina roottorikenttä: On olemassa vektorikenttä A, jonka pörteiss on kentän magneettivuon tihes B: A = Jos vektoripotentiaali halutaan määrittää alueella olevan virran perusteella, tarvitaan lisäehto: B A = SATE / mv 18 / 44 91

96 Vektoripotentiaalit perusvirtajakaumille µ Idl Virtalanka: A = 4πR µ ds Virtataso: A = K 4πR µ dv Virtatihes: A = J 4πR R on etäiss virtaelementistä pisteeseen, jossa vektoripotentiaalia ollaan määrittämässä. S V SATE / mv 183 / 44 Stokesin lause Suljetulla reitillä C olevat vektorikentän F tangentiaaliset komponentit = alueen S läpi kulkevat vektorikentän F roottorin normaalikomponentit ( ) F d l = F d S C Magneettikentille: S A dl = B ds = Φ C S F S SATE / mv 184 / 44 9

97 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 10. MAGNEETTIKENTÄSSÄ VAIKUTTAVAT VOIMAT JA VÄÄNTÖMOMENTIT Lorenin voimalaki Määrittää sähköiseen liikkuvaan varaukseen kohdistuvan sähköisen ja magneettisen voiman: F = Q( E + U B) Kun kseessä on jatkuva sähkövirta, saadaan pelkäksi magneettiseksi voimalaiksi: F = J B SATE / mv 186 / 44 93

98 Magneettisen voiman riippuvuus virran suunnasta B B F F F=0 I I I B B B B B B ( ) F = I L B I B I B F F SATE / mv 187 / 44 Tö Magneettikenttä aiheuttaa virralliseen johtimeen Lorenin lain mukaisen voiman F. Jotta virrallinen johdin ps paikallaan, on siihen vaikutettava em. voimalle vastakkainen voima F a. Tö, joka joudutaan tekemään liikutettaessa virrallista johdinta magneettikentässä: W = loppu F alku a d l SATE / mv 188 / 44 94

99 Vääntömomentti T (N/m) Tietssä pisteessä vaikuttava vääntömomentti saadaan ko. pisteestä lähtevän voiman varren ja voiman ristitulosta: T = r F T O r F P SATE / mv 189 / 44 Virtasilmukka esimerkki: voima Olkoon ksikierroksinen kela tasolla = 0. Vain + -suuntaan oleva virta aikaansaa voimavaikutuksen: ( B ) ( ) B F = I le e vasen ( ) F = I l e e oikea B l I I B w SATE / mv 190 / 44 95

100 Virtasilmukka esimerkki: vääntömomentti w w T = ( e ) BIl ( e ) + e BIle w = BIl ( e ) = BIA( e ) B B l I I w SATE / mv 191 / 44 Magneettimomentti m Magneettimomentti m = IAe virtasilmukalle: n jossa ksikkönormaalivektori e n saadaan oikean käden säännön mukaisesti. T = m B Eli: Alueessa, jossa vaikuttaa magneettikenttä B, on olemassa vääntömomentti T, joka prkii kääntämään virtasilmukkaa sellaiseen asentoon, jossa m ja B ovat samaan suuntaan (jolloin vääntömomentti menee nollaksi) SATE / mv 19 / 44 96