ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

Transkriptio

1 ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa

2 Luentoviikko 5 Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27) Magnetismi Magneettikenttä Magneettiset kenttäviivat ja magneettivuo Varausten liike magneettikentässä Liikkeen sovelluksia Virtajohdin magneettikentässä Virtasilmukka magneettikentässä Tasavirtamoottori Hallin ilmiö Yhteenveto B F R v q 2 (31)

3 Tavoitteena on oppia Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27) magneettien ominaisuuksia ja miten magneetit vaikuttavat toisiinsa magneettikentässä liikkuvaan varaukseen vaikuttavan voiman luonne miten magneettiset kenttäviivat eroavat sähköisistä kenttäviivoista miten analysoidaan magneettikentässä olevan varauksen liikettä miten tutkitaan virtajohtimiin vaikuttavaa magneettista voimaa miten virtasilmukat käyttäytyvät magneettikentässä muutamia magneettikentän käyttökohteita kemiassa ja fysiikassa 3 (31)

4 Magnetismi Johdanto Magneettisia voimia käytetään hyödyksi monessa arkipäivän laitteessa Magnetismin olemus on liikkuvien sähkövarausten vuorovaikutus Sähköiset voimat vaikuttavat kaikkiin varauksiin, magneettiset voimat vain liikkuviin varauksiin Magneettikentän synnyttää kestomagneetti, virta johteessa tai liikkuva varaus Magneettikenttä välittää voiman, jonka jokin toinen virta tai liikkuva varaus kokee Ensimmäiset havainnot magneettisista ilmiöistä tehtiin (oppikirjan mukaan) vähintään 2500 vuotta sitten Magnesia [ad Sipylumin] kaupungissa (nyk. Manisa) Länsi-Turkissa 4 (31)

5 Magnetismi Magnetismi (Kesto)magneetissa on kaksi napaa kompassin mukaan S south, N north N S Samanmerkkiset navat hylkivät toisiaan, erimerkkiset vetävät toisiaan puoleensa Magneetin navat vetävät puoleensa rautaa sisältäviä ei-magnetisoituja esineitä (Missä tahansa) magneetissa on aina kaksi napaa: N S N S N S Maapallolla on magneettikenttä kenttäviivat kulkevat etelästä pohjoiseen Pohjoisnavalla on S-napa (mitä?) 5 (31)

6 Magneettikenttä Liikkuva varaus ja magneettinen voima Sähkökenttä Levossa oleva sähkövarausjakautuma synnyttää sähkökentän E Sähkökenttä aiheuttaa voiman F = q E varaukseen q Magneettikenttä Liikkuva varaus (virta) synnyttää (sähkökentän lisäksi?) magneettikentän B Magneettikenttä aiheuttaa voiman F liikkuviin varauksiin ja virtoihin Kokeellisesti on havaittu, että magneettikenttä B aiheuttaa nopeudella v liikkuvaan varaukseen q voiman F = q v B [B] def = tesla = T = N A m = V s m 2 voiman suunta (hiukkasen nopeus ja magneettikenttä) B on oikealta nimeltään magneettivuon tiheys, mutta kurssissa ja kirjassa sitä kutsutaan vain magneettikentäksi 6 (31)

7 Magneettikenttä Elektronisuihku magneettikentässä Magneettikenttää voidaan tutkia katodisädeputken avulla Elektronisuihku osuu keskelle kuvaruutua, jos magneettikenttä on elektronisuihkun kanssa yhdensuuntainen Käännetään putkea (ja elektronisuihkua) 90 magneettikenttä kääntää suihkua Kääntymissuunnasta voidaan päätellä elektronin varaus Jos varauksen kohdalla on sähkö- ja magneettikenttä yhtä aikaa, voima F = q( E + v B) Lorentzin voimalaki 7 (31)

8 Magneettiset kenttäviivat ja magneettivuo Kenttäviivat Kokeellisesti kenttäviivojen suunta nähdään rautaviilajauholla Rautahippuset ovat pieniä kompassineuloja magneettikenttään asetettuina (vrt. ruohonsiemenet sähkökentässä) N S Mangeettikentän kenttäviivat eivät ole voimaviivoja siinä mielessä kuin sähkökentän kenttäviivat (magneettikenttä aiheuttaa voiman vain liikkuvaan varaukseen eikä voiman suunta ole kentän suunta)! Magneettikenttävektorit ovat kenttäviivojen tangentteja (kuten sähkökentällä) 8 (31)

9 Eri lähteiden magneettisia kenttäviivoja

10 Magneettiset kenttäviivat ja magneettivuo Magneettivuo Magneettivuo Φ B määritellään kuten sähkökentän vuo Otetaan kuvitteellinen pinta A ja integroidaan sen läpi kulkeva B Φ B = B d A = B da magneettivuo [Φ B ] def = weber = Wb = ["Ve:ber] = T m 2 = N m/a = V s 10 (31)

11 Magneettiset kenttäviivat ja magneettivuo Gaussin laki magnetismissa Magneettisia monopoleja ei ole olemassa (tai ainakaan niitä ei ole luonnossa havaittu) Magneettivuo minkä tahansa suljetun pinnan läpi on nolla: B d A = 0 magnetismin Gaussin laki Magneettiset kenttäviivat ovat suljettuja silmukoita Jos valitaan tarkastelupinta (da ) kohtisuoraan B:tä vastaan, B = dφ B da (tästä näkee, miksi B:n oikea nimi on magneettivuon tiheys) 11 (31)

12 Varausten liike magneettikentässä Varauksen liike magneettikentässä Magneettikentän varaukseen aiheuttama voima on aina kohtisuorassa nopeutta vastaan Magneettikenttä voi muuttaa varauksen nopeuden suuntaa, ei suuruutta magneettinen voima ei tee työtä varaukselle varaus liikkuu ympyrä- tai kierrerataa B F R v q 12 (31)

13 Varausten liike magneettikentässä Syklotronitaajuus Newton II magneettinen voima on yhtä suuri kuin keskihakuvoima: F = q vb = m v2 R R = mv q B ympyräradan säde Varauksen kiertoaika T = 2πR/v, joten kulmataajuus ω = 2π/T = v/r = v q B/(mv) = q B/m (m on varauksen massa) Kulmataajuutta vastaava taajuus f = ω/(2π) = q B/(2πm) on syklotronitaajuus Esimerkiksi mikroaaltouunin tehonlähteenä käytetty magnetroni lähettää mikroaaltosäteilyä taajuudella 2.45 GHz, jolla elektronit kiertävät ympyrärataa tyhjiökammiossa magneetin napojen välissä. Mikroaaltouunin taajuutta ei ole valittu maksimoimaan vesimolekylien tehoabsorptiota. 13 (31)

14 Epähomogeeninen magneettikenttä Magneettinen pullo Hiukkanen kulkee kierrerataa, jos v ei ole kohtisuorassa B:tä vastaan Kahden virtasilmukan välissä epähomogeeninen kenttä magneettinen pullo, johon varatut hiukkaset voivat jäädä loukkuun Sovellus: kuuman plasman (T 10 6 K) keskittäminen fuusioreaktorissa

15 Varausten liike magneettikentässä Epähomogeeninen magneettikenttä Van Allenin vyöt Maan magneettikenttäkin muodostaa loukkuja varatuille hiukkasille Auringosta tulevat varatut hiukkaset loukkuuntuvat ennen ilmakehään osumistaan Van Allenin vyöt (löydettiin vasta 1958) revontulet 15 (31)

16 Varausten liike magneettikentässä Kuplakammio Kuplakammiossa on nestemäistä vetyä johon törmäydetään hiukkasia Ulkoinen magneettikenttä on kohtisuorassa hiukkasten kulkusuuntaan nähden Esim. gammakvantti irrottaa nopean elektronin vetyatomista Samalla muodostuu elektroni ja positroni (parinmuodostus) Nämä hitaat hiukkaset kiertävät magneettikentän takia spiraalirataa Saadaan selville hiukkasten massoja ja varauksia 16 (31)

17 Liikkeen sovelluksia Nopeudenvalitsin q Varattujen hiukkasten suihkusta voidaan valita tietynnopeuksisia hiukkasia Sähkö- ja magneettikenttä kohtisuorassa toisiaan vastaan Suoraan kulkevat hiukkaset toteuttavat liikeyhtälön B Fy = 0 qvb qe = 0 v = E B Nopeus valitaan säätämällä kenttien voimakkuuksia Varauksen merkillä ei ole väliä E 17 (31)

18 Liikkeen sovelluksia J.J. Thomsonin e/m-koe (1897) Tyhjiöputkessa kiihdytetään kuumasta katodista irtoavia elektroneja Potentiaaliero V kahden anodin välillä, elektronin massa m ja nopeus v: 1 2eV 2 mv2 = ev v = m Seuraavaksi elektronisuihku ohjataan nopeudenvalitsimeen: E B = 2eV e m m = E2 2V B 2 = mitattavissa Thomson löysi elektronin ja sai määritetyksi elektronin varauksen ja massan suhteen: (R.A. Millikan 1913: elektronin varaus) e 1.76 C 1011 m kg 18 (31)

19 Liikkeen sovelluksia Massaspektrometri Bainbridgen massaspektrometri (kuva) Kapea suihku positiivisia ioneja ohjataan nopeudenvalitsimeen Nopeudenvalitsimen jälkeen on kohtisuora magneettikenttä B Ionien rata kaareutuu ja ionit osuvat valokuvauslevylle Levylle osuvien ionien kulkuradan säde B E R = mv qb = me qbb Thomson löysi 1913 kaksi neonin isotooppia B 19 (31)

20 Virtajohdin magneettikentässä Virtajohtimeen kohdistuva magneettinen voima Johtimessa positiivinen varaus ajautuu ylöspäin (nopeus v d ) ja A F = q v B Varaustiheys n johtimen l-pituisessa osassa on nal varausta Osassa liikkuviin varauksiin kohdistuu kokonaisvoima F = (nal)(qv d B) = (nqv d A)(lB) F v d q l Virrantiheys J = nqv d = I/A, joten F = (JA)(lB) = IlB J 20 (31)

21 Virtajohdin magneettikentässä Käyräviivaiset johtimet Jos johdin ja magneettikenttä eivät ole kohtisuorassa, voima F = I l B (virran kulkusuunta = l:n suunta) Pätee myös negatiivisille virrankuljettajille (q e, v d v d ) Käyräviivainen johde jaetaan suoriin osiin d l, joten d F = I d l B (virta-alkioon kohdistuva magneettinen voima) ja kokonaisvoima saadaan integroimalla johdinta pitkin 21 (31)

22 Virtasilmukka tasaisessa magneettikentässä Ylhäältä (+z-suunnasta) F Sivulta ( y-suunnasta) z y A, µ F F a B z I x F F B φ φ b b F b = b cos φ Voimaparien ± F ja ± F nettovoima on nolla Voimapari ± F aiheuttaa vääntömomentin y-akselin suhteen

23 Virtasilmukka magneettikentässä Magneettidipoli Edellä voima F = IaB ja F = Ib B = IbB cos φ (muista: tasainen B) Voiman F aiheuttama vääntömomentti τ = 2 (b/2) F sin φ = IabB sin φ ab=a = IAB sin φ Vääntömomentin amplitudilla on maksimi, kun φ = 90, ja minimi, kun φ = 0 tai 180 Tulo IA def = µ on silmukan magneettinen dipolimomentti tai magneettinen momentti: τ = µb sin φ tai τ = µ B Virtasilmukka tai muu vääntömomenttia lausekkeen mukaisesti kokeva kappale magneettikentässä on magneettidipoli Magneettisen momenttivektorin µ = I A suunta (= peukalo) saadaan oikean käden säännöllä virran kiertosuunnasta (= sormet); µ on kohtisuorassa virtasilmukan tasoa vastaan 24 (31)

24 Virtasilmukka magneettikentässä Magneettidipolin potentiaalienergia Magneettikenttä pyrkii kääntämään magneettidipolin niin, että µ on samansuuntainen B:n kanssa (vääntömomentti nollaksi) Jos kenttä kääntää dipolia, se tekee työtä Sähkökentän sähködipoliin aiheuttaman vääntömomentin lauseke ( τ = p E) on samannäköinen magneettikentän magneettidipoliin aiheuttaman vääntömomentin kanssa, joten vuorovaikutusten symmetrian perusteella U µ = µ B (magneettidipolin potentiaalienergia) (muista: sähködipolille sähkökentässä U = p E) 25 (31)

25 Virtasilmukka magneettikentässä Yleinen virtasilmukka Edelliset tulokset (vääntömomentti ja potentiaalienergia) johdettiin suorakaiteen muotoiselle virtasilmukalle Tulokset pätevät mielivaltaiselle tasomaiselle virtasilmukalle, päättely: Jaetaan epäsäännöllinen tasosilmukka vierekkäisiin (äärettömän) kapeisiin suorakaidesilmukoihin Vain suorakaiteiden ulkoreunojen virrat vaikuttavat, sisäreunojen vaikutukset kumoutuvat pareittain Jos N-kierroksinen solenoidi (kela) on tasaisessa magneettikentässä, µ = NIA τ = NIAB sin φ Dipolimomentti on solenoidin akselin suuntainen ja magneettikenttä pyrkii kääntämään solenoidin itsensä suuntaiseksi Magneettidipolin sovelluksia: d Arsonvalin galvanometri, MRI-kuvaus (engl. magnetic resonance imaging) 26 (31)

26 Virtasilmukka magneettikentässä Virtasilmukka epähomogeenisessa magneettikentässä Tasaisessa magneettikentässä virtasilmukkaan ei kohdistu nettovoimaa Kestomagneetin S-navan epähomogeenisessa magneettikentässä virtasilmukka, jonka dipolimomentti osoittaa kohti kestomagneettia, pyrkii kohti napaa (entä pohjoisnavalla?) N S µ Elektronilla on spininsä ansiosta magneettinen momentti Rauta-atomeissa (toisin kuin useimmissa muissa aineissa) monien elektronien momentit yhdensuuntaistuvat rauta-atomeilla on magneettinen nettomomentti raudan voi magnetoida kestomagneetiksi ja magneetin epähomogeeninen kenttä vetää (magnetoimatontakin) rautaa puoleensa 27 (31)

27 Tasavirtamoottori Tasavirtamoottorin osat Kiertyvä virtasilmukka on roottori Silmukan päät ovat kiinni kommutaattorissa Kommutaattorin johdelohkot koskettavat johtavia harjoja Harjat on kytketty virtalähteeseen 28 (31)

28 Tasavirtamoottori Toimintaperiaate 1. Vääntömomentti τ = µ B kääntää roottorin µ:n magneettikentän suuntaiseksi 2. Harjat osuvat molempiin kommutaattorin lohkoihin (virta silmukassa katkeaa) 3. Roottori jatkaa pyörimistä (kulmaliikemäärä!), kunnes virta taas kulkee silmukassa 29 (31)

29 Hallin ilmiö Hallin ilmiö Asetetaan johdelevy kohtisuorasti magneettikenttää vastaan z Levyn läpi ohjataan virta x-akselin suuntaan Varaukseen q (> 0) kohdistuu voima F z = qv d B y Varaukset erottuvat levyn vastakkaisiin reunoihin sähkökenttä E z [alaspäin] J x B y x Tasapainossa F z = 0 qe z + qv d B y = 0 E z = v d B y Virrantiheys J x = nqv d nq = J xb y E z Hallin ilmiö Sovelluksia: n:n, v d :n tai B y :n mittaaminen 30 (31)

30 Yhteenveto luvusta 27 Keskeisiä käsitteitä Magneettikenttä B Magneettinen voima F Magneettivuo Φ B Magneettidipoli ja magneettinen momentti µ Hallin ilmiö Tärkeitä kaavoja Magneettinen voima F = q v B Gaussin laki magnetismille B d A = 0 d F = I d l B Magneettidipoli µ = I A τ = µ B, U µ = µ B