ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot.............................. 8 2.4 Cuchyn jono........................... 24 3 Funktion rj-rvo j jtkuvuus 29 3. Peruskäsitteitä.......................... 29 3.2 Funktion rj-rvo........................ 3 3.3 Funktion jtkuvuus........................ 33 3.4 Funktion tsinen jtkuvuus................... 42 4 Srjt 45 4. Srjn suppeneminen....................... 45 4.2 Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille.......... 5 4.3 Itseisesti suppenevt srjt.................... 6 4.4 Vuorottelevt srjt........................ 67

5 Riemnnin integrli 7 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5.2 Anlyysin perusluse....................... 82 6 Epäoleelliset integrlit 89 7 Funktiojonot j -srjt 00 7. Pisteittäinen j tsinen suppeneminen............. 00 7.2 Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen......... 03 8 Potenssisrjt 08 8. Potenssisrjn suppeneminen.................. 08 8.2 Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi......... 3

Relilukujen peruskäsitteitä Usein trkstelun kohteen ovt nnetun joukon A R, A, mksimi j minimi sekä ylä- j lrjt, erityisesti pienin ylärj (supremum) j suurin lrj (infimum). Määritelmä.. Olkoon A R, A. Reliluku M R snotn joukon A mksimiksi (eli suurimmksi rvoksi), jos (i) x M kikill x A j (ii) M A. Merkitään M = mx A. Vstvsti reliluku m R snotn joukon A minimiksi (eli pienimmäksi rvoksi), jos (i) x m kikill x A j (ii) m A. Merkitään m = min A. Huomutus.2. Mksimi j minimi ovt yksikäsitteisiä, mikäli ne ovt olemss. Perustelu: Olkoot M = mx A j M = mx A. Nyt x M kikill x A. Tällöin M M, sillä M A. Toislt x M kikill x A j siten M M, kosk M A. Siis M = M. Minimi todistetn smll tvll (hrjoitustehtävä). Määritelmä.3. Olkoon A R, A. (i) Joukko A snotn ylhäältä rjoitetuksi, jos on olemss sellinen M R, että x M kikill x A. Tällist luku M snotn joukon A ylärjksi.

(ii) Joukko A snotn lhlt rjoitetuksi, jos on olemss sellinen m R, että x m kikill x A. Tällist luku m snotn joukon A lrjksi. (iii) Joukko A snotn rjoitetuksi, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu. Huomutus.4. () Jos joukoll on mksimi ti minimi, niin se on vstvsti joukon ylä- ti lrj. (2) Toisin kuin mksimi j minimi, joukon ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä. Esimerkki.5. Määritellään joukko A = {x n } induktiivisesti n= x =, x n+ = x2 n + 2 2x n, n =, 2,... Tutkitn joukon A rjoittuneisuutt. Rtkisu: Nyt x = j siten x 2 = + 2 2 = 3 2 =,5 x 3 =,52 + 2 2,5,47 x 4 =,472 + 2 2,47,442. Väite : x n 2, n = 2, 3,... (x = ) Todistus: Selvästi x n+ = xn + 2 x n x n+ = x2 n + 2 = x2 n + ( 2) 2 2x n 2x n > 0 kikill n =, 2,... (x = ). Lisäksi 2x n 2 = 2 2x n sillä x n 0, kun n =, 2,... Edellä on käytetty ekvivlenssiin 2 + b 2 2b ( b) 2 0 perustuv rviot x 2 n + ( 2) 2 2 2x n. Siten x n 2, kun n = 2, 3,... Siis x n = x kikill n =, 2,..., joten A on lhlt rjoitettu j min A =. 2

Väite 2: x n+ x n, n = 2, 3,... Todistus: Väite voidn yhtäpitävästi muutt seurvn muotoon: x n+ x n x2 n + 2 x n 2x n x 2 n + 2 2x 2 n (x n > 0) x 2 n 2 x n 2 (x n > 0). Kosk x n 2 > 0, kun n = 2, 3,..., niin myös x n+ x n, n = 2, 3,... Tästä seur, että x n x 2 = 3 kikill n =, 2,..., joten A on ylhäältä 2 rjoitettu j mx A = 3. 2 Siis x x n x 2 kikill n =, 2,..., joten A on rjoitettu. Vroitus: Ei ole olemss yleistä menetelmää todist, että nnettu joukko on rjoitettu. Ain sitä ei ole helppo nähdä. Huomutus: Käytännössä joukon rjoittuneisuus knntt usein todist seurvn kriteerin vull: Joukko A R, A, on rjoitettu jos j vin jos on olemss sellinen K 0, että x K kikill x A. Perustelu: : Oletetn, että m x M kikill x A. Kosk m mx{ m, M }, niin x m m mx{ m, M } kikill x A j Siten x M M mx{ m, M } kikill x A. mx{ m, M } x mx{ m, M } kikill x A, eli x mx{ m, M }. Täten esimerkiksi vlint K = mx{ m, M } kelp. : Jos x K jokisell x A (K 0), niin K x K jokisell x A. Siten K on joukon A lrj j K sen ylärj. Siis A on rjoitettu. Määritelmä.6. Olkoon A R, A. Luku M R snotn joukon A pienimmäksi ylärjksi eli supremumiksi, jos 3

(i) x M kikill x A j (ii) jos x M kikill x A, niin M M. (Koht (i) kertoo sen, että M on ylärj j (ii) sen, että M on ylärjoist pienin.) Merkitään M = sup A. Vstvsti luku m R snotn joukon A suurimmksi lrjksi eli infimumiksi, jos (i) x m kikill x A j (ii) jos x m kikill x A, niin m m. (Koht (i) kertoo sen, että m on lrj j (ii) sen, että m on lrjoist suurin.) Merkitään m = inf A. Määritelmän merkitys: Kosk ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä, pyritään vlitsemn niille prs mhdollinen edustj. Huomutus.7. () Jos joukoll A on mksimi, niin mx A = sup A. Vstvsti jos joukoll A on minimi, niin min A = inf A. Supremun j infimum ovt mksimin j minimin korvikkeit. Perustelu: Olkoon M = mx A. Silloin x M kikill x A, joten M on ylärj. Oletetn, että x M kikill x A. Kosk M A, niin M M, joten M on pienin ylärj. Infimum todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). (2) Mikäli supremum ti infimum on olemss, niin se on yksikäsitteinen. Perustelu: Olkoot M = sup A j M = sup A. Nyt M M, kosk M on ylärj j M on pienin ylärj. Toislt M M, kosk M on ylärj j M on pienin ylärj. Siis M = M. Infimum todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). Esimerkki.8. Olkoon A = ]0, [. Määrätään sup A j inf A. Rtkisu: Olkoon M =. Osoitetn, että sup A = M =. (i) x M kikill x A, joten M on joukon A ylärj. 4

(ii) Olkoon M R sellinen, että x M kikill x A. Kosk 2 A, niin M 2 > 0. Osoitetn, että M M. Vstoletus: M < M. Tällöin 0 < M <, joten M + < 2 j 2M = M + M < M +, ts. M < M + 2 <. Siis M + M 2 A j M + M 2 joten M ei voi oll joukon A ylärj. Ristiriit. Siis vstoletus on väärä j M M. > M, Kohtien (i) j (ii) nojll M = sup A. Olkoon m = 0. Osoitetn, että inf A = m =. (i) x m kikill x A, joten m on joukon A lrj. (ii) Olkoon m R sellinen, että x m kikill x A. Kosk A, niin 2 m. 2 Osoitetn, että m m. Vstoletus: m > m. Nyt 0 = m < m, 2 joten m 2 A j m 2 < m, joten m ei voi oll joukon A lrj. Ristiriit. Siis vstoletus on väärä j m m. Kohtien (i) j (ii) nojll m = inf A. Yleensä sup A ei kuulu joukkoon A. Seurvn luseen nojll se kuuluu joukkoon A täsmälleen silloin kun se on joukon A mksimi. Vstvt väitteet pätevät myös infimumille j minimille. Luse.9. Olkoon A R, A j M = sup A. Silloin joukoll A on mksimi (jok on M) jos j vin jos M A. Olkoon m = inf A. Silloin joukoll A on minimi (jok on m) jos j vin jos m A. Todistus. : Oletn, että Q = mx A on olemss. Tällöin x Q in, kun x A (ts. Q toteutt supremumin ehdon (i)), j Q A. Olkoon M joukon A mikä thns ylärj, jolloin x M in, kun x A. Kosk 5

Q A, niin erityisesti Q M j Q toteutt supremumin ehdon (ii). Siis Q on joukon A pienin ylärj eli Q = M = sup A. : Oletetn, että M A. Tällöin lisäksi x M kikill x A, joten M on joukon A mksimi. Infimumi j minimiä koskev väite todistetn vstvsti. Täydellisyysksioom. Olkoon A R, A. Jos A on ylhäältä rjoitettu, niin joukoll A on pienin ylärj (eli sup A on olemss). Jos A on lhlt rjoitettu, niin joukoll A on suurin lrj (eli inf A on olemss). Täydellisyysksioomn merkitys: Vikk rjoitetull joukoll ei yleensä ole mksimi eikä minimiä, niin sillä kuitenkin on pienin ylärj j suurin lrj. Huomutus.0. Täydellisyysksioom on erittäin tärkeä relilukujen ominisuus, jot esimerkiksi rtionliluvuill ei ole: Joukoll A = {x Q x 0, x 2 < 2} ei ole supremumi joukoss Q. Todistuksen ide: Kosk A j A on ylhäältä rjoitettu, niin täydellisyysksioomn nojll on olemss M = sup A R. Lisäksi M 2 = 2 (hrjoitustehtävä). Kosk M / Q j supremum on yksikäsitteinen, niin joukoll A ei ole pienintä ylärj joukoss Q. Siten Q ei toteut täydellisyysksioom. Intuitio: Täydellisyysksioom tk, ettei relikseliss ole reikiä. Reliluvut R voidn määritellä järjestettynä kuntn, jok sisältää rtionliluvut Q j toteutt täydellisyysksioomn. Krkesti snottun kikki relilukujen ominisuudet, jotk liittyvät täydellisyysksioomn ovt nlyysiä, muut lgebr. Ongelm: Täydellisyysksioom ei nn mitään keino löytää supremumi ti infimumi. Käytännössä ensin on tehtävä (hyvä) rvus j sitten todistettv se oikeksi. Merkintöjä: sup A = A ei ole ylhäältä rjoitettu. inf A = A ei ole lhlt rjoitettu. sup = inf = 6

(mikä thns luku on tyhjän joukon ylä- j lrj). Käytännössä supremum knntt yrittää määrittää seurvn luseen vull. Luse.. Oletetn, että A R, A, A on ylhäältä rjoitettu j että M on joukon A ylärj. Silloin M = sup A jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x > M ε. Todistus. : Oletetn, että M = sup A j tehdään vstoletus: On olemss sellinen ε > 0, että x M ε kikill x A = M ε on joukon A ylärj j M ε < M = M ei ole pienin ylärj. Ristiriit. : Oletetn, että M on joukon A ylärj, jolle luseen ehto pätee. Jos M < M, niin vlitn ε = M M > 0. Nyt on olemss sellinen x A, että x > M ε = M (M M ) = M. Siis M ei ole joukon A ylärj, joten M on joukon A pienin ylärj. Vstv tulos pätee myös infimumille: Luse.2. Oletetn, että A R, A, A on lhlt rjoitettu j että m on joukon A lrj. Silloin m = inf A, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x < m + ε. Esimerkki.3. Olkoon A = { 2 n =, 2,... }. Osoit, että sup A = 2. n Rtkisu: Merkitään M = 2. Nyt 2 n joukon A ylärj. 2, n =, 2,..., joten M = 2 on Olkoon ε > 0. Vlitn n niin, että 2 n > 2 ε n > ε. Silloin 2 n A j 2 n > M ε. Siten M = sup A. 7

Huom: Esimerkissä ei käytetä vstoletust (toisin kuin edellä). Vstoletus sisältyy luseeseen.. Seurvksi todistetn ilmeiseltä tuntuv väite, että luonnollisten lukujen joukko N ei ole rjoitettu. Tätä ominisuutt on jo käytetty esimerkeissä. Väite ei seur joukon R lgebrllisist (ts. sen lskutoimitusten) ominisuuksist vn todistuksess käytetään täydellisyysksioom. Luse.4 (Arkhimedeen ominisuus). Jokist x R kohti on olemss sellinen n N, että x < n. Todistus. Vstoletus: On olemss sellinen x R, että n x kikill n N. Selvästi voidn olett, että x 2. = x on joukon N ylärj, joten N on ylhäältä rjoitettu = on olemss M = sup N R (täydellisyysksioom) = M ei ole joukon N ylärj, kosk M on pienin ylärj = on olemss sellinen m N, että m > M (M ei ole ylärj) = m + > M j m + N = M ei voi oll joukon N ylärj. Ristiriit. Kolmnnen j neljännen viheen voi perustell myös vlitsemll A = N j ε = luseess.. Huomutus.5. Arkhimedeen ominisuudest seur, että jokist x > 0 kohti on olemss sellinen n N että n < x (eli n > x ). Arkhimedeen ominisuutt käyttämällä voidn todist seurv luse. Luse.6. Khden erisuuren reliluvun välissä on in rtionliluku, ts. rtionliluvut ovt tiheässä joukoss R. Todistus. Olkoot x, y R sellisi, että y x > 0. Osoitetn, että on olemss sellnen m n Q, että x < m n < y. (Ide: Etsitään riittävän suuri luku n N, jott väli ]nx, ny[ sisältää inkin yhden kokonisluvun m.) 8

Nyt y x > 0, joten Arkhimedeen ominisuuden nojll löytyy sellinen n N, että n > y x. Kosk y x > 0, niin n < y x. Olkoon A = {k Z k > x} = {k Z k > xn} (n > 0). Arkhimedeen ominisuuden nojll A. Nyt n( x) R, joten Arkhimedeen n ominisuuden nojll löytyy sellinen p N, että p > n( x) = p n < x = p, (p + ), (p + 2),... / A. Siten A on lhlt rjoitettu kokonislukujen joukko, joten inf A on olemss. Vlitn ε = luseess.2. Tällöin on olemss sellinen m A, että m < inf A + eli m < inf A. Siis m A j m / A, eli m > x j n (m ) x. Näin ollen n joten x < m n < y. m n = m + n n x + n < x + (y x) = y, Seurus.7. Khden erisuuren reliluvun välissä on in irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y sekä y > x. Luseen.6 nojll välillä ]x 2, y 2[ on rtionliluku m n, ts. x 2 < m n < y 2 = x < m n + 2 < y. Lisäksi m n + 2 R\Q, sillä 2 R\Q. Seurus.8. Khden erisuuren reliluvun välissä on äärettömän mont rtionli- j irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y, y > x. Tehdään vstoletus: Lukujen x j y välissä on n kpplett rtionlilukuj. Väli ]x, y[ voidn jk osväleihin, joit on (n + ) kpplett. Luseen.6 nojll jokisell osvälillä on inkin yksi rtionliluku, joten väliltä ]x, y[ löytyy n + rtionliluku. Tämä on ristiriidss vstoletuksen knss, joten lukujen x j y välissä on ääretön määrä rtionlilukuj. Irrtionlilukuj koskev väite todistetn smll tvll käyttämällä seurust.7. 9

Luse.9 (sisäkkäisten välien perite). Jos [, b ] [ 2, b 2 ] ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä ( n, b n R, n =, 2,...), niin [ n, b n ] n= (eli on olemss sellinen x R, että x [ n, b n ] kikill n =, 2,...) Huomutus.20. () Sisäkkäisten välien perite kertoo smn kuin täydellisyysksioomkin eli ettei relikselill ole reikiä. Voidn todist, että sisäkkäisten välien perite on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss. (2) Luseen knnlt on olennist, että välit ovt suljettuj, esimerkiksi ] [ 0, =. n n= Perustelu: Vstoletus: ] n= 0, n[. Tällöin on olemss sellinen x R, että x ] 0, n[ in, kun n =, 2,... Tälle luvulle x pätee siis 0 < x < eli n < in, kun n =, 2,... Tämä on ristiriidss n x Arkhimedeen ominisuuden knss. Huom, että n= [0, ] = {0} (hrjoitustehtävä). n (3) Luseen knnlt on olennist, että välit ovt rjoitettuj: (hrjoitustehtävä). [n, [ = n= Luseen.9 todistus. Merkitään I n = [ n, b n ]. Tällöin I n I kikill n =, 2,... = n b n b n =, 2,... = A = { n n =, 2,...} on ylhäältä rjoitettu j A = on olemss M = sup A R (täydellisyysksioom) Kosk M = sup A on joukon A ylärj, niin n M kikill n =, 2,... Väite: M b n kikill n =, 2,... 0

Perustelu: Todistetn, että jokinen b n, n =, 2,..., on joukon A ylärj. Oletetn, että n on kiinnitetty. Siten k b n jokisell k =, 2,... k n = I k I n = k b k b n k < n = I n I k = k n b n. = b n on joukon A ylärj = M b n, kosk M on pienin ylärj = n M b n kikill n =, 2,... = M [ n, b n ]. n= Esimerkki.2. Olkoon x R. Vlitn, b Q, < b niin, että x [, b ]. Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestä + b 2 j vlitn näistä väli [ 2, b 2 ] niin, että 2, b 2 Q, 2 < b 2 j x [ 2, b 2 ]. Jtketn näin. Kun [ n, b n ] on vlittu, niin jetn se khteen osn keskipisteestä n + b n 2 j vlitn näistä seurv väli [ n+, b n+ ], n+, b n+ Q, n+ < b n+ niin, että x [ n+, b n+ ]. Siis 2 n+ x b n+ b 2 b. Näin sdn jono suljettuj sisäkkäisiä välejä [, b ] [ 2, b 2 ],

joiden pituudet b n n = b n n 2 = = b 2 n 0, kun n. Lisäksi {x} = [ n, b n ]. n= Näin jokinen reliluku sdn määriteltyä rtionlipäätepisteisten välien vull. 2

2 Lukujonoist 2. Lukujonon rj-rvo Määritelmä 2.. Relilukujono (x n ) = x, x 2, x 3,... on kuvus x: Z + R, missä x(n) = x n. Määritelmän trkoitus: Jokist luku n =, 2,... setetn vstmn reliluku x n. Määritelmää käytetään myös joukon Z + äärettömille osjoukoille numeroimll niiden lkiot uudelleen. Vroitus: Jono (x n ) ei s smist joukkoon Esimerkiksi ovt eri jonoj vikk {x n n =, 2,...}. (x n ) = 0,, 0,,... (y n ) =, 0,, 0,... {x n n =, 2,...} = {y n n =, 2,...} = {0, }. Jonoiss esimerkiksi termien järjestystä ei s muutt! Määritelmä 2.2. Jonon (x n ) snotn suppenevn kohti luku R, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n < ε in, kun n n ε. Tällöin snotn, että on jonon (x n ) rj-rvo j merkitään lim x n = ti x n, kun n. Jos jono ei suppene kohti mitään luku, niin snotn, että se hjntuu. Määritelmän trkoitus: Kikki termit x n ovt mielivltisen lähellä pistettä, kun n on riittävän suuri. 3

Huomutus 2.3. Suppenevn jonon rj-rvo on yksikäsitteinen luku. Jono ei siis voi supet kohti kht eri luku. Perustelu: Vstoletus: Olkoot = lim x n j b = lim x n sekä b. Vlitn ε = b. Tällöin määritelmän 2.2 nojll on olemss selliset n 2 ε, n ε Z +, että x n < ε, kun n n ε, j x n b < ε, kun n n ε. Kolmioepäyhtälön nojll on voimss rvio b = b x n + x n b x n + x n < ε + ε = 2ε = b, kun n mx{n ε, n ε}. Tämä on ristiriit, joten = b. Huomutus 2.4. Rj-rvon määritelmä ei nn keino määrittää rjrvo. Käytännössä ensin on tehtävä vlistunut rvus siitä, mikä rj-rvo on j sitten on todistettv, että se on rj-rvo. Tässä on sm vikeus kuin täydellisyysksioomn käytössä. Lemm 2.5. Suppenev jono (x n ) on rjoitettu, eli on olemss sellinen reliluku M > 0, että x n M kikill n =, 2,... Todistus. Olkoon = lim x n. Tällöin ε > 0 n ε Z + siten, että x n < ε, kun n n ε. Vlitn ε =, jolloin Toislt Siis n Z + siten, että x n <, kun n n = x n x n + x n + < +, kun n n. x n mx{ x, x 2,..., x n }, kun n n. x n mx{ +, x,..., x n } kikill n =, 2,..., j väite pätee, kun vlitn siinä M = mx{ +, x,..., x n }. 4

Huomutus 2.6. Käänteinen väite ei päde. Siitä, että jono on rjoitettu, ei seur, että se suppenee. Esimerkiksi jono (x n ) = 0,, 0,,... hjntuu vikk se on rjoitettu. Lemm 2.5 voidn kuitenkin käyttää jonon hjntumisen näyttämiseen. Esimerkiksi jono (x n ), x n = n, n =, 2,..., ei ole rjoitettu, joten se ei suppene. Huomutus 2.7. Rj-rvoille pätevät seurvt lgebrlliset ominisuudet (hrjoitustehtävä): Jos jonot (x n ) j (y n ) suppenevt sekä lim x n = j lim y n = b, niin (i) lim (x n + y n ) = + b, (ii) lim (x n y n ) = b, (iii) lim (x n y n ) = b, x n (iv) lim = y n b, kun y n 0, n =, 2,..., j b 0. Vroitus: Siitä, että summjono (x n + y n ) suppenee, ei voi päätellä, että lkuperäiset jonot (x n ) j (y n ) suppenevt. Jos esimerkiksi x n = ( ) n j y n = ( ) n+, n =, 2,..., niin x n + y n = 0 kikill n =, 2,... Näin ollen lim (x n + y n ) = 0, mutt jonot (x n ) j (y n ) eivät suppene. Luse 2.8 (epäyhtälön säilymisen perite). Olkoot (x n ) j (y n ) sellisi suppenevi jonoj, että x n y n kikill n =, 2,.... Silloin lim x n lim y n. Vroitus: Aito epäyhtälö ei välttämättä säily rjnkäynnissä: x n < y n = / lim x n < lim y n. Esimerkiksi x n = 0, y n =, n =, 2,... Tällöin n x n < y n, n =, 2,..., mutt lim x n = 0 = lim y n. 5

Todistus. Merkitään = lim x n j b = lim y n. Olkoon ε > 0, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että x n < ε 2, kun n n ε, j y n b < ε, kun n n 2 ε. Kosk x n x n j y n b y n b, niin x n < ε 2 j y n b < ε 2, kun n mx{n ε, n ε} = n ε = b = ( x n ) + (y n b) + (x n y n ) < ε }{{} 2 + ε 2 = ε, kun n n ε 0 = b < ε kikill ε > 0. Täten b 0, eli lim x n = b = lim y n. Luse 2.9 (suppiloperite). Oletetn, että (x n ), (y n ) j (z n ) ovt sellisi jonoj, että x n y n z n kikill n =, 2,... Jos (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku eli niin myös (y n ) suppenee j lim x n = = lim z n, lim y n =. Todistus. Olkoon ε > 0 mielivltinen, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että Kosk niin Siis x n < ε, kun n n ε, j z n < ε, kun n n ε. x n x n < ε, kun n n ε, j z n z n < ε, kun n n ε, ε < x n y n z n < + ε, kun n mx{n ε, n ε} = n ε. joten lim y n =. y n < ε, kun n n ε, 6

Huomutus 2.0. Suppiloperittess on tärkeää, että jonot (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku. Esimerkiksi jonoille x n =, y n = ( ) n j z n =, kun n =, 2,..., on voimss lim x n = = lim z n j x n y n z n, mutt (y n ) hjntuu. 2.2 Monotoniset jonot Määritelmä 2.. Jono (x n ) snotn (i) ksvvksi, jos x n+ x n kikill n =, 2,..., idosti ksvvksi, jos x n+ > x n kikill n =, 2,..., (ii) väheneväksi, jos x n+ x n kikill n =, 2,..., idosti väheneväksi, jos x n+ < x n kikill n =, 2,..., (iii) monotoniseksi, jos se on ksvv ti vähenevä, idosti monotoniseksi, jos se on idosti ksvv ti idosti vähenevä. Luse 2.2 (monotonisen konvergenssin luse). Monotoninen jono suppenee jos j vin jos se on rjoitettu. Lisäksi pätee: (i) Jos (x n ) on ksvv j rjoitettu, niin lim x n = sup{x n n =, 2,...}. (ii) Jos (x n ) on vähenevä j rjoitettu, niin lim x n = inf{x n n =, 2,...}. Todistus. : Jos jono (x n ) suppenee, niin lemmn 2.5 nojll se on rjoitettu. : Todistetn koht (i). Olkoon (x n ) ksvv j rjoitettu. = M R siten, että x n M n =, 2,... = sup{x n n =, 2,...} = R (täydellisyysksioom) 7

Osoitetn, että = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Luseen. nojll on olemss sellinen n ε, että x nε > ε. Kosk jono (x n ) on ksvv, niin x n x nε > ε kikill n n ε = ε < x n < + ε kikill n n ε ( on ylärj) = ε < x n < ε kikill n n ε = x n < ε n n ε = = lim x n. Koht (ii) todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). Huomutus 2.3. () Edellä monotonisuusoletus on olenninen. Esimerkiksi jono x n = ( ) n, n =, 2,..., on rjoitettu, mutt se ei suppene. (2) Voidn osoitt, että monotonisen konvergenssin luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). 2.3 Osjonot Määritelmä 2.4. Jono (y k ) snotn jonon (x n ) osjonoksi, jos on olemss selliset luvut n < n 2 <..., että y k = x nk kikill k =, 2,... Määritelmän trkoitus: Osjono sdn lkuperäisestä jättämällä pois sen lkioit j numeroimll sdun jonon lkiot uudelleen smss järjestyksessä. Huomutus 2.5. () Jono (x n ) on sellinen kuvus x: Z + R, että x(n) = x n. Olkoot n k Z + sellisi, että n < n 2 <... Tällöin on olemss kuvus σ : Z + {n, n 2,...}, σ(k) = n k. 8

Osjono (x nk ) on yhdistetty kuvus x σ : Z + R, (x σ)(k) = x(σ(k)) = x(n k ) = x nk. (2) Huom, että in n k k. Esimerkki 2.6. Olkoot x n =, n =, 2,... Seurvss on eräitä jonon n (x n ) osjonoj: ( ) (y k ) = (x 2k ) = = 2k 2, 4, 6,... ( ) (y k ) = (x 2k ) = =, 2k 3, 5, 7,... ( ) (y k ) = (x 2 k) = = 2 k 2, 4, 8, 6,... ( (y k ) = (x k! ) = =, k!) 2!, 3!,... Seurvt jonot eivät ole jonon (x n ) osjonoj: 2,, 4, 3, 6, 5,..., 0, 3, 0, 5, 0,...,, 2, 2, 3, 3,... Luse 2.7. Jos jono (x n ) suppenee kohti luku, niin sen jokinen osjono suppenee kohti luku. Kääntäen jos jonon (x n ) jokinen osjono suppenee, niin myös (x n ) suppenee. Todistus. Oletetn, että lim x n =. Olkoon (y k ) jonon (x n ) osjono j y k = x nk, n k k. Kosk lim x n =, niin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että x n < ε kikill n n ε. 9

Jos k n ε, niin n k k n ε j Siten lim k y k =. y k = x nk < ε, kun k n ε. Käänteinen väite on selvä, sillä (x n ) on itsensä osjono. Huomutus 2.8. Luse 2.7 nt keinon todist, että jono hjntuu. Riittää löytää osjono, jok ei suppene, ti kksi osjnono, jotk suppenevt eri lukuj kohti. Vroitus: Kuitenkn siitä, että jokin osjono suppenee ei voi päätellä, että lkuperäinen jono suppenee. Luse 2.9 (Bolznon Weierstrssin luse). Rjoitetull jonoll on suppenev osjono. Todistus. Olkoon jono (x n ) rjoitettu. Tällöin on olemss selliset m, M R, että m x n M kikill n =, 2,... Merkitään = m j b = M. Silloin x n [, b ] kikill n =, 2,... Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestään c = + b. 2 Tällöin inkin toinen väleistä [, c ], [c, b ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot, sillä jos molemmt sisältäisivät vin äärellisen mont jonon lkiot, niin koko jonoss olisi vin äärellisen mont lkiot. (Huom, että {x n n =, 2,...} voi oll äärellinen joukko, mutt sitä ei s smist jonoon (x n ). Esimerkiksi jonon (x n ) =, 2,, 2,... lkiot muodostvt joukon {x n n =, 2,... } = {, 2}.) Vlitn näistä väli, joss on äärettömän mont jonon lkiot j merkitään sitä [ 2, b 2 ]. Jtketn näin. Olkoon c k = k + b k 2 välin [ k, b k ] keskipiste j vlitn väleistä [ k, c k ], [c k, b k ] se, jok sisältää äärettömän mont jonon lkiot. Merkitään vlittu väliä [ k+, b k+ ]. 20

Kosk välit [ k, b k ], k =, 2,..., ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä, niin sisäkkäisten välien peritteen (luse.9) nojll on olemss sellinen x 0 R, että x 0 [ k, b k ]. Toislt, kosk välien [ k, b k ] pituus niin b k k = b k k 2 = = b 2 k 0, kun k, [ k, b k ] = {x 0 }. Konstruoidn sitten suppenev osjono. Vlitn n =, jolloin x n [, b ]. Vlitn sitten luvut n k+ induktiivisesti niin, että n k+ > n k j x nk+ [ k+, b k+ ]. Tämä on mhdollist, sillä jokinen väli [ k+, b k+ ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot. Nyt x nk, x 0 [ k, b k ], joten Siis x nk x 0 b k k = b 2 k 0, kun k. x 0 = lim k x nk j (x nk ) kelp suppenevksi osjonoksi. Huomutus 2.20. () Suppenev osjono ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi jonoll x n = ( ) n, n =, 2,... on suppenevt osjonot (x 2k ) =,,... j (x 2k ) =,,... (2) Bolznon Weierstrssin luse yleistää monotonisen konvergenssin luseen. Bolznon Weierstrssin luseen nojll erityisesti jokisell rjoitetull monotonisell jonoll on suppenev osjono j monotonisuudest seur, että lkuperäinenkin jono suppenee. (3) Bolznon Weierstrssin luse voidn todist myös monotonisen konvergenssin luseen vull, sillä jokisell jonoll (ilmn mitään ehtoj!) on in monotoninen osjono (hrjoitustehtävä). (4) Voidn todist, että Bolznon Weierstrssin luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). 2

Esimerkki 2.2. Osoitetn, että jokist [0, ] kohti on olemss sellinen jonon (x n ) = 2, 3, 2 3, 4, 2 4, 3 4, 5, 2 5, 3 5, 4 5,... osjono, jok suppenee kohti luku. Jonon (x n ) lkiot ovt muoto m, missä k =, 2,... j m =, 2,..., k, k + olevi rtionlilukuj. Nämä luvut on järjestetty ryhmiin, joill on sm nimittäjä k +, kun k =, 2,... Selvästi jono (x n ) käy lävitse (numeroi) kikki välin ]0, [ rtionlipisteet, toisin snoen {x n n =, 2,...} = Q ]0, [. Olkoon [0, ]. Hluttu, luku kohti suppenev, osjono löytyy, kun todistetn seurv väite: Jokist k =, 2,... kohti on olemss sellinen x nk Q ]0, [, että x nk < k j n k > n k. Todistus: Vlitn n =, jolloin x n = 2 j x n <. Oletetn sitten, että indeksit n < n 2 < < n k on vlittu niin, että x nj <, j =, 2,..., k. j Väli ] k +, + [ ]0, [ k + on epätyhjä, joten seuruksen.8 nojll se sisältää äärettömän mont rtionliluku. Siten on olemss sellinen n k+ > n k, että x nk+ < k +. Näin jono (x nk ) sdn määriteltyä induktiivisesti. Jokist k =, 2,... kohti on siis olemss sellinen x nk, että x nk < k. 22

Tästä seur, että lim x n k =. k Seurvt käsitteet ovt tärkeitä nlyysin jtkokursseill. Olkoon (x n ) rjoitettu jono, ts. on olemss sellinen M > 0, että x n M kikill n N. (i) Määritellään uusi jono ( n ) settmll Tällöin n = sup{x k k n} = sup x k. k n n+ = sup{x k k n + } = sup x k n k n+ (jos A B, niin sup A sup B), joten jono ( n ) on vähenevä. Lisäksi M x k M kikill k = M n = sup x k M k n = n M kikill n, kikill n joten jono ( n ) on rjoitettu. Luseen 2.2 nojll ( n ) suppenee j lim n = inf{ n n =, 2,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes superior) käytetään merkintää lim n = lim sup k n x k = lim sup (ii) Muodostetn vstvsti jono (b n ), jolle b n = inf k n x k, n =, 2,... Jono (b n ) on ksvv j kuten edellä nähdään, että b n M kikill n. Siten luseen 2.2 nojll (b n ) suppenee j lim b n = sup{b n n =, 2,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes inferior) käytetään merkintää lim b n = lim inf x k = lim inf x n. k n Huomutus 2.22. Olkoon (x n ) rjoitettu jono sekä U = lim sup x n j L = lim inf x n. Todistukset sivuutten minitn, että tällöin (i) L U, x n. 23

(ii) on olemss sellinen osjono (x nk ), että lim k x nk = U, (iii) on olemss sellinen osjono (x nl ), että lim l x nl = L, (iv) Jono (x n ) suppenee jos j vin jos L = U. Esimerkki 2.23. Merkitään U = lim sup x n j L = lim inf x n. () Olkoon x n = ( ) n, n =, 2,... Tällöin U = j L =. j jono (x n ) hjntuu (vert huomutuksen 2.22 kohtn (iv)). (2) Olkoon x n = n, n =, 2,... Tällöin U = L =, joten huomutuksen n+ 2.22 kohdn (iv) mukn myös lim x n = (hrjoitustehtävä). (3) Olkoon x n = n(+( ) n ), n =, 2,... Tällöin L = 0 j U ei ole olemss (hrjoitustehtävä). Lisäksi seurvt rj-rvo koskevt sit ovt keskeisiä. Näitä on jo epäsuorsti sovellettu esimerkeissä j lskuhrjoituksiss. Määritelmä. Jonon (x n ) snotn hjntuvn kohti ääretöntä, merkitään lim x n = +, jos j vin jos jokist M R kohti on olemss sellinen N Z +, että x n > M, kun n N. Merkintä lim x n = määritellään muuten smll tvll, mutt ehto x n > M korvtn ehdoll x n < M. Luse (Vertiluperite). Jos jono ( n ) hjntuu j lim n = + sekä on olemss sellinen N, että n b n kikill n N, niin myös jono (b n ) hjntuu j lim b n = +. 2.4 Cuchyn jono Määritelmä 2.24. Jono (x n ) snotn Cuchyn jonoksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x m < ε in, kun n, m n ε. Määritelmän trkoitus: Kikki jonon termit x n toisin, kun n on riittävän suuri. ovt mielivltisen lähellä 24

Huomutus 2.25. () Vikk Cuchyn jonon määritelmä näyttää melkein smlt kuin jonon rj-rvon määritelmä, siinä on vin jonon termejä eikä mhdollist rj-rvo. (2) Ehto voidn kirjoitt muodoss: x n x n+p < ε in, kun n n ε j p Z +. Vroitus: Cuchyn ehto ei voi kirjoitt seurvsti: jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x n+ < ε in, kun n n ε eli Esimerkiksi käy jono lim (x n x n+ ) = 0. (x n ) =, 2, 2, 2 3, 22 3, 3, 3 4, 32 4, 33 4,... Silloin lim (x n x n+ ) = 0, mutt (x n ) ei ole Cuchyn jono (jono (x n ) ei myöskään suppene). Esimerkki 2.26. Osoitetn, että (x n ), x n = n+2, n =, 2,..., on Cuchyn n jono. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojll x n x m = n + 2 n m + 2 m = mn + 2m (mn + 2n) nm = 2m 2n nm 2 n + 2 m < ε 2 + ε 2 = ε, kun n, m > 4 ε. Siten n ε voidn vlit (esimerkiksi) pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin 4 ε. Luse 2.27 (Cuchyn suppenemiskriteeri). Relilukujono (x n ) suppenee jos j vin jos se on Cuchyn jono. Todistus. : Oletetn, että jono (x n ) suppenee j = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin on olemss sellinen n ε, että 2 x n < ε 2 kikill n n ε 2. 25

Siten x n x m x n + x m < ε 2 + ε 2 = ε kikill n, m n ε 2, eli (x n ) on Cuchyn jono. : Olkoon (x n ) Cuchyn jono. Osoitetn ensin, että jono (x n ) on rjoitettu. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin luku ε = kohti on olemss sellinen n, että x n x m <, kun n, m n = x n x n + x n x n x n +, kun n n. Lisäksi x n mx{ x,..., x n }, kun n < n. Täten x n mx{ x,..., x n, x n + } = M kikill n =, 2,... eli jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen (luse 2.9) nojll jonoll (x n ) on suppenev osjono (x nk ). Merkitään = lim k x nk j osoitetn, että tämä on myös jonon (x n ) rj-rvo. Kolmioepäyhtälön nojll x n x n x nk + x nk. jokisell n, k Z. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin on olemss sellinen n ε, että x n x nk < ε 2, kun n, n k n ε. Kosk jono (x nk ) suppenee, niin on olemss sellinen n ε, että x nk < ε 2, kun n k n ε. Vlitn kiinteä n k mx{n ε, n ε}. Silloin eli = lim x n. x n < ε 2 + ε 2 = ε, kikill n n ε, 26

Huomutus 2.28. () Todistuksest nähdään, että Cuchyn jono suppenee jos j vin jos sillä on yksikin suppenev osjono. Sm ominisuus pätee monotonisille rjoitetuille jonoille, mutt ei mielivltisille (rjoitetuille) jonoille. (2) Cuchyn suppenemiskriteeri on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). Esimerkki 2.29. Osoitetn, että jono (s n ), s n = n ( ) k+ k = 2 + 3 4 + 5 + ( )n+, n =, 2,..., n suppenee, toisin snoen lim s n = ( )k+ k on olemss. Tehdään tämä osoittmll, että (s n ) on Cuchyn jono. Olkoon ε > 0. Olkoon luksi m > n j osoitetn, että s m s n < kikill n =, 2,... n+ Trkstelu on prs jk khteen osn sen mukn, onko m n prillinen vi priton:. Jos m = n + 2p (eli m n on prillinen luonnollinen luku), niin n+2p s m s n = s n+2p s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n + 2 + + m m = n + n + 2 + + m m = ( n + n + 2 ) n + 3 < n + kikill n =, 2,... ( m 2 ) m m 2. Jos m = n + 2p + (eli m n on priton luonnollinen luku), niin n+2p+ s m s n = s n+2p+ s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n + 2 + + m 2 m + m 27

= n + = n + < n + n + 2 + + m 2 m + ( m n + 2 ) n + 3 kikill n =, 2,... ( m m ) Näiden khden kohdn nojll s m s n < n + < n < ε, kun n > ε. Jos toislt n m, niin vihtmll edellä lukujen n j m roolit nähdään, että s n s m < m + < m < ε, kun m > ε. Tästä seur, että s n s m < ε, kun n, m > ε, joten (s n ) on Cuchyn jono j suppenee Cuchyn kriteerin nojll. Lisätieto: Jonon (s n ) rj-rvo on ns. lternoiv hrmoninen srj, johon pltn myöhemmin srjoj trkstelevss luvuss. Voidn osoitt, että tämä rj-rvo on ( ) k+ = ln 2. k Huomutus 2.30. () Kurssill Anlyysi III tutkitn täydellisiä vruuksi, jotk määritelmänsä nojll ovt sellisi, että jokinen Cuchyn jono suppenee. (2) Reliluvut voidn konstruoid käyttämällä rtionlilukujen Cuchyn jonoj: Olkoot (x n ), (y n ) Cuchyn jonoj, missä x n, y n Q, n =, 2,... Määritellään ekvivlenssireltio Cuchyn jonoille settmll (x n ) (y n ) lim (x n y n ) = 0. Reliluvut voidn nyt määritellä tämän ekvivlenssin ekvivlenssiluokkin. 28

3 Funktion rj-rvo j jtkuvuus 3. Peruskäsitteitä Kerrtn luksi peruskäsitteitä kurssist PM I. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen määritysjoukon eli lähtöjoukon A = D f lkioon x yksikäsitteisesti jonkin mlijoukon B lkion y, merkitään y = f(x). Joukko R f = {y B y = f(x), x A} on funktion f kuv- eli rvojoukko. Tätä merkitään usein myös f(a). Funktiot f : A B snotn () surjektioksi, jos R f = B, (2) injektioksi, jos on voimss ehto x x 2 = f(x ) f(x 2 ), (3) bijektioksi, jos se on injektio j surjektio. Injektion ehdon voi ilmist myös muodoss f(x ) = f(x 2 ) = x = x 2. Huomutus 3.. Ellei toisin minit, niin tällä kurssill käytetään seurv sopimust: Kun funktio f on nnettu lusekkeen, niin sen määritysjoukko D f on ljin mhdollinen relilukujen osjoukko, joss luseke on mielekäs. Esimerkiksi funktion f(x) = + x 3 x+5 määritysjoukko on D f = {x R x > 5 j x 3}. Olkoon E perusjoukko j A, B E. Tällöin (i) A = {x E x / A} on joukon A komplementti, (ii) A B = {x E x A ti x B} on joukkojen A j B unioni eli yhdiste, (iii) A B = {x E x A j x B} on joukkojen A j B leikkus, 29

(iv) A\B = {x E x A j x / B} on joukkojen A j B (joukkoopillinen) erotus. Unionille, leikkukselle j komplementille pätevät De Morgnin lit: (A B) = A B, (A B) = A B. Näiden todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. Määritelmä 3.2. Pisteen x 0 R (ε-säteiseksi) ympäristöksi snotn väliä ]x 0 ε, x 0 + ε[ (ts. siinä ovt ne x R, joiden etäisyys pisteestä x 0 on (idosti) pienempi kuin ε). Joukko A R snotn voimeksi, jos jokisell joukon A pisteellä on ympäristö, jok sisältyy joukkoon A. Joukko A R snotn suljetuksi, jos sen komplementti on voin. A = R\A = {x R x / A} Määritelmä 3.3. Pistettä x 0 R snotn joukon A R ksutumispisteeksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen piste x A, että x x 0 j x x 0 < ε. Määritelmän trkoitus: x 0 on joukon A R ksutumispiste, jos jokinen pisteen x 0 ympäristö ]x 0 ε, x 0 + ε[ sisältää joukon A pisteen, jok ei ole x 0. Luse 3.4. Piste x 0 R on joukon A R ksutumispiste jos j vin jos on olemss sellinen jono (x n ), että x n A, x n x 0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0. Todistus. : Olkoon x 0 R joukon A ksutumispiste. Tällöin jokist n =, 2,... kohti on olemss sellinen x n A, x n x 0, että Jonolle (x n ) pätee nyt lim x n = x 0. x n x 0 < n. 30

: Oletetn, että x n A, x n x 0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0 = ε > 0 n ε siten, että x n x 0 < ε, kun n n ε = ε > 0 pätee x nε A, x nε x 0 j x nε x 0 < ε = x 0 on joukon A ksutumispiste. Suljettu joukko voidn luonnehti myös seurvll tvll (tulost ei todistet tällä kurssill). Seurus 3.5. Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikkien suppenevien jonojens rj-lkiot. Huomutus 3.6. Luseen 3.4 nojll seurus 3.5 sdn seurvn muotoon: Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikki ksutumispisteensä. 3.2 Funktion rj-rvo Määritelmä 3.7. Olkoon A R, f : A R funktio j x 0 R joukon A ksutumispiste. Luku R snotn funktion f rj-rvoksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Tällöin merkitään f(x), kun x x 0, ti lim x x 0 f(x) =. Huomutus 3.8. () Määritelmässä δ riippuu vin luvust ε j pisteestä x 0. (2) Funktion ei trvitse oll määritelty pisteessä x 0 j vikk se olisikin määritelty, niin sen rvo pisteessä x 0 ei vikut rj-rvoon. Tämä on tärkeää myös derivtn määritelmässä (ks. PM I): f : R R on derivoituv pisteessä x 0 R, jos f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss. Huom, että erotusosmäärää ei ole määritelty pisteessä x = x 0. 3

(3) Jos rj-rvo on olemss, se on yksikäsitteinen (todistus hrjoituksen). Luse 3.9 (funktion rj-rvon jonokrkteristio). Jos f : A R, x 0 on joukon A ksutumispiste j R, niin seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: (i) lim x x0 f(x) =, (ii) Jokiselle jonolle (x n ), jolle x n A, x n x 0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0, pätee lim f(x n) =. Todistus. (i) (ii) : Olkoon lim f(x) =. Olkoot lisäksi x n A, x n x 0 x x0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0. Osoitetn, että lim f(x n ) =. Olkoon ε > 0. Kosk lim x x0 f(x) =, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Kosk lim x n = x 0, niin on olemss sellinen n δ, että Siten 0 < x n x 0 < δ, kun n n δ (oletetuksen mukn x n x 0 ). joten lim f(x n ) =. f(x n ) < ε, kikill n n δ, (ii) (i) : Tehdään vstoletus: (i) ei toteudu eli on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss x A, jolle 0 < x x 0 < δ j f(x) ε. Vlitn δ n = n, n =, 2,... Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n A, että 0 < x n x 0 < n j f(x n) ε. Täten lim x n = x 0, mutt jono (f(x n )) ei suppene kohti luku. Tämä on ristiriit. 32

3.3 Funktion jtkuvuus Määritelmä 3.0. Olkoon A R, f : A R j x 0 A. Funktiot f snotn jtkuvksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ j x A. Funktiot f snotn jtkuvksi joukoss A, jos se on jtkuv joukon A jokisess pisteessä. Jos funktio ei ole jtkuv, sitä snotn epäjtkuvksi. Huomutus 3.. () Jtkuvuus on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f jtkuvuuteen pisteessä x 0. (2) Jos f ei ole määritelty pisteessä x 0, niin ei ole mielekästä tutki funktion f jtkuvuutt pisteessä x 0. Esimerkki 3.2. () Olkoon f : R \ {} R, f(x) = x. Usein funktion f snotn olevn epäjtkuv pisteessä, vikk sitä ei ole määritelty pisteessä. (2) Olkoon g : R \ {0} R, g(x) =. Usein funktion g snotn olevn epäjtkuv pisteessä 0, vikk sitä ei ole määritelty nollss. (Jos x funktiolle määritellään rvo nollss, niin stu funktio on väistämättä epäjtkuv joukoss R.) (3) Olkoon h: ] π, [ π sin x 2 2 R, h(x) = tn x =. Funktio h on jtkuv cos x välillä ] π, [ π 2 2. Jtketn h jksollisesti joukkoon A = {x R x π 2 + kπ, k Z} settmll h(x+π) = h(x). Nyt h : A R on jtkuv (eikä epäjtkuv, kuten sttisi luull). Luse 3.3 (jtkuvuuden jonokrkteristio). Funktio f : A R on jtkuv pisteessä x 0 A jos j vin jos lim f(x n) = f(x 0 ) kikill jonoill (x n ), joille pätee x n A, n =, 2,... j lim x n = x 0. 33

Todistus. Kuten luse 3.9 rj-rvolle. Huomutus 3.4. () Luseen 3.3 väitteessä on pieniä eroj vstvn luseeseen 3.9 verrttun: lukujonon (x n ) termi voi oll myös x 0 eikä pisteen x 0 trvitse oll ksutumispiste. (2) Luseen ehto voidn myös kirjoitt muodoss: lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 jolloin yhtälön vsemmn puolen täytyy oll olemss j oiken puolen täytyy oll määritelty. Tämä on kurssill PM I esiintynyt määritelmä jtkuvuudelle. (3) Jos x 0 A ei ole joukon A ksutumispiste, niin on olemss sellinen ε > 0, että ]x 0 ε, x 0 + ε[ A = {x 0 }. Tällisiss, ns. eristetyissä, pisteissä f on utomttisesti jtkuv määritelmän 3.0 nojll. Esimerkki 3.5. Esimerkkejä erityyppisistä epäjtkuvuuksist: () hyppäysepäjtkuvuus pisteessä 0: {, x 0, f(x) =, x < 0; (2) krkminen äärettömyyteen pisteessä 0: { x f(x) =, x 0, 0, x = 0; (3) heilhteluepäjtkuvuus pisteessä 0: { sin x f(x) =, x 0, 0, x = 0. Esimerkki 3.6 (vrsin ptologinen tpus). Olkoon f : ]0, [ R, f(x) = {, n jos x = m, n > 0, syt(n, m) = (supistettu muoto), n 0, jos x ]0, [ \ Q. 34

Seurvss on muutmi funktion f rvoj: ( f = n) ( n, f ) ( n ) = f = n n n, ( 2 ) ( 3 f = 0, f = 2 7) ( 4 ( 2 f = f = 7 6) 3) 3. Lisäksi jos f( m n ) = n, niin f( m n ) = f(n m n ) = n. Huom, että jos n Z +, niin lukuj x ]0, [, joille f(x), on vin n äärellinen määrä. Näin on, sillä jos f(x), niin n x = p q, missä q n. Tästä seur, että q n j p n, joten lukuj 0 < x <, joille pätee f(x) on korkeintn n(n ) kpplett. n Osoitetn, että tämä ns. Dirichlet n funktio f on jtkuv jokisess irrtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess rtionlipisteessä. Väite sdn, kun todistetn, että lim x x 0 f(x) = 0 kikill x 0 ]0, [. Olkoon ε > 0. Silloin on olemss sellinen n, että n < ε. Kosk f(x) vin äärellisen monell (korkeintn n(n )) muuttujn n x rvoll, niin on olemss sellinen δ > 0, että ]x 0 δ, x 0 + δ[ ei sisällä pisteitä x ]0, [ Q, x x 0, joille f(x). Tästä seur, että n f(x) 0 = f(x) < n < ε, kun 0 < x x 0 < δ, sillä tällisille x joko f(x) = 0 ti f(x) = jollkin q > n. Siten lim f(x) = 0 q x x 0 kikill x 0 ]0, [. Näin ollen f on jtkuv täsmälleen niissä pisteissä x 0, joiss f(x 0 ) = 0. Voidn todist, että ei ole olemss funktiot, jok olisi jtkuv jokisess rtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess irrtionlipisteessä. Tätä ei todistet tällä kurssill. Seurvss on lueteltu muutmi jtkuvien funktioiden perusominisuuksi. 35

() Alkeisfunktiot ovt jtkuvi määrittelyjoukossn. Alkeisfunktioit ovt polynomit, rtionli-, eksponentti-, logritmi-, potenssi-, trigonometriset j ns. lgebrlliset funktiot sekä näistä äärellisellä määrällä funktioiden peruslskutoimituksi, kääntämisiä j yhdistämisiä sdut funktiot. Alkeisfunktioit ovt siis esimerkiksi x 2 x 3,, x 3 +2 ex, log 3 (4x + ), x 2, cos(3x), x j rcsin ( tn x+ln x 2 ) ( 2 3 )x + 5 x 4 +sin x. (2) Jos funktiot f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin myös funktiot f f ± g, cf (c R), fg, g (g(x 0) 0), f, min{f, g}, mx{f, g} ovt jtkuvi pisteessä x 0. (3) Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j g on jtkuv pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on jtkuv pisteessä x 0. Esimerkiksi funktio f(x) = x on jtkuv pisteessä x 0 0 j funktio g(x) = sin x on jtkuv pisteessä f(x 0 ) = x 0, joten funktio (g f)(x) = sin x on jtkuv pisteessä x 0 0. (4) Suppiloperite funktioille: Jos f, g, h: A R ovt sellisi funktioit, että f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0 A, j f(x) h(x) g(x) kikill x A f(x 0 ) = h(x 0 ) = g(x 0 ), niin myös h on jtkuv pisteessä x 0. Tämä tulos seur suorn luseist 2.9 j 3.3. Määritelmä 3.7. Funktiot f : A R snotn rjoitetuksi, jos sen kuvjoukko R f = f(a) = {y R y = f(x) jollkin x A} on rjoitettu eli on olemss sellinen vkio M 0, että f(x) M kikill x A. Luse 3.8. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R on rjoitettu. 36

Todistus. Tehdään vstoletus: f ei ole rjoitettu. Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että f(x n ) > n. Kosk x n [, b] kikill n =, 2,..., niin jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen nojll sillä on suppenev osjono (x nk ), eli lim k x n k = x 0 jollkin x 0 R. Kosk x nk b kikill k =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, ts. x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu). Edelleen, kosk lim x n k = x 0, x 0 [, b] j f on jtkuv välillä [, b], k niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll lim f(x n k ) = f(x 0 ). k Tästä seur, että (f(x nk )) on suppenevn jonon rjoitettu. Tämä on ristiriit, sillä f(x nk ) > n k, k =, 2,..., missä n k, kun k. Huomutus 3.9. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = on jtkuv välillä ]0, [, mutt ei ole x rjoitettu. Toislt on olennist, että funktio on jtkuv: funktio { x f : [0, ] R, f(x) =, 0 < x,, x = 0 ei ole rjoitettu suljetull välillä [0, ]. Kertus: Funktio f : A R svutt suurimmn rvons joukoss A R, jos mx f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että f(x) f(x 0 ) kikill x A. Silloin f(x 0 ) = mx x A f(x) = sup f(x). x A 37

Vstvsti f svutt pienimmän rvons joukoss A, jos min f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että Silloin f(x) f(x 0 ) kikill x A. f(x 0 ) = min f(x) = inf f(x). x A x A Luse 3.20 (Weierstrssin mx-min-luse). Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R svutt suurimmn j pienimmän rvons. Todistus. Luseen 3.8 nojll funktio f on rjoitettu. Täydellisyysksioomn nojll sup f(x) = M R x [,b] on olemss. Osoitetn seurvksi, että on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = M (jolloin M = mx x [,b] f(x)). Luseen. nojll jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että M n < f(x n) M. Kosk x n b kikill n =, 2,..., niin (x n ) on rjoitettu jono. Bolznon Weierstrssin luseen nojll tällä on suppenev osjono (x nk ), joten rjrvo lim x n k = x 0 R k on olemss. Kosk x nk b kikill k =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, joten x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu, vrt. luseen 3.8 todistukseen). Kosk M n k < f(x nk ) M kikill k =, 2,..., niin suppiloperitteen nojll lim f(x n k ) = M. k Kosk f jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll f(x 0 ) = lim k f(x nk ) = M. Minimiä koskev väite todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). 38

Huomutus 3.2. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = x on jtkuv, mutt ei svut suurint eikä pienintä rvo välillä ]0, [. Huom, että inf f(x) = 0 j sup f(x) =, x ]0,[ x ]0,[ mutt minimiä ti mksimi ei ole olemss. On myös olennist, että väli on rjoitettu: funktio f : [, [ R, f(x) = x on jtkuv, mutt ei svut pienintä rvo välillä [, [. Huom, että inf f(x) = 0. x [, [ Luse 3.22. Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos f() < 0 < f(b) ti f() > 0 > f(b), niin on olemss sellinen x 0 ], b[, että f(x 0 ) = 0. Todistus. Oletetn, että f() < 0 < f(b) (tpuksen f() > 0 > f(b) voi tämän jälkeen hoit trkstelemll funktiot g = f, jok on jtkuv j jolle g() < 0 < g(b)). Väitteen voi todist khdell eri tvll: käyttämällä täydellisyysksioom suorn ti jonojen j suljettujen välien peritteen vull. Olkoon A = {x [, b] f(x) < 0}. Kosk A, niin A. Lisäksi A [, b] on (ylhäältä) rjoitettu, joten x 0 = sup A on olemss. Osoitetn, että f(x 0 ) = 0. Jos f(x 0 ) < 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < 0 kikill x x 0 < δ (ks. hrjoituksen 6 tehtävä 2). Erityisesti f(x 0 + δ ) < 0, ts. 2 x 0 + δ A eikä x 2 0 ole joukon A ylärj. Jos f(x 0 ) > 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) > 0 kikill x x 0 < δ. Lisäksi x 0 on joukon A ylärj, joten x / A kikill x ]x 0 δ, b]. Tällöin kuitenkin x 0 δ 2 on joukon A ylärj eikä x 0 voi oll pienin ylärj. Näin ollen on oltv f(x 0 ) = 0. Toinen tp todist väite on käyttää jonoj j iemmst tuttu puolitusmenetelmää. Olkoon I = [, b ], missä = j b = b j sen keskipiste c = + b. 2 39

Jos f(c ) = 0, niin hettu piste on löydetty j x 0 = c. Jos f(c ) 0, niin joko f(c ) > 0 ti f(c ) < 0. Jos f(c ) > 0, niin vlitn 2 = j b 2 = c. Jos f(c ) < 0, niin vlitn 2 = c j b 2 = b. Kummsskin tpuksess siis I 2 = [ 2, b 2 ] I j f( 2 ) < 0 < f(b 2 ). Jtketn näin: jos välit I, I 2,..., I n on vlittu kuten edellä j c n = n + b n 2 on välin I n = [ n, b n ] keskipiste, niin vlitn väli I n+ = [ n+, b n+ ] I n siksi välin I n = [ n, b n ] puolikkksi, jolle f( n+ ) < 0 < f(b n+ ). Jos f(c n ) = 0 jollkin n Z +, niin vlitn x 0 = c n j väite on todistettu. Jos vlintprosessi ei pysähdy vn f(c n ) 0 kikill n Z +, niin smme jonon sisäkkäisiä suljettuj välejä I n = [ n, b n ], joille pätee I I 2 I 3..., f( n ) < 0 < f(b n ), n =, 2,... Suljettujen välien peritteen nojll on olemss Välien pituudet x 0 I n. n= b n n = b 0, kun n. 2n Kosk n x 0 b n kikill n =, 2,..., niin 0 x 0 n b n n = b 2 n j 0 b n x 0 b n n = b 2 n. Tässä b 2 n 0, kun n, joten suppiloperitteen nojll lim n = x 0 = lim b n. Kosk f on jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkterition nojll lim f( n) = f(x 0 ) = lim f(b n ). 40

Kosk f( n ) < 0 kikill n =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll f(x 0 ) = lim f( n ) 0. Toislt f(b n ) > 0 kikill n =, 2,..., joten Tästä seur, että f(x 0 ) = 0. f(x 0 ) = lim f(b n ) 0. Luse 3.23 (Bolznon luse). Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos y R on sellinen luku, että inf f(x) y sup f(x), x [,b] x [,b] niin on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = y. Todistus. Weierstrssin luseen (luse 3.20) mukn on olemss selliset x, x 2 [, b], että inf f(x) = min f(x) = f(x ) y f(x 2 ) = mx f(x) = sup f(x). x [,b] x [,b] x [,b] x [,b] Jos x = x 2, niin f(x ) f(x) f(x 2 ) = f(x ) kikill x [, b], joten f(x) = f(x ) kikill x [, b] j f on vkiofunktio. Oletetn sitten, että x < x 2 (tpus x > x 2 todistetn smll tvll). Funktio on jtkuv, g : [, b] R, g(x) = f(x) y g(x ) = f(x ) y 0 j g(x 2 ) = f(x 2 ) y 0. Jos g(x k ) = 0 toisell k =, 2, niin vlitn x 0 = x k. Muutoin g(x ) < 0 j g(x 2 ) > 0. Tällöin luseen 3.22 nojll on olemss sellinen x 0 [x, x 2 ], että g(x 0 ) = 0 eli f(x 0 ) = y. 4

Huomutus 3.24. () Bolznon luse snoo käytännössä sen, että jtkuv funktio svutt inkin kerrn kikki rvot miniminsä j mksimins välillä. (2) Bolznon luseess on olennist, että funktio f on jtkuv j se että relikseliss ei ole reikiä. Esimerkiksi rtionliluvuill ei ole edellisten khden luseen ominisuutt: Jos f : Q [0, 2] Q, f(x) = x 2 2, niin f(0) = 2 j f(2) = 2, mutt ei ole olemss sellist luku x 0 Q [0, 2], että f(x 0 ) = 0. 3.4 Funktion tsinen jtkuvuus Olkoot A R j f : A R jtkuv joukoss A. Tällöin f on jtkuv jokisess pisteessä t A. Siten jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun x t < δ j x A. Kuitenkin δ riippuu yleensä pisteestä t. Siis sm δ ei yleensä kelp kikille pisteille t A. Yleensä δ riippuu luvust ε, funktiost f j pisteestä t. Esimerkki 3.25. Olkoon f : ]0, ] R, f(x) = cos. Tällöin f on jtkuv x joukoss ]0, ], erityisesti pisteessä t ]0, ]. Oletetn, että jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ, ts. oletetn ettei δ riipu pisteestä t. Vlitn sellinen n, että Olkoot x = 2nπ δ > 2nπ. j t = Nyt 0 < t < x < δ, joten x t < δ, mutt (2n + )π. f(x) f(t) = cos(2nπ) cos((2n + )π) = 2. Jos vlitn 0 < ε < 2, niin ei ole olemss sellist luku δ > 0, jolle pätee f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ. Siis δ riippuu pisteestä t olennisell tvll. 42

Määritelmä 3.26. Funktiot f : A R snotn tsisesti jtkuvksi joukoss A, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikill x, t A j x t < δ. Määritelmän trkoitus: Funktio f : A R on tsisesti jtkuv joukoss A, jos funktion rvot ovt mielivltisen lähellä toisin in, kun muuttujn rvot ovt riittävän lähellä toisin. Siis funktion rvot eivät s muuttu liin nopesti (ti jos ne muuttuvt hyvin nopesti, niin muutoksen on tphduttv riittävän pienellä välillä). Huomutus 3.27. () Tsinen jtkuvuus määritellään joukoss A, ei pisteittäin kuten jtkuvuus. (2) Jos f on tsisesti jtkuv joukoss A, niin f on jtkuv joukoss A (kiinnitetään t = x 0 määritelmässä 3.26). Käänteinen väite ei päde esimerkin 3.25 vloss. Luse 3.28. Jtkuv funktio f : [, b] R on tsisesti jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b]. Todistus. Tehdään vstoletus: funktio f ei ole tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tästä seur, että on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss selliset pisteet x, t [, b] (jotk riippuvt luvust δ), että x t < δ j f(x) f(t) ε. Vlitn δ = n, n =, 2,..., jolloin jokist n kohti on olemss selliset x n, t n [, b], että x n t n < n j f(x n) f(t n ) ε. Jono (x n ) on rjoitettu, joten Bolznon Weierstrssin luseen (luse 2.9) nojll sillä on suppenev osjono (x nk ). Olkoon x 0 = lim k x nk. Kosk x nk b kikill k =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisperitteen nojll x 0 b eli x 0 [, b]. 43

Lisäksi t nk x 0 t nk x nk + x nk x 0 < n k + x nk x 0 k + x n k x 0 0, kun k (huom, että n k k), joten lim k t nk = x 0. Kosk f on jtkuv, niin jtkuvuuden jonokrkteristion (luse 3.3) nojll lim f(x n k ) = f(x 0 ) = lim f(t nk ). k k Täten on olemss sellinen k ε Z +, että f(x nk ) f(x 0 ) < ε 2 j f(t nk ) f(x 0 ) < ε 2 kikill k k ε. Siten ε f(x nk ) f(t nk ) f(x nk ) f(x 0 ) + f(x 0 ) f(t nk ) < ε 2 + ε 2 = ε, kikill k k ε. Ristiriit. 44

4 Srjt 4. Srjn suppeneminen Määritelmä 4.. Olkoon (x k ) relilukujono. Muodostetn uusi jono (s n ), jolle n s n = x k = x + x 2 + + x n, n =, 2,... Jono (s n ) snotn jonoon (x k ) liittyväksi ossummien jonoksi ti srjksi. Jos jono (s n ) suppenee eli on olemss sellinen S R, että lim s n = S, niin snotn että srj suppenee. Tällöin luku S snotn srjn summksi j merkitään n x k = lim x k = lim s n = S. Jos srj ei suppene, niin snotn, että se hjntuu. Huomutus 4.2. () Srj merkitään x k riippumtt siitä, suppeneeko se. (2) Jos srj x k suppenee, niin sen ossummien jono (s n ) suppenee, ts. rj-rvo lim s n = S on olemss. Tällöin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n S = k=n+ x k < ε kikill n nε. Tästä nähdään, että srj suppenee, jos j vin jos sen häntäos voidn stt mielivltisen pieneksi. Lemm 4.3. Jos srj x k suppenee, niin lim x k = 0. k Todistus. Srj x n = s n s n, n = 2, 3,..., niin x k suppenee, joten on olemss lim s n = S R. Kosk lim x n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = S S = 0. 45