STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja. Kaien satunnaisuuden äsittelyn taana on (mahdollisesti suuri) musta laatio, jota nimitetään todennäöisyysavaruudesi. Tämä on olmio (Ω, F, P). Jouo Ω on aiien aleistapahtumien muodostama jouo. Kurssin annalta tällä jouolla ei ole juuriaan meritystä eli suurimmasi osasi jouoa Ω voi ajatella äärellisenä tai numeroituvasti äärettömänä jouona vaia oieasti se yleensä on ooltaan suuri. Jouo F on aleistapahtumien jouon osajouojen P(Ω) osajouo, eli niin sanottujen tapahtumien jouo. Monessa äytännön esimerissä voi ajatella, että aii mahdolliset jouon Ω osajouot ovat tapahtumia. Tämä ei tosin pidä yleisesti paiaansa. Yleisessä tilanteessa aleistapahtumia voi olla liiaa, joten välttämättä aiien aleistapahtumien osajouojen ei tarvitse olla tapahtumia, mutta ainain Ω on aina tapahtuma. Yleisestiin tapahtumat on uvailtavissa seuraavilla säännöillä. 1.1. Määrittelevät ominaisuudet. jouo Ω on varma tapahtuma jos A on tapahtuma, niin jouo A C := Ω \ A on myös tapahtuma (ns. omplementtitapahtuma) jos { A : =0, 1, 2,... } ovat tapahtumia, niin niiden yhdiste {A tapahtuu jollain =0, 1, 2,... } on tapahtuma jos { A : =0, 1, 2,... } ovat tapahtumia, niin niiden leiaus on tapahtuma. {A tapahtuu joaisella =0, 1, 2,... } Yleisesti, jos jollain jouoperheellä on yllä mainitut ominaisuudet, niin sitä nimitetään σ-algebrasi. Kaiien tapahtumien jouo F on siis aina σ- algebra. Tarvitsemme urssilla tätäin äsitettä, jotta voimme puhua tapahtumien osajouosta, joa itsein toteuttaa tapahtumien määrittelevät ominaisuudet. 1.2. Määritelmä. Kun F on join σ-algebra ja G F on sen sellainen osajouo, että G on myös σ-algebra, niin jouoa G sanotaan ali-σ-algebrasi.

8 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Jos Ω on numeroituva, niin yleensä F = P(Ω). Edelleen joudumme usein yhdistelemään alujaan eri tapahtumajouojen tietoja yhdesi ali-σ-algebrasi. Tätä varten esittelemme yhden tapahtumiin liittyvän merinnän. 1.3. Merintä. Jos C F on mielivaltainen osajouo, niin pienintä ali-σalgebraa G F sanomme jouon C virittämäsi σ-algebrasi ja meritsemme σ(c ) := G. Hyödyllistä lisätietoa σ-algebroista ja niihin läheisesti liittyvistä muista jouoluoista löytyy urssin Todennäöisyysteoria -urssimateriaaleista. Kosa tapahtumat {A 1,A 2,... ja A d } ovat varsin yleisiä, niin äytämme näille lyhennysmerintää 1.4. Merintä. Kun A 1,..., A d ovat tapahtumia, niin äytämme merintää A 1 A 2... A d := {A 1,A 2,... ja A d }. Kuvaus P liittää uhunin tapahtumaan sen todennäöisyyden, miä on luu suljetulla välillä [0, 1] ja se toteuttaa seuraavat ehdot: 1.5. Määrittelevät ominaisuudet. varman tapahtuman Ω todennäöisyys P ( Ω ) = 1 jos A on tapahtuma, niin omplementtitapahtuman A C := Ω \ A todennäöisyys on P ( A C ) =1 P ( A ) ja jos (A ) N ovat pistevieraita tapahtumia, niin P ( A tapahtuu jollain N )= N P ( A ) Mallintaasemme stoastisia ilmiöitä tarvitsemme vielä satunnaismuuttujan seä ehdollisen todennäöisyyden äsitteet. Palautamme ensin mieleen satunnaismuuttujat. Satunnaismuuttuja X on (lähes) mielivaltainen uvaus todennäöisyysavaruudesta tilajouoon S. Jos tilajouo S on join äärellinen tai numeroituvasti ääretön jouo, niin tällöin satunnaismuuttuja X voidaan tulita mielivaltaisesi uvausi Ω S. Yleisemmässä tapausessa, meidän tulisi asettaa myös tilajouoon sen säännölliset eli mitattavat tapahtumat. Tällöin vaatimus olisi vain: jos A S on tilajouon miä tahansa säännöllinen tapahtuma, niin jouon {X A} on oltava tapahtuma todennäöisyysavaruudessa Ω. Mitta- ja integrointi -urssin terminologialla: X on S-arvoinen satunnaismuuttuja taroittaa, että uvaus X :Ω S on F -mitallinen. Usein tilajouo S on myös topologinen avaruus (eli sen avoimet jouot on määrätty). Tällöin yleensä tilajouon S mitattavat jouot oostuvat sen Borelin jouoista B(S), miä on sen avointen jouojen virittämä σ-algebra.

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 9 Olemme nyt saaneet errattua todennäöisyysavaruuden ja satunnaismuuttujan äsitteet. Jatossa emme enää irjoita allaolevaa todennäöisyysavaruutta Ω näyviin lainaan. Puhumme vain tapahtumista ja todennäöisyysistä. Satunnaismuuttujien ohdalla tarvitsemme vain tiedon tilajouosta S ja siten satunnaismuuttujaa X voimme pitää tilajouon tuntemattomana aliona X S ja jota voimme äsitellä taralleen samoin uin tilajouon aliota. Tarvitsemme vielä muutaman äsitteen seä merinnän. Kun satunnaismuuttujan X tilajouo S = {i 0,i 1,... } on join positiivisten reaaliluujen R + numeroituva osajouo, niin satunnaismuuttujan X odotusarvo E X on positiivinen reaaliluu (tai mahdollisesti ääretön ) (1.6) E X := i P ( X = i ). =0 Jos tilajouo S C on äärellinen, niin sama määritelmä on voimassa, mutta jos tilajouo on numeroituvasti ääretön omplesiluujen osajouo, niin satunnaismuuttujalla on odotusarvo, jos myös itseisarvolla X on äärellinen odotusarvo. Käytännössä urssilla satunnaismuuttujat ovat positiivisia 3 tai niillä on odotusarvo. Yleisessä tapausessa tilajouo S voi olla ylinumeroituva omplesiluujen osajouo, ja tällöin tarvitsisimme hieman lisätietoja odotusarvosta. Tällaisia tietoja äsitellään lähemmin todennäöisyysteorian urssilla, mutta myös Mitta- ja integraali urssilla, sillä yleisesti odotusarvo on vain mittaintegraali todennäöisyysmitan P suhteen. Tarvitsemme näitä tietoja urssilla, mutta yritämme johtaa niiden tarpeen tilanneohtaisesti ysinertaistaen tarasteltavia ongelmia ensin. Odotusarvolla on seuraavia ominaisuusia: odotusarvo on lineaarinen eli jos α, β C ja X seä Y ovat satunnaismuuttujia, niin E (αx + βy )=αe X + βe Y jos 0 X 0 X 1,... ovat satunnaismuuttujia ja lim X n = X, niin (1.7) E X = lim n E X n. Näitä ahta ominaisuutta tulemme jatossa tarvitsemaan usein. Tulemme myös äyttämään seuraavaa niin sanotun Iversonin 4 notaatiota tai haasulumerinnän. Jotain vastaavaa merintää tarvitaan eri tilanteissa niin usein, että on 3 eli tilajouo on R + :n osajouo 4 Kenneth Eugene Iversonin muaan lähteenä Donald Erwin Knuthin The Art of Computer Progamming, Vol I

10 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT järevää äyttää mahdollisimman lyhyttä, seleää seä yhtenevää merintää oo ajan. 1.8. Merintä. Iversonin haasulumerintä taroittaa uvausta väitteiltä luvuille {0, 1}, joa määritellään seuraavasti: 1, jos väite on tosi, [väite ] := 0, jos väite ei ole tosi. Tämän merinnän erioistapausena saamme esimerisi Kronecerin deltan, sillä δ ij =[i = j ]. Tutustutaan lyhyesti tämän merinnän ominaisuusiin. Voimme esimerisi irjoittaa joaisen satunnaismuuttujan X, jona tilajouo on join luujouo, ysinertaisena summana X = S [ X = ]. Yleistämme merinnän tapahtumille A seuraavasti 1.9. Merintä. Jos A on tapahtuma, niin [ A ] on satunnaismuuttuja, jolle 1, jos ω A, [ A ](ω) := [ ω A ]= 0, jos ω/ A, Jatossa emme tule irjoittamaan aleistapahtumaa ω näyviin, joten jos A on tapahtuma, niin [ A ] on satunnaismuuttuja, jona tilajouona on asio {0, 1}. Erityisesti havaitsemme, että odotusarvon määritelmän muaan (1.10) E [ A ] = 0 P ([A ] = 0 ) + 1 P ([A ] = 1 ) = P ( A ), sillä {[ A ] = 1} = A. Siispä indutioilla voimme päätellä, että jos satunnaismuuttujan X tilajouo S = {i 0,i 1,..., i d }, niin odotusarvon lineaarisuuden seä identiteetin (1.10) avulla voimme johtaa esittämämme odotusarvon määritelmän, sillä ( ) E X = E i [ X = i ] = i E [ X = i ]= i P ( X = i ). Myös suorana sovellusena Iversonin notaatiosta voimme lasea satunnaismuuttujan f(x) odotusarvon, sillä ( ) E f(x) =E f(i )[ X = i ] = f(i )P ( X = i ). Summausen ja odotusarvon järjestystä voi aina vaihtaa, un tilajouo S on äärellinen. Äärettömän tilajouon tapausessa voimme yleensä perustella summausen ja odotusarvon järjestysen vaihdon soveltamalla odotusarvon rajaarvo-ominaisuutta (1.7).

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 11 Todennäöisyyslasennan piaertausessa tarvitsemme vielä ehdollisen todennäöisyyden äsitteen. 1.11. Merintä. Meritsemme tapahtuman A todennäöisyyttä ehdolla, että tapahtuma B on tapahtunut, seuraavasti P ( A B ) := P ( AB ) P ( B ) Ehdollinen todennäöisyydellä on samat ominaisuudet uin tavallisella todennäöisyydellä, joten sitä vastaa myös ehdollinen odotusarvo: 1.12. Merintä. Meritsemme satunnaismuuttujan X joa saa numeroituvan määrän arvoja ehdollista odotusarvo ehdolla, että tapahtuma B on tapahtunut, seuraavasti E (X B) := i P ( X = i B ). Tämä on helposti yleistettävissä tilanteeseen, missä tapahtuman sijasta tiedämme, että toisen satunnaismuuttujan arvon. Jos Y = l j l [ Y = j l ] niin edellisen motivoimana voimme ajatella, että (1.13) [ Y = j l ]E (X Y ) := [ Y = j l ]E (X Y = j l ) Summaamalla apumuuttujan l suhteen saamme E (X Y )= l [ Y = j l ]E (X Y )= l [ Y = j l ]E (X Y = j l ) Huomaamme, että näin saatu satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla, että tiedämme satunnaismuuttujan Y on myös satunnaismuuttuja. Täreänä erityistapausena tästä voimme päätellä, että jos X = f(y ), niin E (f(y ) Y )= l [ Y = j l ]E (f(j l ) Y = j l )= l f(j l )[ Y = j l ]=f(y ) eli satunnaismuuttujan f(y ) ehdollinen odotusarvo ehdolla, että tiedämme satunnaismuuttujan Y, on satunnaismuuttuja f(y ) itse. Voimme yleistää ehdollisen odotusarvon äsitettä edellee tilanteeseen, missä tiedämmein jonin äärellisen σ-algebran G. Yleistämme aavan (1.13) muotoon (1.14) [ B ]E (X G ) := [ B ]E (X B)

12 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT joaisella tapahtumalla B G. Kun G on äärellinen, niin sen virittää äärellinen jouo pistevieraita tapahtumia {B 1,..., B m }.Tällöin saisimme taas summaamalla (1.15) E (X G )= m [ B ]E (X B ). =1 Huomionarvoinen seia on, että E (X G ) on G -mitallinen satunnaismuuttuja, sillä tapahtuma {E (X G ) A} = {B j1 tai... tai B jl } G. Valitettavasti, un Ω ja tilajouo S voivat olla mielivaltaisen suuria ja satunnaismuuttujat voivat saada ylinumeroituvan määrän eri arvoja, ei edellinen summaamisteniia riitä. Yleisesti, satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla tapahtuma B on ilmaistavissa integraalina. Voimme hyvin äyttää tavallista odotusarvoa vastaavia approsimointitulosi tällaisille ehdollisille odotusarvoille ehdollinen odotusarvo, ehdolla tapahtuma B on lineaarinen eli jos α, β C ja X seä Y ovat satunnaismuuttujia, niin E (αx + βy B) =αe (X B) +βe (Y B) jos 0 X 0 X 1,... ovat satunnaismuuttujia ja lim X n = X, niin (1.16) E (X B) = lim n E (X n B). Yleisen ehdollistamisen σ-algebran G suhteen onin jo huomattavasti inisempi. Ongelmana on se, että tällaista σ-algebraa ei voida esittää pistevieraana yhdisteenä tapahtumista, joiden todennäöisyys on aidosti positiivinen. Joudumme siis ottamaan huomioon myös lähes mahdottomat tapahtumat. Tämä johtaa muodollisesti 0/0 -tilanteisiin, joten jotain muuta on tehtävä. Havaitsemme aavasta (1.15), että äärellisessä tilanteessa ehdollisen odotusarvon määräämisesi riittää tuntea ehdolliset odotusarvot tapahtumien suhteen. Nämä ehdolliset odotusarvot on rataistavissa myös seuraavasta aavasta (1.17) (1.17) E ([ B ]E (X G ) ) = E ([ B ]E (X B) ) = E ([ B ]X), joaisella tapahtumalla B G. Kaava (1.17) seuraa suoraan aavasta (1.14) ottamalla odotusarvot puolittain. Voisimmein määritellä, että satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla G on se satunnaismuuttuja E (X G ), joa on yhtälöryhmän (1.17) ysiäsitteinen rataisu. Tämä yhtälö yleistyy helposti yleiseen tilanteeseen. Määrittelemmein, että

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 13 1.18. Määritelmä. Oloon X omplesiarvoinen satunnaismuuttuja, jona E X < ja G F join taphtumien ali-σ-algebra. Sanomme, että satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla G on se satunnaismuuttuja E (X G ), joa on G -mitallinen, E E (X G ) < ja joa on yhtälöryhmän (1.17) rataisu. Se tosiseia, että ehdollinen odotusarvo on olemassa ja ysiäsitteinen on epätriviaali. Tämä seuraa Radonin-Niodymin lauseesta ja se sivuutetaan tällä urssilla. Enemmän tästä löytyy Todennäöisyysteoria -urssilla. Edelleen ysiäsitteisyys on voimassa nollatapahtumia vaille. Tätä varten esittelemme merinnän. 1.19. Merintä. Sanomme, että join asia on voimassa melein varmasti tai m.v., jos todennäöisyys asian voimassaololle on 1. Sanomme esimerisi, että X = Y m.v. jos tapahtuma {X = Y } on melein varma. Kosa usein ehdollistamme yleisen satunnaismuuttujan X suhteen, niin määrittelemme missä E (Y X) := E (Y σ(x)), σ(x) := σ{ {X A} : A on mitallinen jouo } on satunnaismuuttujan X virittämä σ-algebra. Äärettömyyden muaantulo paottaa sietämään näitä nollatapahtumia, joten otamme ne muaan avosylin ja muistutamme niiden olemassaolosta aina tarvittaessa. Palaamme niihinin uudestaan, un emme voi niitä välttää. Ehdollisen todennäöisyyden avulla voimme määritellä tapahtumien riippumattomuuden. 1.20. Määritelmä. Sanomme, että tapahtumajouo { A λ : λ I } on riippumaton, jos joaisella äärellisellä osajouolla {λ 0,..., λ d } I on voimassa P ( A λd A λ0 A λ1... A λd 1 ) = P ( Aλd ). Sanomme, että satunnaismuuttujajouo { X λ : λ I } on riippumaton, jos aina, un { B λ : λ I } on perhe tilajouon tapahtumia, niin vastaava tapahtumajouo on riippumaton. {{X λ B λ } : λ I }

14 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Olemme nyt äsitelleet lyhyesti tarvittavat todennäöisyyslasennan äsitteet. Johdatus todennäöisyyslasentaan urssilla esitettyjä malleja ja jaaumia emme tässä ertaa vaan palautamme ne mieleen tarpeen tullessa. Myösään jouojen ylinumeroituvuusien aiheuttamia tenisiä vaieusia tulemme äsittelemään, un niiden aia on. Jotta jatossa ei olisi liiaa määrittelemättömiä äsitteitä, lopetamme johdannon, määräämällä mitä stoastinen prosessi taroittaa. Ensin määrittelemme, miä on tilajouo. 1.21. Määritelmä. Oloon S ja S join σ-algebra jouolla S. Paria (S, S ) sanotaan tilajouosi tai tila-avaruudesi. Jos mitattavista jouoista S ei ole epäselvyyttä, meritsemme tilajouoa pelästään irjaimella S. Nyt voimme määritellä stoastisen prosessin. 1.22. Määritelmä. Oloon T. Oloon (X t ; t T ) perhe S-arvoisia satunnaismuuttujia. Sanomme tätä perhettä S-arvoisesi stoastisesi prosessisi. Huomaamme, että määritelmässä jouolle T ei ollut mitään erityisiä rajoitteita. Tällä urssilla yleensä oletamme seuraavaa. 1.23. Oletus. Aiajouo T on joo T = αn jollain α> 0 tai T R on reaalinen väli. Jos t T, niin luua t nimitetään ajanhetesi. Jos T = αn, niin sanomme aiaa disreetisi, muuten aia on jatuvaa. Välillä joudumme irjoittamaan iäviä lauseeita ajanhetisi. Tällöin on ätevää, että voimme tarvittaessa irjoittaa ajanheten ahteen paiaan. 1.24. Merintä. Voimme vapaasti meritä satunnaismuuttujaa ajanhetellä t T joo X t tai X(t). 1.25. Oletus. (1) Jos S on numeroituva jouo, niin S on aina P(S). (2) Käytännössä oo ajan tällä urssilla tilajouo S on join seuraavista jouoista {0, 1,..., d}, N := {0, 1,... }, S = Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }, D R d, un d N + := N \{0} (3) Kun S = D R d, niin jouo on Borelin jouo (mutta yleensä joo avoin tai suljettu) ja S = B(S). Stoastinen prosessi on siis vain varsin mielivaltainen ooelma ajasta riippuvia satunnaismuuttujia, jota saavat arvoja tilajouossa S.

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 15 1.26. Huomautus. Huomautamme vielä, että antamalla sopiva σ-algebra aiien uvausten jouoon S T jouolta T jouoon S (taremmin ns. tulo-σalgebra), niin (X(t)) on stoastinen prosessi jos ja vain jos X(ω) := t X(t, ω) on S T -arvoinen satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujan arvoa X(ω), joa on siis uvausia aiajouolta T tilajouolle S, nimitetään usein stoastisen prosessin realisaatiosi tai otosfuntiosi. Myös nimeä polu äytetään. Kosa tulojouo S T sisältää aii uvauset eiä vain säännöllisiä uvausia, ei ole syytä olettaa, että nämä otosfuntiot olisivat jatuvia saatia edes mitallisia.