Värähtelye 7. 7 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEIN VAIENEAON OINAISVÄRÄHEY 7. Johdto Use vpusstee systee leyhtälöt ovt ylesessä tpusess [ ]{&& } [ C]{ & } [ K]{ } { F} 7. Ku veust e ole, eevät leyhtälöt 7. uotoo [ ]{&& } [ K]{ } { F} 7. Ku vpusstede luuäärä o, ovt yhtälöde 7. 7. trse desot vetore. Koordtt vlt äytäössä ste, että trst ovt syetrsä el [ ] [ ] [ C] [ C] [ K] [ K] 7. 7. Veeto osvärähtely Veetto osvärähtely leyhtälössä o uortusvetor { } { } leyhtälöt ovt tällö uoto F [ ]{&& } [ K]{ } { } 7. Etstää yhtälölle 7. hrost rtsu uodoss { } { } s t φ { } s t 7.5 φ oss o osultuus, φ vheul { } pltudvetor. ervoll hdest suhtee sd { & } { } s t φ { } s t φ & 7.6 Sottll v 7. seur tulos [ ] [ K] { } s t φ { } 7.7 Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7. ost seur, että rtsu 7.5 o oe v, os o voss [ K] [ ] { } { } 7.8 o o tutettoe pltude,,, hoogeee yhtälöryhä. tet u ryhällä 7.8 o e-trvle rtsu v, os se errotrs detertt o oll el det [ K] [ ] 7.9 ot sot rterstses yhtälös. Kehttäällä detertt 7.9 sd uuttu λ stett olev yhtälö. ällä yhtälöllä o uurt, ot ertää λ, λ,, λ ste, että λ λ λ. uvut λ,,, ovt osultuudet. Vod osott, että osultuudet ovt eegtvs relluu. uvut f / π,,, ovt ostuudet. Jost osultuutt vst voerrot vlle ysästtee osuoto {, o vod rtst yhtälöryhästä 7.8, u she o sotettu. } Ylesest o voss, että osell esell systeellä o yhtä ot osultuutt, u sllä o vpusstet. Josee osultuutee lttyy slle luoteeoe värähtely tyypp, ot sot osuodos. Osultuudet osuodot rppuvt v systee ss äyyyde tusest, evätä esers uortusst t oordtte vlst. Kos osuodot ovt voerrot vlle ysästteset, tulee osuoto ysästtesest äärätys, u se yhdelle opoetlle vlt rvo. Osuoto sot oreertus, os se opoett ovt ysästtesä. Noreerus vod suortt oell tvll, hdolls eettelyä ovt seurvt.. Vlt ss osuodoss tetyssä pss olev opoet rvos ys. ää ostuu, os ss osuodoss pss olev opoett o ollst poev.. Vlt ss osuodoss tsesrvolt suur opoet rvos ys.. Noreert osuodot sstrs suhtee el { } [ ]{ },,, 7. Kv 7. luvut vod vlt vpst, utt yleesä äytetää rvo,,,. Noreerusess äytettyä suurett Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7. { } [ ]{ } 7. } sot osuotoo { lttyväs odlsss. Vstvst suurett { } [ K]{ } K 7. sot odläyyydes. Kertoll ospr 7.8 vselt vetorll { } sd tulos { vstv yhtälö } { } [ K]{ } { } [ ]{ } 7. ost seur voe 7. 7. perusteell tulos K / 7. Osultuudet vod vpusstede äärästä rpputt pertteess lse rterstst yhtälöstä 7.9 osuodot yhtälöryhästä 7.8. etert 7.9 ehttäe stä seurv yhtälö uure rtsee o ute työläs op tetooeell suortettu, os vpusstet o hyv plo. etooelset o ehtetty tehot tertvs osultuuse - uotoe äärtyseetelä, oh e tässä ute puutut. Käslsu trvt teor selvetäve sovelluste ästtelyssä. Jos vpusstet o elä t väheä, vod osultuudet lse ohtuullsell työllä rterstst yhtälöstä 7.9 osuodot yhtälöryhästä 7.8. Noreerttue osuotoe äärtystä vod he systetsod seurvss estettävällä tvll. ertää ryhä 7.8 errotrs [ ] [ K] [ ] 7.5 Oletet, että o rterstse yhtälö 7.9 yserte uur el yserte osultuus. Kos osuodo opoett evät ole oll, vod olett, että vetor { } esäe opoett e ole oll. Sllo vod vlt se esäe opoett yöses el { } { } { } { V} 7.6 oss vetor { V} { } ssältää osuodo { } esästä luuu otttt. Yhtälöryhä 7.8 o tpusess opoett Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7. [ ]{ } { } 7.7 Ostet yhtälöryhä 7.7 seurvst [ ] { } [ ] { } V { } 7.8 Kos e ole sgulre sllä o äätestrs. Yhtälöstä 7.8 seur vetorlle { V lsuv o yserte osultuus, trs [ ] { V} [ ] { } 7.9 } 7.. Eser Kuv 7. Eser. rstell uv 7. ole vpusstee systee osultuuse osuotoe äärtystä edellä estety teor usest. Osvärähtely leyhtälöryhäs tulee && && && ote v 7.5 errotrs o [ ] eyhtälöryhää vstv rterste yhtälö o Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7.5 Kehttäällä detertt 7. esäse vrv u rtsell rterstse yhtälö uuret sd [ t t ± ] 6 ± Osultuuslle tulee ä olle suuruusärestysessä,765,,88 ertseällä β rterste yhtälö vod esttää uodoss f β β β β Kuv 7. Osultuudet. Kuvss 7. o futo f β uv. Osultuudet vstvt se olloht. äärtetää seurvs osuodot. Ostell errotrs 7.5 v 7.8 usest [ ] [ ] { } [ ] Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7.6 Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä Ku, ostrses tulevt { } [ ] [ ] { } { } V Esäses osuodos tulee ä olle { } { }. Ku, sd vstvst { } [ ] [ ] { } { } V ost seur toses osuodos { } { }. Ku, o { } [ ] [ ] { } { } V ote ols osuoto o { } { }. Kuvss 7. o hvollstettu lsettu oreerttu osuoto. { } { } { } Kuv 7. Osuodot.
Värähtelye 7.7 7.. Eser Edellä estetty osuotoe rtsueetelä sop yös tpus, oss systeellä o äyä pplee lehdollsuus. ällö systeellä o yhtä ot oll suurust osultuutt E,A,ρ u sllä o tosst rpputto äyä pplee lehdollsuus. Kuv 7. Eser. utt uv 7. suv sls osvärähtelytä uv 7. b ole vpusstee llll, oss ousvo EA / ss ρa /. Systee leyhtälöt ovt && && && Systee äyyystrs o sgulre el det [ K]. Kv 7.5 errotrs o [ ] eyhtälöryhää vstv rterste yhtälö o [ ] E ρ 8E ρ Osultuus vst äyä pplee lettä. set vstv osuoto { }. Ostell errotrs 7.5 v 7.8 usest, ollo seur tulos Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7.8 [ ] [ ] { } [ ] Ku, ostrses tulevt { } [ ] [ ] { } { } V Osuodos tulee ä olle { } { }, o o äyä pplee trsltole, os ll opoetell o s rvo, ollo ouset evät vey osuodo { } usess leessä. 7. oertset ostuudet Edellä oreertu osuodo { } lseteetelässä oletett, että o yserte osultuus. rstell tpust, oss o p- erte osultuus el se o rterstse yhtälö 7.9 p-erte uur, p >. ällst osultuutt vst ääretö äärä osuoto, ost etää p pl o lersest rpputto. Nää p lersest rpputot osuoto vod vlt seurvst. Ostet { ste, että { } { } { W} { V} 7. oss osuodo ost ovt { } {... } { V} {... } W p p p 7. Yhtälöstä 7.8 tpusess stv yhtälöryhä vod ostt vstvst } [ ] [ ] [ ] [ ] { W} { V} { } { } 7. ollo [ ] ostrs [ ] o p p trs. Kos o p-erte osultuus, e ole sgulre. Yhtälöstä 7. rte osuodo Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7.9 Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä loppupää lolle v { } [ ] [ ]{ } W V 7. Yhtälöstä 7. vod lse p lersest rpputot osuoto { } p,,,, sottll she perää vetort { } { } { } { } { } { } W...,, W, W p 7. 7.. Eser utt eserä edellä estetystä osuotoe äärtyseetelästä svusuuss tuetto pl pottst osvärähtelyä uv 7.5 ole vpusstee lsetllll, ollo ρa /. Systeelle vod oht esers eleetteetelällä seurvt leyhtälöt EI A && && && ρ Kv 7.5 errotrs o [ ] 8EI A EI A EI ρ ρ Ku otet äyttöö ertä 8EI A ρ, eee trs [ ] uotoo [ ] EI,E,I,ρ A ρ A,E,I, Kuv 7.5 Eser.
Värähtelye 7. Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä Krterste yhtälö o tällö [ ] det ] [ ] [ ] [ A EI ρ Osuodot ovt voerrot vlle ysästteset, ote de lsess vod äyttää trs [ ] pll trs [ ] l voerrot el [ ] äärtetää es ysertst osultuutt vstv osuoto, ollo v 7.8 ue errotrs ostus o [ ] ostrses tulevt ä olle { } [ ] [ ] 8 { } { } 8 V Koles osuodos tulee ss { } { }. Ksertst osultuutt vst v 7. ue errotrs ostus o
Värähtelye 7. [ ] [ ] Kv 7. uset ostrst ovt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ersest rpputtot osvetort { } { } sd vst 7. sottll she { W} { } { W} { } v 7. usest el { } [ ] { } { } { } V { } [ ] { } { } { } V Kuvss 7.6 o hvollstettu edellä lsettu osuoto stä äyy sel- ovt äyä pplee rottoletä. väst, että { } { } { } { } { } Kuv 7.6 Osuodot. 7. Osuotoe ortogolsuus rstell stte erästä osuotoe täreätä osuutt. Oloot s ersuurt osultuutt seä { } { } tä vstvt osuodot. Sllo v 7.8 perusteell o voss [ K]{ } [ ]{ } [ K] { } [ ] { } 7.5 Kertoll v 7.5 esäe yhtälö vselt vetorll { }, sd Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7. { } [ K]{ } { } [ ] { } 7.6 Vstvst sd ertoll v 7.5 äläe yhtälö vselt vetorll { K syetrsyys } ottll huooo trse [ ] [ ] { } [ K]{ } { } [ ]{ } { } [ K]{ } { } [ K] { } { } [ ] { } { } [ ]{ } 7.7 Vähetäällä yhtälöstä 7.6 puoltt yhtälö 7.7 seur { } [ ]{ } 7.8 Kos oletett, että, sd tulos { } [ ]{ } 7.9 o u osuodot ovt ortogolset sstrs suhtee. Sottll tulos 7.9 v 7.6 sd { } [ K]{ } 7. ote osuodot ovt ortogolset yös äyyystrs suhtee. Jos, evät tuloset 7.9 7. ole välttäättä voss. 7.. Eser rstell uv 7.5 systee osvetoret erte EI/ osultuus vstvll osuodolle { } { } pätee. Ersuur { } [ ]{ } [ ] { } [ K]{ } [ ] Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7. ote osuodot { } { } ovt ortogolset. So ähdää osuotoe { } { } ortogolsuus. utt sertst osultuutt vstve osuotoe { } { } { } [ ]{ } [ ] { } [ K]{ } [ ] ortogolsuus. ote usepertst osultuutt vstvt osuodot evät välttäättä ole ortogolset, v olsvt lersest rpputtot. Vod osott, että o hdollst vlt p-ertst osultuutt vstvst osuotoouost p pl eseää ortogolst osuoto. rsteltvss tpusess esers osuodot { } { } { } { } { } { } ovt ortogolset ss- äyyystrs suhtee, sllä { } [ ]{ } [ ] { } [ K]{ } [ ] Osuoto { } o ortogole e osultuutt vstve osuotoe ss. 7.5 Norluotoeetelä perustuset Ospre osuotoe ortogolsuutt vod hyödytää värähtelylyysssä oell tvll. Eräs tärestä tvost o leyhtälöde rtsee orluotoeetelällä, o perustuset estetää seurvss. Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7. Kos p-ertselle osultuudelle vost 7. 7. lsetust osuodost vod uodost p pl ortogols osuoto esers Gr-Schdt prosessll, vod olett, että systeelle o äärtetty. äärtellää systee od- ortogolst osuoto { },,,, ltrs [ Φ ] ste, että se pystyrvt ovt oreertut osuodot [ ] [ ] { } { }... { } Φ 7. Kvoe 7. 7.9 perusteell vod rott tulos Φ 7. O [ ~ ] [ ] [ ][ Φ] oss [ ~ ] o odlsstrs el ylestetty sstrs. Vstvst vost 7. 7. seur K K Φ 7. O K [ K ~ ] [ ] [ K][ Φ] oss [ K ~ ] o odläyyystrs el ylestetty äyyystrs. Ertysest o syytä huot, että odlsstrs odläyyystrs ovt osuotoe ortogolsuude t lävstäätrse. Jos osuodot oreert v 7. osottll tvll, että odlsst ovt yösä el,,,,, sot tä systee ortoorles osuodos. ällö odlsstrs o ysötrs odläyyystrsss lävstäälot ovt v 7. usest osultuuse elöt el [ ~ ] O [ K ~ ] O 7. Edellä todett, että systeelle vod äärttää se vpusstede äärä ue ouo eseää ortogols osvetoret, ot ovt sllo yös lersest rpputto. ästä seur, että hdollset systee set { } vod esttää osvetorede lerobto el uodoss Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7.5 oss luvut { } c { } 7.5 c,,,, ovt vot. Vode c äärääses errot v 7.5 puoltt vetorll { } [ ], ollo vost 7. 7.9 seur { } [ ]{ } c { } [ ]{ } c c { } [ ]{ } 7.6 Kvt 7.5 7.6 ssältävät orluotoeetelä perustuse, o u systee set vod esttää se osuotoe lerobto. 7.5. Eser 5 rstell orluotoeetelä perustust uv 7.5 eser vull. Systee ortogolss osuodos st edellä { } { } { } { } { } { } ot o estetty uvss 7.7. Esäe osuoto o tsyetre sä o tosess vpussteess solupste. Ks uut osuoto ovt syetrsä. { } { } { } Kv 7.5 u oe srtyätl { } vod esttää uodoss { } c { } c { } c { } Oloo srtyätl { } { } Kuv 7.7 Osuodot., oss o vo. äärtetää stä vstvt ertoet 7.6. set es vss 7.6 trvttvt odlsst. Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7.6 Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä { } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ] Kertos 7.6 tulee { } [ ]{ } [ ] c { } [ ]{ } [ ] c { } [ ]{ } [ ] c odet velä trstuses, että { } { } { } { } { } { } { } { } c c c 7.6 Osvärähtelytehtävä ylee rtsu Osvärähtely leyhtälö 7. rtsuyrte 7.5 to, u vos vlt o systee osultuusst pltudvetors { } vstv osuoto { } el rtsuyrte to osprell { },,,,,. eyhtälö ylee rtsu o tällö ospre vstve rtsue lere yhdstelä el
Värähtelye 7.7 { } A { } s t φ 7.7 φ ovt vot. Vhtoehto- oss { } o oreerttu osuoto seä A e uoto rtsulle 7.7 o oss { } { } B s t C cost B 7.8 C ovt vot. Nopeusvetors tulee vst 7.8 dervoll { } { } B cost C st & 7.9 Vot B C t A luehdost hetellä t. { } { } { & } { & } φ o pplett e sd lsettu systee 7. Aluehdost 7. seä yhtälöstä 7.8 7.9 seur { } { } C { } { } { } B { & } & 7. Ku yhtälöt 7. errot vselt vetorll { } [ ] otet huooo osuotoe ortogolsuus odlss äärtelä, sd C { } [ ]{ } B { } [ ]{ & } 7. 7.6. Eser 6 Rtst uv 7. systee rtsuss 7.8 olevt vot B C edellä estetyllä tvll, u luehdot ovt { } { } { & } { }. Aluehdot vstvt tlett, oss vse puolee ss o srretty se ude ssoe olless tsposess. sst lähtevät leelle l luopeus. set lus odlsst Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä
Värähtelye 7.8 Use vpusstee systee veeto osvärähtely tt ähteeä [ ] [ ] [ ] Vos C, C C tulee tässä tpusess [ ] [ ] C [ ] [ ] C [ ] [ ] C Kos luopeudet ovt oll, o selväst voss B B B.