2 = +. Osoita, että palauttava voima, joka. 4πε. or r

Transkriptio

1 S-4.46 Fysii IV (Sf), II Välioe Ioiiteessä potetilieergi o uot V ( r ) α e b +. Osoit, että pluttv voi, jo r r viutt ioii, jo o siirtyyt x: verr tspisest, o uot F -x, u x o hyvi piei. Voivio o uot Rtisu α e ( ). 3 Potetilieergi o uot V ( r ) tspise r ypärillä: α e b +. Kehitetää potetilieergi Tylori srjsi or r ( r V r V + V r + V ) +.! α e b α e ( + ) b Derivtt: V ( ) ; V ( ) Esiäie derivtt eee tspisess ollsi, sillä se o ioii viuttv oisvoi. Jätetää toist stett oret terit pois, os trstell vi tspise lähellä olevi r: rvoj. ( + ) ( ) α e b α e b r V ( r) πε Ioii viuttv voi o yt V α e ( + ) b α e ( + ) b F + ( r ) x r Bltt, yht. (.5): Ti: α e b. Sijoitet tää yo. yhtälöö. Sievetäise jälee: o α e α e F ( ) x ( ) x Ioie välise etäisyyde olless r o ioie välie voi V α e b F +. r + or r Mer. r + x, x <<. α e b α e b F + + o ( + x) ( + x) x x Sijoitet b: lusee. Sievetäise jälee sd α e F x x Tää sd edellee uotoo

2 ( ) α e + x x F + +, jost jättäällä toist j orep stett olevt terit pois sd o α e x α e F [ + + ] ( ) x. 4 3 πε. Trstell ysitoist lierist hil. Atoie ss o M j toie väliste sidoste voivio β. Osoit, että hilvärähtelyje oiistjuudet sd yhtälöstä ω β / M si, issä o hilvio. Miä troitet hilvärähtelyje ustisell rjll? Rtisu Olete että idettiset toit ovt lepotilss etäisyydellä toisist. Atoi oorditti x-selill void tällöi esittää uodoss x. Meritää luvull ξ toi siirtyää tspisest. Aliss pprositioss voie olett Ysitoie hil, jo oostuu s luiee toeist, Atoie välie lähipurietäisyys. liss ertluvuss hyvä pprositio. Vstvsti voie osoitt että toi että ui toi vuoroviutt ist hde puris ss. Tällöi toi j toi ( + ) välie etäisyys sv äärällä ξ+ ξ. Jos eritsee toie välise voi voiviot β toii ohdistuvt toi ( + ) iheutt voi o tällöi β ( ξ+ ξ ). Tässä yhtälössä olee tietei oletteet että toie välie voi o hroie, iä oi toii ohdist voi o vstvsti uot β ξ. Nyt voie irjoitt toille lssise ξ eii uise liieyhtälö uodoss d ξ M dt ( ) β ξ ξ β ξ ξ β ξ + ξ ξ + +. () Jos olete että etju o äärettöä pitä, voie jättää ii reuefetit huoiott j etsie liieyhtälö () rtisu tsltouodoss i( t ξ ) ξe ω +. () Tässä viheteijä uistutt tsllo viheteijää x jtuvss ieess eteevässä tslloss. Sijoittll yrite () yhtälöö () j eliioill yhteiset teijät se i i 4 si Mω β e + e β, istä rtisell tjuude ltovetori futi Kuv 7- Hilvärähtelyje tjuus ltovetori futi.

3 ω β M si. (3) Tää yhtälö ertoo toietjuss eteevä värähtely tjuude se llopituude futi. Tjuude siirvo svutet u π. Kultjuude riippuvuus ltovetorist o esitetty uvss All olev uv esittää HCL (loori-isotoopit vihtoehtoisesti Cl j Cl ) oleyyli yhdistettyä rottio-vibrtio bsorptiospetriä. Arvioi uvst oleyyli voivio hroisess pprositioss, seä tspioetäisyys ioie H + j Cl välillä. Arvioi yös suäyttee läpötil, jost bsorptio o itttu. Kertuse tilstollisest fysiist todettoo, että EL / T rottiotil iehitystodeäöisyys o verrollie Boltzi teijää P (L + ) e, issä E L o rottiotil eergi. Määrää siis esi se L : rvo jo o todeäöisi j siitä läpötil. L Rtisu: Kuvss äyy loori hdest eri isotoopist iheutuvt spetrit erillisiä. Lsee tuloset seurvss vi 35 Cl isotoopille. HCl oleyyli suhteellie ss o,97 u. R- j P-spetrie puoliväli vst värähtely perustjuutt. Kuvst sd ω 36eV. Jousivio o M H M Cl µ r ω M M ω 476 N/. + Rottioss trsitioeergit ovt [ ] rottiosiirtyie r H Cl El ( l + )( l + ) l( l + ) ( l + ), jote I µ r viivoje ero (perääiste trsitoieergioide ero) o dipolitrsitioille Erot /( µ ). Kuvst rvioid välitsi Erot,6eV. Tästä sd tspioetäisyydesi r,7. µ E rot Absorptio voiuus o verrollie rottiosiirtyä lutil iehitystodeäöisyytee. Kuvst huot, että ols j eljäs bsorptiopiii ovt voiit. Näitä vstvt lutilt l j 3. Toislt iehitysluvu siisi sd derivoill (tässä sijoitet rottioeergi lusee iehitystodeäöisyytee, hitusoetti o 47,3 I µ r g )

4 ( l + ) dp l d / / l l IBT l l IBT (l ) e + e + + dl dl IBT 4IBT l ti 3, uv perusteell. Tästä voie rtist läpötil ( l + ) T 4BI o vie. 387 K, jos l j 758 K, jos l 3. Tr läpötil äärääie spetristä 4. Trstell siulotteist eliöhil. Osoit, että tight bidig -pprositioss ( ) ( cos x + cos y ) E E E riipputo ltovetori suust. Rtisu. Osoit yös, että efetiivie ss o isotrooppie ts. Tight bidig -ltofutio irjoitet yt uodoss ψ φ ( ) r r r e, (), issä r ( ) i + ( ) j j xi + y j. Su lset yli iie siulotteise hil hilpioje. Eergi liieäärä yhtälö johtie tphtuu trllee soi ui yhdessäi ulottuvisuudess. Vdie, että tight bidig -ltofutio toteutt jst riipputto Scrödigeri yhtälö:, i r ( ) ψ Kerrot () puolitti futioll i r H φ r r e E r () ψ r j itegroid yli hil. Olette, että eri hilpioihi liittyvät ltofutiot ovt liii ortoglisi j lisäsi oritettuj ts. jos j drφ ( r r ) φ ( r r ) (3) uute se yhtälö () oielt puolelt ψ ψ E dr r r NE, (4) issä N o hilpioje luuäärä. Ote yt äyttöö uude idesoitii liittyvä pueuvo j eritsee luupri, yhdellä irjiell α. Oloo vstvsti luupri syboli β. Su yli α : troitt siis itse siss soissu,. Tää eritätp vi teee yhtälöistä väheä risuise äöisiä. Yhtälö () vselt puolelt sd yt φ i i e r r d φ β H α Hβα e r r α, β α, β r r r r r (5) α β α β Olete yt, että triisiliot H βα ovt ollst poievi vi jos olet idesit viittvt joo s hilpi, ti se lähipuriss olev hilpi. Jos α β, eritsee αα φ φ H dr r r H r r E (6) Jos ts idesit viittvt viereäisii hilpioihi, eillä o seurvt vihtoehdot α, β ±, β, ±

5 ts. eljä lähipuripi. Kullei äistä triisilio s syetri syistä s rvo: Hαβ drφ r r Hφ r r ± ± E (7) Lähipureille svt yhtälössä (5) esiityvät espoettifutio rvot ( α rβ ) i r ± i x e e ; u ±,. i ( rα rβ ) ± iy e e ; u ±, Sijoittll ää yhtälöö (5) se (plll jällee soisidesii j uistll, että hilss o N hilpi) ix ix iy iy { E E ( e e ) ( e e ) } (8) NE E ( cos x + cos y) Yhdistäällä tuloset (4) j (8) se eergi luseeesi ( cos x + cos y ) E E E. (9) Efetiivise ss äärääisesi ehitäe yt yhtälö (9) srjsi vruude origo ypäristössä (pieillä x: rvoill cos x x / ): issä E ( ) E E +. E x y vio, () Huoe, että eletroi eergi void vyö reu läheisyydessä esittää lssisess uodoss liie-eergi, joho liittyvä ss riippuu ltovetori itseisrvost, utt ei vetori suust. Esierisi III-V yhdistepuolijohteide johtovyö ss o isotrooppie. 5. Jos oleyylillä o si yhtä suurt päähitusoetti ( I x- j y-suuiss), ii se rottioeergioperttori o ˆ ˆ L ˆ Hrot + Lz. () I I I Lse rottiotiloje väli, u ) I.8I j b) I.I. Piirrä eergitsot ysiöissä / I. Rtisu Ktsot lusi ite tehtävä Hliltoi o johdettu. Klssie pyöriiseergi o pyörähdysellipsoidille Lx L y Lz Lz L rot + + ( x + y ) + + z I I I I I I I I E L L L. Tästä uodostet Hiltoi orvll liieäärät vstvill vttieisill operttoreill. Vetytoi eergitsoje yhteydessä olee osoitteet, että pllohroiset futiot Yl ( θ, φ ) ovt operttoreide ˆL j L ˆz yhteisiä oiisfutioit: Lˆ Yl l ( l + ) Yl. () Lˆ Y Y z l l

6 Jäliäisestä yhtälöstä seur, että pllohroit ovt yös operttori Lˆz Y l Y l L ˆz oiisfutioit:. Yhtälöstä () huot, että pllohrit ovt yös Hiltoi () oiisfutioit : ( + ) ˆ ˆ l l + Lz Yl + Yl I I I I I I L. (3) Rttioeergit ovt siis l ( l + ) El + I I I issä l,,,3,.. j l, l +,.., l, l. Ysiöissä (Eergit o piirretty oheisee uv) / I eergi void esittää uodoss : ) I.8I El l l 4 / I El l l + 6 / I. ( + ) + b) I, I VAKIOITA e p 9,9 g, 675 g, 6748 g u, 665 g c µ B e, 6 C, 9979 /s, 545 Js 9, 73 JT Ke K ε 8, 8544 C N / µ, 566 gc µ / 4π A γ 6, 67 N g N 6, 5 ol R 8, 343 JK ol,385 JK