Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio, kun x R \ Q f(x) =, kun x Q ei ole Riemnn-integroituv millään välillä [, b] Tehtävä 3. Käytä osittisintegrointi j lske integrlit.. ln x. x sin x 3. x rctn x 4. e x cos x Tehtävä 4. Lske sopiv sijoitust käyttäen.. 9. ln x+ x e x e x Tehtävä 5. Integroi.. (x 4 + 5x 3 x + x 3). e 3x 3. sin x cos x 4. sin x 5. sin (ln x) Tehtävä 6. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, ] Osoit, että i jos funktio f on prillinen, niin f(x) = f(x).
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 ii jos funktio f on priton, niin f(x) =. Tehtävä 7. Missä seurvss päättelyssä on vikn? x = / ln x = = Mikä on oike tp lske tämä epäoleellinen integrli? Tehtävä 8. Esitä j todist integrlilskennn perusluse. Tehtävä 9. Lske integrlit... 3. x (4x +) x 4x + 4x + Tehtävä. Tutki epäoleellisten integrlien suppenemist... 3. 4. x+sin x x 3 +x cos x e x Tehtävä. Lske rj-rvo lim sin x. Mitä voit sno tämän lskun perusteell epäoleellisen integrlin suppenemisest? sin x
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 3 / 9 Tehtävä. Integroi.. x+ x x. x (x 3) x(x+)(x +) 3
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 4 / 9 Vtivmpi tehtäviä Tehtävä 3. Osoit, että jos f on jtkuv ei-negtiivinen funktio välillä [, b] j b f(x) =, niin f(x) = kikill x [, b]. Päteekö tulos ilmn funktion f jtkuvuutt? Tehtävä 4. Osoit, että jos funktiot f j g ovt jtkuvi välillä [, b] b j f(x) = b g(x), niin on olemss sellinen piste t [, b], että f(t) = g(t). Päteekö tämä tulos ilmn oletust funktioiden jtkuvuudest? Tehtävä 5. Integroi. x 9 x. 9 x 3. x + 9 4. x 9 + x 5. 9 x 6. 9+x Tehtävä 6. Osoit, että funktio kun x f(x) = kun x = on integroituv välillä [, ]. Miksi kertymäfunktio G(x) = x f(x). ei ole funktion f integrlifunktio tällä välillä? Osoit, että funktioll f ei ole integrlifunktiot välillä [, ]. Tehtävä 7. Tutki funktion x sin kun x x F (x) = kun x = 4
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 5 / 9 derivttfunktiot F (x) = f(x) kiinnittäen erityishuomiot pisteeseen x =. Onko tällöin F on funktion f integrlifunktio? Onko f integroituv välillä, jok sisältää pisteen x =? Tehtävä 8.. Olet, että funktio f on jtkuv välillä [, b].. Olet, että funktio f on integroituv välillä [, b]. Osoit molemmiss tpuksiss, että jos m f(x) M in, kun x [, b], niin m(b ) b f(x) M(b ). Tehtävä 9. Esitä j todist yleistetty integrlilskennn välirvoluse. Tehtävä. Todist seurv suhdetestin ljennus. Olkoon f(x) j g(x) positiivisi j integroituvi funktioit kikill väleillä [, ], missä < <, j Jos epäoleellinen integrli f(x) suppenee. f(x) lim x + g(x) =. g(x) suppenee, niin myös epäoleellinen integrli 5
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 6 / 9 Vinkkejä perustehtäviin Tehtävä. Osoit, että ylä- j lsummien rvot ovt smt riippumtt välin [, b] jost. Tehtävä. Käytä pun tieto siitä, että jokisell relivälillä on rtionlij irrtionlilukuj. Tehtävä 3.. Sovell osittisintegrointi kerrn j yritä päästä eroon logritmifunktiost.. Sovell osittisintegrointi khdesti. 3. Huom, että D rctn x = +x. 4. Sovell osittisintegrointi khdesti. Tehtävä 4.. Tee sijoitus t = x.. Tee sijoitus t = e x. Tehtävä 5.. Integroi suorn.. Käytä esimerkiksi sijoitust t = 3x ti lske suorn. 3. Huom, että D sin x = cos x. 4. Käytä trigonometrist kv cos(x) = sin x. 5. Käytä sijoitust t = ln x j osittisintegrointi. Tehtävä 6. J integrointi khteen osn j käytä sijoitust t = x sopivsti. Tehtävä 7. Mieti toteutuuko määrätyn integrlin määritelmän oletukset. Tehtävä 8. Sovell välirvolusett. Tehtävä 9.. Suor lsku.. Suor lsku. 3. Huomioi, että integrndi on prillinen funktio. J integrndi khteen osn. Tehtävä.. Todist rvio x > sin x sopivll välillä j käytä sitä.. J integrli khteen osn j käytä mjornttiperitett. 3. Suor lsku. 4. J integrointi kolmeen osn sopivsti, jolloin rviointi käy helpommksi j käytä mjornttiperitett. 6
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 7 / 9 Tehtävä. Rj-rvo on suor lsku. Mieti miten epäoleellinen integrli on määritelty. Tehtävä. Osmurtokehitelmän tekemisen jälkeen jäljellä on vin suor lsku. Luentomonisteess on ohjeet erityyppisten osmurtojen integroimiseen. 7
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 8 / 9 Vinkkejä vtivmpiin tehtäviin Tehtävä 3. Tee vstoletus j osoit, että tällöin yläsummien täytyy oll jotkin positiivist vkiot suurempi. Tehtävä 4. Sovell edellistä tehtävää funktioon f g. Tehtävä 5.. Huomioi sisäfunktion derivtt.. Käytä sijoitust x = 3 sin t. 3. Tee sijoitus t = x + x + 9. 4. Käytä sopiv sijoitust ti lske ensimmäisen kohdn tpn. 5. Käytä sopiv sijoitust. 6. Käytä sopiv sijoitust. Tehtävä 6. Osoit integroituvuus näyttämällä, että jokist luku ɛ > kohti on olemss välin jko, jonk yläsummn rvo on pienempi kuin tämä luku. Olet, että funktiolle olisi olemss integrlifunktio j tutki mitä siitä seur. Tehtävä 7. Lske derivttfunktio j sovell pisteeseen x = määritelmää sellisenn. Tehtävä 8.. Käytä integrlilskennn välirvolusett.. Käytä tehtävää pun. Tehtävä 9. Käytä pun sitä, että jtkuv funktio svutt suljetull välillä kikki rvot mksimins j miniminsä välistä. Arvioi tällä tvoin funktiot f(x)g(x) j niiden integrli. Tehtävä. Käytä rj-rvon määritelmää j mjornttiperitett. 8
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 9 / 9 Perustehtävien rtkisut Tehtävä. Olkoon D = {x, x, x,..., x n } mielivltinen välin [, b] jko, missä = x, b = x n j x < x <... < x n. Kosk funktio f oli vkiofunktio, niin f(x) = c kikill x b. Täten l- j yläsummn rvot ovt smt, sillä c = sup f(x) = inf f(x) kikill x b. Lisäksi (x x ) + (x x ) +... + (x n x n ) = x n x = b. Täten n s D = c(x i+ x i ) = c(b ) = S D. i= Täten funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j b f(x) = c(b ). Tehtävä. Olkoon luvut < b mielivltisi. Olkoon lisäksi D = {x, x, x,..., x n } mielivltinen välin [, b] jko, missä = x, b = x n j x < x <... < x n. Kosk kikill väleillä [x i, x i+ ], i =,,..., n on sekä rtionli- että irrtionlipisteitä, niin inf f(x) = j sup f(x) =. x [x i,x i+ ] x [x i,x i+ ] Kosk jko D oli mielivltinen, niin jokinen lsumm s D =. Lisäksi jokinen yläsumm on S D = b. Täten sup s D = = inf S D, joten funktio f ei ole Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tehtävä 3. Sovelletn osittisintegroinnin kv f g = fg fg.. Vlitn f(x) = x j g(x) = ln x. Tällöin f (x) = j g (x) = x. Siis ln x = x ln x x = x ln x x + C. x Derivoimll tulos sdn vhvistuttu oikeksi. 9
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9. Sovelletn osittisintegrointi khdesti. Ensiksi x sin x = x cos x + x cos x, missä vlittiin f(x) = cos x j g(x) = x. Lisäksi x cos x = x sin x sin x = x sin x + cos x + C, vlinnoill f(x) = sin x j g(x) = x. Täten x sin x = x sin x + cos x x cos x + C. Kvn sijoitettiin uusi vkio C = C puhtsti esteettisistä syistä. 3. Vlitn g(x) = rctn x j f(x) = x. Tällöin x rctn x = x rctn x x + x Nyt x = +x =, joten +x +x +x x + x = + x = x rctn x + C. Siis x rctn x = x rctn x x + rctn x + C, missä C = C. 4. Vlitsemll f(x) = e x j g(x) = cos x sdn, että e x cos x = e x cos x e x sin x. Nyt vstvsti e x sin x = e x sin x + e x cos x. Siis e x cos x = e x cos x + 4 e x sin x 4 e x cos x.
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Siirtämällä termi 4 4 5 sdn, että e x cos x vsemmlle puolelle j kertomll luvull e x cos x = 5 e x sin x 5 e x cos x + C. Vikk tulos näyttää ik monimutkiselt, niin sen oikeellisuuden voi todet derivoimll. Tehtävä 4.. Tehdään sijoitus t = x. Tällöin integoimisvälillä [, 9] on x = t j siten = tdt. Alrj on edelleen j ylärj muuttuu luvuksi 3. Täten 9 3 x + x = = = 3 tdt t + t dt t + 3/ ln(t + ) = (ln 4 ln ) = ln.. Tehdään sijoitus t = e x. Tällöin dt = e x eli = dt t. Integroimisrjt muuttuvt, niin että ylärj on e = e j lrj on e ln = e ln = 4. Täten ln e e x e = x = = 4 e 4 e 4 dt t(t ) t dt t dt (t )(t + ). Lskemll osmurtokehitelmä integoitvlle sdn, että (t )(t + ) = A t + B t + t(a + B) + A B =, (t )(t + )
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 missä A = j B =. Siis e 4 dt (t )(t + ) = e ( dt e 4 t dt 4 t + ) = / e / e ln(t ) ln(t + ) 4 4 = ( ln(e ) ln 3 ln(e + ) + ln 5 ) = ( ) 5(e ln ). 3(e + ) Täten ln e x e = ( ) 5(e x 4 ln ). 3(e + ) Tehtävä 5.. Suorn integroimissääntöjä soveltmll sdn, että (x 4 + 5x 3 x + x 3) = x 4 + 5 x 3 x + = 5 x5 + 5 4 x4 3 x3 + x 3x + C. x 3. Sijoitus t = 3x on dierentioituv bijektio, joten se ei tuot mitään ongelmi. Nyt x = t 3 j = dt. Siis 3 e 3x = 3 et dt = 3 et + C = 3 e 3x + C. 3. Kosk D sin x = cos x, niin integrointi on muoto f(x)f (x) = f (x)+ C. Siis sin x cos x = sin x + C. 4. Kosk sin x = ( cos x), niin sin x = ( cos x) = x sin(x) + C. 4
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 3 / 9 5. Tehdään sijoitus t = ln x, jok on derivoituv bijektio, joten sijoitus on luvllinen. Tällöin x = e t j = e t dt. Näin integointi sdn muotoon sin (ln x) = e t sin t dt. Käytetään osittisintegrointi j sdn, että e t sin t dt = e t sin t e t cos t dt j vstvsti e t cos t dt = e t cos t + e t sin t dt. Siten e t sin t dt = e t sin t e t cos t e t sin tdt eli e t sin t dt = ( e t sin t e t cos t ). Pltn sijoituksell lkuperäiseen muuttujn j tulokseksi sdn sin (ln x) = e t sin t dt = ( e t sin t e t cos t ) + C = ( e ln x sin(ln x) e ln x cos(ln x) ) + C = x (sin(ln x) cos(ln x)) + C, missä trvittv integroimisvkio C on lisätty yhtälöön vst tässä viimeisessä viheess Tehtävä 6.. Jos funktio f on prillinen, niin f(x) = f( x). Kosk integrointi voidn suoritt osiss, niin f(x) = = f(x) + f(x) + f(x) f(x) 3
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 4 / 9 Tehdään vsemmnpuoliseen integrliin sijoitus t = x. f(x) = f( t) dt = f(t) dt. Kosk integoinniss integroitvll muuttujll ei ole käytännön merkitystä, niin korvtn edellisessä tuloksest muuttuj t muuttujll x j tehdään sijoitus j sdn väite f(x) = f(x). Jos funktio f on priton, niin f(x) = f( x). Jkmll integrointi ts osiin sdn, että f(x) = = f(x) + f(x) + f(x) f(x) Sijoittmll t = x vsemmnpuoleinen integrli muuttuu muotoon f(x) = f( t) dt = f(t) dt. Täten f(x) =. Nämä tulokset ovt voimss myös silloin, kun f on vin integroituv. Tällöin todistus voidn suoritt trkstelemll Riemnnin summi. Tässä todistuksess jtkuvuutt trvitn vrmistss sijoitusten oikeellisuus. Tehtävä 7. Funktio f(x) = x j lim x x ei ole integroituv välillä [, ], sillä lim = x + x =. Siten funktio f ei ole rjoitettu välillä [, ]. Täten x on epäoleellinen integrli. Oike tp on kirjoitt x = x + x, missä molemmt ost ovt hjntuvi epäoleellisi integrlej. 4
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 5 / 9 Tehtävä 8. Integrlilskennn perusluse snoo, että välillä [, b] jtkuv, välillä ], b[ derivoituv funktio f, jolle f (x) = kikill x ], b[, on vkiofunktio välillä [, b]. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b], derivoituv välillä ], b[ j f (x) = kikill x ], b[. Olkoon x ], b[ mielivltinen. Välirvolusett voidn sovelt tälle välille j täten on olemss sellinen piste x ], x[, että f(x) f() = f (x )(x ) = (x ) = Täten f(x) = f() kikill x ], b[. Jtkuvuuden perusteell myös f() = lim x b = f(b). Siis f on vkiofunktio välillä [, b]. Tehtävä 9.. Integroitv funktio x (4x +) on rjoitettu välillä [, [, joten integrlin knnlt ino ongelm on käyttäytyminen äärettömyydessä. Nyt kun. x (4x + ) = 8. Vstvsti kuten edellä x 4x + = 8 8x (4x + ) = / ( 4x + ) 8 = ( ) 8 4 + 8 ( ) = 8, = 8 = 8 8x 4x + / ln 4x +, ( ln(4 + ) ) 5
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 6 / 9 kun. Siis integrli hjntuu. 3. Integrndi on prillinen funktio, joten 4x + = 4x +, mikäli se suppenee. Lsketn tämä epäoleellinen integrli tekemällä sijoitus t = x. Tällöin t = 4x j dt =, mutt integroimisrjt vin puolittuvt. Siis kun. Siis Tehtävä. 4x + = = t + dt / rctn t π = π 4, 4x + = π.. Tutkitn funktiot f(x) = x sin x. Se on jtkuv j derivoituv sekä f (x) = cos x. Kun < x, niin funktio f on idosti ksvv j positiivinen. Täten x > sin x, kun x eli x + sin x > x + x = x kun x ], [. Kosk epäoleellinen integrli hjntuu, niin minornttiperitteen nojll myös epäoleellinen integrli x hjntuu. x + sin x 6
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 7 / 9. Jetn epäoleellisen integrlin trksteleminen khteen osn merkitsemällä x3 + x = x3 + x + x3 + x. Osoitetn, että molemmt osintegrlit suppenevt jolloin myös koko integrli suppenee. Oletetn, että < x. Nyt x + x 3 = x + x > x + = x eli <, x + x 3 x kun < x. Kosk integrli x suppenee, niin myös integrli x + x 3 suppenee mjornttiperitteen nojll. Oletetn, että x. Tällöin x + x 3 x 3 j mjornttiperitteen nojll integrlin integrlin suppeneminen. x + x 3 x 3 suppenemisest seur 3. Nyt ongelmi iheutt vin äärettömät integroimisrjt. Jetn integrli khteen osn. Tällöin cos x + b cos x = / b/ sin x + sin x = sin(b) sin(). Kosk funktioll f(x) = sin x ei ole rj-rvoj kummsskn äärettömyydessä, niin integrli hjntuu. 7
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 8 / 9 4. Jetn integroimisväli ], [ osväleihin ], ], [, ] j [, [, joiss trkstelu suoritetn. Kun x, niin x x j. Kosk e x e x / e = e x = e e x e kun, niin epäoleelliset integrlit e x j e x suppenevt mjornttiperitteen nojll. Kosk e x = e x + e x + e x j jokisell osintegrlill on äärellinen rvo, niin integrli suppenee. Tässähän keskimmäinen integrli ei ole epäoleellinen, joten se utomttisesti suppenee. Tehtävä. Nyt kyseessä ei ole epäoleellinen integrli, vn integrlin vull määritelty rj-rvo. Suorn lskemll huomtn, että / lim sin x = lim cos x = lim ( cos + cos( )) = lim =. Epäoleellisesti integrlist sin x edellinen lsku ei sno mitään, kosk nyt rjnkäynnit äärettömyydessä pitää ott erikseen. Siis sin x = sin x + sin x Kumpikin osintegrli hjntuu, kosk funktioll cos x ei ole rj-rvo äärettömyydessä. 8
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 9 / 9 Tehtävä.. Kosk x x = x(x ), niin lsketn osmurtokehitelmä x + x(x ) = A x + B x Ax A + Bx =. x(x ) Kertomll puolittin termillä x(x ) j settmll x:n yhtäsuurien potenssien kertoimet smoiksi, sdn rtkistvksi yhtälöt A + B = j A =. Rtkisut ovt A = j B =. Siis x + x x = x + x = ln x + ln x + C = ln (x ) x + C.. Ensinnäkin supistetn yhteinen tekijä pois eli x (x 3) x(x + )(x + ) = x(x 3) (x + )(x + ). Kosk x + ei hjo enää relisiin tekijöihin, niin osmurtokehitelmä on muoto x 3x (x + )(x + ) = A x + + Bx + C x + = Ax + A + Bx + Bx + Cx + C (x + )(x + ) Rtkistv epäyhtälö on siis = A + B 3 = B + C = A + C. jonk rtkisut ovt A = 9, B = 9 ( x (x 3) x(x + )(x + ) = 9 = 9 j C = 5 9. Siten x + + x + 9 x + 5 ) 9 9 x + x x + 9 x +. 9
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Selvästi x + = ln x + + C. Kosk x = 4 4x = 4 D(x + ), niin x x + = 4 ln x + + C. Hnklin integrointi on viimeinen. Tehdään sijoitus t = x, jolloin t = x j dt =. Siis x + = dt t + = rctn t + C 3 = rctn x + C 3. Lopult sdn siis (yhdistetään vkiot suorn yhdeksi vkioksi C) x (x 3) = ln x + x(x + )(x + ) 9 9 4 ln x + 9 = 9 rctn x + C ln x + 8 ln x + 5 9 rctn x + C.
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Vtivmpien tehtävien rtkisut Tehtävä 3. Oletuksen perusteell f(x) kikill x [, b]. Tehdään vstoletus, että olisi sellinen x [, b], että f(x ) >. Vlitn ɛ = f(x ) >. Funktion f jtkuvuuden perusteell on olemss sellinen δ >, että f(x) f(x ) < ɛ in, kun x x δ j x [, b]. Merkitään I δ = [x δ, x + δ] [, b]. Lisäksi luku δ > voidn vlit niin pieneksi, että välin I δ pituus on vähintään δ, kosk x [, b]. Jos x I δ, niin ɛ 3ɛ < f(x) <. Nyt voidn tehdä rvio b = f(x) f(x) I δ I δ ɛ ɛ δ >, mikä on ristiriit. Epäyhtälön ensimmäisessä rvioss integroimisväliä pienennetään, jolloin integrlin rvo tietenkin pienenee. Toisess rvioss käytetetään funktion f lrj välillä I δ. Kolmnness käytetään hyväksi tieto, että välin I δ pituus on vähintään δ lskettess vkiofunktion integrli. Näiden rvioiden täsmällinen perustelu voidn suoritt Riemnnin summien vull, mutt yksinkertisuuden vuoksi sivutetn nämä päättelyt selvinä. Merkintä I δ f(x) trkoitt funktion f integroimist yli välin I δ. Tulos ei päde ilmn jtkuvuuden oletust. Vstesimerkiksi käy funktio, kun x = f(x) =, kun x. Tällöin f(x) =, mutt f(x) integroimisvälillä. Tehtävä 4. Oletuksen perusteell b (f(x) g(x)) = b f(x) b g(x) =.
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Kosk funktiot f j g ovt jtkuvi j integroituvi, niin myös funktio f g jtkuv j integroituv välillä [, b]. Mikäli funktio f g viht merkkiään pisteessä x [, b], niin (f g)(x) = eli f(x) = g(x), joten väite on todistettu. Voidn siis olett, että f g ei vhd merkkiään välillä [, b]. Tällöin jompi kumpi funktioist f g ti g f on positiivinen j edellistä tehtävää voidn sovelt tähän funktioon. Siis f(x) g(x) = kikill x [, b], mistä väite seur. Tskn väite ei päde ilmn jtkuvuutt. Vstesimerkiksi voidn ott funktiot f(x) j, kun x g(x) =, kun x >. Nyt f(x) = Tehtävä 5. g(x) =, mutt f(x) g(x) kikill x [, ].. Kosk D(9 x ) = x, niin integrndiin sdn muotoiltu sisäfunktion derivtt. Siis x 9 x = x 9 x = 3 (9 x ) 3 + C = 3 9 x 3 + C. Tehdään sijoitus x = 3 sin t, missä π t π. Nyt t = rcsin x 3 j = 3 cos tdt. Lisäksi sin t = cos t = cos t = cos t, kosk välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 3 / 9 [ π, π ] kosini on ei-negtiivinen. Siis 9 x = 9 9 sin t 3 cos t dt = 9 sin t cos t dt = 9 cos t dt = 9 ( + cos t)dt, missä viimeisin rivi sdn kvst cos t = cos t. Täten 9 x = 9 dt + 9 cos t dt 4 = 9 t + 9 sin t + C 4 = 9 rcsin x 3 + 9 sin t cos t + C = 9 rcsin x 3 + 3 x cos t + C = 9 rcsin x 3 + 3 ( x ) x + C, 3 kosk cos t = sin t = x. Tuloksen oikeellisuuden voi trkist 9 suorittmll derivoinnin. Sijoituksess ei kuitenkn tehty mitään luvtont, kosk 3 sin t on derivoituv bijektio, kun π t π. 3. Tehdään sijoitus t = x+ x + 9. Nyt korottmll yhtälö t x = x + 9 toiseen sdn sievennyksen jälkeen x = t 9. t Tästä derivoimll puolittin ts sdn = t t (t 9) dt = t +9dt. (t) t 3
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 4 / 9 Siis x + 9 = (t x) t + 9 dt t ( ) = t t 9 t + 9 dt t t ( ) t + 9 = t4 9 dt t 4t 3 t 9 = dt + t dt t 4 dt + = 4 t + 9 ln t 8 t 8 8t + C 8 4t 3 dt = 8 (x + x + 9) + 9 x ln + x + 9 8 8(x + x + 9) + C. Lventmll smnnimisiksi j neliöt lskemll sdn, että 8 (x+ x + 9) 8 8(x+ x +9) = x x + 9, joten x + 9 = x x + 9 + 9 x ln + x + 9 + C. Sijoitus t = x + x + 9 on derivoituv bijektio j myös derivoimll voidn trkist, että tulos on todellkin oike. 4. Vstvsti kuin ensimmäinenkin tehtävä ti vihtoehtoisesti sijoituksell t = 9 + x j dt = x x 9 + x = t dt = 3 t 3 + C = 3 ( t) 3 + C = 3 ( 9 + x ) 3 + C. Vikk sijoitus t = 9 + x ei ollutkn bijektio, niin lopputulos on oike. Vstuksen stu funktio on todellkin hluttu integrlifunktio, kosk sen derivtt on integrndi. 4
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 5 / 9 5. Käytetään sm sijoitust x = sin t kuin tämän tehtävän toisess kohdss. Täten 3 cos t = 9 x 3 cos t dt = dt = t + C = rcsin x 3 + C. 6. Käytetään sijoitust t = x + x + 9 kuten kolmnness kohdess. Nyt = t + 9 9 + x t (t x) dt t + 9 = t (t t 9) dt t t + 9 = t 3 t 3 9t dt t + 9 = t 3 9t dt t + 9 = t(t 9) dt dt = t = ln t + C = ln x + x + 9 + C. Tehtävä 6. Olkoon D = {x, x, x,..., x n } mielivltinen välin [, ] jko, missä x =, x n = j x < x <... < x n. Jos väli [x i, x i+ ], missä i =,,..., n, sisältää origon x =, niin sup f(x) =, x [x i,x i+ ] muutoin pienin ylärj funktion rvolle on selvästi. Lisäksi inf f(x) = kikill välin [, ] osväleillä. Siis funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, ], jos 5
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 6 / 9 inf S D =. Luku on selvästi eräs lrj yläsummien joukolle. Osoitetn, että se on suurin lrj. Olkoon ɛ > mielivltinen. Nyt on olemss sellinen jko D, että ɛ > x i+ x i j ]x i, x i+ [ eräällä i Z +. Siis < S D = (x i+ x i ) = x i+ x i < ɛ. Täten inf S D = j funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, ] j Nyt funktio G(x) = f(x) =. x f(x), kun x [, ]. Lisäksi se on derivoituv välillä ], [, mutt se ei ole funktion f integrlifunktio, sillä G () = = f(). Oletetn, että funktio F on funktio f integrlifunktio. Täten F (x) = f(x) kikill x ], [. Erityisesti F () = f() = j F (x) = f(x) =, kun. Derivoituvn funktion F on jtkuv. Integrlilskennn perusluseen nojll c, kun < x < F (x) = d, kun < x <. Jtkuvuuden perusteell F () = lim F (x) = lim F (x) eli F () = c = d. Tällöin x + F () = lim h F (h) F () h x = = f(), mikä on ristiriit. Täten funktioll f ei ole integrlifunktiot välillä [, ]. Tehtävä 7. Kun x, niin D x sin x = x sin x + x cos x D x = x sin x x 3 x cos x = x sin x x cos x. 6
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 7 / 9 Kun x =, niin F () = lim h F (h) F () h = lim h h sin h h = lim h h sin h =, sillä h sin h h, kun h. Siis x sin F x (x) = f(x) = cos kun x x x kun x = Siis funktion f integrlifunktio on F. Kuitenkn funktio f ei ole integroituv millään välillä, jok sisältää pisteen x =, sillä funktio f ei ole tällöin rjoitettu. Esimerkiksi jos x n = πn, niin eli cos( ) = πn x n x n f(x n ) = πn, kun n. Siis funktio f tulee svuttmn mielivltisen pieniä rvoj lähestyttäessä pistettä x = Siis funktioll voi oll integrlifunktio, vikk se ei olisikn integroituv. Tehtävä 8.. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin integrlilskennn välirvoluseen nojll on olemss sellinen t [, b], että b f(x) = f(t)(b ). Kosk m f(t) M oletuksen nojll, niin väite sdn tätä soveltmll yllä olevn yhtälöön.. Nyt todistus on hiemn hnklmpi, kosk joudutn turvutumn Riemnnin summiin. Jos funktio f on integroituv välillä [, b], niin b f(x) = sup s D = inf S D. 7
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 8 / 9 Tehtävän perusteell vkiofunktiot m(x) m j M(x) M ovt integroituvi välillä [, b] sekä b m(x) = m(b ) j b M(x) = M(b ). Olkoon D mielivltinen välin [, b] jko. Oletuksen perusteell m f(x i ) M j m f(x i+ ) M, kikill jon D jkopisteissä x i j x i+, joten funktion m välin [, b] jokinen yläsumm ovt pienempiä ti yhtä suuri kuin funktion f vstv lsumm j funktion M jokinen lsumm ovt suurempi ti yhtäsuuri kuin funktion f vstv yläsumm. Täten m(b ) = b m(x) sup s D = b f(x) = inf S D b Tehtävä 9. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b] j funktio g on M(x) = M(b ). integroituv välillä [, b]. Oletetn lisäksi joko g(x) ti g(x) kikill x [, b]. Tällöin on olemss sellinen t [, b], että b f(x)g(x) = f(t) b g(x). Tehdään luseen vtimt oletukset j trkstelln tpust g(x) kikill x [, b]. Kosk funktio f on jtkuv suljetull välillä [, b], niin sillä on mksimirvo M j mininirvo m tällä välillä. Täten mg(x) f(x)g(x) Mg(x) kikill x [, b] eli Jos b m b g(x) b f(x)g(x) M b g(x) =, niin edellisen rvion nojll myös b g(x). f(x)g(x) =. Näin väite olisi tosi mielivltisell t [, b]. Kosk g(x), niin voidn olett 8
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 9 / 9 jtkoss, että b g(x) >. Siis m b f(x)g(x) b g(x) M. Kosk f oli jtkuv välillä [, b], niin se s kikki rvot suurimmn rvons M j pienimmän rvons m väliltä. Siis on olemss sellinen t [, b], että f(t) = b f(x)g(x) b, g(x) jost väite seur. Vstvsti todistetn tpus g(x) kikill x [, b]. Tehtävä. Rj-rvon f(x) lim x + g(x) = määritelmän perusteell kiinnitettyä luku > ɛ > kohti on olemss sellinen luku δ >, että jos x < δ, niin f(x) g(x) < ɛ. Tällöin ɛ < f(x) g(x) < ɛ j kosk f(x), g(x) > kikill > x >, niin Siis jos epäoleellinen integrli < f(x) < ɛg(x). δ g(x) suppenee, niin mjornttiperitteen nojll myös epäoleellinen integrli δ f(x) suppenee, kosk luku > ɛ > oli kiinnitetty j sillä kertominen ei vikut suppenemiseen. Siis epäoleellinen integrli f(x) = δ f(x) + δ f(x), suppenee, kosk oletuksen perusteell funktio f on integroituv välillä [δ, ]. 9