Laplacemuunnoten peruteet kurilla S; v.. Jarmo Malinen. joulukuuta 29 Siältö Alkuanat 2 2 Määritelmiä 2 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia 6 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin 9 5 Uein eiintyvien funktioiden Laplace-muunnokia
Alkuanat Laplace-muunno on yki arvokkaimpia ignaalinkäittelyn, äätöteorian ja piirianalyyin matemaattiita työkaluita. Sen avulla differentiaaliyhtälöillä erityieti alkuarvotehtävinä kuvattuja fyikaaliia tilanteita voidaan tarkatella algebralliina yhtälöinä. Piirianalyyia ja äätöteoriaa Laplace-muunno johtaa lähe välittömäti iirtofunktiotekniikoihin. Tämä monite on johdanto Laplace-muunnomenetelmän käyttöön ykinkertaiimmia tilanteia. Sovellutukena tarkatellaan vakiokertoimita lineaarita differentiaaliyhtälöä. Konvoluutiota, Diracin δ-funktiota, viivätettyjen ja ekp. vaimennettujen funktioiden muunnokia ja Laplace-muunnoken käänteimuunnokaavoja ei käitellä. Materiaalin laajuu on 3 4 luentotuntia, ja e on tarkoitettu avuki TKK:n kurilla Piirianalyyi II tarvittavaan matematiikkaan. Monite euraa joain määrin Martion ja Sarvaken kirjaa Tavalliet differentiaaliyhtälöt olevaa uppeaa eitytä. Moniteeta löytyvitä (varmati lukuiita) virheitä pyydän ilmoittamaan ähköpotite: jmalinen@math.tkk.fi. Jarmo Malinen 2 Määritelmiä Ennen kuin voimme määritellä Laplace-muunnoken erään integraalin avulla, on tarpeen rajata e joukko funktioita, joille muunnoken lakeminen on ylipäätään mahdollita. Määritelmä. Funktio f : R + C on Laplace-muuntuva mikäli f on paloittain jatkuva, ja on olemaa vakio > jolle () lim t e t f(t) =. Lukua M f =inf{ > : lim t e t f(t) =} kututaan funktion f kavurajaki. Laplace-muuntuvan funktion f(t) kavun (kun t ) tulee ii hävitä ekponenttifunktiolle e t jollain äärelliellä, mahdollieti hyvin iolla luvulla >. Kaikki funktiot Laplace-muuntuvuudelle voidaan antaa paljon yleiempiäkin määritelmiä, joiden avulla ueammille funktioille voidaan lakea Laplace-muunno. Tällaiet yleityket eivät kuitenkaan ole tämän moniteen aihepiiriä. 2
eivät toteuta tätä; eimerkkinä tätä g(t) =e t2. Erikoieti jokainen rajoitettu, paloittain jatkuva funktio on Laplace-muuntuva kurituperiaatteen nojalla: jo f(t) M jokaiella t, niin e t f(t) Me t kunt. Jokaien rajoitetun funktion kavuraja on aina =. Huomautu 2. Olkoon f Laplace-muuntuva, ja merkitään en kavurajaa M f. Vaikka ehto () toteutuu tällöin jokaielle >M f (välittömäti joukon infimumin eli uurimman alarajan määritelmän mukaan), ehto ei välttämättä toteudu kun = M f. Eimerkiki funktio h(t) =e t,jollepätee M h =. Laplace-muunno määritellään eräällä epäoleelliella integraalilla, joa funktiota joudutaan integroimaan koko poitiivien reaaliakelin R + yli. Paloittain jatkuvan funktion g : R + C epäoleellien, joukon R + yli ulotetun integraalin g(t) dt anotaan olevan olemaa eli uppenevan, mikäli raja-arvo on olemaa kaavaa I = lim M I M joa I M := M g(t) dt. Tällöin merkitään epäoleellita 2 integraalia lyhyeti g(t) dt := I. Nyt voimme vihdoin määritellä Laplace-muunnoken: Määritelmä 3.Olkoon f : R + C Laplace-muuntuva, ja merkitään en kavurajaa M f. Tällöin (i) f:n Laplace-muunno on funktio ˆf :(M f, ) C, jonka arvot määräytyvät epäoleellieta integraalita (2) ˆf() := e t f(t) dt. (ii) Laplace-muunnooperaattori on kuvau L : f ˆf, joa f ja ˆf toteuttavat (2). Funktion f Laplace-muunnota funktiona merkitään joko ymbolilla ˆf tai L[f]. Näiden funktioiden arvoja piteeä >M f merkitään tällöin ˆf() tail[f](). Muuttujaa t on tapana kutua aikataon muuttujaki tai aikaparametriki. Ueia tehtäviä e todellakin vataa fyikaalita aikaa. Muuttujaa kututaan taajuutaon muuttujaki, jaite Laplace-muunnooperaation L anotaan ininöörikielellä antavan yhteyden aikataon ja taajuutaon välillä. Lukija mieltäjääehkä kalvamaan epäily iitä, onko epäoleellinen integraali (2) ylipäätään olemaa millään arvolla >; ja onko Määritelmä 3 ylipäätään varmalla pohjalla. Onneki Laplace-muuntuvuuehdon () toteutuea epäoleellinen integraali uppenee: 2 Vaikka jokainen M g(t) dt on määritelty Riemann-integraalina, ei niiden raja-arvoa g(t) dt ole uoraan määritelty Riemannin ylä/alaummien avulla. Tämän takia raja-arvoa kututaan epäoleellieki integraaliki. 3
Lemma 4. Olkoon f : R + C Laplace-muuntuva, ja merkitään en kavurajaa M f. Tällöin epäoleellinen integraali (2) uppenee (iteieti). Toditu. Olkoon >M f mielivaltainen. Koka f on paloittain jatkuva ja funktio t e t, on niinikään näiden funktioiden tulo t e t f(t) paloittain jatkuva joukoa R +. Koka paloittain jatkuvat ovat Riemann-integroituvia jokaiella oavälillä [,M], jokainen Riemann-integraali I M := M e t f(t) dt on olemaa kun M. Pitää ii tutkia, mitä tapahtuu luvuille I M kun annetaan M. Vaaditun raja-arvon olemaaololle joudutaan käyttämään nk. Cauchyn konvergenikriteeriä, jonka matemattinen perutelu ohitetaan 3. Cauchyn kriteerin mukaan lim M I M C on olemaa, jo ja vain jo jokaiella ɛ> on olemaa luku N = N(ɛ) > iten että toteutuu min (M,M 2 ) >N(ɛ) Rightarrow I M I M2 <ɛ. Olkoon nyt ɛ>, ja poimitaan jokin luku (M f,). Sovitaan että luvuita M ja M 2 uurempaa merkitään aina M 2 :lla. Tällöin integraalilakun äännöillä aadaan M 2 M M 2 I M2 I M = e t f(t) dt e t f(t) dt = (3) e t f(t) dt M 2 e t f(t) M 2 dt = e ( )t e t f(t) dt. M M M Koka f on Laplace-muuntuva ja >M f, euraa lim t e t f(t) =. Mutta nollaan uppenevat funktiot R + :lla ovat elväti rajoitettuja (yritä vaikkapa piirtää ellainen joka ei olii!), ja on ii olemaa vakio C> jolle pätee e t f(t) C kaikilla t. Nyt voidaan yllä olevaaepäyhtälöketjua jatkaa: / M2 (4) M 2 e ( )t e t f(t) M 2 dt C e ( )t C dt = M M e ( )t M = Ce ( )M ( ) e ( )(M 2 M ) 2Ce ( )M. Koka >, voidaan viimeieä termiä lukua M = min(m,m 2 ) kavattaa riittävän ioki (eli >N(ɛ)), niin että lopulta toiaankin toteutuu epäyhtälöitä (3) ja(4) johdettu Cauchyn konvergenikriteerin vahvitava epäyhtälö I M2 I M 2Ce ( )M <ɛ. Jätämme lukijalle tehtäväki lakea logaritmien avulla laueke luvulle N(ɛ), jokaita ɛ> kohden. 3 Huomaa, että Cauchyn kriteeri on varin järkevä: Jotta raja-arvo lim M I M voii olla olemaa, on tarpeen että kaikki arvot I M ja I M2 ovat lähellä toiiaan, kunhan molemmat M,M 2 ovat vain riittävän uuria. 4
Huomautu 5. Uein Laplacemuunnoken ˆf() muuttujan allitaan olevan komplekiluku, joka toteuttaa Re > M f. Huomautu 6. Uein funktion f tarkan kavurajan M f määrääminen on vaikeaa. Käytännön lakujen kannalta on kuitenkin olennaita vain e, että äärellinen kavuraja on olemaa jolloin myö Laplace-muunno on olemaa. Tarvittavat lakut tehdään tällöin kaikilla riittävän ioilla luvuilla >, eikä ole niin nökönuukaa tietää kuinka ioilla luvuilla >M f oikeataan laketaan. Käytännön eimerkki valaikoon edellä olevaa teoreettita tarkatelua. Huomaa, ettäuein lakut on pakko tehdä komplekitaoa. Eimerkki 7. Funktion e at Laplace-muunno, kun a R. Ei ole epäilytä, etteikö ekponenttifunktio olii Laplace-muuntuva. Ite lakukin on lähe naiivi: L[e at ]() = e t e at dt = lim M kunhan >a. (Varmita, että ymmärrät miki!) M e ( a)t dt = lim M Eimerkki 8. Funktion in t Laplace-muunno. / e ( a)t ( a) = a, Tämä on jatkuva ja rajoitettu funktio, joten e on niinmuodoin Laplace-muuntuva; kavurajan ollea =. Olkoon > mielivaltainen. Eulerin kaavan avulla, epäoleellita integraalia hieman epämuodollieti käitellen aadaan lakettua (5) = 2i e t in tdt= / e ( i)t ( i) 2i e t ( e it e it) dt = 2i 2i / e (+i)t ( + i). e ( i)t dt 2i e (+i)t dt Jotta ijoitutermi + :ä aadaan lakettua, tarvitaan raja-arvot lim M e (±i)m kullekin >. Mikäli imaginääriykikköä ei kaavaa lainkaan eiintyii, nähtäiiin uoraan että haluttu raja-arvo on nolla, ja ofitikoitunut veikkau olii ama myö komplekilukutapaukea. Kurituperiaatteella ja komplekimuuttujan ekponenttifunktion lakuäännöillä aadaan e (±i)m = e Re[ (±i)m] = e M kun M. Sii ijoitutermit + :ä katoavat kaavaa (5), ja aadaan alarajatermeitä (huomaa miinumerkki!) L[in ]() = e t in tdt= ( ) 2i ( i) + ( + i) = 2 +. 5
Eimerkki 9. Funktion co t Laplace-muunno. Koinin Laplace-muunno voidaan lakea uoraan inin Laplace-muunnoketa, käyttämällä kaavaa co t =in(π/2 t) ja tekemällä integraalin iällä muuttujan vaihto v = π/2 t, dv = dt. Jätetään lukijalle helpoki harjoitutehtäväki, jonka tulo on L[co ]() = Eimerkki. Akelfunktion Laplace-muunno. Paiti iniaaltoa, uein ignaaleina käytetään myö akelfunktiota {, kun t [,a] χ [,a] (t) =, kun t>a. Laplace-muunno tulee uoralla lakulla kaikille > L[χ [,a] ]() = e t χ [,a] (t) dt = a e t dt = / a e t = ( ) e a.. 2 + 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia Johdamme euraavaki Laplace-muunnooperaation L peruominaiuukia, joiden takia iitä tulee käyttökelpoinen ininöörimatematiikan työkalu. Laue. Laplace-muunnooperaatio L on lineaarinen kuvau, joka on määritelty kaikilla paloittain jatkuvilla funktioilla. Jatkuvien funktioiden joukkoon C(R + ) rajoitettuna L on liäki injektiivinen. Perutelu. Että L on lineaarinen, euraa uoraan (epäoleelliten) integraalien lakuäännöitä. Paloittain jatkuville funktioille f(t) jag(t), ekä vakioille α, β C pätee 4 L[αf + βg]() = = lim R α = α lim R R R e t (αf(t)+βg(t)) dt = lim R e t f(t) dt + β R e t f(t) dt + β lim R e t g(t) dt R R e t (αf(t)+βg(t)) dt e t g(t) dt = αl[f]()+βl[g](). Yllä oleva laku on oikea jokaielle >max (M f,m g ). Erityieti huomaa, että funktioiden kavurajat aina toteuttavat epäyhtälön M αf+βg max (M f,m g ). 4 On hyvää harjoitutaepäoleellien integraalin lakuäännöille, jo käy edellien päättelyketjun akel akeleelta, ajatuken kana läpi. 6
Kuten matriiilakua matriiien nolla-avaruukia tutkittaea, injektiiviyyden tarkitamieki riittää ooittaa euraava: Jokainen Laplace-muuntuva jatkuva funktio f, jolle pätee L[f]() = kaikilla > M (jollain vakiolla M>M f ) on ite aiaa nollafunktio: f(t) = kaikilla t>. Valitettavati tämän väitteen toditaminen vaatii edityneempiä työkaluja, kuin tällä kurilla voidaan eittää. Lineaariuuden avulla voidaan antaa funktion h(t) = αf(t) + βg(t), α, β C Laplacemuunno välittömäti, kunhan ˆf ja ĝ ovat tunnettuja. Mikäli taa L ei olii injektiivinen, olii ueilla eri (jatkuvilla) funktiolla amat Laplace-muunnoket. Tämä tekii Laplace-muunnotekniikan käyttökelvottomaki, koka käänteimuunnoken lakeminen olii tällöin mahdotonta. Uein aika-akelia halutaan venyttää tai kutitaa iten, että funktion f(t) ijata halutaan tutkia funktiota f a (t) :=f(at), joa a>onvakio: Laue 2. Olkoon f Laplace-muuntuva ja a >. Tällöin funktio f a (t) := f(at) on Laplace-muuntuva, ja en muunno toteuttaa L[f a ]() = ( ) a L[f]. a Perutelu. Tämä on harjoitu integraalilakennon muuttujanvaihdota: Jokaielle > max (M f,m fa )pätee L[f a ]() = = a e t f(at) dt = a e (/a)τ f(τ) dτ = a L[f] ( a joa muuttujanvaihtona 5 käytettiin τ = at, dτ = adt. e (τ/a) f(τ) dτ Eimerkki 3. Funktioiden in at ja co at Laplace-muunnoket, kun a >. Lauetta 2 oveltamalla Eimerkeiä 8 ja 9 annettuihin muunnokiin, aadaan eritaajuiille inivärähtelyille muunnokaavat L[in at]() = ), a 2 + a 2 ja L[co at]() = 2 + a 2. Jotta differentiaaliyhtälöitä voitaiiin käitellä Laplace-muunnokin, tulee tietää kuinka derivointi vaikuttaa funktion Laplace-muunnokeen 5 Mikäli yllä oleva olii tehty matemaattieti tämälliemmin, olii jokainen integraali lakettu enin oleelliena integraalina välillä [,R], ja vata lopuki iirrytty epäoleellieen integraaliin antamalla R. Laueen toditukea näin jakettiin vielä tehdä, mutta tätä eteenpäin fukaamme hieman. 7
Laue 4. Jo f ja f ovat Laplace-muuntuvia, niin tällöin L[f ]() =L[f]() f(). Perutelu. Tämäonepäoleellien integraalin oittaiintegrointia. Jokaielle >max M f,m f ) pätee L[f ]() = e t f (t) dt = / e t f(t) ( e t )f(t) dt = f() + L[f]() joa oittaiintegroinnia käytettiin ijoituta U = e t, dv = f (t) dt, du = e t,ja V = f(t). Luku onyllä olevaa lakua kiinteä vakio, jotakohdellaan kuin mitä tahana komplekilukua erityieti en voi tuoda ulo integraalimerkin alta. Tehdyn ijoituken ylärajatermi :ä katoaa, koka lim R e t f(t) = funktion f Laplace-muuntuvuuden peruteella. Huomaa, että funktio f voi aivan hyvin olla Laplace-muuntuva, ilman että en derivaatta f on. Eimerkiki kelpaa rajoitettu, jatkuvati derivoituva funktio f(t) =ine t2,jonka kavuraja on M f =. Sen derivaatta f (t) =2te t2 co e t2 kavaa turhan monia piteiä nopeammin kuin mikään ekponenttifunktio niinpä illä eioleäärellitä kavurajaa. Yritä huvikei kuvitella miltä tällainen funktio kuulotaii kuulokkeita oitettuna. Eimerkki 5. Funktion co t Laplace-muunno toiella tavalla lakettuna. Koinin Laplace-muunno voidaan lakea inin Laplace-muunnoketa käyttämällä hyväki =cot. Saadaan uoraan Laueen 4 peruteella tietoa d in t dt L[co ]() =L[in ]() in = 2 + = 2 +. Korkeampien derivaattojen tapau voidaan hoitaa oveltamalla Lauetta 4 ueati peräkkäin: Korollaari 6. Jo funktiot f,f,...,f (n) ovat Laplace-muuntuvia, niin tällöin n (6) L[f (n) ]() = k L[f]() n j f (j) (). j= Jokainen derivaatoita (Korollaarin oletuten ollea voimaa) f,f,...,f (n ) on iteaiaa jatkuva funktio (miki?). Korkeimman kertaluvun derivaatalta f (n) riittää vaatia, että e on ainoataan paloittain jatkuva. Korollaarin perutelu tapaukea n =2. Käyttämällä Lauetta 4 kaki kertaa aadaan jokaielle >max (M f,m f,m f ): L[f ]() =L[f ]() f () = (L[f]() f()) f () = 2 L[f]() f() f (). Ken vielä epäilee yleitä kaavaa (6) vääräki, ruokikoon iteään induktiotoditukella tai lakemalla auki tapauket n = 3, n = 4... kunne ielunrauha on aavutettu. 8
Funktion f(t) derivoiminenn kertaa kertoo ii Laplace-muunnoken ˆf funktiolla n, mikäli unohdetaan n ateinen polynomihäiriö n j= n j f (j) (), joka tulee ijoitutermeitä. Integroiminen aiheuttaa luonnollieti päinvataien ilmiön: Laue 7. Olkoon f(t) jatkuva, Laplace-muuntuva funktio, ja määritellään en erä antiderivaatta F (t) = t f(v) dv. Tällöin F on Laplace-muuntuva, ja jokaielle > max (M f,m F ) pätee L[F ]() = L[f](). Perutelu. Integraalilakennon päälaueen mukaan F (t) =f(t) jokaiella t>. Koka liäki F () = tällä nimenomaiella antiderivaatalla, aadaan Laueen 4 avulla L[f]() =L[F ]() =L[F ]() F () = L[F ](). Jakamalla yhtälön pää ja häntä muuttujalla aadaan väite toditetuki. 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin Tarkatelemme vaimentamattoman jouimaayteemin (tai LC-piirin) analyyiä edellä kuvatulla Laplace-muunnotekniikalla. Oletetaan, että kuormatekijänä on inimuotoinen värähtely, jolloin alkuarvotehtävä voi olla eimerkiki muotoa { x (t)+4x(t) =int kun t>, (7) x() = x, x () = v. Olkoon nyt x(t) alkuarvotehtävän ykikäitteinen ratkaiu, joka voitaiiin löytää eimerkiki vakioidenvariointitekniikalla. Merkitään lyhyemmin ˆx() = L[x]() kaikilla riittävän uurilla >; tehdään e (vata myöhemmin oikeaki ooittautuva) oletu, että ratkaiu x(t) derivaattoineen on Laplace-muuntuva. Käyttämällä hyväki annettuja alkuehtoja, aadaan Korollaarin 6 peruteella L[x ]() = 2ˆx() x v. Laplace-muunnoken lineaariuuden peruteella (k. Laue ) voidaan differentiaaliyhtälö alkuarvotehtävätä (7) muuntaa euraavati: (8) =L[x +4x in]() =L[x ]()+4ˆx() L[in]() = ( 2 +4 ) ˆx() x v 2 +, joa viimeiellä rivillä onkäytetty Eimerkiä 8 johdettua kaavaa inifunktion Laplacemuunnokelle. Koka yhtälö (8) pätee kaikille >Mjollain luvulla M >, voidaan ratkaita (9) ˆx() = x + v 2 +4 + kaikilla >M. ( 2 +)( 2 +4) 9
Alkuarvotehtävän (7) ratkaiu edellyttäii nyt funktion ˆx()kääntei-Laplace-muuntamita, joka ooittautuu olevan tämän menetelmän työläin akel. Uein tulee käyttää valmiita Laplace-muunnotaulukoita käänteieen uuntaan taitavati ja luovati termejä ryhmitellen. Tutkitaanpa, kuinka yhtälötä (9)päätellään funktion x(t) muoto. Alkuehtojen määräämä termi x +v yhtälöä (9) voidaan onneki eittää helpoti kombinaationa venytetyn 2 +4 inin ja koinin Laplace-muunnokita (k. Laue 2 ja Eimerkki 3 ): kaikille > pätee nimittäin () x + v 2 +4 = x 2 +4 + v 2 2 2 +4 = x L [co 2t]()+ v 2 L [in 2t]() =L [ x co 2t + v 2 in 2t ] (). Jälkimmäinen, differentiaaliyhtälön epähomogeeniuudeta johtuva termi yhtälöä (9) vaatii enemmän kekeliäiyyttä. Se ei ole uoraan inin ja koinin Laplace-muunnoten näköinen, mutta rationaalifunktioiden integraalilakennota tutun oamurtolukukehitelmän avulla e voidaan aattaa muotoon ( 2 +)( 2 +4) = A 2 + + B 2 +4 eräillä vakioilla A ja B. Ritiinkertomalla aadaan yhtälö (A + B) 2 +(4A + B) =,joka toteutuu kaikilla > vain jo A + B =ja4a + B =. Ratkaiemalla aadaan A =/3 ja B = /3. Niinpä () ( 2 +)( 2 +4) = /3 2 + /3 2 +4 = 3 2 + 6 2 2 +4 joka pätee kaikilla >. = 3 L [in t]() 6 L [in 2t]() =L [ 3 in t 6 in 2t ] (), Yhditämällä yhtälöt () ja () yhtälöön (9) aadaan [ ˆx() =L x co 2t + v 2 in 2t + 3 in t ] in 2t () 6 kaikilla x>m. Kahdella eri jatkuvalla funktiolla ei voi olla amaa Laplace-muunnota (Laueen injektiiviyyväitteen takia) ja yhtälön (7) ratkaiu on jopa kahdeti derivoituva. Siki edellietä yhtälötä voidaan kuoria poi Laplace-muunnooperaatio L, ja aadaan ( v x(t) =x co 2t + 2 ) in 2t + 6 3 in t kaikilla t >. Tämä on alkuarvotehtävän (7) etitty ratkaiu, joka on (rajoitettuna, jatkuvana funktiona) Laplace-muuntuva. Niinpä jokainen edellä tehty akel oli iteaiaa matemaattieti oikea, ja lukuna M olii voitu käyttää M = (paiti, että lakujen ollea kekeneräiiä emme itä vielä iinä vaiheea tienneet).
Huomautu 8. Ueia ininööriovellutukia ei alkuperäielle funktiolle x(t) ole käyttöä, vaan lakuia voidaan jo pyähtyä helpoti aavutettuun yhtälöön kuten (). Tällöin kaikki tehtävän vaatima analyyi tehdään Laplace-muunnoken puolella, n. taajuualuetekniikoilla (engl. frequency domain technique). Huomautu 9. Monimutkaiemmat ja korkeampiateiet tapauket käitellään amalla tavalla kuin edellä annettu eimerkki. Käänteimuunnokea vaaditut teknilliet vaiheet ovat kuitenkin monimutkaiempia. Huomautu 2. Laplace-muunnokella voidaan myö käitellä vektoriarvoiia yhtälöitä x (t) =Ax(t)+f(t), mutta tarvittavat yleityket eivät enää olenäiden luentojen aihepiiriä. 5 Uein eiintyvien funktioiden Laplace-muunnokia Funktio f(t),t Laplace-muunno ˆf() ja en määrittelyjoukko kun > e ax kun >max (,a) a b in bx; b R kun > 2 + b 2 co bx; b R kun > 2 + b 2 x n n! ; n N kun > n+ x n e ax n! ; n N kun >max (,a) ( a) n+ e ax in bx; e ax co bx; a, b R a, b R b ( a) 2 + b 2 kun > x a ( a) 2 + b 2 kun >. Laajempia taulukoita löytyy mm. ammattikirjalliuudeta ja erikoifunktioita käittelevien kirjojen liitteinä.