Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle

Transkriptio

1 Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä malleissa on usein pieniä/suuria parametreja miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle jatkuvuus ja rajayhtälöt säännölliset ja epäsäännölliset häiriöt häiriökehitelmä ja derivointi ratkaisun derivaatta ja liittoyhtälö

2 Asymptoottisesti häiritty tehtävä Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä au + bu x cu xx = f sopivin alku- tai reunaehdoin. Jos a tai b (asymptoottisen) pieni - säännöllisesti häiritty tehtävä. (rajatehtävä samaa tyyppiä (2. kl)). u + ɛu x u xx = f Jos c pieni - epäsäännöllinen häiriötehtävä (rajatehtävä eri tyyppiä (1. kl)) u + u x ɛu xx = f 1

3 Jatkuva riippuvuus datasta Milloin ratkaisu riippuu jatkuvasti datasta. Miten käy kun ɛ. Onko olemassa raja u = lim ɛ u ɛ. Onko u rajatehtävän ratkaisu. Mille normeille u u ɛ Mille normeille u u ɛ /ɛ on rajoitettu. Milloin on olemassa δu, jolle (u u ɛ )/ɛ δu Jos δu riippuu v:stä, mille normeille δu C v 2

4 Tarkastellaan tehtävää Jatkuva riippuvuus - esimerkki au cu xx = 1, u() = u(1) = Ratkaisu muotoa u a = 1/a + Ae a/cx + Be a/cx tai u = x(1 x) kun a =. Missä mielessä ratkaisut konvergoivat. c 2 Määritellään rajayhtälön luonnollinen normi u = ( cu2 x )1/2. Rajayhtälön ratkaisulle u pätee cu xv x = Vastaavasti c(u a) x v x = v, v, v() = v(1) = v au av 3

5 Siispä u u a 2 = c(u u a) x (u u a ) x = au a(u u a ) Nyt Caychy-Schwarz epäyhtälöstä au a(u u a ) a u a u u a missä u = ( u 2 ) 1/2 on L 2 -normi. Voidaan osoittaa, että u u a C 1 u u a ja u a C 2. Siis u u a C 1 C 2 a. Ratkaisu riippuu jatkuvasti a:sta valitun normin suhteen. Voidaan osoittaa jopa, että a u a on jatkuvasti derivoituva. 4

6 Asymptoottinen kehitelmä - säännöllinen tapaus u + ɛu x u xx =, u() =, u(1) = 1 Kehitelmä u = u ɛ = u +ɛu 1 +ɛ 2 u 2 + sijoitetaan yhtälöön = u u,xx + ɛ(u,x + u 1 u 1,xx ) + ɛ 2 (u 1,x + u 2 u 2,xx ) + 5

7 Rajayhtälö u u,xx =, u () =, u (1) = 1 Ensimmäinen korjaustermi u 1 u 1,xx = u,x, u 1 () =, u 1 (1) = Yleinen korjaustermi u j u j,xx = u j 1,x, u j () =, u j (1) = Kehitelmä toimii helpoissa tapauksissa. Nyt u = Ae x +Be x = (e x e x )/(e 1 e 1 ) Kun j = 1, 2,..., u j rajoitettu, joten kehitelmä konvergoi kun ɛ. 6

8 Epäsäännöllinen häiriö u + u x ɛu xx =, u() = α, u(1) = 1 Kokeillaan u = u + ɛu 1 + ɛ 2 u 2 + = u + u,x + ɛ(u 1 + u 1,x u,xx ) + ɛ 2 (u 2 + u 2,x u 1,xx ) + u = Ce x. Tämä toteuttaa vain toisen reunaehdon (ellei α = e). Korjaustermit eivät paranna tilannetta joten kehitelmä ei ole käyttökelpoinen. 7

9 Derivointi häiriön suhteen Tarkastellaan häiriötä, joka on x:n funktio (eli ei-vakio). u xx + (a + ɛv)u = 1, u() = u(1) = Tässä a on kiinteä (vakio tai funktio). Miten ratkaisu riippuu v:stä. Määritellään luonnollinen normi u 2 = u 2 x+au 2. Voidaan osoittaa, että u u ɛ 2 = ɛvu ɛ(u u ɛ ) Jos v on tasaisesti rajoitettu voidaan arvioida ɛvu ɛ(u u ɛ ) ɛ v L u ɛ u u ɛ Cɛ v L u u ɛ 8

10 Ts. ratkaisu riippuu jatkuvasti ɛ:sta ja v:stä (L -normissa). Olkoon v riittävän säännöllinen niin, että u ɛ on derivoituva ɛ:n suhteen. Ratkaistaan u/ ɛ eli asymptoottisen kehitelmän u 1. Sijoittamalla kehitelmä yhtälöön saadaan Eli u 1 toteuttaa yhtälön = u,xx + au 1 + ɛ( u 1,xx + au 1 + vu ) + u 1,xx + au 1 = vu, u 1 () = u 1 (1) = Yhtälö määrittelee lineaarikuvauksen v u 1. Kuvaus on ratkaisun derivaatta kerroinfunktion a suhteen. 9

11 Optimointi ja liittotehtävä Häiriöyhtälön avulla voi tutkia, miten kertoimen muutos muuttaa ratkaisua. Miten muutetaan kerrointa, jotta ratkaisun muutos olisi haluttu. Olkoon annettu hyvyyskriteeri (kustannusfunktio) J(a) = f(u 1 a) = 2 (u a ū) 2 Ts etsimme parametria a, jolle ratkaisu on mahdollisimman lähellä tavoitearvoa ū. Valitaan häiriö v ja merkitään j(ɛ) = J(a + ɛv) ɛ j = ɛ J(a + ɛv) = ɛ = f(u a+ɛv) u f u a+ɛv ɛ = (u ū) u a+ɛv ɛ 1

12 Häiriöyhtälöstä saadaan ratkaisu u ɛ :lle. Tässä muotoilussa jokaiselle v on ratkaistava häiriöyhtälö erikseen. Tehokkaampi tapa on liittotehtävän käyttö. Määritellään liittotila p Nyt p xx + ap = f u ɛ j = (u ū)u 1 = = u ū, p() = p(1) = p xu 1,x + apu 1 = vup Eli saimme j:n derivaatalle eksplisiittisen lausekkeen v:n suhteen. Nyt on helppo laskea häiriön vaikutus. Suunta v = up pienentää kustannusta nopeimmin. Kustannuksen j gradientti on funktio up. 11

13 Yhteenvetoa DY- ja ODY-malleissa alemman kertaluvun pieniä termejä voi yleensä tarkastella asymptoottisesti Korkeimman kertaluvun termien kanssa oltava varovainen Häiriöteorian avulla mahdollista määrätä mallin ratkaisun derivaatta valitun datan suhteen What-if analyysiä helpottaa, jos muotoillaan tavoitefunktio ja ratkaistaan sitä vastaava liittotila 12