Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jui Talja Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta en avulla Informaatiotieteiden ykikkö Matematiikka Huhtikuu 2

2 Tampereen yliopito Informaatiotieteiden ykikkö TALJA, JUSSI: Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöjen ratkaiemieta en avulla Pro gradu -tutkielma, 4., liite. Matematiikka Huhtikuu 2 Tiivitelmä Tämä tutkielma käittelee Laplace-muunnota ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemita en avulla. Laplace-muunno on integraalimuunno, joka on aanut nimenä rankalaien matemaatikon ja tähtitieteilijän Pierre-Simon Laplacen mukaan. Laplace-muunnokella on monia käytännön ovellukohteita niin fyiikan kuin matematiikan ongelmia. Tutkielman alkuoaa paneudutaan Laplace-muunnokeen, en ominaiuukiin ja erilaiten funktioiden Laplace-muunnoten ja käänteimuunnoten määrittämieen. Erityitä huomiota kiinnitetään Laplace-muunnoken olemaaolon tarkateluun, illä olemaaololle on tietyt vaatimuket, jotka funktion tulee toteuttaa, jotta illä olii Laplace-muunno. Erilaiten funktioiden Laplace-muunnoten ja käänteimuunnoten ratkaieminen on tärkeä oa Laplace-muunnoten oveltamita erilaiia tilanteia, joita tutkielman lopua paneudutaan tarkemmin differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieen. Laplace-muunno on differentiaaliyhtälöiden ratkaiemiea hyvä työväline, koka ongelmaa ratkaitaea ei tarvite etiä differentiaaliyhtälön yleitä ratkaiua, vaan alkuehdot voidaan ottaa uoraan huomioon ratkaiumenetelmää. Liäki voidaan hyödyntää ueita Laplace-muunnoken ominaiuukia, joita eitetään laueiden muodoa tutkielman kolmannea luvua. Tutkielmaa on päälähteinä käytetty teokia Dyke, P.: An Introduction to Laplace Tranform and Fourier Serie, Nagle, R., Saff, E., Snider, A.: Fundamental of Differential Equation and Boundary Value Problem ja Schiff, J.: The Laplace Tranform: Theory and Application. 2

3 Siältö Johdanto 4 2 Valmitelevia tarkateluja 5 3 Laplace-muunnoketa 7 3. Laplace-muunnoken määritelmä Käänteinen Laplace-muunno Laplace-muunnoken ominaiuukia Derivaattafunktioiden Laplace-muunno Ykikköakelfunktio ja Laplace-muunno Konvoluutio ja Laplace-muunno Differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta Laplace-muunnoken avulla 3 Viitteet 38 Liite 39 3

4 Johdanto Laplace-muunno on aanut nimenä rankalaien matemaatikon ja tähtitieteilijän Pierre-Simon Laplacen ( ) mukaan [6]. Laplace-muunno on integraalimuunno, jonka ynty ajoittuu 76-luvulle Eulerin tutkimukiin. Hän käytti käänteieen Laplace-muunnokeen verrattavaa menetelmää ratkoeaan toien ateen lineaariia differentiaaliyhtälöitä. [4,. (johdanto)]. Ilmeieti vuonna 782 Laplace innotui Eulerin kehittämitä integraaleita, joita hän itten kehitti edelleen lähemmä itä muotoa, miten niitä tänä päivänä käytetään [5]. Laplacen työtä ovat myöhemmin jatkaneet muun muaa Poincaré ja Pincherle (oveltamalla Laplace-muunnota komplekimuuttujan funktioille) ekä Picard (kahden muuttujan funktion Laplace-muunno)[4,. (johdanto)]. Pierre-Simon Laplace oli matemaattiten ongelmien liäki kiinnotunut tähtitieteetä ja todennäköiyykitä. Sen liäki, että hän kehitti Laplaceyhtälön ja loi perutan nykymuotoielle Laplace-muunnoken käytölle eri ovellualueilla, hänet muitetaan mm. yhtenä enimmäiitä tiedemiehitä, jotka ukoivat mutien aukkojen olemaaoloon. [6]. Vuonna 82 Laplace julkaii teoken Théorie analytique de probabilité, joa hän eitteli monta myöhemmän tilatotieteen perutulota [6] ja [4,. (johdanto)]. Saavututena aniota Laplace nimitettiin vuonna 86 kreiviki ja myöhemmin 87 hän ai markiiin arvonimen. Laplace on myö yki niitä 72 henkilötä, jonka nimi on kaiverretty Eiffel-torniin. [6]. Kuten jo todettua, yki Laplace-muunnoken tärkeitä ovellualueita on differentiaaliyhtälöiden ratkaieminen. Laplace-muunno on tää yhteydeä hyvä työväline, koka ongelmaa ratkaitaea ei tarvite etiä differentiaaliyhtälön yleitä ratkaiua, vaan alkuehdot voidaan ottaa uoraan huomioon ratkaiumenetelmää [4,. 59]. Laplace-muunnokella voidaan matemaattiten ongelmien liäki ratkaita ueita fyiikan alaan kuuluvia ongelmia. Tämän tutkielman tarkoitu on antaa lukijalle perutiedot Laplace-muunnoketa ja en ominaiuukita. Tutkielman alkuoaa paneudutaan Laplacemuunnokeen, en ominaiuukiin ja erilaiten funktioiden Laplace-muunnoten ja käänteimuuttoten määrittämieen. Tutkielman lopua paneudutaan tarkemmin yhteen Laplace-muunnoken tärkeään ovellualueeeen, differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieen. Tutkielman toiea luvua eitetään pohjatietona käite funktion paloittainen jatkuvuu, joka on edellytykenä Laplace-muunnoken olemaaololle. Liäki eitellään muutama muu tutkielmaa myöhemmin eiintyvä määritelmä ja laue. Tutkielman kolmannen luvun aluki käydään läpi Laplace-muunnoken ja käänteien Laplace-muunnoken määritelmät ja laueen muodoa niiden lineaariuu. On tärkeää huomata, että kaikille funktioille ei voida määrittää Laplace-muunnota, vaan funktion tulee toteuttaa tietyt ehdot. Nämä käydään läpi laueea 3.. Kappaleen 3.4 pääpaino on derivaattafunktioi- 4

5 den Laplace-muunnokiin liittyviä laueia, joita myöhemmin luvua 4 hyödynnetään differentiaaliyhtälöiden ratkaiua. Kappaleea 3.5 kekitytään ykikköakelfunktion Laplace-muunnoken määrittämieen ja eitellään toinen tranlaatiolaue, jota niin ikään käytetään myöhemmin hyväki differentiaaliyhtälöitä ratkaitaea. Kolmannen kappaleen viimeinen luku on omitettu konvoluutiofunktion Laplace-muunnoken käittelylle. Tutkielman neljä ja viimeinen luku käittelee differentiaaliyhtälöiden ratkaiemita edelliiä luvuia eitettyjen laueiden ja määritelmien avulla. Jokainen eimerkki poikkeaa toiita iinä käytettyjen ratkaiukeinojen oalta, jotka on mainittu ennen kutakin eimerkkiä. Lukijan edellytetään hallitevan yhden ja uean muuttujan funktion analyyin ekä komplekianalyyin peruteet. Tutkielmaa on päälähteinä käytetty teokia Dyke, P.: An Introduction to Laplace Tranform and Fourier Serie, Nagle, R., Saff, E., Snider, A.: Fundamental of Differential Equation and Boundary Value Problem ja Schiff, J.: The Laplace Tranform: Theory and Application. 2 Valmitelevia tarkateluja Jotta tietylle funktiolle voidaan määrittää Laplace-muunno, tulee funktion olla paloittain jatkuva tai jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tätä yytä määritellään eniki, mitä tarkoittavat käitteet hyppyepäjatkuvuu ja paloittainen jatkuvuu. Määritelmä 2. (Hyppyepäjatkuvuu). (K.[4,. 8].) Funktiolla f(t) anotaan olevan hyppyepäjatkuvuukohta piteeä t, mikäli funktion toipuoleiet raja-arvot piteeä t ovat äärelliinä olemaa, mutta niiden arvot eivät ole amat. On ii voimaa mutta L M. lim f(t) L ja lim f(t) M, t t t t + Määritelmä 2.2 (Paloittainen jatkuvuu). (Vrt.[,. 3], [3,. 38], [4,. ].) Funktion f(t) anotaan olevan paloittain jatkuva uljetulla välillä [a, b], mikäli e on jatkuva välin jokaiea piteeä lukuun ottamatta äärellitä määrää hyppyepäjatkuvuukohtia τ, τ 2,..., τ n [a, b]. Funktion f(t) anotaan olevan paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ), mikäli ( ) lim f(t) f(), t + ( ) funktio f on jatkuva jokaiella välin [, ) uljetulla oavälillä [, N] kaikilla N > lukuun ottamatta äärellitä määrää hyppyepäjatkuvuukohtia τ, τ 2,..., τ n [, N]. 5

6 Määritelmätä 2.2 ja jatkuvien funktioiden ominaiuukita euraa, että paloittain jatkuva funktio f(t) on paiti jatkuva, myö rajoitettu jokaiella välin [, ) oavälillä. Toiin anoen on ii olemaa äärellinen määrä lukuja M i, i, 2,..., n, joille f(t) M i, τ i < t < τ i+. [4,..] Seuraavaa laueea eiteltävän Leibnizin laueen avulla voidaan ratkaita ellaiia matemaattiia ongelmia, joia tulee määrittää integaalilauekkeen derivaatta. Tällöin, mikäli funktio toteuttaa vaaditut oletuket Leibnizin laueen käyttämielle, voidaan en avulla vaihtaa integroimien ja derivoimien järjetytä tehtävän ratkaiun helpottamieki [3,. 389]. Tää tutkielmaa lauetta käytetään avuki laueen 3. toditamiea. Laue 2. (Leibnizin laue). (K. [3,. 447].) Olkoot kahden muuttujan funktiot f ja f jatkuvia piteiä v ja t ja olkoot funktiot a(t) ja b(t) derivoituvia. Tällöin t b(t) b(t) d f f(v, t) dv dt t (v, t) dv + f ( b(t), t ) db dt (t) f ( a(t), t ) da dt (t). a(t) a(t) Määritellään euraavaki kahden funktion konvoluutio. Konvoluutiolla on tärkeitä ovellualueita fyiikaa ja myö differentiaaliyhtälöiden ratkaiemiea [4,. 9], kuten tutkielman luvua 4 käy ilmi. Määritelmä 2.3 (Konvoluutio). (K.[,. 37], [3,. 425], [4,. 9].) Olkoot funktiot f(t) ja g(t) paloittain jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Tällöin niiden konvoluutio (f g) määritellään integraalin avulla euraavati: (f g)(t) t f(τ)g(t τ) dτ. Seuraavaa laueea eitellään konvoluution ominaiuukia. Laue 2.2. Olkoot funktiot f(t), g(t) ja h(t) paloittain jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Tällöin () (2) (3) (4) (5) f g g f, f (g + h) (f g) + (f h), (f g) h f (g h), f, c(f g) cf g f cg, miä c on vakio. 6

7 Toditu (k. [3, ], [4,. 9]). Toditetaan euraavaki edellien laueen kohdat () ja (3). Aloitetaan kohdata (). Määritelmän 2.3 mukaan (f g)(t) Kun merkitään u t τ, aadaan (f g)(t) t t t f(τ)g(t τ) dτ. f(u)g(t u) ( du) g(t u)f(u) du (g f)(t), joka toditaa laueen 2.2 kohdan (). Jatketaan toditamalla kohta (3). Nyt merkitemällä x u τ, aadaan ( ) t (f (g h) (t) t f(τ) (g h) (t τ) dτ f(τ) t t τ t u t τ g(x)h(t τ x) dx dτ f(τ)g(u τ)h(t u) du dτ f(τ)g(u τ) dτ h(t u) du ( (f g) h) ) (t). Muiden kohtien todituket ivuutetaan. 3 Laplace-muunnoketa 3. Laplace-muunnoken määritelmä Määritelmä 3. (Laplace-muunno). (Vrt.[3, ], [4,. 2].) Olkoon funktio f välillä [, ) määritelty reaali- tai komplekiarvoinen reaalimuuttujan t > funktio, ja olkoon en reaalinen tai komplekinen parametri. Tällöin funktion f Laplace-muunno on funktio F, joka määritellään 7

8 integraalin avulla () (2) F () L ( f(t) ) lim e t f(t) dt R e t f(t) dt. Laplace-muunno on määritelty kaikilla parametrin arvoilla, joilla integraali () on olemaa. Tällöin myö raja-arvo (2) on olemaa ja anotaan, että integraali () uppenee. Jo raja-arvo (2) ei ole olemaa, integraali () hajaantuu, jolloin funktiolle f ei voida määritellä Laplace-muunnota. Funktion f Laplace-muunnokelle käytetään lähteetä riippuen merkintöjä F, L(f) ja L ( f(t) ). Tää tutkielmaa käytetään jälkimmäitä merkintätapaa. Eimerkki 3.. ([4,. 5], tehtävä.) Määritetään funktion f(t) e 2t Laplace-muunno. Funktio f(t) on jatkuva välillä [, ), joten määritelmän 3. mukaan L ( f(t) ) lim e t e 2t dt e (2 )t dt R e (2 )t dt / R lim 2 e(2 )t lim ( 2 e(2 )R 2 Koka e (2 )R, kun R ( > 2), aadaan L ( f(t) ) 2. Jotta tietyn funktion Laplace-muunno olii olemaa, tulee funktion olla ekponentiaalita kertalukua jollakin vakiolla. Määritellään euraavaki mitä tämä käite tarkoittaa. Määritelmä 3.2 (Ekponentiaalinen kertaluku). (Vrt.[3,. 383], [4,. 2].) Funktion f anotaan olevan ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, jo on olemaa ellaiet vakiot M > ja α R, että jollain t, f(t) Me αt, t t. ). 8

9 Eimerkki 3.2. ([3,. 385], tehtävä 29.) Ooitetaan, että funktio f(t) e t3 ei ole ekponentiaalita kertalukua millään vakiolla α. Jotta funktio f(t) e t3 olii ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, tulii määritelmän 3.2 mukaan olla olemaa ellaiet vakiot M > ja α R, että jollain t, e t3 Me αt, t t. Nyt e t 3 e t 3, joten tulii löytää ellainen M >, että () Kuitenkin lim t e t3 M. eαt e t3 lim α) eαt t et(t2 +, joten epäyhtälö () ei toteudu millään M >, eikä funktio f(t) e t3 ole ekponentiaalita kertalukua millään vakiolla α. iten 3.2 Käänteinen Laplace-muunno Uealla matemaattiella operaatiolla on käänteinen operaatio. Laplace-muunno on yki näitä operaatioita. ([,. 9].) Käänteinen Laplace-muunno muuntaa Laplace-muunnetun funktion takaiin alkuperäieki funktioki. Käänteiellä Laplace-muunnokella on tärkeitä ovellualueita varinkin fyiikaa. ([4,. 23].) Määritelmä 3.3 (Käänteinen Laplace-muunno). (Vrt.[,. 9], [3,. 393], [4,. 23,. 5 52].) Olkoon F () funktio. Jo on olemaa ellainen puoliavoimella välillä [, ) paloittain jatkuva ekponentiaalita kertalukua oleva funktio f(t), jolle L ( f(t) ) F (), anotaan tällöin funktion f(t) olevan funktion F () käänteinen Laplace-muunno ja merkitään L ( F () ) f(t), t. Huomautu 3.. Jo parametri on komplekinen, t. muotoa x + iy, aadaan L ( F () ) f(t) määritettyä kaavalla f(t) 2πi x+i x i e t F () d y lim 2πi x+iy x iy e t F () d, Re() x > α. Tällöin funktion f määrittelyjoukkoa laajennetaan niin, että funktio f on määritelty avoimella välillä (, ), ja f(t), kun t <. 9

10 3.3 Laplace-muunnoken ominaiuukia Laue 3. (Laplace-muunnoken olemaaolo). Olkoon funktio f paloittain jatkuva välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Tällöin en Laplace-muunno L ( f(t) ) on olemaa kaikilla luvuilla C, Re() > α ja e uppenee iteieti. Toditu (Vrt. [3, ], [4,. 3]). Laueen toditamieki täytyy ooittaa, että integraali ( ) e t f(t) dt uppenee iteieti, kun Re() > α. Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, on määritelmän 3.2 nojalla olemaa ellaiet vakio M > ja α R, joilla f(t) M e αt, t t. Edelleen funktio f on paloittain jatkuva ja rajoitettu välin [, ) uljetulla oavälillä [, t ]. Olkoon M 2 > ellainen vakio, että f(t) M 2, < t < t. Koka ekponenttifunktiolla e αt on poitiivinen minimi uljetulla välillä [, t ], voidaan valita riittävän io vakion M arvo, jolle on voimaa Tällöin f(t) Me αt, t >. ( ) R e t f(t) R dt M e (x α)t dt / R Me (x α)t (x α) Me (x α)r x α + M x a. Nyt, koka Re() x > α, niin Me (x α)r, kun R, ja yhtälö ( ) x α tulee muotoon e t f(t) M dt x α. Näin olemme ooittaneet, että integraali ( ) uppenee iteieti, kun Re() > α, ja laue on toditettu.

11 Huomautu 3.2. (K.[4,. 2].) Edellieä laueea 3. toditettiin, että välillä [, ) paloittain jatkuvien ja ekponentiaalita kertalukua jollakin vakiolla α olevien funktioiden Laplace-muunnoket ovat olemaa ja ne uppenevat iteieti. Tällöin ii ( ) e t f(t) dt uppenee. Sen liäki, että integraali ( ) uppenee iteieti, e uppenee taaieti. Tämän toditamieki oletetaan, että edellien laueen oletuket ovat voimaa. Tällöin määritelmän 3.2 nojalla f(t) Me αt, t t. Kun valitaan x R iten, että x Re() > α, pätee e t f(t) dt e xt f(t) dt t t M t / t e (x α)t dt Me (x α)t (x α) Me (x α)t x α. Kun reaaliet luvut x ja x valitaan niin, että x x > α, aadaan edellielle oamäärälle yläraja, jolloin ( ) Me (x α)t x α M x α e (x α)t. Valitemalla nyt t riittävän uureki, aadaan yhtälön ( ) oikea puoli mielivaltaien pieneki. Tällöin jokaita lukua ε > kohti on olemaa ellainen T >, että kun t T, e t f(t) dt < ε t jokaiella luvulla C, Re() x > α. Näin väite on toditettu. Laue 3.2. Olkoon funktio f(t) paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Tällöin F () L ( f(t) ), kun Re().

12 Toditu (k. [4,. 2 22]). Laueen 3. toditukea ooitettiin, että e t f(t) dt Kun nyt x, oamäärä M x α M, kun Re() x > α. x α, jota väite euraa. Seuraavaa laueea 3.3 eitetään ja toditetaan yki tärkeimmitä ja käytetyimmitä Laplace-muunnoken ominaiuukita, lineaariuu [,. 5]. Laue 3.3 (Laplace-muunnoken lineaariuu). Olkoot a C ja b C mielivaltaiet vakiot. Olkoot f (t) ja f 2 (t) funktioita, joiden Laplace-muunnoket ovat olemaa. Tällöin L ( af (t) + bf 2 (t) ) al ( f (t) ) + bl ( f 2 (t) ). Toditu (vrt. [,. 5], [4,. 6 7]). Koka f (t) ja f 2 (t) ovat funktioita, joiden Laplace-muunnoket ovat olemaa, on laueen 3. nojalla on olemaa ellaiet vakiot M > ja M 2 >, että aina, kun C, Re() > α f (t) M e αt, ja aina, kun C, Re() > α 2 f 2 (t) M2 e α2t. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla af (t) + bf 2 (t) f a (t) f2 + b (t) ( a M + b M 2 ) e αt, miä α max{α, α 2 }, joten laueen 3. nojalla myö funktiolla L ( af (t) + bf 2 (t) ) on Laplace-muunno. Edelleen määritelmän 3. ja funktioiden integroimiääntöjen nojalla L ( af (t) + bf 2 (t) ) ( af (t) + bf 2 (t) ) e t dt ( af (t)e t + bf 2 (t)e t) dt a f (t)e t dt + b f 2 (t)e t dt al ( f (t) ) + bl ( f 2 (t) ). 2

13 Eimerkki 3.3. ([4,. 22], tehtävä.) Määritetään funktion f(t) 2t+3e 2t + 4 in 3t Laplace-muunno. Funktio f(t) toteuttaa laueen 3. vaatimuket, joten funktion f(t) Laplace-muunno on olemaa. Laplace-muunnotaulukon ja Laplace-muunnoken lineaariuuden nojalla Lf(t) L(2t + 3e 2t + 4 in 3t) L(2t) + L(3e 2t ) + L(4 in 3t) 2L(t) + 3L(e 2t ) + 4L(in 3t) Laue 3.4 (Laplace-muunnoken ykikäitteiyy). Olkoot funktiot f(t) ja g(t) paloittain jatkuvia välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Olkoon L ( f(t) ) F () ja L ( g(t) ) G(). Jo F () G(), niin f(t) g(t). Toditu (vrt. [2,. 55]). Jo x Re() on riittävän uuri, aadaan huomautuken 3. nojalla f(t) L ( F () ) 2πi 2πi x+i x i +i i L ( G() ) g(t). e t F () d e t G() d Laueea 3.3 toditettiin Laplace-muunnoken lineaariuuominaiuu. Seuraavaki toditamme, että myö käänteiellä Laplace-muunnokella on ama ominaiuu, joka on yki en tärkeimmitä ominaiuukita eri ovelluten kannalta ([,. 9]). Laue 3.5 (Laplace-muunnoken käänteimuunnoken lineaariuu). Olkoot a C ja b C mielivaltaiet vakiot. Oletetaan, että Laplace-muunnoken käänteimuunnoket L ( F () ) ja L ( F 2 () ) ovat olemaa ja ne ovat välillä [, ) jatkuvia funktioita. Tällöin L ( af () + bf 2 () ) al ( F () ) + bl ( F 2 () ). 3

14 Toditu (tekijän ite laatima). Huomautuken 3. mukaan L ( af () + bf 2 () ) 2πi 2πi a 2πi x+i x i x+i x i x+i x i e t( af () + bf 2 () ) d e t( af () ) d + 2πi e t( F () ) d + b 2πi al ( F () ) + bl ( F 2 () ). x+i x i x+i x i e t( bf 2 () ) d e t( F 2 () ) d Eimerkki 3.4. ([3,. 394], eimerkki 2.) Määritetään funktion käänteinen Laplace-muunno. Laueen 3.5 nojalla L ( 5 6 5L ( 6 Kun nyt kirjoitetaan 6 ) ) ( ) 6L + 3 ( L ) ja ( + 2) 2 +, 2 aadaan Laplace-muutotaulukota Tällöin ( ) ( ) L e 6t, L co 3t ja ( ) L e 2t in t. ( + 2) L ( 5 6 5L ( 6 6 ) ) ( ) 6L + 3 ( L 5e 6t 6 co 3t + 3e 2t 2 in t )

15 Laue 3.6. Olkoon f(t) välillä [, ) paloittain jatkuva ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α oleva funktio, jonka Laplace-muunno F () L ( f(t) ) on olemaa, kun C, Re() > α. Tällöin t L f(τ) dτ L( f(t) ). Toditu (vrt. [2,. 522], [4, ]). Olkoon g(t) t f(τ) dτ. Tällöin g (t) f(t) lukuun ottamatta äärellitä määrää funktion f epäjatkuvuukohtia. Liäki g(). Toditetaan aluki, että funktio g(t) on ekponentiaalita kertalukua. Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua, on määritelmän 3.2 mukaan olemaa ellaiet vakiot M > ja K >, että kun K > M > g(t) t f(τ) dτ M t e Kτ dτ M K (ekt ) e Kt. Koka myö funktio g(t) on ekponentiaalita kertalukua, on en Laplacemuunno laueen 3. nojalla olemaa. Nyt ( ) L ( g(t) ) lim e t g(t) dt / R lim g(t)e t + g(r)e R R g()e e t f(t) dt + R e t f(t) dt. Koka g(), upituu yhtälön ( ) oikea puoli muotoon lim ( ) g(r)e R + R e t f(t) dt lim lim ( ) g(r)e R + lim ( ) g(r)e R + L( f(t) ). R e t f(t) dt Ooitetaan vielä, että yhtälön ( ) enimmäinen termi on nolla, jolloin laue tulee toditetuki. Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua, 5

16 aadaan R g(r)e R e xr f(τ) dτ Me xr R e ατ dτ M α (e (x α)r e xr ), kun R, miä x Re() > α >. Näin yhtälö ( ) upituu muotoon t L f(τ) dτ L( f(t) ), ja laue on toditettu. Laue 3.7 (Enimmäinen tranlaatiolaue). Olkoon f(t) funktio, jonka Laplacemuunno F () L ( f(t) ) on olemaa kaikilla luvuilla C, Re() >. Tällöin F ( a) L ( e at f(t) ), miä a R, Re() > a. Toditu (K. [3,. 386], [4, ]). Olkoon Re() > a. Tällöin määritelmän 3. ja ekponenttifunktion lakuääntöjen mukaan F ( a) e ( a)t f(t) dt e (a )t f(t) dt e t e at f(t) dt L ( e at f(t) ). Eimerkki 3.5. ([3,. 39], tehtävä 2.) Tiedetään, että funktion co bt Laplace-muunno on F () L ( co bt ) 2 + b 2. Määritetään tranlaation avulla funktion e at co bt Laplace-muunno. Laueen 3.7 nojalla L ( e at co bt ) a F ( a) ( a) 2 + b. 2 6

17 3.4 Derivaattafunktioiden Laplace-muunno Tää kappaleea eitettävät derivaattafunktioiden Laplace-muunnokiin liittyvät laueet muodotavat kekeien oan niitä työkaluja, joilla differentiaaliyhtälöitä ratkaitaan Laplace-muunnoten avulla. Differentiaaliyhtälön ratkaiuproeia voidaan euraavien laueiden tulokiin uoraan iällyttää tehtävän alkuehdot, jolloin ratkaiun lyötyminen helpottuu. Laue 3.8 (Derivaattafunktion Laplace-muunno). Olkoon funktio f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α L ( f (t) ) e t f (t) dt F () f(). Toditu (vrt. [,. 4 5], [3,. 387], [4,. 54]). Koka f (t) on paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, on en Laplace-muunno L ( f (t) ) laueen 3. nojalla olemaa. Määritelmän 3. mukaan oittaiintegroimalla aadaan ( ) L ( f (t) ) lim lim e t f (t) dt R / R e t f (t) dt R e t f(t) + e t f(t) dt R lim e R f(r) f() + lim e t f(t) dt lim e R f(r) f() + F (). Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, on määritelmän 3.2 nojalla olemaa ellainen vakio M >, että jokaiella luvulla C, Re() x > α e R f(r) e xr Me αr Me (x α)r, kun R. Tällöin yhtälö ( ) aadaan muotoon ja näin laue on toditettu. L ( f (t) ) F () f(), 7

18 Eimerkki 3.6. Ooitetaan, että L ( co 2 t ) ( 2 + 4). Olkoon f(t) co 2 t, jolloin f (t) 2 in t co t in 2t ja f() co 2. Nyt laueen 3.3 ja Laplace-muunnotaulukon nojalla Edelleen laueen 3.8 nojalla L ( f (t) ) L ( in 2t ) L ( in 2t ) L ( f (t) ) L ( f(t) ) f(), eli Tällöin L ( f(t) ) L ( f (t) ) + f() L ( f(t) ) L ( co 2 t ) ( 2 + 4). Laue 3.9. Olkoot funktiot f(t) ja f (t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α L ( f (t) ) e t f (t) dt 2 F () f() f (). Toditu (vrt. [,. 5]). Koka f (t) on jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja f (t) on paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja kumpikin funktioita on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, ovat niiden Laplace-muunnoket L ( f (t) ) ja L ( f (t) ) laueen 3. nojalla olemaa. Määritelmän 3. ja laueen 3.8 8

19 nojalla ( ) L ( f (t) ) e t f (t) dt R lim e t f (t) dt / R R lim e t f (t) + e t f (t) dt lim e R f (R) f () + ( F () f() ) lim e R f (R) + 2 F () f() f (). Vataavati kuten laueen 3.8 toditukea, voidaan ooittaa, että lim e R f (R). Tällöin yhtälö ( ) aadaan muotoon ja laue on toditettu. L ( f (t) ) 2 F () f() f (), Eimerkki 3.7. ([4,. 58], tehtävä 3a.) Ooitetaan, että L ( ω 2 inh ωt ) ω3 2 ω 2 käyttämällä pelkätään laueen 3.9 ja määritelmän 3. tulokia. Olkoon f(t) inh ωt, joten f (t) ω coh ωt, f (t) ω 2 inh ωt, f() ja f () ω. Laueen 3.9 mukaan jota aadaan L ( ω 2 inh ωt ) 2 L ( inh ωt ) ω L ( f (t) ) 2 L ( f(t) ) f() f (), lim 2 2 lim e t inh ωt dt ω R R lim R e t inh ωt dt ω e t eωt e ωt 2 dt ω ( e t( ω) e t(+ω)) dt ω 9

20 2 2 lim R 2 2 lim e t( ω) dt 2 2 / R 2 2 ω ω ω 2 ω 2 ω 2 ω ω3, kun > ω. 2 ω2 lim R ω e t( ω) lim e t(+ω) dt ω / R + ω e t(+ω) ω Edellien eimerkin tarkoitu on havainnollitaa laueen 3.9 käyttöä ratkaiukeinona. Lukijan on hyvä huomata, että tehtävän ratkaiu oltaiiin aatu uoraan laueen 3.3 avulla kirjoittamalla L ( ω 2 inh ωt ) ω 2 L ( inh ωt ) ja ratkaiemalla tämä. Laue 3.. Olkoot funktiot f(t), f (t),..., f (n ) (t) jatkuvia välillä [, ) ja olkoon f (n) (t) paloittain jatkuva välillä [, ), ja olkoot kaikki edelliet funktiot ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α () L ( f (n) (t) ) n L ( f(t) ) n f() n 2 f () f (n ) (). Toditu (tekijän ite laatima). Toditetaan laue induktiolla n:n uhteen. Ooitetaan enin (peruakel), että () on toi, kun n. Sen jälkeen induktioakeleea oletetaan, että () on toi, kun n k (induktio-oletu), ja ooitetaan itten, että () on toi, kun n k + (induktioväite). Peruakel, n. Laueen 3.8 yhteydeä toditettiin, että L ( f (t) ) F () f(). 2 Induktioakel. Induktio-oletu: oletetaan, että () on toi, kun n k, eli L ( f (k) (t) ) k L ( f(t) ) k f() k 2 f () f (k ) (). Induktioväite: () on toi, kun n k +. 2

21 Toditu. Oittaiintegroimalla aadaan ( ) L ( f (k+) (t) ) lim lim e t f (k+) (t) dt R / R e t f (k+) (t) dt R e t f (k) (t) + e t f (k) (t) dt R lim e R f (k) (R) f (k) () + lim e t f (k) (t) dt lim e R f (k) (R) f (k) () + L ( f (k) (t) ). Koka funktio f (k) (t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, voidaan laueen 3.8 todituken tapaan ooittaa, että lim e R f (k) (R). Tällöin induktio-oletuken nojalla yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( f (k+) (t) ) L ( f (k) (t) ) f (k) () [ k L ( f(t) ) k f() k 2 f () f (k ) () ] f (k) () k+ L ( f(t) ) k f() k f () f (k ) () f (k) (). Näin ollen induktioperiaatteen mukaan väite on toi ja laue on toditettu. Laue 3.. Olkoon funktio f(t) paloittain jatkuva välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Olkoon F () L ( f(t) ). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α () d n d n F () L( ( ) n t n f(t) ), n, 2, 3,... Toditu (tekijän ite laatima). Toditetaan laue induktiolla n:n uhteen. Ooitetaan enin (peruakel), että () on toi, kun n. Sen jälkeen induktioakeleea oletetaan, että () on toi, kun n k (induktio-oletu), ja ooitetaan itten, että () on toi, kun n k + (induktioväite). 2

22 Peruakel, n. Laueen 2. avulla aadaan d d F () d e t f(t) dt d e t f(t) dt te t f(t) dt L ( tf(t) ). 2 Induktioakel. Induktio-oletu: oletetaan, että () on toi, kun n k, eli d k d k F () L( ( ) k t k f(t) ). Induktioväite: () on toi, kun n k +. Toditu. Nyt voidaan kirjoittaa d k+ jolloin induktio-oletuken mukaan d k d F () d k+ d d F (), k ( ) d k+ d F () d k+ d L( ( ) k t k f(t) ) ( ) k d d L( t k f(t) ). Merkitään nyt g(t) t k f(t), jolloin L ( t k f(t) ) L ( g(t) ). Tällöin yhtälö ( ) aadaan muotoon d k+ d k+ F () ( )k d d L( g(t) ), jolloin perualkeleen todituken mukaan d k+ d F () d k+ ( )k d L( g(t) ) ( ) k L ( t g(t) ) ( ) k L ( t t k f(t) ) L ( ( ) k+ t k+ f(t) ). Näin ollen induktioperiaatteen mukaan väite on toi ja laue on toditettu. 22

23 Eimerkki 3.8. ([4,. 34], tehtävä.) Määritetään funktion f(t) t coh ωt Laplace-muunno L(t coh ωt), kun tiedetään, että L(coh ωt). Laueen 3. 2 ω 2 nojalla L(t coh ωt) d d F () d L(coh ωt) d d d 2 ω ω 2 ( 2 ω 2 ). 2 Laue 3.2. Olkoon funktio f paloittain jatkuva välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Olkoon liäki F () L ( f(t) ) ja olkoon rajaarvo lim t + f(t) t olemaa. Tällöin F (x) dx L jokaiella luvulla C, Re() > α. ( ) f(t) Toditu (vrt. [4,. 33]). Koka funktio f(t) paloittain jatkuva välillä [, ) f(t) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja raja-arvo lim t + on olemaa, on Laplace-muunno L ( ) t f(t) t laueen 3. nojalla olemaa. Integroimalla puolittain yhtälö miä x R, aadaan F (x) F (x) dx lim w Huomautuken 3.2 peruteella t e xt f(t) dt, w e xt f(t) dt dx. e xt f(t) dt uppenee taaieti, kun w x > α. Vaihtamalla integroimijärjetytä aadaan ( ) F (x) dx lim w lim w w / w e xt e xt f(t) dx dt t f(t) dt t f(t) wt f(t) e dt lim e dt. t w t 23

24 Nyt, kun w, laueen 3.2 nojalla edellien yhtälön ( ) termi. Tällöin yhtälö ( ) ievenee muotoon ja laue on toditettu. t f(t) F (x) dx e dt t ( ) f(t) L, t e wt f(t) t Eimerkki 3.9. ([4,. 34], tehtävä 2a.) Ooitetaan laueen 3.2 avulla, että L ( ) e t t ( log + ), ( > ). Olkoon nyt f(t) e t. Määritetään enin funktion f(t) Laplace-muunno L (f(t)). Määritelmän 3. nojalla L (f(t)) e t f(t) dt R lim e t ( e t ) dt lim lim R R / R lim lim Laueen 3.2 nojalla ( e t e t(+)) dt R e t dt lim e t(+) dt e t / R lim ) + [ ( e R +. ( ) e t L t 24 e t(+) ( + ) ( ) e R(+) lim ( + ) ( x ) dx x + x 2 + x dx + ]. + dt

25 / ( log + ) x ( log + ). Laue 3.3. Olkoon funktio f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tällöin lim f(t) lim F (), miä R. t + Toditu (k. [4,. 88]). Koka funktio f (t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ), on en Laplacemuunno laueen 3. nojalla olemaa. Olkoon L ( f (t) ) G(). Tällöin laueen 3.2 nojalla G(), kun. Laueen 3.8 nojalla G() L ( f (t) ) F () f(), > α. Ottamalla raja-arvo puolittain, kun, aadaan Tätä aadaan jota väite euraa. lim G() lim (F () + f()). f() lim F (), Laue 3.4. Olkoon funktio f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon liäki raja-arvo lim t f(t) olemaa. Tällöin lim t f(t) lim F (), miä R. Toditu (k. [,. 24]). Laueen 3.8 nojalla ( ) L ( f (t) ) e t f (t) dt F () f(). Ottamalla raja-arvo puolittain, kun, aadaan ( ) R lim e t f (t) dt lim lim e t f (t) dt lim lim (e t f(r) f()) lim f(r) f() lim f(t) f(). t 25

26 Nyt yhditämällä yhtälöt ( ) ja ( ) aadaan lim f(t) f() lim F () f(), t jota liäämällä puolittain f() aadaan ja laue on toditettu. lim f(t) lim F () t 3.5 Ykikköakelfunktio ja Laplace-muunno Määritelmä 3.4 (Ykikköakelfunktio). (K.[,. 3], [3,. 4], [4,. 25].) Ykikköakelfunktio u(t) määritellään euraavati:, kun t <, u(t), kun t >. Ykikköakelfunktio voidaan myö määritellä parametrin a avulla euraavati:, kun t < a, u a (t), kun t > a. Tällöin funktiolla u a (t) on hyppyepäjatkuvuukohta piteeä t a. Ykikköakelfunktio tunnetaan myö nimellä Heaviiden funktio. Eimerkki 3.. ([3,. 42], tehtävä 5.) Määritetään funktio, < t <, 2, < t < 2, g(t), 2 < t < 3, 3, 3 < t uudelleen ykikköakelfunktion avulla. Nyt funktion g(t) arvo muuttuu kaki ykikköä arvota arvoon 2, kun < t < 2, joten enimmäinen uudelleenmääritellyn funktion lauekkeen termi on 2u(t ). Seuraavaki funktion g(t) arvo muuttuu yhden ykikkön arvota 2 arvoon, kun 2 < t < 3, joten toinen uudelleenmääritellyn funktion lauekkeen termi on u(t 2) ja vataavalla tavalla aadaan viimeinen termi 2u(t 3). Tällöin funktion g(t) lauekkeeki aadaan g(t) 2u(t ) u(t 2) + 2u(t 3). Laue 3.5. Ykikköakelfunktion u a (t), a Laplace-muunno on jokaiella luvulla C, Re() >. L ( u a (t) ) e a, 26

27 Toditu (k. [3,. 42], [4,. 25]). Olkoon a. Tällöin, kun Re() >, määritelmän 3. nojalla L ( u a (t) ) a / a e t u a (t) dt e t dt e a, e t e t (koka, kun t ). Laueen 3.5 tulo pätee myö käänteieti, eli ( ) e L a u a (t). [3,. 42], [4,. 25]. Huomautu 3.3. (Vrt.[3,. 43].) Edellien todituken yhteydeä käytettiin hyväki ykikköakelfunktion määritelmää 3.4, jonka peruteella tiedetään, että u a (t), kun t < a, ja u a (t), kun t > a. Tätä euraa, että koka e t u a (t) dt a a a e t u a (t) dt + e t dt, e t u a (t) dt. a e t u a (t) dt Seuraavaki eitettävää toita tranlaatiolauetta voidaan käyttää apuna ratkaitaea differentiaaliyhtälöitä, joia eiintyy paloittain määritelty funktio. Laue 3.6 (Toinen tranlaatiolaue). Olkoon f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α oleva funktio, jolle F () L ( f(t) ) jokaiella luvulla C, Re() > α. Tällöin jokaiella luvulla a, (3.) L ( u a (t)f(t a) ) e a F (). 27

28 Toditu (k. [,. 8], [3,. 43], [4,. 29]). Olkoon a. Tällöin määritelmän 3. nojalla ja edellien huomautuken mukaan ( ) L ( u a (t)f(t a) ) a e t( u a (t)f(t a) ) dt e t f(t a) dt. Merkitään nyt v t a. Tällöin dv dt ja yhtälö ( ) aadaan muotoon a e t f(t a) dt e a e v f(v) dv e a e v f(v) dv e a F (). Käytännöä yleiemmin eiintyy ongelma, joa tulee määrittää Laplacemuunno funktion u a (t)f(t a) ijaan funktiolle, joka on muotoa u a (t)g(t). Tällöin Laplace-muunnoken L ( u a (t)g(t) ) määrittämieki laueen 3.6 avulla käytetään merkintää f(t) g(t + a), jolloin yhtälö (3.) tulee muotoon (3.2) L ( u a (t)g(t) ) e a L ( g(t + a) ). [3,. 43]. Eimerkki 3.. ([3,. 42], tehtävä 3.) Määritetään funktion t 2 u(t 2) Laplace-muunno. Merkitään nyt g(t) t 2 ja a 2, jolloin g(t + a) g(t + 2) (t + 2) 2 t 2 + 4t + 4. Laueen 3.3 ja Laplace-muunnotaulukon peruteella Tällöin yhtälön (3.2) nojalla L ( g(t + a) ) L(t 2 + 4t + 4) L ( t 2 u(t 2) ) e 2 ( ). 28

29 3.6 Konvoluutio ja Laplace-muunno Laue 3.7 (Konvoluutiolaue). Olkoot funktiot f(t) ja g(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F () ja L ( g(t) ) G(). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α L ( (f g)(t) ) L ( f(t) ) L ( g(t) ). Toditu (vrt. [, ], [3,. 426], [4, ]). Määritelmän 3. nojalla ( ) L ( f(t) ) L ( g(t) ) ( ( e τ f(τ) dτ ) ( e (τ+u) f(τ)g(u) du e u g(u) du Merkitään nyt t τ + u, jolloin du dt. Rajataan funktion g määrittelyä niin, että kun t <, g(t). Tällöin g(t τ), kun t < τ. Nyt yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( f(t) ) L ( g(t) ) ) dτ. e t f(τ)g(t τ) dt dτ. Koka funktiot f(t) ja g(t) toteuttavat laueen 3. ehdot, uppenevat niiden Laplace-muunnoket ko. laueen nojalla iteieti. Tätä euraa, että myö edellien yhtälön oikea puoli uppenee iteieti. Toiin anoen e t f(τ)g(t τ) dt dτ uppenee. Tähän perutuen voidaan nyt vaihtaa integrointijärjety, jolloin L ( f(t) ) L ( g(t) ) ( t e t f(t)g(t τ) dτ dt ( t e t e t f(τ)g(t τ) dτ L ( (f g)(t) ). f(τ)g(t τ) dτ ) ) dt dt ) 29

30 Eimerkki 3.2. ([3,. 43], tehtävä 5.) Määritetään laueen 3.7 avulla funktion ( ) käänteinen Laplace-muunno ( 2 + ) ( ) L. ( 2 + ) Funktio ( ) voidaan ilmaita tulomuodoa 2 +. Nyt Laplace-muunnotaulukota nähdään, että / L() ja /( 2 + ) L(in t). Tällöin laueen 3.7 nojalla jolloin L() L(in t) 2 + ( ) L in t ( 2 + ) t / t L( in t), in (t τ) dτ co (τ t) co co ( t) co t. 4 Differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta Laplace-muunnoken avulla Yki Laplace-muunnoken ovellualueita on differentiaaliyhtälöiden ratkaieminen. Laplace-muunno on tää yhteydeä hyvä työväline, koka ongelmaa ratkaitaea ei tarvite etiä differentiaaliyhtälön yleitä ratkaiua, vaan alkuehdot voidaan ulauttaa uoraan ratkaiumenetelmään [4,. 59]. Tää luvua havainnollitetaan eimerkkien kautta itä, mitä Laplace-muunnoken ominaiuutta tai Laplace-muunnokeen liittyvää lauetta voidaan käyttää ratkaitaea erityyppiiä differentiaaliyhtälöitä. Erityien hyödylliiä ovat 3

31 Laplace-muunnoken ja käänteimuunnoken lineaariuuteen liittyvät laueet, ekä derivaattafunktioiden Laplace-muunnokiin liittyvät laueet. Ennen kutakin eimerkkiä on kerrottu edelliten liäki tehtävän ratkaiua käytetyt tuloket, joita käytetään yleenä tehtävän lopua käänteimuunnoten määrittämieä. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiemiea Laplace-muunnoken avulla voidaan erottaa kolme pääkohtaa [3,. 43], [4,. 6]. Nämä kohdat edelliiä mukaillen ovat: ) Määritetään differentiaaliyhtälön kummankin puolen Laplace-muunnoket. 2) Ratkaitaan aatu yhtälö termin L ( y(t) ) uhteen, jolloin aadaan yhtälö L ( y(t) ) F (). 3) Määritetään yhtälön L ( y(t) ) F () käänteiet Laplace-muunnoket puolittain, jolloin yhtälö aadaan muotoon y(t) L ( F () ), joka on differentiaaliyhtälön ratkaiu. Enimmäieä eimerkkitehtävää havainnollitetaan differentiaaliyhtälön ratkaiun proeia, joa tarvitaan oamurtokehitelmää yhtälön L ( y(t) ) F () oikean puolen jakamieki tekijöihin käänteimuunnoten määrittämitä varten. Eimerkki 4.. ([4,. 73], tehtävä.) Ratkaitaan Laplace-muunnoken avulla differentiaaliyhtälö ( ) y (t) y(t) co t; y(), Otetaan yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain, jolloin yhtälö tulee muotoon ( ) Alkuehdon ja laueen 3.8 nojalla L ( y (t) ) L ( y(t) ) 2 +. L ( y (t) ) L ( y(t) ) y() L ( y(t) ) +. Käyttämällä hyväki edellitä tulota aadaan yhtälö ( ) muotoon L ( y (t) ) L ( y(t) ) 2 + L ( y(t) ) + L ( y(t) ) 2 + ( )L ( y(t) ) + 2 +, 3

32 jota aadaan ( ) L ( y(t) ) 2 + ( 2 + ) ( 2 + )( ). Jotta aadaan määritettyä differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu, tulee määrittää yhtälön ( ) termien käänteiet Laplace-muunnoket. Tätä yytä tulee yhtälö ( ) jakaa oamurtokehitelmän avulla oamurtoihin, jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu aadaan määrittämällä edellien yhtälön termien käänteimuunnoket Laplace-muunnotaulukon avulla. Oamurtokehitelmän avulla yhtälö ( ) aadaan muotoon Tätä aadaan 2 + ( 2 + )( ) A + B + C 2 + jota aadaan kertoimiki Nyt yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( y(t) ) 2 A(2 + ) ( )(B + C) + ( 2 + )( ) ( 2 + )( ) (A + B)2 + (C B) + A C. ( 2 + )( ) A + B, C B, A C, A, 2 B, 2 C. 2 ( ), jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on laueen 3.5 nojalla [ y(t) L ( )] [ ( ) ( ) ( L + L L )],

33 jota Laplace-muunnotaulukon avulla käänteimuutoket määrittämällä aadaan ratkaiuki y(t) 2 (et + co t in t). Seuraavaa eimerkiä käytetään tehtävän ratkaiun löytämieen enimmäitä tranlaatiolauetta (laue 3.7). Eimerkki 4.2. ([3,. 49], tehtävä.) Ratkaitaan Laplace-muunnoken avulla differentiaaliyhtälö ( ) y (t) 2y (t) + 5y(t) ; y() 2, y () 4. Otetaan yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain, jolloin yhtälö tulee muotoon ( ) L ( y (t) ) L ( 2y (t) ) + L ( 5y(t) ). Seuraavaki voidaan käyttää hyväki laueiden 3.8 ja 3.9 tulokia ekä Laplacemuunnoken lineaariuutta. Lineaariuuominaiuuden nojalla L ( 5y(t) ) 5L ( y(t) ). Alkuehtojen ja laueen 3.8 nojalla L ( 2y (t) ) 2 [ L ( y(t) ) y() ] ja alkuehtojen ekä laueen 3.9 nojalla 2L ( y(t) ) 2, L ( y (t) ) 2 L ( y(t) ) y() y () 2 L ( y(t) ) 2 4. Edelliiä tulokia käyttämällä yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( y (t) ) L ( 2y (t) ) + L ( 5y(t) ) 2 L ( y(t) ) 2 4 [ 2L ( y(t) ) 2 ] + 5L ( y(t) ) ( )L ( y(t) ) 2 2, jota aadaan ( ) L ( y(t) ) ( ) ( ) ( )

34 Differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu aadaan nyt etimällä yhtälön ( ) termien käänteimuunnoket. Laueen 3.7 nojalla jolloin käänteieti pätee F ( a) L ( e at f(t) ), L ( F ( a) ) e at f(t), jonka mukaan differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on y(t) 2e t co 2t + e t in 2t. Seuraava eimerkki havainnollitaa ykikköakelfunktion käyttöä differentiaaliyhtälön ratkaiemiea. Eimerkki 4.3. ([4,. 73], tehtävä g.) Ratkaitaan differentiaaliyhtälö ( ) y co t, kun t π, (t) + y(t), kun t > π; y(), y (). Merkitään co t, kun t π, f(t), kun t > π, jolloin ottamalla yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain aadaan ( ) L ( y (t) ) + L ( y(t) ) L ( f(t) ). Alkuehtojen ja laueen 3.9 nojalla L ( y (t) ) 2 L ( y(t) ) y() y () 2 L ( y(t) ). Edellitä tulota käyttämällä yhtälön ( ) vaen puoli aadaan muotoon L ( y (t) ) + L ( y(t) ) 2 L ( y(t) ) + L ( y(t) ) ( 2 + )L ( y(t) ). Tarkatellaan euraavaki yhtälön ( ) oikeaa puolta. Määritelmän 3. ja integraalin lineaariuuominaiuuden nojalla L ( f(t) ) π e t f(t) dt e t f(t) dt + 34 π e t f(t) dt

35 Kun nyt huomioidaan funktion f(t) määrittely, nähdään, että e t f(t) dt π e t dt. Välillä [, π] funktio f(t) co t, joten L ( f(t) ) π / π e t co t dt e t (in t co t) e π + e π Kokoamalla edelliet tuloket yhteen aadaan yhtälö ( ) muotoon π jota aadaan ( ) ( 2 + )L ( y(t) ) e π +, 2 + e π + L ( y(t) ) e π + ( 2 + ) 2 ( 2 + ) 2 e π + ( 2 + ) 2, jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on ( ) ( ( ) L ( 2 + ) 2 e π + L )+L ( 2 + ) 2 ( 2 + ) 2 e π. ( 2 + ) 2 Laplace-muunnotaulukota nähdään, että ( ) L t in t. ( 2 + ) 2 2 Tarkatellaan euraavaki yhtälön ( ) enimmäitä termiä Laueen 3.6 mukaan jolloin käänteieti pätee L ( u a (t)f(t a) ) e a F (), L ( e a F () ) u a (t)f(t a). 35 ( 2 + ) 2 e π.

36 Edellien tuloken mukaan ( ) L ( 2 + ) 2 e π 2 u π(t)(t π) in (t π), joten differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on y(t) 2 t in t + 2 u π(t)(t π) in (t π) 2[ t in t + uπ (t)(t π) in (t π) ]. Viimeieä eimerkiä differentiaaliyhtälön ratkaiu aadaan määritettyä konvoluution avulla. Eimerkki 4.4. ([3,. 43], tehtävä.) Ratkaitaan differentiaaliyhtälö ( ) y (t) 2y (t) + y g(t); y(), y (), miä g(t) on puoliavoimella välillä [, ) paloittain jatkuva ekponentiaalita kertalukua oleva funktio. Laueen 3. nojalla funktion g(t) Laplace-muunno L ( g(t) ) on olemaa, ja ottamalla yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain yhtälö tulee muotoon ( ) L ( y (t) ) L ( 2y (t) ) + L ( y(t) ) L ( g(t) ). Ottamalla huomioon alkuehdot aadaan Laplace-muunnoken lineaariuuominaiuuden ja laueiden 3.8 ja 3.9 nojalla yhtälö ( ) muotoon 2 L ( y(t) ) y() y () 2 [ L ( y(t) ) y() ] + L ( y(t) ) L ( g(t) ) jota aadaan ( )L ( y(t) ) + 3 L ( g(t) ) ( ) 2 L ( y(t) ) + 3 L ( g(t) ), ( ) L ( y(t) ) L( g(t) ) + 3 ( ) 2 ( ) 2 L( g(t) ) ( ) ( ). 2 Differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiun etimieki tulee määrittää edellien yhtälön ( ) termien käänteiet Laplace-muunnoket. Laueen 3.5 ja Laplace- 36

37 muunnotaulukon peruteella aadaan [ y(t) L ( ) 2 L( g(t) ) ] ( ) ( ) 2 [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] [ ] [ ] L + L 3 ( ) 2 ( ) 2 [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] ( + t)e t + 3te t [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] + 2te t e t. Laplace-muunnotaulukon peruteella tiedetään, että Tällöin laueen 3.7 nojalla [ ] L te t. ( ) 2 [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] te t g(t), jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on y(t) 2te t e t + t e t τ (t τ)g(τ) dτ. 37

38 Viitteet [] Dyke, P. An Introduction to Laplace Tranform and Fourier Serie. Lontoo: Springer-Verlag London Limited, 24. [2] Mathew, J., Ruell, W. Complex Analyi for Mathematic and Engineering. Boton: Jone and Bartlett Publiher Inc., 2. [3] Nagle, R., Saff, E., Snider, A. Fundamental of Differential Equation and Boundary Value Problem. Boton: Pearon Education Inc., 28. [4] Schiff, J. The Laplace Tranform: Theory and Application. New York: Springer-Verlag New York Inc., 999. [5] [Verkkodokumentti]. Laplace tranform. Wikipedia, the free encyclopedia. [Viitattu ]. URL [6] [Verkkodokumentti]. Pierre-Simon Laplace. Wikipedia, the free encyclopedia. [Viitattu ]. URL 38

39 Liite Laplace-muunnokia. f(t) F () t t n (n )! 2 (n, 2, 3,... )) n e at a a (eat ) in at co at e at e bt a b ae at be bt a b ( + at)e at ) e bt in at e bt co at inh at coh at ( a) a 2 + a a 2 ( a)( b) ( a)( b) ( a) 2 a ( b) 2 + a 2 b ( b) 2 + a 2 a 2 a 2 2 a 2 (a b) (a b) 39

40 2a (in at at co at) 3 ( 2 + a 2 ) 2 (t in at 2a ( 2 + a 2 ) 2 2a (in at + at co at) 2 ( 2 + a 2 ) 2 co at 2 at in at 3 t co at ( 2 + a 2 ) 2 2 a 2 ( 2 + a 2 ) 2 2a (at coh at inh at) 3 ( 2 a 2 ) 2 (t inh at 2a e bt inh at e bt coh at ( 2 a 2 ) 2 a ( b) 2 a 2 b ( b) 2 a 2 t n e at n! ( a) n+ 4